Trắc nghiệm Bài 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình Toán 9Đề bài
Câu 1 :
Cho hai số tự nhiên biết rằng hai lần số thứ nhất hơn ba lần số thứ hai là $9$ và hiệu các bình phương của chúng bằng $119$ . Tìm số lớn hơn.
Câu 2 :
Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là $109$. Tìm số bé hơn.
Câu 3 :
Một hình chữ nhật có chiều dài gấp $3$ lần chiều rộng. Nếu cả chiều dài và chiều rộng cùng tăng thêm $5cm$ thì được một hình chữ nhật mới có diện tích bằng $153c{m^2}$ . Tìm chu vi của hình chữ nhật ban đầu.
Câu 4 :
Cho tam giác vuông có cạnh huyền bằng $20cm$ . Hai cạnh góc vuông có độ dài hơn kém nhau $4cm$ . Một trong hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó có độ dài là:
Câu 5 :
Một thửa ruộng hình tam giác có diện tích \(180\,{m^2}\). Tính chiều dài cạnh đáy thửa ruộng, biết rằng nếu tăng cạnh đáy lên $4m$ và chiều cao tương ứng giảm đi $1\,\,m$ thì diện tích không đổi.
Câu 6 :
Một công nhân dự định làm $120$ sản phẩm trong một thời gian dự định. Sau khi làm được $2$ giờ với năng suất dự kiến, người đó đã cải tiến các thao tác hợp lý hơn nên đã tăng năng suất thêm $3$ sản phẩm mỗi giờ và vì vậy người đó hoàn thành kế hoạch sớm hơn dự định $1$ giờ $36$ phút. Hãy tính năng suất dự kiến.
Câu 7 :
Theo kế hoạch, một người công nhân phải hoàn thành $84$ sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do cải tiến kĩ thuật, nên thực tế mỗi giờ người đó đã làm được nhiều hơn $2$ sản phẩm so với số sản phẩm phải làm trong một giờ theo kế hoạch. Vì vậy, người đó hoàn thành công việc sớm hơn dự định \(1\) giờ. Hỏi theo kế hoạch, mỗi giờ người công nhân phải làm bao nhiêu sản phẩm?
Câu 8 :
Một xưởng có kế hoạch in xong $6000$ quyển sách giống nhau trong một thời gian quy định, biết số quyển sách in được trong một ngày là bằng nhau. Để hoàn thành sớm kế hoạch , mỗi ngày xưởng đã in nhiều hơn $300$ quyển sách so với số quyển sách phải in trong kế hoạch, nên xưởng in xong $6000$ quyển sách nói trên sớm hơn kế hoạch $1$ ngày. Tính số quyển sách xưởng in được trong $1$ ngày theo kế hoạch.
Câu 9 :
Hai tổ sản xuất cùng làm chung công việc thì hoàn thành trong $2$ giờ. Hỏi nếu làm riêng một mình, tổ $1$ phải hết bao nhiêu thời gian mới hoàn thành công việc, biết khi làm riêng tổ một hoàn thành sớm hơn tổ hai là $3$ giờ.
Câu 10 :
Một lâm trường dự định trồng $75$ $ha$ rừng trong một số tuần (mỗi tuần trồng được diện tích bằng nhau). Thực tế, mỗi tuần lâm trường trồng vượt mức $5$ $ha$ so với dự định nên cuối cùng đã trồng được $80$ $ha$ và hoàn thành sớm hơn dự định một tuần. Hỏi mỗi tuần lâm trường dự định trồng bao nhiêu $ha$ rừng?
Câu 11 :
Một người đi xe máy từ $A$ đến $B$ với vận tốc $25$ km/h. Lúc về người đó đi với vận tốc $30$ km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là $20$ phút. Tính quãng đường $AB$.
Câu 12 :
Một ôtô phải đi quãng đường $AB$ dài $60$ km trong một thời gian nhất định. Xe đi nửa quãng đường đầu với vận tốc hơn dự định là $10$ km/h và đi nửa sau kém hơn dự đinh $6$ km/h. Biết ôtô đã đến đúng như dự định. Tính thời gian người đó dự định đi quãng đường $AB$.
Câu 13 :
Một ca nô chạy xuôi dòng sông từ $A$ đến $B$ rồi chạy ngược dòng từ $B$ về $A$ hết tất cả $7$giờ $30$ phút. Tính vận tốc thực của ca nô biết quãng đường sông $AB$ dài $54{\rm{ km}}$ và vận tốc dòng nước là $3{\rm{ km/h}}$
Câu 14 :
Một ca nô chạy xuôi dòng với quãng đường $42{\rm{km}}$, rồi sau đó ngược dòng trở lại $20{\rm{ km}}$ hết tổng cộng $5{\rm{h}}$. Biến vận tốc của dòng nước chảy là $2{\rm{ km/h}}$. Tính vận tốc của ca nô lúc dòng nước yên lặng.
Câu 15 :
Cho hai vòi nước cùng lúc chảy vào một bể cạn. Nếu chảy riêng từng vòi thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai $4$ giờ. Khi nước đầy bể, người ta khóa vòi thứ nhất và vòi thứ hai lại, đồng thời mở vòi thứ ba cho nước chảy ra thì sau 6 giờ bể cạn nước. Khi nước trong bể đã cạn mở cả ba vòi thì sau $24$ giờ bể lại đầy nước. Hỏi nếu chỉ dùng vòi thứ nhất thì sau bao lâu bể đầy nước?
Câu 16 :
Một công ty vận tải dự định điều một số xe tải để vận chuyển $24$ tấn hàng. Thực tế khi đến nơi thì công ty bổ sung thên $2$ xe nữa nên mỗi xe chở ít đi $2$ tấn so với dự định. Hỏi số xe dự định được điều động là bao nhiêu? Biết số lượng hàng chở ở mỗi xe như nhau và mỗi xe chở một lượt.
Câu 17 :
Một phòng họp có 360 ghế ngồi được xếp thành từng dãy và số ghế của từng dãy đều như nhau. Nếu số dãy tăng thêm 1 và số ghế của mỗi dãy tăng thêm 1 thì trong phòng có 400 ghế. Hỏi trong phòng họp có bao nhiêu dãy ghế (biết số dãy ghế ít hơn 20).
Câu 18 :
Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 30 m, chiều rộng 20 m. Xung quanh về phía trong mảnh đất người ta để một lối đi có chiều rộng không đổi, phần còn lại là một hình chữ nhật được trồng hoa. Biết rằng diện tích trồng hoa bằng 84% diện tích mảnh đất. Tính chiều rộng của lối đi.
Câu 19 :
Một tấm bìa hình chữ nhật có chu vi 80 cm. Người ta cắt ra ở mỗi góc một hình vuông cạnh 3 cm rồi gấp lên thành một hình hộp chữ nhật không có nắp có diện tích là \(339\,cm^2.\) Tính kích thước ban đầu của tấm bìa.
Câu 20 :
Lúc 7 giờ một ô tô đi từ A đến B. Lúc 7 giờ 30 phút một xe máy đi từ B đến A với vận tốc kém vận tốc của ô tô là 24km/h. Ô tô đến B được 20 phút thì xe máy mới đến A. Tính vận tốc mỗi xe, biết quãng đường AB dài 120 km.
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Cho hai số tự nhiên biết rằng hai lần số thứ nhất hơn ba lần số thứ hai là $9$ và hiệu các bình phương của chúng bằng $119$ . Tìm số lớn hơn.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Gọi số thứ nhất là $a;a \in {\mathbb{N}}$ ; số thứ hai là $b;b \in {\mathbb{N}}.$ Vì hai lần số thứ nhất hơn ba lần số thứ hai là $9$ nên ta biểu diễn được b theo a. Vì hiệu các bình phương của chúng bằng $119$ nên ta viết được phương trình theo a. Tính \(\Delta '\) để tìm a, từ đó ta tính được b. Lời giải chi tiết :
Gọi số thứ nhất là $a;a \in {\mathbb{N}}$ ; số thứ hai là $b;b \in {\mathbb{N}}.$ Vì hai lần số thứ nhất hơn ba lần số thứ hai là $9$ nên ta có $2a - 3b = 9$ suy ra $b = \dfrac{{2a - 9}}{3}$ Vì hiệu các bình phương của chúng bằng $119$ nên ta có phương trình: ${a^2} - {\left( {\dfrac{{2a - 9}}{3}} \right)^2} = 119$ $9{a^2} - {\left( {2a - 9} \right)^2} = 1071$ $5{a^2} + 36a - 1152 = 0$ Ta có: $\Delta ' = 18^2 - 5.(-1152) = 6084 $ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $a_1 = \dfrac{{ - 18 + \sqrt {6084} }}{5}= 12\,\left( N \right)$; $a_2 = \dfrac{{ - 18 - \sqrt {6084} }}{5} - \dfrac{{96}}{5}\,\left( L \right)$ Với $a = 12$, ta có $b = \dfrac{{2.12 - 9}}{3} = 5$ Vậy số lớn hơn là $12$.
Câu 2 :
Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là $109$. Tìm số bé hơn.
Đáp án : D Phương pháp giải :
Gọi số bé hơn là $a;a \in {\mathbb{N}^*}$ thì số lớn hơn là $a + 1$ Vì tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là $109$ nên viết phương trình biểu diễn. Giải phương trình để tìm a. Lời giải chi tiết :
Gọi số bé hơn là $a;a \in {\mathbb{N}^*}$ thì số lớn hơn là $a + 1$ Vì tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là $109$ nên ta có phương trình $a\left( {a + 1} \right) - \left( {a + a + 1} \right) = 109$ ${a^2} - a - 110 = 0$ $\left( {a - 11} \right)\left( {a + 10} \right) = 0$ $a = 11\,\left( N \right)$ hoặc $a = - 10\,\left( L \right)$ Vậy số bé hơn là $11$.
Câu 3 :
Một hình chữ nhật có chiều dài gấp $3$ lần chiều rộng. Nếu cả chiều dài và chiều rộng cùng tăng thêm $5cm$ thì được một hình chữ nhật mới có diện tích bằng $153c{m^2}$ . Tìm chu vi của hình chữ nhật ban đầu.
Đáp án : B Phương pháp giải :
Giải bài toán có nội dung hình học bằng cách lập phương trình. Sử dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật bằng tích chiều dài với chiều rộng. Lời giải chi tiết :
Gọi $x$ là chiều rộng hình chữ nhật lúc đầu $\left( {x > 0} \right)\left( {cm} \right)$ Chiều dài hình chữ nhật lúc đầu: $3x\left( {cm} \right)$ Chiều rộng hình chữ nhật lúc sau: $x + 5\left( {cm} \right)$ Chiều dài hình chữ nhật lúc sau: $3x + 5\left( {cm} \right)$ Theo đề bài ta có phương trình: $\left( {x + 5} \right)\left( {3x + 5} \right) = 153$ suy ra $3{x^2} + 20x-128 = 0$ \(\Delta ' = 10^2 - 3.(-128) = 484\) suy ra \(\sqrt {\Delta} = \sqrt {484} = 22\) Suy ra $x_1 = \frac{-10 + 22}{3} = 4\,\left( N \right)$; $x_2 = \frac{-10 - 22}{3} = \dfrac{{ - 32}}{3}\,\left( L \right)$ Vậy chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật ban đầu là: $12cm$ và $4cm.$ Suy ra chu vi hình chữ nhật ban đầu là $\left( {12 + 4} \right).2 = 32\,\left( {cm} \right)$.
Câu 4 :
Cho tam giác vuông có cạnh huyền bằng $20cm$ . Hai cạnh góc vuông có độ dài hơn kém nhau $4cm$ . Một trong hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó có độ dài là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Gọi độ dài cạnh góc vuông nhỏ hơn của tam giác vuông đó là $x\left( {cm} \right)\left( {x > 0} \right)$ Cạnh góc vuông lớn hơn của tam giác vuông đó dài là $x + 4\left( {cm} \right)$ Sử dụng định lí Pythagore để viết phương trình. Giải phương trình. Lời giải chi tiết :
Gọi độ dài cạnh góc vuông nhỏ hơn của tam giác vuông đó là $x\left( {cm} \right)\left( {x > 0} \right)$ Cạnh góc vuông lớn hơn của tam giác vuông đó dài là $x + 4\left( {cm} \right)$ Vì cạnh huyền bằng $20cm$ nên theo định lí Pythagore ta có ${x^2} + {(x + 4)^2} = {20^2}$ ${x^2} + {(x + 4)^2} = 400 $ $2{x^2} + 8x - 384 = 0$ Ta có: \(\Delta ' = 4^2 - 2. (-384) = 784 > 0\), \(\sqrt {\Delta '} = \sqrt {784} = 28\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_1 = \frac{-4 + 28}{2} = 12\,\left( N \right)\\x_2 = \frac{-4 - 28}{2} = - 16\left( L \right)$ Vậy độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó lần lượt là $12cm$ và $12 + 4 = 16\,\,cm$ .
Câu 5 :
Một thửa ruộng hình tam giác có diện tích \(180\,{m^2}\). Tính chiều dài cạnh đáy thửa ruộng, biết rằng nếu tăng cạnh đáy lên $4m$ và chiều cao tương ứng giảm đi $1\,\,m$ thì diện tích không đổi.
Đáp án : C Phương pháp giải :
Giải bài toán có nội dung hình học bằng cách lập phương trình. Chú ý công thức: $a = \dfrac{{2.S}}{h}$ với $S$ là diện tích tam giác, $h$ là chiều cao, $a$ là độ dài cạnh đáy. Lời giải chi tiết :
Gọi chiều cao ứng với cạnh đáy của thửa ruộng là \(h\left( m \right);h > 0\) Vì thửa ruộng hình tam giác có diện tích \(180\,{m^2}\) nên chiều dài cạnh đáy thửa ruộng là \(\dfrac{{180.2}}{h}\) hay $\dfrac{{360}}{h}$ $\left( m \right)$ Vì tăng cạnh đáy thêm $4m$ và chiều cao giảm đi $1m$ thì diện tích không đổi nên ta có phương trình \(\dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{360}}{h} + 4} \right)\left( {h - 1} \right) = 180 \) Suy ra \(4{h^2} - 4h - 360 = 0\) Giải phương trình, ta được \(h = 10\,\left( {TM} \right)\) và \(h = - 9\,\left( L \right)\) Nên chiều cao $h = 10\,\,m$ Suy ra cạnh đáy của thửa ruộng ban đầu là $\dfrac{{360}}{{10}} = 36\,\,\left( m \right)$
Câu 6 :
Một công nhân dự định làm $120$ sản phẩm trong một thời gian dự định. Sau khi làm được $2$ giờ với năng suất dự kiến, người đó đã cải tiến các thao tác hợp lý hơn nên đã tăng năng suất thêm $3$ sản phẩm mỗi giờ và vì vậy người đó hoàn thành kế hoạch sớm hơn dự định $1$ giờ $36$ phút. Hãy tính năng suất dự kiến.
Đáp án : C Phương pháp giải :
Gọi năng suất dự định là \(x\,\,(0 < x < 20,\) sản phẩm/giờ). Dựa vào đề bài, biểu diễn các đại lượng theo x. Lập phương trình và giải để tìm x. Lời giải chi tiết :
Gọi năng suất dự định là \(x\,\,(0 < x < 20,\) sản phẩm/giờ). Sản phẩm làm được sau $2$ giờ là: \(2x\) (sản phẩm). Số sản phẩm còn lại là: \(120 - 2x\) (sản phẩm) Năng suất sau khi cải tiến là \(x + 3\) (sản phẩm/giờ) Thời gian làm số sản phẩm còn lại là: \(\dfrac{{120 - 2x}}{{x + 3}}\) (giờ) Do sau khi cải tiến người đó hoàn thành sớm hơn dự định $1$ giờ $36$ phút. Đổi $1$ giờ $36$ phút bằng $1,6$ giờ. Theo bài ra có phương trình: $2 + \dfrac{{120 - 2x}}{{x + 3}} + 1,6 = \dfrac{{120}}{x}$ Suy ra $ 1,6{x^2} + 10,8x - 360 = 0 $ Giải phương trình, ta được: \(x_1 = 12\,\left( N \right)\) và \(x_2 = - \dfrac{{75}}{4}\,\left( L \right)\) Vậy năng suất dự định của công nhân đó là $12$ sản phẩm/giờ.
Câu 7 :
Theo kế hoạch, một người công nhân phải hoàn thành $84$ sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do cải tiến kĩ thuật, nên thực tế mỗi giờ người đó đã làm được nhiều hơn $2$ sản phẩm so với số sản phẩm phải làm trong một giờ theo kế hoạch. Vì vậy, người đó hoàn thành công việc sớm hơn dự định \(1\) giờ. Hỏi theo kế hoạch, mỗi giờ người công nhân phải làm bao nhiêu sản phẩm?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Gọi $x$ là số sản phẩm mỗi giờ mà người công nhân phải hoàn thành theo kế hoạch. $\left( {x \in {N^*},x < 84} \right)$ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo x. Lập phương trình, giải phương trình để tìm x. Lời giải chi tiết :
Gọi $x$ là số sản phẩm mỗi giờ mà người công nhân phải hoàn thành theo kế hoạch. $\left( {x \in {N^*},x < 84} \right)$ Số sản phẩm mỗi giờ mà người công nhân phải hoàn thành theo thực tế: $x + 2$ Thời gian mà công nhân hoàn thành theo kế hoạch:\(\dfrac{{84}}{x}(h)\) Thời gian mà công nhân hoàn thành theo thực tế:\(\dfrac{{84}}{{x + 2}}(h)\) Người công nhân đó hoàn thành công việc sớm hơn định $1h$ nên ta có phương trình: \(\dfrac{{84}}{x} - \dfrac{{84}}{{x + 2}} = 1\) $84\left( {x + 2} \right) - 84x = x\left( {x + 2} \right)$ ${x^2} + 2x - 126 = 0$ Giải phương trình ta được $x = 12$ (nhận) hoặc $x = - 14$ (loại) Vậy theo kế hoạch mỗi giờ người công nhân phải làm $12$ sản phẩm.
Câu 8 :
Một xưởng có kế hoạch in xong $6000$ quyển sách giống nhau trong một thời gian quy định, biết số quyển sách in được trong một ngày là bằng nhau. Để hoàn thành sớm kế hoạch , mỗi ngày xưởng đã in nhiều hơn $300$ quyển sách so với số quyển sách phải in trong kế hoạch, nên xưởng in xong $6000$ quyển sách nói trên sớm hơn kế hoạch $1$ ngày. Tính số quyển sách xưởng in được trong $1$ ngày theo kế hoạch.
Đáp án : D Lời giải chi tiết :
Gọi $x$ (quyển sách) là số quyển sách xưởng in được trong mỗi ngày theo kế hoạch, $\left( {x \in {N^*}} \right)$ Số ngày in theo kế hoạch: $\dfrac{{6000}}{x}$ (ngày) Số quyển sách xưởng in được thực tế trong mỗi ngày: $x + 300$ (quyển sách) Số ngày in thực tế: $\dfrac{{6000}}{{x + 300}}$( ngày) Theo đề bài ta có phương trình: $\dfrac{{6000}}{x} - \dfrac{{6000}}{{x + 300}} = 1 \Leftrightarrow {x^2} + 300x - 1800000 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1200\,\left( N \right)\\x = - 1500\,\left( L \right)\end{array} \right.$ Vậy số quyển sách xưởng in được trong mỗi ngày theo kế hoạch là: $1200$ (quyển sách).
Câu 9 :
Hai tổ sản xuất cùng làm chung công việc thì hoàn thành trong $2$ giờ. Hỏi nếu làm riêng một mình, tổ $1$ phải hết bao nhiêu thời gian mới hoàn thành công việc, biết khi làm riêng tổ một hoàn thành sớm hơn tổ hai là $3$ giờ.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Giải bài toán làm chung công việc bằng cách lập phương trình Gọi năng suất của tổ 1 là: $x$, ($x > 0$, phần công việc/giờ) Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo x để lập phương trình. Giải phương trình để tìm x. Lời giải chi tiết :
Gọi năng suất của tổ 1 là: $x$, ($x > 0$, phần công việc/giờ) Vì hai tổ sản xuất cùng làm chung công việc thì hoàn thành trong $2$ giờ nên năng suất của tổ 2 là: $\dfrac{1}{2} - x$ (phần công việc/giờ); Thời gian tổ 1 làm 1 mình xong công việc là: $\dfrac{1}{x}$ (giờ); Thời gian tổ 1 làm 2 mình xong công việc là: $\dfrac{1}{{\dfrac{1}{2} - x}}$ (giờ); Vì khi làm riêng tổ một hoàn thành sớm hơn tổ hai là $3$ giờ nên ta có phương trình: $\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{{\dfrac{1}{2} - x}} - 3$ suy ra $ 6{x^2} + x - 1 = 0$ Giải phương trình ta được: \(x = \dfrac{1}{3}\,\left( N \right)\) hoặc \(x = - \dfrac{1}{2}\left( L \right)\) Vậy thời gian tổ $1$ hoàn thành công việc một mình là 3 giờ.
Câu 10 :
Một lâm trường dự định trồng $75$ $ha$ rừng trong một số tuần (mỗi tuần trồng được diện tích bằng nhau). Thực tế, mỗi tuần lâm trường trồng vượt mức $5$ $ha$ so với dự định nên cuối cùng đã trồng được $80$ $ha$ và hoàn thành sớm hơn dự định một tuần. Hỏi mỗi tuần lâm trường dự định trồng bao nhiêu $ha$ rừng?
Đáp án : D Phương pháp giải :
Gọi diện tích rừng mà mỗi tuần lâm trường dự định trồng là $x\left( {ha} \right)$ (Điều kiện: $x > 0$) Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo x để lập phương trình. Giải phương trình để tìm x. Lời giải chi tiết :
Gọi diện tích rừng mà mỗi tuần lâm trường dự định trồng là $x\left( {ha} \right)$ (Điều kiện: $x > 0$) Theo dự định, thời gian trồng hết $75$ ha rừng là: $\dfrac{{75}}{x}$(tuần) Vì mỗi tuần lâm trường trồng vượt mức $5$ha so với dự định nên thực tế mỗi tuần lâm trường trồng được: $x + 5$ (ha) Do đó thời gian thực tế lâm trường trồng hết $80$ ha rừng là: $\dfrac{{80}}{{x + 5}}$ (tuần) Vì thực tế, lâm trường trồng xong sớm so với dự định là $1$tuần nên ta có phương trình: $\dfrac{{75}}{x} - \dfrac{{80}}{{x + 5}} = 1$ $75\left( {x + 5} \right) - 80x = x\left( {x + 5} \right)$ ${x^2} + 10x - 375 = 0$ Giải phương trình, ta được: $x_1 = 15\,\left( N \right)$ và $x_2 = - 25\,\left( L \right)$ Vậy mỗi tuần lâm trường dự định trồng $15$ ha rừng.
Câu 11 :
Một người đi xe máy từ $A$ đến $B$ với vận tốc $25$ km/h. Lúc về người đó đi với vận tốc $30$ km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là $20$ phút. Tính quãng đường $AB$.
Đáp án : A Lời giải chi tiết :
Gọi thời gian người đó đi từ $A$ đến $B$ là $t$ giờ. $\left( {t > \dfrac{1}{3}} \right)$ Vì thời gian về ít hơn thời gian đi $20$ phút nên thời gian về là \(t - \dfrac{1}{3}\) và quãng đường đi về là như nhau nên ta có : \(25t = 30.\left( {t - \dfrac{1}{3}} \right) \Leftrightarrow t = 2\,\left( {TM} \right)\) Vậy quãng đường $AB$ là $50km$ .
Câu 12 :
Một ôtô phải đi quãng đường $AB$ dài $60$ km trong một thời gian nhất định. Xe đi nửa quãng đường đầu với vận tốc hơn dự định là $10$ km/h và đi nửa sau kém hơn dự đinh $6$ km/h. Biết ôtô đã đến đúng như dự định. Tính thời gian người đó dự định đi quãng đường $AB$.
Đáp án : B Lời giải chi tiết :
Gọi vận tốc ô tô dự định đi là \(v\) $\left( {km/h} \right)$, $\left( {v > 6} \right)$ Thời gian đi nửa quãng đường đầu là \(\dfrac{{30}}{{v + 10}}\left( h \right)\) Thời gian đi nửa quãng đường sau là \(\dfrac{{30}}{{v - 6}}(h)\) Thời gian dự định đi quãng đường $AB$ là \(\dfrac{{60}}{v} (h)\) Theo bài ra ta có : \(\dfrac{{30}}{{v + 10}} + \dfrac{{30}}{{v - 6}} = \dfrac{{60}}{v} \Leftrightarrow \dfrac{{2v + 4}}{{\left( {v + 10} \right)\left( {v - 6} \right)}} = \dfrac{2}{v} \) \(\Rightarrow 4v - 120 = 0 \Leftrightarrow v = 30\) (thỏa mãn) Vậy thời gian dự định là $\dfrac{{60}}{{30}} = 2$ giờ.
Câu 13 :
Một ca nô chạy xuôi dòng sông từ $A$ đến $B$ rồi chạy ngược dòng từ $B$ về $A$ hết tất cả $7$giờ $30$ phút. Tính vận tốc thực của ca nô biết quãng đường sông $AB$ dài $54{\rm{ km}}$ và vận tốc dòng nước là $3{\rm{ km/h}}$
Đáp án : D Phương pháp giải :
Gọi vận tốc thực của ca nô là $x{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right),{\rm{ }}x{\rm{ }} > {\rm{ }}3$ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo x để lập phương trình. Giải phương trình để tìm x. Lời giải chi tiết :
Đổi $7$ giờ $30$ phút = $\dfrac{{15}}{2}$ (h) Gọi vận tốc thực của ca nô là $x{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right),{\rm{ }}x{\rm{ }} > {\rm{ }}3$ Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng sông từ A đến B là: $x + 3\,\left( {km/h} \right)$ Vận tốc của ca nô khi nược dòng sông từ B về A là: $x{\rm{ }} - {\rm{ }}3{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)$ Thời gian của ca nô khi xuôi dòng sông từ A đến B là: $\dfrac{{54}}{{x + 3}}\left( {\rm{h}} \right)$ Thời gian của ca nô khi ngược dòng sông từ B về A là: $\dfrac{{54}}{{x - 3}}\left( {\rm{h}} \right)$ Do ca nô chạy xuôi dòng sông từ A đến B rồi chạy ngược dòng từ B về A hết tất cả 7 giờ 30 phút nên ta có phương trình: $\dfrac{{54}}{{x + 3}}$+$\dfrac{{54}}{{x - 3}}$=$\dfrac{{15}}{2}$ Ta có: $\dfrac{{54}}{{x + 3}} + \dfrac{{54}}{{x - 3}} = \dfrac{{15}}{2} $ $54(\dfrac{{x - 3 + x + 3}}{{{x^2} - 9}}) = \dfrac{{15}}{2} $ $\dfrac{{2x}}{{{x^2} - 9}} = \dfrac{5}{{36}}$ $72x = 5{x^2} - 45$ $5{x^2} - 72x - 45 = 0$ Giải phương trình ta được \(x_1 = 15\,\left( N \right)\) và \(x_2 = \dfrac{{ - 3}}{5}\,\left( L \right)\) Vậy vận tốc thực của ca nô là $15{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)$
Câu 14 :
Một ca nô chạy xuôi dòng với quãng đường $42{\rm{km}}$, rồi sau đó ngược dòng trở lại $20{\rm{ km}}$ hết tổng cộng $5{\rm{h}}$. Biến vận tốc của dòng nước chảy là $2{\rm{ km/h}}$. Tính vận tốc của ca nô lúc dòng nước yên lặng.
Đáp án : B Lời giải chi tiết :
Gọi vận tốc của ca nô lúc dòng nước yên lặng là $x{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right);\left( {x > {\rm{2}}} \right)$ Vì vận tốc nước là $2{\rm{ km/h}}$ nên vận tốc xuôi dòng và ngược dòng lần lượt là $x{\rm{ }} + {\rm{ }}2$ và $x{\rm{ - }}2{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)$ Thời gian để ca nô đi hết $42{\rm{ km}}$ xuôi dòng là $\dfrac{{42}}{{x + 2}}{\rm{(h)}}$ Thời gian để ca nô đi hết $20{\rm{ km}}$ ngược dòng là $\dfrac{{20}}{{x - 2}}{\rm{(h)}}$ Tổng thời gian là $5{\rm{h}}$ do đó $\dfrac{{42}}{{x + 2}} + \dfrac{{20}}{{x - 2}} = 5 \Leftrightarrow \dfrac{{42(x - 2) + 20(x + 2)}}{{(x - 2)(x + 2)}} = 5 \Leftrightarrow \dfrac{{62x - 44}}{{{x^2} - 4}} = 5$ $ \Rightarrow 5{x^2} - 62x + 24 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 12{\rm{(TM)}}\\x = 0,4{\rm{(L)}}\end{array} \right.$ Vậy vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là $12{\rm{ km/h}}$ .
Câu 15 :
Cho hai vòi nước cùng lúc chảy vào một bể cạn. Nếu chảy riêng từng vòi thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai $4$ giờ. Khi nước đầy bể, người ta khóa vòi thứ nhất và vòi thứ hai lại, đồng thời mở vòi thứ ba cho nước chảy ra thì sau 6 giờ bể cạn nước. Khi nước trong bể đã cạn mở cả ba vòi thì sau $24$ giờ bể lại đầy nước. Hỏi nếu chỉ dùng vòi thứ nhất thì sau bao lâu bể đầy nước?
Đáp án : D Phương pháp giải :
Gọi thời gian mà vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là \(x\) (giờ), \(\left( {x > 0} \right)\). Giải phương trình để tìm x. Lời giải chi tiết :
Gọi thời gian mà vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là \(x\) (giờ), \(\left( {x > 0} \right)\). Trong một giờ: - Vòi thứ nhất chảy được \(\dfrac{1}{x}\) (bể). - Vòi thứ hai chảy được \(\dfrac{1}{{x + 4}}\) (bể). - Vòi thứ ba chảy được \(\dfrac{1}{6}\) (bể). Khi mở cả ba vòi thì vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy vào bể còn vòi thứ ba cho nước ở bể chảy ra nên ta có phương trình: \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x + 4}} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{{24}} \) \(\dfrac{{2x + 4}}{{x\left( {x + 4} \right)}} = \dfrac{5}{{24}} \) Suy ra \(5{x^2} - 28x - 96 = 0\) Giải phương trình, ta được \(x_1 = 8\,\left( {TM} \right)\) và \(x_2 = - \dfrac{{12}}{5}\,\left( L \right)\) Vậy chỉ dùng vòi thứ nhất thì sau $8$ giờ bể đầy nước.
Câu 16 :
Một công ty vận tải dự định điều một số xe tải để vận chuyển $24$ tấn hàng. Thực tế khi đến nơi thì công ty bổ sung thên $2$ xe nữa nên mỗi xe chở ít đi $2$ tấn so với dự định. Hỏi số xe dự định được điều động là bao nhiêu? Biết số lượng hàng chở ở mỗi xe như nhau và mỗi xe chở một lượt.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình: + Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn + Biểu thị các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã biết. + Lập phương trình-giải phương trình. + Chọn kết quả và trả lời. Lời giải chi tiết :
Gọi số xe ban đầu là $x,\,x \in {\mathbb{N}^*}$ (xe) nên số hàng theo kế hoạch mỗi xe chở là $\dfrac{{24}}{x}$ (tấn). Số xe thực tế là $x + 2$ (xe) nên số hàng thực tế mỗi xe chở là $\dfrac{{24}}{{x + 2}}$ (tấn). Theo bài ra ta có phương trình: $\dfrac{{24}}{x} - \dfrac{{24}}{{x + 2}} = 2 $ $\dfrac{{12}}{x} - \dfrac{{12}}{{x + 2}} = 1 $ $12(x + 2) - 12x = x(x + 2)$ $ {x^2} + 2x - 24 = 0 $ $\left( {x - 4} \right)\left( {x + 6} \right) = 0$ $x = 4\,\left( {TM} \right)$ hoặc $x = - 6\,\left( L \right)$ Vậy số xe ban đầu là $4$ xe.
Câu 17 :
Một phòng họp có 360 ghế ngồi được xếp thành từng dãy và số ghế của từng dãy đều như nhau. Nếu số dãy tăng thêm 1 và số ghế của mỗi dãy tăng thêm 1 thì trong phòng có 400 ghế. Hỏi trong phòng họp có bao nhiêu dãy ghế (biết số dãy ghế ít hơn 20).
Đáp án : B Phương pháp giải :
Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình: + Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn + Biểu thị các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã biết. + Lập phương trình - giải phương trình. + Chọn kết quả và trả lời. Lời giải chi tiết :
Gọi số dãy ghế là x \((x \in N*)\) (dãy) Số ghế ở mỗi dãy là: \(\dfrac{{360}}{x}\) (ghế) Số dãy ghế lúc sau là: \(x + 1\) (dãy) Số ghế ở mỗi dãy lúc sau là: \(\dfrac{{360}}{x} + 1\) (ghế) Vì sau khi tăng số dãy tăng thêm 1 và số ghế của mỗi dãy tăng thêm 1 thì trong phòng có 400 ghế nên ta có phương trình: \(\begin{array}{l}(x + 1)\left( {\dfrac{{360}}{x} + 1} \right) = 400\\ (x + 1)\left( {\dfrac{{360 + x}}{x}} \right) = 400\\(x + 1)(360 + x) = 400x\\ 360x + {x^2} + 360 + x = 400x\\ {x^2} - 39x + 360 = 0\end{array}\) Ta có: \(\Delta = {( - 39)^2} - 4.1.360 = 81 > 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt: \({x_1} = \dfrac{{39 + \sqrt {81} }}{2} = 24\,\,\,\,(ktm)\) và \({x_2} = \dfrac{{39 - \sqrt {81} }}{2} = 15\,\,\,\,(tm)\) Vậy số dãy ghế là 15 (dãy).
Câu 18 :
Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 30 m, chiều rộng 20 m. Xung quanh về phía trong mảnh đất người ta để một lối đi có chiều rộng không đổi, phần còn lại là một hình chữ nhật được trồng hoa. Biết rằng diện tích trồng hoa bằng 84% diện tích mảnh đất. Tính chiều rộng của lối đi.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình: + Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn + Biểu thị các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã biết. + Lập phương trình - giải phương trình. + Chọn kết quả và trả lời. Lời giải chi tiết :
Diện tích của mảnh vườn là: \(30.20 = 600\;\;\left( {{m^2}} \right).\) Gọi chiều rộng của lối đi là \(x\;\left( {0 < x < 20;\;m} \right).\) Sau khi làm lối đi: Chiều rộng mảnh vườn còn lại: \(20 - 2x\;\;\left( m \right).\) Chiều dài mảnh vườn còn lại: \(30 - 2x\;\left( m \right).\) Vì diện tích trồng hoa bằng 84% diện tích mảnh đất nên ta có phương trình: \(\begin{array}{l}\;\;\;\;\left( {20 - 2x} \right)\left( {{\rm{30 }}-{\rm{ 2}}x} \right){\rm{ }} = {\rm{ 84\% }}{\rm{.600}}\\ 600-40x - 60x + 4{x^2} = 504\\ 4{x^2}-{\rm{ 100x }} + {\rm{ 96 }} = {\rm{ }}0\\ {x^2}-{\rm{ 25x }} + 24{\rm{ }} = {\rm{ }}0\end{array}\) Ta có: a + b + c = 1 – 25 + 24 = 0. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: \({x_1} = 1\,\,\,(tm)\) và \({x_2} = 24\;\,\,\,\left( {ktm} \right)\) Vậy chiều rộng lối đi là 1 m.
Câu 19 :
Một tấm bìa hình chữ nhật có chu vi 80 cm. Người ta cắt ra ở mỗi góc một hình vuông cạnh 3 cm rồi gấp lên thành một hình hộp chữ nhật không có nắp có diện tích là \(339\,cm^2.\) Tính kích thước ban đầu của tấm bìa.
Đáp án : D Phương pháp giải :
Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình: + Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn + Biểu thị các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã biết. + Lập phương trình - giải phương trình. + Chọn kết quả và trả lời. Chú ý: Diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật bằng tích chu vi đáy với chiều cao. Lời giải chi tiết :
Nửa chu vi của tấm bìa là: \(80:2 = 40\;\left( {cm} \right).\) Gọi chiều rộng của tấm bìa là: \(x\;\left( {0 < x < 20,\;cm} \right)\) chiều dài của tấm bìa là \(40 - x\;\left( {cm} \right).\) Cắt bỏ 4 góc của tấm bìa rồi gập lại thành dạng hình hộp khi đó: Chiều dài của hình hộp là: \(40 - x - 6 = 34 - x\;\;\left( {cm} \right).\) Chiều rộng của hình hộp là: \(x - 6\;\;\left( {cm} \right).\) Chiều cao của hình hộp là: \(3\;cm.\) Lúc này diện tích hình hộp chữ nhật bằng \(339\,m^2\) và bằng tổng diện tích xung quanh với diện tích 1 đáy của nó. Ta có phương trình: \(\begin{array}{l}{\rm{[}}(34 - x + x - 6).2].3 + (34 - x)(x - 6) = 339\\ 28.2.3 + 34x - 204 - {x^2} + 6x = 339\\ 168 + 40x - 204 - {x^2} = 339\\ {x^2} - 40x + 375 = 0\end{array}\) Ta có: \(\Delta ' = {( - 20)^2} - 1.375 = 25 > 0\) suy ra phương trình có 2 nghiệm: \({x_1} = 20 + \sqrt {25} \; = 25\;\;\left( {ktm} \right)\) và \({x_2} = \;20 - \sqrt {25} = 15\;\left( {tm} \right)\) Vậy tấm bìa ban đầu có kích thước chiều rộng là 15 cm và chiều dài là 40 – 15 = 25 (cm).
Câu 20 :
Lúc 7 giờ một ô tô đi từ A đến B. Lúc 7 giờ 30 phút một xe máy đi từ B đến A với vận tốc kém vận tốc của ô tô là 24km/h. Ô tô đến B được 20 phút thì xe máy mới đến A. Tính vận tốc mỗi xe, biết quãng đường AB dài 120 km.
Đáp án : D Phương pháp giải :
Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình: +) Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn +) Biểu thị các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã biết. +) Lập phương trình-giải phương trình. +) Chọn kết quả và trả lời. Lời giải chi tiết :
Gọi vận tốc của xe máy là \(x\;\;(km/h;x > 0)\) Vận tốc của ô tô là \(x + 24\;\;(km/h)\) Thời gian xe máy đi hết quãng đường là: \(\dfrac{{120}}{x}\;\;\left( h \right)\) Thời gian ô tô đi hết quãng đường là: \(\dfrac{{120}}{{x + 24}}\;\;\left( h \right)\) Đổi \(30\) phút \( = \dfrac{1}{2}\;\left( h \right),\;\;20\) phút \( = \dfrac{1}{3}\;\left( h \right).\) Theo đề bài ta có phương trình: \(\begin{array}{l}\dfrac{{120}}{{x + 24}} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{{120}}{x} - \dfrac{1}{2}\\ \dfrac{{120}}{x} - \dfrac{{120}}{{x + 24}} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{6}\\ 5{x^2} + 120x - 17280 = 0\\ {x^2} + 24x - 3456 = 0\end{array}\) Ta có: \(\Delta ' = {12^2} + 3456 = 3600\) suy ra \(\sqrt {\Delta '} = 60\) suy ra phương trình có 2 nghiệm \({x_1} = - 12 - 60 = - 72\) (loại) và \({x_2} = - 12 + 60 = 48\)(tmđk). Vậy vận tốc xe máy là 48km/h, vận tốc ô tô là \(48 + 24 = 72\)km/h.
|
