Trắc nghiệm Đề thi khảo sát chất lượng đầu năm - Đề số 4Đề bài
Câu 1 :
Phân tích đa thức \(3x\left( {x - 2} \right) - 4x + 8\) thành nhân tử, ta được:
Câu 2 :
Phương trình nào trong các phương trình cho dưới đây là phương trình bậc nhất một ẩn?
Câu 3 :
Phương trình \({x^2} - 4 = 0\) tương đương với phương trình nào?
Câu 4 :
Giá trị \(x = - 2\) là nghiệm của phương trình nào cho dưới đây?
Câu 5 :
Điều kiện xác định của phương trình \(\dfrac{{x + 1}}{{x - 3}} + \dfrac{{2x}}{{x - 1}} = 0\) là:
Câu 6 :
Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn?
Câu 7 :
Không tính cụ thể, bất đẳng thức nào sau đây là bất đẳng thức sai?
Câu 8 :
Giá trị \(x = - 3\) là nghiệm của bất phương trình:
Câu 9 :
Nếu \(a < b\) thì:
Câu 10 :
Chỉ ra cặp tam giác đồng dạng trong hình vẽ sau: 
Câu 11 :
Hình hộp chữ nhật có số cạnh là:
Câu 12 :
Trong hình vẽ sau đây với \(MN//BC\) thì số đo \(x\) bằng: 
Câu 13 :
Cho \(\Delta DEF\) đồng dạng với \(\Delta ABC\) theo tỉ số đồng dạng \(k = \dfrac{1}{2}\) thì \(\dfrac{{{S_{DEF}}}}{{{S_{ABC}}}}\) bằng:
Câu 14 :
Phân tích đa thức \({x^2} - x - 6\) thành nhân tử được kết quả là:
Câu 15 :
Nghiệm của phương trình \(3x + 2(x + 1) = 6x - 7\) là:
Câu 16 :
Phương trình \(\dfrac{5}{{x + 1}} + \dfrac{{2x}}{{(x + 1)(x - 4)}} = \dfrac{2}{{x - 4}}\) có tập nghiệm là:
Câu 17 :
Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình \(7x + 4 \ge 5x - 8\) trên trục số ta được:
Câu 18 :
Một người đi xe ô tô từ A đến B với vận tốc 60 km/h. Đến B người đó làm việc trong 1 giờ 30 phút rồi quay về A với vận tốc 45km/h. Biết thời gian tổng cộng hết 6 giờ 24 phút. Tính quãng đường AB.
Câu 19 :
Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH (\(H \in BC\)), đường phân giác BD của góc ABC cắt AH tại E (\(E \in AH\)) và cắt AC tại D (\(D \in AC\)).  Câu 19.1
Hệ thức nào dưới đây là đúng?
Câu 19.2
Biết \(AB = 12cm,AC = 16cm.\) Tính \(AD.\)
Câu 19.3
Chọn đáp án đúng nhất?
Câu 20 :
Cho 3 số thực \(x, y, z\) thỏa mãn \(2x + 2y + z = 4.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(A = 2xy + yz + zx.\;\;\)
Câu 21 :
Cho biểu thức \(P = \left( {\dfrac{x}{{x + 3}} - \dfrac{2}{{x - 3}} - \dfrac{{{x^2} - 1}}{{9 - x{}^2}}} \right):\left( {2 - \dfrac{{x + 5}}{{x + 3}}} \right)\). Câu 21.1
Rút gọn P ta được:
Câu 21.2
Tìm P biết |x| = 1.
Câu 21.3
Có bao nhiêu giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Phân tích đa thức \(3x\left( {x - 2} \right) - 4x + 8\) thành nhân tử, ta được:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng phương pháp nhóm hạng tử và đặt nhân tử chung để phân tích. Lời giải chi tiết :
Ta có: \(3x\left( {x - 2} \right) - 4x + 8\)\( = 3x\left( {x - 2} \right) - 4\left( {x - 2} \right) = \left( {3x - 4} \right)\left( {x - 2} \right)\).
Câu 2 :
Phương trình nào trong các phương trình cho dưới đây là phương trình bậc nhất một ẩn?
Đáp án : A Phương pháp giải :
Phương trình dạng \(ax + b = 0\) với \(a\) và \(b\) là hai số đã cho và \(a \ne 0\), được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn. Lời giải chi tiết :
Trong các phương trình đã cho, phương trình bậc nhất một ẩn là \(2x - 3 = 0\).
Câu 3 :
Phương trình \({x^2} - 4 = 0\) tương đương với phương trình nào?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Phân tích biểu thức ở vế phải thành tích các đa thức. Hai phương trình tương đương là hai phương trình có cùng tập nghiệm. Lời giải chi tiết :
Ta có: \({x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\). Vậy phương trình \({x^2} - 4 = 0\) tương đương với phương trình \((x - 2)(x + 2) = 0\).
Câu 4 :
Giá trị \(x = - 2\) là nghiệm của phương trình nào cho dưới đây?
Đáp án : B Phương pháp giải :
- Biến đổi phương trình về dạng phương trình bậc nhất một ẩn, giải phương trình bậc nhất một ẩn. \(ax + b = 0 \Leftrightarrow ax = - b \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - b}}{a}\;\left( {a \ne 0} \right)\) - Rút ra kết luận. Lời giải chi tiết :
Ta có: +) Đáp án A: \(\begin{array}{l}3x + 1 = - 3 - 3x\\ \Leftrightarrow 3x + 3x = - 3 - 1\\ \Leftrightarrow 6x = - 4\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 2}}{3}\end{array}\) +) Đáp án B: \(\begin{array}{l}3x + 5 = - 5 - 2x\\3x + 2x = - 5 - 5\\ \Leftrightarrow 5x = - 10\\ \Leftrightarrow x = - 2\end{array}\) +) Đáp án C: \(\begin{array}{l}2x + 3 = x - 1\\ \Leftrightarrow 2x - x = - 1 - 3\\ \Leftrightarrow x = - 4\end{array}\) +) Đáp án D: \(\begin{array}{l}x + 5 = 1 + 4x\\ \Leftrightarrow x - 4x = 1 - 5\\ \Leftrightarrow - 3x = - 4\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{4}{3}\end{array}\) Vậy giá trị \(x = - 2\) là nghiệm của phương trình \(3x + 5 = - 5 - 2x\).
Câu 5 :
Điều kiện xác định của phương trình \(\dfrac{{x + 1}}{{x - 3}} + \dfrac{{2x}}{{x - 1}} = 0\) là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Tìm điều kiện để mẫu số của các phân thức khác \(0\). Lời giải chi tiết :
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ne 0\\x - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 3\\x \ne 1\end{array} \right.\) Vậy điều kiện xác định của phương trình \(\dfrac{{x + 1}}{{x - 3}} + \dfrac{{2x}}{{x - 1}} = 0\) là \(x \ne 3\) và \(x \ne 1\).
Câu 6 :
Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn?
Đáp án : D Phương pháp giải :
Bất phương trình dạng \(ax + b < 0\) (hoặc \(ax + b > 0\), \(ax + b \le 0\), \(ax + b \ge 0\)) với \(a\) và \(b\) là hai số đã cho và \(a \ne 0\), được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn. Lời giải chi tiết :
Trong các bất phương đã cho, bất phương trình bậc nhất một ẩn là \(2x - 1 > 0\).
Câu 7 :
Không tính cụ thể, bất đẳng thức nào sau đây là bất đẳng thức sai?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Áp dụng các tính chất: - Khi cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. - Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với một số dương ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. - Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho. Lời giải chi tiết :
Ta có: +) \( - 2.3 = - 6\). Mà \( - 6 = - 6\). Vậy bất đẳng thức \( - 2.3 \ge - 6\) là đúng. +) Ta có: \(2 < 3\) nên \(2.\left( { - 3} \right) > 3.\left( { - 3} \right)\). Vậy bất đẳng thức \(2.( - 3) \le 3.( - 3)\) là sai. +) Ta có: \(2 > 1\) nên \(2 + ( - 5) > ( - 5) + 1\). Vậy bất đẳng thức \(2 + ( - 5) > ( - 5) + 1\) là đúng. + Ta có: \( - 3 > - 4\) nên \(2.( - 4) - 3 > 2.( - 4) - 4\). Vậy bất đẳng thức \(2.( - 4) - 3 > 2.( - 4) - 4\) là đúng.
Câu 8 :
Giá trị \(x = - 3\) là nghiệm của bất phương trình:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Áp dụng quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân với một số để giải các bất phương trình đã cho. Lời giải chi tiết :
Ta có: +) Đáp án A: \(\begin{array}{l}2x + 1 > 5\\ \Leftrightarrow 2x > 5 - 1\\ \Leftrightarrow 2x > 4\\ \Leftrightarrow x > 2\end{array}\) +) Đáp án B: \(\begin{array}{l} - 2x < 4x + 1\\ \Leftrightarrow - 2x - 4x < 1\\ \Leftrightarrow - 6x < 1\\ \Leftrightarrow x > \dfrac{{ - 1}}{6}\end{array}\) +) Đáp án C: \(\begin{array}{l}2 - x < 2 + 2x\\ \Leftrightarrow - x - 2x < 2 - 2\\ \Leftrightarrow - 3x < 0\\ \Leftrightarrow x > 0\end{array}\) +) Đáp án D: \(\begin{array}{l}7 - 2x \ge 10 - x\\ \Leftrightarrow - 2x + x \ge 10 - 7\\ \Leftrightarrow - x \ge 3\\ \Leftrightarrow x \le - 3\end{array}\) Vậy giá trị \(x = - 3\) là nghiệm của bất phương trình \(7 - 2x \ge 10 - x\)
Câu 9 :
Nếu \(a < b\) thì:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Áp dụng các tính chất:ác - Khi cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. - Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với một số dương ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. - Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho. Lời giải chi tiết :
+) Nếu \(a < b\) thì \(5a < 5b\) (Nhân cả hai vế của bất phương trình với \(5\)). +) Nếu \(a < b\) thì \( - a > - b\) (Nhân cả hai vế của bất phương trình với \( - 1\)). +) Nếu \(a < b\) thì \(a + a < a + b \Leftrightarrow 2a < a + b\) (Cộng cả hai vế của bất phương trình với \(a\)). +) Nếu \(a < b\) thì \(a + b < b + b \Leftrightarrow a + b < 2b\) (Cộng cả hai vế của bất phương trình với \(b\)). Vây trong các đáp án đã cho, đáp án đúng là \(2a < a + b\).
Câu 10 :
Chỉ ra cặp tam giác đồng dạng trong hình vẽ sau:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Quan sát hình vẽ và dấu hiệu hai tam giác vuông đồng dạng với nhau: Nếu tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau. Lời giải chi tiết :
Xét hai tam giác vuông \(\Delta ABC\) và \(\Delta DEF\) có: \(\dfrac{{AB}}{{DE}} = \dfrac{5}{{10}} = \dfrac{1}{2};\,\,\,\,\,\,\dfrac{{AC}}{{DF}}\,\, = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\) . Suy ra \(\dfrac{{AB}}{{DE}} = \,\dfrac{{AC}}{{DF}}\,\, = \dfrac{1}{2}\). Lại có \(\widehat A=\widehat D=90^0\) Do đó: \(\Delta ABC \backsim \Delta DEF\) (c-g-c)
Câu 11 :
Hình hộp chữ nhật có số cạnh là:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Dựa vào cấu trúc của hình hộp chữ nhật. Lời giải chi tiết :
Hình hộp chữ nhật có \(8\) đỉnh, \(6\) mặt và \(12\) cạnh. Vậy hình hộp chữ nhật có \(12\) cạnh.
Câu 12 :
Trong hình vẽ sau đây với \(MN//BC\) thì số đo \(x\) bằng:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Áp dụng tính định lý Ta-lét. Đường thẳng song song với một cạnh và cắt hai cạnh còn lại của tam giác thì định ra trên hai cạnh đó các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. Lời giải chi tiết :
Áp dụng tính định lý Ta-lét ta có: \(MN//BC\) nên \(\dfrac{{AM}}{{MB}} = \dfrac{{AN}}{{NC}} \Rightarrow NC = \dfrac{{MB.AN}}{{AM}} = \dfrac{{2.5}}{3} = \dfrac{{10}}{3}\). Vậy \(NC = \dfrac{{10}}{3}\).
Câu 13 :
Cho \(\Delta DEF\) đồng dạng với \(\Delta ABC\) theo tỉ số đồng dạng \(k = \dfrac{1}{2}\) thì \(\dfrac{{{S_{DEF}}}}{{{S_{ABC}}}}\) bằng:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Hai tam giác đồng dạng theo tỉ số k thì tỉ số diện tích của hai tam giác đó là \({k^2}.\) Lời giải chi tiết :
Do \(\Delta DEF \backsim \Delta ABC\) nên \(\dfrac{{{S_{DEF}}}}{{{S_{ABC}}}} = {\left( {\dfrac{{DE}}{{AB}}} \right)^2} = {k^2} = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{1}{4}\). Vậy \(\dfrac{{{S_{DEF}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{1}{4}\) .
Câu 14 :
Phân tích đa thức \({x^2} - x - 6\) thành nhân tử được kết quả là:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Áp dụng phương pháp tách hạng tử và đặt nhân tử chung. Lời giải chi tiết :
\({x^2} - x - 6 = {x^2} - 3x + 2x - 6 = \left( {{x^2} - 3x} \right) + \left( {2x - 6} \right) = x\left( {x - 3} \right) + 2\left( {x - 3} \right) = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right)\)
Câu 15 :
Nghiệm của phương trình \(3x + 2(x + 1) = 6x - 7\) là:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Biến đổi phương trình về dạng phương trình bậc nhất một ẩn, giải phương trình bậc nhất một ẩn. \(ax + b = 0 \Leftrightarrow ax = - b \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - b}}{a}\;\;\left( {a \ne 0} \right)\). Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}3x + 2(x + 1) = 6x - 7\\ \Leftrightarrow 3x + 2x + 2 = 6x - 7\\ \Leftrightarrow 2 + 7 = 6x - 3x - 2x\\ \Leftrightarrow x = 9\end{array}\). Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = {\rm{\{ 9\} }}{\rm{.}}\)
Câu 16 :
Phương trình \(\dfrac{5}{{x + 1}} + \dfrac{{2x}}{{(x + 1)(x - 4)}} = \dfrac{2}{{x - 4}}\) có tập nghiệm là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu: Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình. Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu. Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được. Bước 4: (Kết luận) Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho. Lời giải chi tiết :
ĐKXĐ: \(x \ne - 1;\,\,x \ne 4\) \(\dfrac{5}{{x + 1}} + \dfrac{{2x}}{{(x + 1)(x - 4)}} = \dfrac{2}{{x - 4}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{5(x - 4)}}{{(x + 1)(x - 4)}} + \dfrac{{2x}}{{(x + 1)(x - 4)}} = \dfrac{{2(x + 1)}}{{(x + 1)(x - 4)}}\)\( \Rightarrow 5(x - 4) + 2x = 2(x + 1)\\ \Leftrightarrow 5x - 20 + 2x = 2x + 2\)\( \Leftrightarrow 5x + 2x - 2x = 2 + 20\)\( \Leftrightarrow 5x = 22\)\(\Leftrightarrow x = \dfrac{{22}}{5}\,\,\,\left( {tm} \right).\) Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\dfrac{{22}}{5}} \right\}.\)
Câu 17 :
Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình \(7x + 4 \ge 5x - 8\) trên trục số ta được:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Biến đổi bất phương trình về dạng bất phương trình một ẩn và giải bất phương trình. Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}7x + 4 \ge 5x - 8\\ \Leftrightarrow 7x - 5x \ge - 8 - 4\\ \Leftrightarrow 2x \ge - 12\\ \Leftrightarrow x \ge - 6\end{array}\). Vậy tập hợp nghiệm của bất phương trình là \(S = {\rm{\{ }}x\,{\rm{| }}x \ge - 6{\rm{\} }}\). Biểu diễn tập hợp nghiệm trên trục số: 
Câu 18 :
Một người đi xe ô tô từ A đến B với vận tốc 60 km/h. Đến B người đó làm việc trong 1 giờ 30 phút rồi quay về A với vận tốc 45km/h. Biết thời gian tổng cộng hết 6 giờ 24 phút. Tính quãng đường AB.
Đáp án : C Phương pháp giải :
Bước 1. Lập phương trình: Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số; Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết; Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2. Giải phương trình. Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận. Lời giải chi tiết :
Gọi quãng đường AB dài \(x\,\left( {km} \right),\,\left( {x > 0} \right)\). Thời gian người đó đi từ A đến B là \(\dfrac{x}{{60}}\,\left( h \right)\). Thời gian người đó đi từ B đến A là \(\dfrac{x}{{45}}\,\,\left( h \right)\). Đổi: 6 giờ 24 phút = 6,4h; 1 giờ 30 phút = 1,5h Theo bài ta lập được phương trình sau: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{x}{{60}} + 1,5 + \dfrac{x}{{45}} = 6,4\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3x}}{{60.3}} + \dfrac{{1,5.180}}{{180}} + \dfrac{{4x}}{{45.4}} = \dfrac{{6,4.180}}{{180}}\\ \Leftrightarrow 3x + 270 + 4x = 1152\\ \Leftrightarrow 7x + 270 - 1152 = 0 \Leftrightarrow x = 126\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\). Vậy quãng đường AB dài 126km.
Câu 19 :
Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH (\(H \in BC\)), đường phân giác BD của góc ABC cắt AH tại E (\(E \in AH\)) và cắt AC tại D (\(D \in AC\)). Câu 19.1
Hệ thức nào dưới đây là đúng?
Đáp án : A Phương pháp giải :
Chứng minh cặp tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc. Suy ra hệ thức đúng về cạnh. Lời giải chi tiết :
Xét tam giác HBA và tam giác ABC ta có: \(\begin{array}{l}\widehat {AHB} = \widehat {CAB} = {90^0}\,\,\left( {gt} \right)\\\widehat B\,\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta HBA \backsim \Delta ABC\;(g - g)\\ \Rightarrow \dfrac{{BA}}{{BC}} = \dfrac{{BH}}{{BA}} \Leftrightarrow B{A^2} = BH.BC\,.\end{array}\). Câu 19.2
Biết \(AB = 12cm,AC = 16cm.\) Tính \(AD.\)
Đáp án : A Phương pháp giải :
Áp dụng định lý Pitago và tính chất đường phân giác của tam giác để tính độ dài AD. Chú ý: Đường phân giác của tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề góc đó. Lời giải chi tiết :
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABC ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {12^2} + {16^2} = 400 \Rightarrow BC = 20cm\) Ta có: BD là phân giác góc B của tam giác ABC. Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác ta có tỉ lệ thức sau: \(\begin{array}{l}\dfrac{{DC}}{{BC}} = \dfrac{{DA}}{{BA}} = \dfrac{{DC + DA}}{{BC + BA}} = \dfrac{{AC}}{{BC + BA}} = \dfrac{{16}}{{32}} = \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow \dfrac{{DA}}{{12}} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow DA = \dfrac{{12}}{2} = 6cm\end{array}\). Câu 19.3
Chọn đáp án đúng nhất?
Đáp án : D Phương pháp giải :
Chứng minh cặp tam giác đồng dạng \(\Delta E{\rm{A}}B \backsim \Delta DCB\), áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác và tính chất bắc cầu để tìm ra tỉ lệ thức cần chứng minh. Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\Delta HBA \backsim \Delta ABC\) (theo câu trước) \( \Rightarrow \widehat {BAH} = \widehat {BCA}\;\,hay\,\widehat {BAE} = \widehat {BCD}\) (hai góc tương ứng) Xét tam giác EAB và tam giác DCB ta có: \(\begin{array}{l}\widehat {ABE} = \widehat {CBD}\;(gt)\\\widehat {BAE} = \widehat {BCD}\\ \Rightarrow \Delta E{\rm{A}}B \backsim \Delta DCB\; (g - g)\\ \Rightarrow \dfrac{{BE}}{{B{\rm{D}}}} = \dfrac{{BA}}{{BC}}\;\;(1)\end{array}\) Ta lại có: \(\dfrac{{DA}}{{DC}} = \dfrac{{BA}}{{B{\rm{C}}}}\) (tính chất đường phân giác) (2) Từ (1) và (2) suy ra: \(\dfrac{{DA}}{{DC}} = \dfrac{{BE}}{{B{\rm{D}}}}\).
Câu 20 :
Cho 3 số thực \(x, y, z\) thỏa mãn \(2x + 2y + z = 4.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(A = 2xy + yz + zx.\;\;\)
Đáp án : D Phương pháp giải :
Biến đổi biểu thức A về dạng \(A{\rm{ }} = {\rm{ }}{X^2} + {\rm{ }}{Y^2} + {\rm{ }}{Z^2} + {\rm{ }}Q\) (X, Y, Z là các biểu thức chứa ẩn, Q là hằng số). Khi đó, ta luôn có \({X^2},{\rm{ }}{Y^2},{\rm{ }}{Z^2}\; \Rightarrow {A_{max}} = {\rm{ }}Q.\) Lời giải chi tiết :
Ta có: \(2x + 2y + z = 4 \Leftrightarrow z = 4 - 2x - 2y.\) \( \Rightarrow A = 2xy + yz + zx\)\( = 2xy + y\left( {4-2x-2y} \right) + x\left( {4-2x-2y} \right)\)\( = {\rm{ }}2xy + 4y-2xy-2{y^2} + 4x-2{x^2}-2xy\)\(= -2{x^2}-2xy + 4x-2{y^2} + 4y\)\( = - \left[ {\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) - \dfrac{8}{3}\left( {x + y} \right) + \dfrac{{16}}{9}} \right] - \left( {{x^2} - \dfrac{4}{3}x + \dfrac{4}{9}} \right) - \left( {{y^2} - \dfrac{4}{3}y + \dfrac{4}{9}} \right) + \dfrac{8}{3}\)\(= - {\left( {x + y - \dfrac{4}{3}} \right)^2} - {\left( {x - \dfrac{2}{3}} \right)^2} - {\left( {y - \dfrac{2}{3}} \right)^2}+ \dfrac{8}{3}\) Mà: \({\left( {x + y - \dfrac{4}{3}} \right)^2} \ge 0;\;{\left( {x - \dfrac{2}{3}} \right)^2} \ge 0;\;{\left( {y - \dfrac{2}{3}} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x,\;y\) \( \Rightarrow A = - {\left( {x + y - \dfrac{4}{3}} \right)^2} - {\left( {x - \dfrac{2}{3}} \right)^2} - {\left( {y - \dfrac{2}{3}} \right)^2} + \dfrac{8}{3} \le \dfrac{8}{3}\) với mọi \( x,\;y\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y - \dfrac{4}{3} = 0\\x - \dfrac{2}{3} = 0\\y - \dfrac{2}{3} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \dfrac{2}{3}.\) Vậy Amax = \(\dfrac{8}{3}\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = y = \dfrac{2}{3}\\z = \dfrac{4}{3}\end{array} \right.\).
Câu 21 :
Cho biểu thức \(P = \left( {\dfrac{x}{{x + 3}} - \dfrac{2}{{x - 3}} - \dfrac{{{x^2} - 1}}{{9 - x{}^2}}} \right):\left( {2 - \dfrac{{x + 5}}{{x + 3}}} \right)\). Câu 21.1
Rút gọn P ta được:
Đáp án : A Phương pháp giải :
+) Điều kiện để phân thức có nghĩa khi và chỉ khi mẫu thức khác 0. +) Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử để thu gọn phân thức đại số. Lời giải chi tiết :
Ta có: \(P = \left( {\dfrac{x}{{x + 3}} - \dfrac{2}{{x - 3}} - \dfrac{{{x^2} - 1}}{{9 - x{}^2}}} \right):\left( {2 - \dfrac{{x + 5}}{{x + 3}}} \right)\). ĐK: \(x \ne 3;x \ne - 3\); \(x\ne -1\). \(P = \left( {\dfrac{x}{{x + 3}} - \dfrac{2}{{x - 3}} - \dfrac{{{x^2} - 1}}{{9 - x{}^2}}} \right):\left( {2 - \dfrac{{x + 5}}{{x + 3}}} \right)\)\( = \left( {\dfrac{x}{{x + 3}} - \dfrac{2}{{x - 3}} + \dfrac{{{x^2} - 1}}{{(x - 3)(x + 3)}}} \right):\left( {\dfrac{{2x + 6 - x - 5}}{{x + 3}}} \right)\)\( = \left( {\dfrac{{x(x - 3) - 2(x + 3) + {x^2} - 1}}{{(x + 3)(x - 3)}}} \right):\dfrac{{x + 1}}{{x + 3}}\)\(= \dfrac{{2{x^2} - 5x - 7}}{{(x + 3)(x - 3)}}.\dfrac{{x + 3}}{{x + 1}}\)\( = \dfrac{{2{x^2} + 2x - 7x - 7}}{{(x + 3)(x - 3)}}.\dfrac{{x + 3}}{{x + 1}}\)\(= \dfrac{{(2x - 7)(x + 1)}}{{(x + 3)(x - 3)}}.\dfrac{{x + 3}}{{x + 1}}\)\(= \dfrac{{2x - 7}}{{x - 3}}\) Vậy \(P = \dfrac{{2x - 7}}{{x - 3}}\) với \(x \ne 3;x \ne - 3;x\ne -1.\) Câu 21.2
Tìm P biết |x| = 1.
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng kết quả câu trước: \(P = \dfrac{{2x - 7}}{{x - 3}}\) với \(x \ne 3;x \ne - 3;x\ne -1\) Sử dụng \(\left| x \right| = m\left( {m \ge 0} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\x = - m\end{array} \right.\) Thay giá trị của \(x\) vừa tìm được vào \(P\) để tính giá trị. Lời giải chi tiết :
Theo câu trước \(P = \dfrac{{2x - 7}}{{x - 3}}\) với \(x \ne 3;x \ne - 3;x\ne -1\) Ta có: \(|x| = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1\) Kết hợp điều kiện ta chỉ nhận \(x=1\) Với \(x = 1 \Rightarrow P = \dfrac{{2.1 - 7}}{{1 - 3}} = \dfrac{5}{2}.\) Vậy \(P = \dfrac{5}{2}\) Câu 21.3
Có bao nhiêu giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
Đáp án : D Phương pháp giải :
+) Sử dụng kết quả câu trước \(P = \dfrac{{2x - 7}}{{x - 3}}\) với \(x \ne 3;x \ne - 3;x\ne -1\) +) Biến đổi đưa \(P\) về dạng \(P = m + \dfrac{a}{{x - 3}}\,\,\,\left( {m;a \in \mathbb{Z}} \right)\) +) Điều kiện để biểu thức \(P\) nhận giá trị nguyên là \(\left( {x - 3} \right) \in Ư\left( a \right)\) +) Từ đó ta tìm ra \(x.\) Lời giải chi tiết :
Theo câu trước \(P = \dfrac{{2x - 7}}{{x - 3}}\) với \(x \ne 3;x \ne - 3;x\ne -1.\) Ta có: \(P = \dfrac{{2x - 7}}{{x - 3}} = \dfrac{{2(x - 3) - 1}}{{x - 3}} = 2 - \dfrac{1}{{x - 3}}\) \(P \in Z \Leftrightarrow 2 - \dfrac{1}{{x - 3}} \in \mathbb Z\)\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x - 3}} \in \mathbb Z\)\( \Leftrightarrow x - 3 \in Ư(1) = {\rm{\{ }} - 1;1\}\). Bảng giá trị:  Vậy \(x = 2\) hoặc \(x = 4\) thì P nhận giá trị nguyên.
|
