Trắc nghiệm Bài 3,4: Phương trình bậc hai một ẩn và công thức nghiệm Toán 9Đề bài
Câu 1 :
Phương trình nào dưới đây là phương trình bậc hai một ẩn
Câu 2 :
Cho phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có biệt thức $\Delta = {b^2} - 4ac$. Phương trình đã cho vô nghiệm khi:
Câu 3 :
Cho phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có biệt thức $\Delta = {b^2} - 4ac > 0$ . Khi đó phương trình có hai nghiệm là
Câu 4 :
Không dùng công thức nghiệm, tính tổng các nghiệm của phương trình $6{x^2} - 7x = 0$.
Câu 5 :
Không dùng công thức nghiệm, tìm số nghiệm của phương trình $ - 4{x^2} + 9 = 0$.
Câu 6 :
Tìm tích các giá trị của m để phương trình $4m{x^2} - x - 14{m^2} = 0$ có nghiệm $x = 2$.
Câu 7 :
Tính biệt thức $\Delta $ từ đó tìm số nghiệm của phương trình $9{x^2} - 15x + 3 = 0$.
Câu 8 :
Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m – 4=0\) , với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm trái dấu?
Câu 9 :
Tính biệt thức $\Delta $ từ đó tìm các nghiệm (nếu có ) của phương trình ${x^2} - 2\sqrt 2 x + 2 = 0$
Câu 10 :
Cho phương trình \({x^2} + 1 = 9{m^2}{x^2} + 2\left( {3m + 1} \right)x\,\left( {m \in \,R} \right).\) Tích \(P\) tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình đã cho không là phương trình bậc hai bằng
Câu 11 :
Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình \( - {x^2} + 2mx - {m^2} - m = 0\) có hai nghiệm phân biệt .
Câu 12 :
Tìm các giá trị của tham số $m$ để phương trình \({x^2} + mx - m = 0\) có nghiệm kép.
Câu 13 :
Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình \({x^2} + (1 - m)x - 3 = 0\) vô nghiệm
Câu 14 :
Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình \((m + 2){x^2} + 2x + m = 0\) vô nghiệm
Câu 15 :
Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình \(m{x^2} - 2(m - 1)x + m - 3 = 0\) có nghiệm.
Câu 16 :
Cho phương trình ${x^2} - \left( {m - 1} \right)x - m = 0$. Kết luận nào sau đây là đúng?
Câu 17 :
Biết rằng phương trình ${x^2} - {\rm{ }}2(3m + 2)x + {\rm{ }}2{m^2} - 3m - 10 = 0$ có một trong các nghiệm bằng $ - 1$. Tìm nghiệm còn lại với $m > 0$
Câu 18 :
Phương trình \({x^2} - \left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)x + \sqrt 6 = 0\) có các nghiệm đều là nghiệm của phương trình \({x^4} + b{x^2} + c = 0\,\,\left( * \right).\) Tìm \(b,c\) và giải phương trình \(\left( * \right)\) ứng với \(b,c\) vừa tìm được.
Câu 19 :
Giải phương trình: Câu 19.1
\(x(2x - 3) + 1 = 4(x - 1).\)
Câu 19.2
\({x^2}({x^2} - 2) = 3({x^2} + 12)\)
Câu 20 :
Cho phương trình \(\left( {m + 1} \right){x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + m + 4 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\), với m là tham số. Câu 20.1
Giải phương trình khi \(m = - 1\) .
Câu 20.2
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm.
Câu 21 :
Giải phương trình \(5{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-16=10-{{x}^{2}}\)
Câu 22 :
Tìm m để parabol \(\left( P \right):y = {x^2} - (m - 1)x + m + 2\) và đường thẳng \(d:y = 2x + 4\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
Câu 23 :
Tìm \(m\) để hai phương trình \({x^2} + mx + 1 = 0\) và \({x^2} + x + m = 0\) có ít nhất một nghiệm chung.
Câu 24 :
Cho hai phương trình \({x^2} - 13x + 2m = 0\) (1) và \({x^2} - 4x + m = 0\) (2). Xác định \(m\) để một nghiệm phương trình (1) gấp đôi \(1\) nghiệm phương trình (2).
Câu 25 :
Cho hai phương trình \({x^2} + \left( {2{m^2} + 1} \right)x + {m^3} + 7\sqrt 2 - 23 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\) và \(2{x^2} + \left( {{m^2} - m} \right)x + 9\sqrt 2 - 30 = 0\,\,\,\left( 2 \right)\) (\(x\) là ẩn số, \(m\) là tham số). Tìm giá trị của tham số \(m\) để phương trình (1) và phương trình (2) có nghiệm chung \(x = 3\).
Câu 26 :
Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm: \({(x - 1)^3} + {(2x + 3)^3} = 27{x^3} + 8\)
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Phương trình nào dưới đây là phương trình bậc hai một ẩn
Đáp án : B Phương pháp giải :
Dựa vào khái niệm phương trình bậc hai một ẩn. Lời giải chi tiết :
Phương trình bậc hai một ẩn ( hay gọi tắt là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng: $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ trong đó $a,b,c$ là các số thực cho trước, $x$ là ẩn số.
Câu 2 :
Cho phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có biệt thức $\Delta = {b^2} - 4ac$. Phương trình đã cho vô nghiệm khi:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Dựa vào kiến thức về công thức nghiệm của phương trình bậc hai Lời giải chi tiết :
Xét phương trình bậc hai một ẩn $a{{x}^{2}}+bx+c=0\left( a\ne 0 \right)$. Tính biệt thức $\Delta ={{b}^{2}}-4ac$. - Nếu $\Delta >0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a};{{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$. - Nếu $\Delta =0$ thì phương trình có nghiệm kép ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=-\frac{b}{2a}$. - Nếu $\Delta <0$ thì phương trình vô nghiệm.
Câu 3 :
Cho phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có biệt thức $\Delta = {b^2} - 4ac > 0$ . Khi đó phương trình có hai nghiệm là
Đáp án : C Phương pháp giải :
Dựa vào công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn. Lời giải chi tiết :
Xét phương trình bậc hai một ẩn $a{{x}^{2}}+bx+c=0\left( a\ne 0 \right)$. Tính biệt thức $\Delta ={{b}^{2}}-4ac$. - Nếu $\Delta >0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a};{{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$. - Nếu $\Delta =0$ thì phương trình có nghiệm kép ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=-\frac{b}{2a}$. - Nếu $\Delta <0$ thì phương trình vô nghiệm.
Câu 4 :
Không dùng công thức nghiệm, tính tổng các nghiệm của phương trình $6{x^2} - 7x = 0$.
Đáp án : B Phương pháp giải :
Giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích. Lời giải chi tiết :
Ta có $6{x^2} - 7x = 0$ $ x\left( {6x - 7} \right) = 0 $ $x = 0$ hoặc $x = \dfrac{7}{6}$ Nên tổng các nghiệm của phương trình là $0 + \dfrac{7}{6} = \dfrac{7}{6}$.
Câu 5 :
Không dùng công thức nghiệm, tìm số nghiệm của phương trình $ - 4{x^2} + 9 = 0$.
Đáp án : D Phương pháp giải :
Giải phương trình bằng cách đưa về bình phương của một số. Lời giải chi tiết :
Ta có $ - 4{x^2} + 9 = 0$ $ 4{x^2} = 9\\{x^2} = \dfrac{9}{4} $ Suy ra \(x = \dfrac{3}{2}\) hoặc \(x = - \dfrac{3}{2}\) Phương trình có hai nghiệm $x = \dfrac{3}{2};x = - \dfrac{3}{2}$.
Câu 6 :
Tìm tích các giá trị của m để phương trình $4m{x^2} - x - 14{m^2} = 0$ có nghiệm $x = 2$.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Bước 1: Thay nghiệm $x = {x_0}$ vào phương trình ta được phương trình mới ẩn $m$ Bước 2: Giải phương trình thu được ta tìm được $m$. Lời giải chi tiết :
Thay $x = 2$ vào phương trình $4m{x^2} - x - 10{m^2} = 0$ , ta có $4m{.2^2} - 2 - 14{m^2} = 0 $ $14{m^2} - 16m + 2 = 0$ $\left( {14m - 2} \right)\left( {m - 1} \right) = 0 $ Suy ra $m = \dfrac{1}{7}$ hoặc $m = 1$ Suy ra tích các giá trị của $m$ là $\dfrac{1}{7}.1 = \dfrac{1}{7}$.
Câu 7 :
Tính biệt thức $\Delta $ từ đó tìm số nghiệm của phương trình $9{x^2} - 15x + 3 = 0$.
Đáp án : C Phương pháp giải :
Bước 1: Xác định các hệ số $a,b,c$ và tính biệt thức $\Delta = {b^2} - 4ac$ Bước 2: Kết luận - Nếu $\Delta < 0$ thì phương trình vô nghiệm. - Nếu $\Delta = 0$ thì phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} = - \dfrac{b}{a}$ - Nếu $\Delta > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}$ Lời giải chi tiết :
Ta có $9{x^2} - 15x + 3 = 0$$\left( {a = 9;b = - 15;c = 3} \right)$ Suy ra $\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - 15} \right)^2} - 4.9.3 = 117 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Câu 8 :
Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m – 4=0\) , với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm trái dấu?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Phương trình có hai nghiệm trái dấu \(\Leftrightarrow ac < 0\) Lời giải chi tiết :
Để phương trình: \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m – 4=0\) có hai nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow ac < 0 \Leftrightarrow m - 4 < 0 \Leftrightarrow m < 4.\) Vậy với m < 4 thì yêu cầu của bài toán được thỏa mãn.
Câu 9 :
Tính biệt thức $\Delta $ từ đó tìm các nghiệm (nếu có ) của phương trình ${x^2} - 2\sqrt 2 x + 2 = 0$
Đáp án : A Phương pháp giải :
Bước 1: Xác định các hệ số $a,b,c$ và tính biệt thức $\Delta = {b^2} - 4ac$ Bước 2: Kết luận - Nếu $\Delta < 0$ thì phương trình vô nghiệm. - Nếu $\Delta = 0$ thì phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} = - \dfrac{b}{a}$ - Nếu $\Delta > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}$ Lời giải chi tiết :
Ta có ${x^2} - 2\sqrt 2 x + 2 = 0$$\left( {a = 1;b = - 2\sqrt 2 ;c = 2} \right)$ Suy ra $ \Delta = {b^2} - 4ac = {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} - 4.1.2 = 0$ nên phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = - \dfrac{b}{{2a}} = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{2} = \sqrt 2 $.
Câu 10 :
Cho phương trình \({x^2} + 1 = 9{m^2}{x^2} + 2\left( {3m + 1} \right)x\,\left( {m \in \,R} \right).\) Tích \(P\) tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình đã cho không là phương trình bậc hai bằng
Đáp án : D Phương pháp giải :
+) Đưa phương trình về dạng \(a{x^2} + bx + c = 0\). +) Phương trình trên không là phương trình bậc hai khi \( a = 0\). Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\begin{array}{l}{x^2} + 1 = 9{m^2}{x^2} + 2\left( {3m + 1} \right)x\\ \left( {9{m^2} - 1} \right){x^2} + 2\left( {3m + 1} \right)x - 1 = 0\end{array}\) Phương trình trên không là phương trình bậc hai khi \(9{m^2} - 1 = 0 \) suy ra \( m = \pm \dfrac{1}{3}\). Vậy tích các giá trị của m là \(P = - \dfrac{1}{9}\).
Câu 11 :
Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình \( - {x^2} + 2mx - {m^2} - m = 0\) có hai nghiệm phân biệt .
Đáp án : D Phương pháp giải :
Xét phương trình bậc hai: ${\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ Bước 1: Kiểm tra điều kiện của phương trình bậc hai một ẩn: $a \ne 0$ Bước 2: Tính biệt thức \(\Delta\), với \(\Delta > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt. Lời giải chi tiết :
Phương trình \( - {x^2} + 2mx - {m^2} - m = 0\) có $a = - 1$ nên là phương trình bậc hai một ẩn x. Biệt thức $\Delta = {\left( {2m} \right)^2} - 4.\left( { - 1} \right).\left( { - {m^2} - m} \right)$$ = 4{m^2} - 4{m^2} - 4m $$= - 4m$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $\Delta > 0$ hay $- 4m > 0$ suy ra $ m < 0$ Vậy với $m < 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Câu 12 :
Tìm các giá trị của tham số $m$ để phương trình \({x^2} + mx - m = 0\) có nghiệm kép.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Xét phương trình bậc hai: ${\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ Bước 1: Kiểm tra điều kiện của phương trình bậc hai một ẩn: $a \ne 0$ Bước 2: Tính biệt thức \(\Delta\), với \(\Delta = 0\) thì phương trình có nghiệm kép. Lời giải chi tiết :
Phương trình \({x^2} + mx - m = 0\) có $a = 1$ nên là phương trình bậc hai ẩn x. Biệt thức $\Delta = {m^2} - 4.1.\left( { - m} \right) = {m^2} + 4m$ Phương trình đã cho có nghiệm kép khi $\Delta = 0$ hay ${m^2} + 4m = 0$ suy ra $ m = 0$ hoặc $m = - 4$ Vậy với $m = 0;m = - 4$ thì phương trình có nghiệm kép.
Câu 13 :
Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình \({x^2} + (1 - m)x - 3 = 0\) vô nghiệm
Đáp án : B Phương pháp giải :
Xét phương trình bậc hai: ${\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ Bước 1: Kiểm tra điều kiện của phương trình bậc hai một ẩn: $a \ne 0$ Bước 2: Tính biệt thức \(\Delta\), với \(\Delta < 0\) thì phương trình vô nghiệm. Lời giải chi tiết :
Phương trình \({x^2} + (1 - m)x - 3 = 0\) có $a = 1$ nên là phương trình bậc hai ẩn x. Biệt thức $\Delta = {\left( {1 - m} \right)^2} - 4.1.\left( { - 3} \right) = {\left( {1 - m} \right)^2} + 12 \ge 12 > 0;\,\forall m$ Nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt Vậy không có giá trị nào của $m$ để phương trình vô nghiệm.
Câu 14 :
Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình \((m + 2){x^2} + 2x + m = 0\) vô nghiệm
Đáp án : B Phương pháp giải :
Xét phương trình bậc hai: ${\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c = 0$ Bước 1: Xác định các hệ số $a,b,c$ và tính biệt thức $\Delta = {b^2} - 4ac$ Bước 2: TH1: Xét \( a=0\) Th2: Xét \(a \ne 0\) thì PT vô nghiệm $ \Leftrightarrow \Delta < 0$ Từ đó giải các điều kiện và tìm ra $m$. Lời giải chi tiết :
Phương trình \((m + 2){x^2} + 2x + m = 0\)$\left( {a = m + 2;b = 2;c = m} \right)$ TH1: $m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = - 2$ ta có phương trình: $2x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ TH2: $m + 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - 2$ Ta có $\Delta = {2^2} - 4\left( {m + 2} \right).m = - 4{m^2} - 8m + 4$ Để phương trình đã cho vô nghiệm thì $\left\{ \begin{array}{l}m \ne - 2\\ - 4{m^2} - 8m + 4 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne -2\\2 - {\left( {m + 1} \right)^2} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne -2\\{\left( {m + 1} \right)^2} > 2\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne -2\\\left[ \begin{array}{l}m + 1 > \sqrt 2 \\m + 1 < - \sqrt 2 \end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > -1 + \sqrt 2\\m < -1 - \sqrt 2 \end{array} \right.$
Câu 15 :
Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình \(m{x^2} - 2(m - 1)x + m - 3 = 0\) có nghiệm.
Đáp án : C Phương pháp giải :
Xét phương trình: ${\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c = 0$ TH1: Với $a = 0$, phương trình trở thành phương trình bậc nhất một ẩn. Với \(b \ne 0\), phương trình có nghiệm. TH2: Với $a \ne 0$, tính biệt thức \(\Delta\), với \(\Delta \ge 0\) thì phương trình có nghiệm. Lời giải chi tiết :
Phương trình \(m{x^2} - 2(m - 1)x + m - 3 = 0\) có $\left( {a = m;b = - 2\left( {m - 1} \right);c = m - 3} \right)$ TH1: Với $m = 0$ ta có phương trình $2x - 3 = 0$ hay $2x=3$ suy ra $x = \dfrac{3}{2}$ Do đó với $m = 0$ thì phương trình có nghiệm. (1) TH2: Với $m \ne 0$. Biệt thức $\Delta = 4{\left( {m - 1} \right)^2} - 4m.\left( {m - 3} \right)$$=4m^2-8m+4-4m^2+12m = 4m + 4$ Phương trình đã cho có nghiệm khi $\Delta \ge 0$ hay $4m + 4 \ge 0$ suy ra $4m\ge -4$, từ đó $m \ge - 1$. (2) Từ (1) và (2) suy ra phương trình đã cho có nghiệm khi $m \ge - 1$.
Câu 16 :
Cho phương trình ${x^2} - \left( {m - 1} \right)x - m = 0$. Kết luận nào sau đây là đúng?
Đáp án : D Phương pháp giải :
Xét phương trình bậc hai: ${\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ Bước 1: Kiểm tra điều kiện của phương trình bậc hai một ẩn: $a \ne 0$ Bước 2: Tính biệt thức \(\Delta\). +) \(\Delta > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt. +) \(\Delta = 0\) thì phương trình có nghiệm kép. +) \(\Delta < 0\) thì phương trình vô nghiệm. Lời giải chi tiết :
Phương trình ${x^2} - \left( {m - 1} \right)x - m = 0$ có $a = 1;b = - \left( {m - 1} \right);c = - m$ Suy ra $\Delta = {\left[ { - \left( {m - 1} \right)} \right]^2} - 4.1.\left( { - m} \right) = {m^2} + 2m + 1 = {\left( {m + 1} \right)^2} \ge 0,\forall m$ Nên phương trình đã cho có nghiệm với mọi $m$.
Câu 17 :
Biết rằng phương trình ${x^2} - {\rm{ }}2(3m + 2)x + {\rm{ }}2{m^2} - 3m - 10 = 0$ có một trong các nghiệm bằng $ - 1$. Tìm nghiệm còn lại với $m > 0$
Đáp án : A Phương pháp giải :
Bước 1: Thay nghiệm $x = {x_0}$ vào phương trình ta tìm được $m$. Bước 2: Thay $m$ trở lại phương trình ban đầu và giải phương trình nhận được ta tìm được nghiệm còn lại. Lời giải chi tiết :
Thay $x = - 1$ vào phương trình, ta được: ${\left( { - 1} \right)^2} - 2\left( {3m + 2} \right).\left( { - 1} \right) + 2{m^2} - 3m - 10 = 0$ hay $2{m^2} + 3m - 5 = 0$ $2{m^2} - 2m + 5m - 5 = 0$ $2m(m - 1) + 5(m - 1) = 0$ $\left( {2m + 5} \right)\left( {m - 1} \right) = 0 $ Suy ra $m = - \dfrac{5}{2}\,\,\left( L \right)$ hoặc $m = 1\,\,\left( N \right)$ Với $m = 1$, phương trình trở thành: ${x^2} - 10x - 11 = 0 $ ${x^2} + x - 11x - 11 = 0 $ $x(x + 1) - 11(x + 1) = 0 $ $\left( {x - 11} \right)\left( {x + 1} \right) = 0$ Suy ra $x = 11$ hoặc $x = - 1$ Vậy nghiệm còn lại của phương trình là $x = 11$.
Câu 18 :
Phương trình \({x^2} - \left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)x + \sqrt 6 = 0\) có các nghiệm đều là nghiệm của phương trình \({x^4} + b{x^2} + c = 0\,\,\left( * \right).\) Tìm \(b,c\) và giải phương trình \(\left( * \right)\) ứng với \(b,c\) vừa tìm được.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Giải phương trình đã cho, sau đó thay các giá trị của nghiệm vào phương trình \(\left( * \right)\). Lời giải chi tiết :
Phương trình \({x^2} - \left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)x + \sqrt 6 = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {x - \sqrt 2 } \right)\left( {x - \sqrt 3 } \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt 2 \\x = \sqrt 3 \end{array} \right..\) Ta có \(x = \sqrt 2 \) và \(x = \sqrt 3 \) là các nghiệm của \(\left( * \right)\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {\sqrt 2 } \right)^4} + b{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + c = 0\\{\left( {\sqrt 3 } \right)^4} + b{\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b + c = - 4\\3b + c = - 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 5\\c = 6\end{array} \right..\) Thay \(\left\{ \begin{array}{l}c = 6\\b = - 5\end{array} \right.\) vào \(\left( * \right)\): \({x^4} - 5{x^2} + 6 = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2} \right)\left( {{x^2} - 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 2\\{x^2} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \sqrt 2 \\x = - \sqrt 3 \\x = \sqrt 2 \\x = \sqrt 3 \end{array} \right..\) Vậy với \(b = - 5;\,\,c = 6\) ta được phương trình \(\left( * \right)\) có tập nghiệm: \(S = \left\{ { \pm \sqrt 2 ;\,\, \pm \sqrt 3 } \right\}.\)
Câu 19 :
Giải phương trình: Câu 19.1
\(x(2x - 3) + 1 = 4(x - 1).\)
Đáp án : A Phương pháp giải :
Nhân biểu thức sau đó biến đổi phương trình đưa về phương trình bậc hai một ẩn rồi giải phương trình bằng công thức nghiệm hoặc đưa về phương trình tích. Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}x\left( {2x - 3} \right) + 1 = 4\left( {x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x + 1 - 4x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 7x + 5 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {2x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\2x - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \dfrac{5}{2}\end{array} \right..\end{array}\) Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {1;\,\dfrac{5}{2}} \right\}.\) Câu 19.2
\({x^2}({x^2} - 2) = 3({x^2} + 12)\)
Đáp án : C Phương pháp giải :
Đưa phương trình về phương trình trùng phương và giải phương trình. Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}{x^2}({x^2} - 2) = 3({x^2} + 12)\\ \Leftrightarrow {x^4} - 2{x^2} - 3{x^2} - 36 = 0\\ \Leftrightarrow {x^4} - 5{x^2} - 36 = 0\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\) Đặt \({x^2} = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {t^2} - 5t - 36 = 0\\ \Leftrightarrow {t^2} - 9t + 4t - 36 = 0\\ \Leftrightarrow t\left( {t - 9} \right) + 4\left( {t - 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t + 4} \right)\left( {t - 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t + 4 = 0\\t - 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 4\,\,\,\left( {ktm} \right)\\t = 9\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3.\end{array}\) Vậy tập nghiệm của phương trình là : \(S = \left\{ { - 3;\,\,3} \right\}.\)
Câu 20 :
Cho phương trình \(\left( {m + 1} \right){x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + m + 4 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\), với m là tham số. Câu 20.1
Giải phương trình khi \(m = - 1\) .
Đáp án : D Phương pháp giải :
Thay \(m = - 1\) vào phương trình rồi giải nghiệm. Lời giải chi tiết :
Với \(m = - 1\) phương trình thành: \( - x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3\) Vậy với \(m = - 1\) phương trình có nghiệm \(x = 3.\) Câu 20.2
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm.
Đáp án : C Phương pháp giải :
Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta \ge 0\) Lời giải chi tiết :
Với \(m = - 1\) phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm \(x = 3\) Với \(m \ne - 1,\,\,\,\left( 1 \right)\) là phương trình bậc hai có: \(\Delta = {\left( {2m + 3} \right)^2} - 4\left( {m + 1} \right)\left( {m + 4} \right) = 4{m^2} + 12m + 9 - 4{m^2} - 20m - 16 = - 8m - 7\) Để phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta \ge 0 \Leftrightarrow - 8m - 7 \ge 0 \Leftrightarrow m \le - \dfrac{7}{8}\) Vậy với \(m \le - \dfrac{7}{8}\) phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm.
Câu 21 :
Giải phương trình \(5{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-16=10-{{x}^{2}}\)
Đáp án : B Phương pháp giải :
Thu gọn phương trình ban đầu về phương trình trùng phương. Đặt \({{x}^{2}}=t\,\,(t\ge 0)\) đưa phương trình trùng phương ban đầu về phương trình bậc hai. Giải phương trình bậc hai tìm t, kết hợp với điều kiện, tìm x ban đầu. Lời giải chi tiết :
\(5{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-16=10-{{x}^{2}} \\ 5{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-26=0\) Đặt \({{x}^{2}}=t\,\,\,\left( t\ge 0 \right)\) Phương trình trở thành \(5{{t}^{2}}+3t-26=0\,\,\left( * \right)\) Biệt thức \(\Delta ={{3}^{2}} - 4.5.(-26) = 529 > 0\). PT (*) có 2 nghiệm phân biệt: \({{t}_{1}}=\frac{-3+\sqrt{529}}{2.5}=2\ \ \left( tm \right) \); \({{t}_{2}}=\frac{-3-\sqrt{529}}{2.5}=\frac{-13}{5}\ \ \left( ktm \right) \) Với \(t=2\) thì \({{x}^{2}}=2\). Khi đó \(x=\pm \sqrt{2}.\) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: \(x=\pm \sqrt{2}\)
Câu 22 :
Tìm m để parabol \(\left( P \right):y = {x^2} - (m - 1)x + m + 2\) và đường thẳng \(d:y = 2x + 4\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng phương trình hoành độ giao điểm để biện luận số giao điểm Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để biện luận Lời giải chi tiết :
Parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow {x^2} - (m - 1)x + m + 2 - 2x - 4 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow {x^2} - (m + 1)x + m - 2 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta = {( - (m + 1))^2} - 4(m - 2) > 0 \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 - 4m + 8 > 0\) \( \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 + 8 > 0 \Leftrightarrow {(m - 1)^2} + 8 > 0\) (luôn đúng với mọi m).
Câu 23 :
Tìm \(m\) để hai phương trình \({x^2} + mx + 1 = 0\) và \({x^2} + x + m = 0\) có ít nhất một nghiệm chung.
Đáp án : D Phương pháp giải :
Hai phương trình có nghiệm chung thì nghiệm chung đó phải thoả mãn cả hai phương trình Lời giải chi tiết :
Gọi \({x_0}\) là nghiệm chung của hai phương trình thì \({x_0}\) phải thỏa mãn hai phương trình trên. Thay \(x = {x_0}\) vào hai phương trình trên ta được \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0}^2 + m{x_0} + 1 = 0\\{x_0}^2 + {x_0} + m = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow (m - 1){x_0} + 1 - m = 0\) \(\Leftrightarrow (m - 1)(x_0-1) = 0\,(*)\) Xét phương trình (*) +) Nếu \(m = 1\) thì \(0 = 0\) (luôn đúng) hay hai phương trình trùng nhau. Lúc này phương trình \({x^2} + x + 1 = 0\) vô nghiệm nên cả hai phương trình đều vô nghiệm. Vậy \(m = 1\) không thỏa mãn. +) Nếu \(m \ne 1\) thì \({x_0} = 1\). Thay \({x_0} = 1\) vào phương trình \({x_0}^2 + m{x_0} + 1 = 0\) ta được \(m = - 2\). Vậy \(m = - 2\) thì hai phương trình có nghiệm chung.
Câu 24 :
Cho hai phương trình \({x^2} - 13x + 2m = 0\) (1) và \({x^2} - 4x + m = 0\) (2). Xác định \(m\) để một nghiệm phương trình (1) gấp đôi \(1\) nghiệm phương trình (2).
Đáp án : A Phương pháp giải :
Một số là nghiệm của phương trình thì thoả mãn phương trình. Lời giải chi tiết :
Gọi nghiệm phương trình (2) là \({x_0}\left( {{x_0} \ne 0} \right)\) thì nghiệm phương trình (1) là \(2{x_0}\). Vì \({2x_0}\) là nghiệm của phương trình (1) nên \({(2{x_0})^2} - 13.2{x_0} + 2m = 0\) (*) Vì \({x_0}\) là nghiệm của phương trình (2) nên \({x_0}^2 - 4{x_0} + m = 0\). Nhân cả hai vế của phương trình với 4, ta được: \(4{x_0}^2 - 16{x_0} + 4m = 0\) (**) Từ (*) và (**) ta có: \({(2{x_0})^2} - 13.2{x_0} + 2m = 4{x_0}^2 - 16{x_0} + 4m\) \(-10x_0 - 2m = 0\) suy ra \({x_0} = - \dfrac{m}{5}\) Do \({x_0} \ne 0\) nên \(m \ne 0\). Thay \({x_0} = - \dfrac{m}{5}\) vào phương trình (2) ta được: \({\left( { - \dfrac{m}{5}} \right)^2} - 4.\left( { - \dfrac{m}{5}} \right) + m = 0\) \(\dfrac{{{m^2}}}{{25}} + \dfrac{{4m}}{5} + m = 0\) \(\dfrac{{{m^2}}}{{25}} + \dfrac{{9m}}{5} = 0\) \(\dfrac{m}{5}. \left( \dfrac{m}{5} + 9 \right) = 0\) Do đó \(m = 0\) hoặc \(m = - 45\) Kết hợp \(m \ne 0\) ta được \(m = - 45\)
Câu 25 :
Cho hai phương trình \({x^2} + \left( {2{m^2} + 1} \right)x + {m^3} + 7\sqrt 2 - 23 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\) và \(2{x^2} + \left( {{m^2} - m} \right)x + 9\sqrt 2 - 30 = 0\,\,\,\left( 2 \right)\) (\(x\) là ẩn số, \(m\) là tham số). Tìm giá trị của tham số \(m\) để phương trình (1) và phương trình (2) có nghiệm chung \(x = 3\).
Đáp án : D Phương pháp giải :
Một số là nghiệm của phương trình thì thoả mãn phương trình. Lời giải chi tiết :
Phương trình (1) có hai nghiệm \({\Delta _1} \ge 0\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {2{m^2} + 1} \right)^2} - 4\left( {{m^3} + 7\sqrt 2 - 23} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow 4{m^4} + 4{m^2} + 1 - 4{m^3} - 28\sqrt 2 + 92 \ge 0\\ \Leftrightarrow 4{m^4} - 4{m^3} + 4{m^2} - 28\sqrt 2 + 93 \ge 0\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\) Phương trình (2) có hai nghiệm \({\Delta _2} \ge 0\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{m^2} - m} \right)^2} - 8\left( {9\sqrt 2 - 30} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {m^4} - 2{m^3} + {m^2} - 72\sqrt 2 + 240 \ge 0\,\,\,\left( {**} \right)\end{array}\) Hai phương trình đã cho có nghiệm chung là \(x = 3\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 + \left( {2{m^2} + 1} \right).3 + {m^3} + 7\sqrt 2 - 23 = 0\\2.9 + \left( {{m^2} - m} \right).3 + 9\sqrt 2 - 30 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^3} + 6{m^2} + 7\sqrt 2 - 11 = 0\\3{m^2} - 3m + 9\sqrt 2 - 12 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^3} + 6{m^2} + 7\sqrt 2 - 11 = 0\,\,\,\,\left( 3 \right)\\{m^2} - m + 3\sqrt 2 - 4 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\end{array}\) Giải phương trình (4) ta được: \(\begin{array}{l}\left( 4 \right) \Leftrightarrow {m^2} - m = 4 - 3\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {m^2} - 2.m.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{{17}}{4} - 3\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{{17 - 12\sqrt 2 }}{4}\\ \Leftrightarrow {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{{9 - 2.3.2\sqrt 2 + 8}}{4}\\ \Leftrightarrow {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{{{{\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)}^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - \dfrac{1}{2} = \dfrac{{3 - 2\sqrt 2 }}{2}\\m - \dfrac{1}{2} = - \dfrac{{3 - 2\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2 - \sqrt 2 \,\,\,\,\left( {tm\,\,\,\left( * \right),\,\,\left( {**} \right)} \right)\\m = \sqrt 2 - 1\,\,\,\left( {tm\,\,\,\left( * \right),\,\,\left( {**} \right)} \right)\end{array} \right.\end{array}\) +) Với \(m = 2 - \sqrt 2 \) ta có: \(\begin{array}{l}\left( 3 \right) \Leftrightarrow {\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^3} + 6{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^2} + 7\sqrt 2 - 11 = 0\\ \Leftrightarrow 20 - 14\sqrt 2 + 6\left( {6 - 4\sqrt 2 } \right) + 7\sqrt 2 - 11 = 0\\ \Leftrightarrow 9 - 7\sqrt 2 + 36 - 24\sqrt 2 = 0\\ \Leftrightarrow 45 - 31\sqrt 2 = 0\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array}\) \( \Rightarrow m = 2 - \sqrt 2 \) không thỏa mãn bài toán. +) Với \(m = \sqrt 2 - 1\) ta có: \(\begin{array}{l}\left( 3 \right) \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^3} + 6{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^2} + 7\sqrt 2 - 11 = 0\\ \Leftrightarrow - 7 + 5\sqrt 2 + 6\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right) + 7\sqrt 2 - 11 = 0\\ \Leftrightarrow - 18 + 12\sqrt 2 + 18 - 12\sqrt 2 = 0\\ \Leftrightarrow 0 = 0\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\) \( \Rightarrow m = \sqrt 2 - 1\) thỏa mãn bài toán. Vậy \(m = \sqrt 2 - 1\) thỏa mãn bài toán.
Câu 26 :
Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm: \({(x - 1)^3} + {(2x + 3)^3} = 27{x^3} + 8\)
Đáp án : D Phương pháp giải :
- Phân tích các hằng đẳng thức để đưa phương trình đã cho về dạng một phương trình bậc ba.- Phân tích đa thức bậc ba thành tích của các phân thức bậc thấp hơn để giải phương trình. Lời giải chi tiết :
\(\eqalign{& \,\,\,\,\,\,{(x - 1)^3} + {(2x + 3)^3} = 27{x^3} + 8 \cr & \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 + 8{x^3} + 36{x^2} + 54x + 27 = 27{x^3} + 8 \cr & \Leftrightarrow 18{x^3} - 33{x^2} - 57x - 18 = 0 \cr & \Leftrightarrow 3(6{x^3} - 11{x^2} - 19x - 6) = 0 \cr & \Leftrightarrow 6{x^3} - 11{x^2} - 19x - 6 = 0 \cr & \Leftrightarrow 6{x^3} - 18{x^2} + 7{x^2} - 21x + 2x - 6 = 0 \cr & \Leftrightarrow 6{x^2}(x - 3) + 7x(x - 3) + 2(x - 3) = 0 \cr & \Leftrightarrow (x - 3)(6{x^2} + 7x + 2) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x - 3 = 0 \hfill \cr 6{x^2} + 7x + 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = 3 \hfill \cr 6{x^2} + 7x + 2 = 0 \hfill \cr} \right. \cr} \) +) Giải phương trình: \(6{x^2} + 7x + 2 = 0\) Ta có : \(\Delta = {( - 7)^2} - 4.6.2 = 1 > 0\) suy ra phương trình có hai nghiệm là: \(\displaystyle {x_1} = {{ - 7 - \sqrt 1 } \over {2.6}} = {{ - 2} \over 3};\,\,\,\displaystyle {x_2} = {{ - 7 + \sqrt 1 } \over {2.6}} = {{ - 1} \over 2}.\) Tập nghiệm của phương trình đã cho là \(\displaystyle S = \left\{ {3;{{ - 2} \over 3};{{ - 1} \over 2}} \right\}.\) Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.
|
