Trắc nghiệm Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông Toán 9Đề bài
Câu 1 :
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ (như hình vẽ). Hệ thức nào sau đây là đúng? 
Câu 2 :
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ (như hình vẽ). Hệ thức nào sau đây là sai? 
Câu 3 :
Tính $x,y$ trong hình vẽ sau: 
Câu 4 :
Tính $x$ trong hình vẽ sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) 
Câu 5 :
Tính $x,y$ trong hình vẽ sau: 
Câu 6 :
Tính $x,y$ trong hình vẽ sau: 
Câu 7 :
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AH \bot BC$( $H$ thuộc $BC$ ). Cho biết $AB:AC = 3:4$ và $BC = 15cm.$ Tính độ dài đoạn thẳng $BH$.
Câu 8 :
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH.$ Cho biết $AB:AC = 3:4$ và $AH = 6cm.$ Tính độ dài các đoạn thẳng $CH.$
Câu 9 :
Tính $x,y$ trong hình vẽ sau: 
Câu 10 :
Tính $x$ trong hình vẽ sau: 
Câu 11 :
Cho ABCD là hình thang vuông tại $A$ và $D.$Đường chéo $BD$ vuông góc với $BC.$ Biết $AD = 12cm,DC = 25cm$ . Tính độ dài $BC$, biết $BC < 20$
Câu 12 :
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Biết \(AB:AC = 3:4\) và \(AB + AC = 21cm\). Câu 12.1
Tính các cạnh của tam giác \(ABC\).
Câu 12.2
Tính độ dài các đoạn \(AH,BH,CH\).
Câu 13 :
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A,$ đường cao $AH.$ Gọi $D$ và $E$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $AB, AC.$(hình vẽ)  Câu 13.1
Tỉ số $\dfrac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}}$ bằng với tỉ số nào sau đây?
Câu 13.2
Tỉ số $\dfrac{{A{B^3}}}{{A{C^3}}}$ bằng với tỉ số nào sau đây?
Câu 14 :
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , đường cao $AH$ . Cho biết $BH = 4cm,CH = 9cm$. Gọi $D,E$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $H$ trên các cạnh $AB$ và $AC$. Các đường thẳng vuông góc với $DE$ tại $D$ và $E$ lần lượt cắt $BC$ tại $M,N$ . (hình vẽ)  Câu 14.1
Tính độ dài đoạn thẳng $DE$.
Câu 14.2
Kết luận nào sau đây là đúng?
Câu 14.3
Tính diện tích tứ giác $DENM$
Câu 15 :
Cho tam giác $CDE$ nhọn, đường cao $CH.$ Gọi $M,N$ theo thứ tự là hình chiếu của $H$ lên $CD,CE.$ (hình vẽ)  Câu 15.1
Tích $CD.CM$ bằng
Câu 15.2
Tam giác $CMN$ đồng dạng với tam giác nào dưới đây?
Câu 16 :
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có cạnh \(AB = 30cm\) và \(AC = 40cm\), đường cao \(AH\), trung tuyến \(AM\). Câu 16.1
Tính \(BH,\,\,HM,\,\,MC.\)
Câu 16.2
Tính \(AH.\)
Câu 17 :
Tính diện tích hình thang ABCD có đường cao bằng 12cm, hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau, BD = 15cm.
Câu 18 :
Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\), kẻ đường cao \(AH\) và \(CK\) . Biết \(AH = 7,5cm;\,\,\,CK = 12cm.\) Tính \(BC,AB\).
Câu 19 :
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Gọi \(M,N\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB,AC\). Biết \(HM = 15cm,HN = 20cm\). Tính \(HB,HC,AH\).
Câu 20 :
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có cạnh \(AB = 6cm\) và \(AC = 8cm\) . Các phân giác trong và ngoài của góc \(B\) cắt đường thẳng \(AC\) lần lượt tại \(M\) và \(N\). Tính các đoạn thẳng \(AM\) và \(AN\).
Câu 21 :
Một tam giác vuông có cạnh huyền bằng \(5\), còn đường cao tương ứng cạnh huyền là \(2.\) Hãy tính cạnh nhỏ nhất của tam giác vuông này.
Câu 22 :
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) các cạnh \(AB,\,\,AC\) tương ứng tỉ lệ với \(3\) và \(4.\) Biết đường cao \(AH = 18\,\,cm.\)
Câu 22.1
Tính chu vi \(\Delta ABC\).
Câu 22.2
Tính diện tích \(\Delta ABC\)
Câu 23 :
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 3cm,\,AC = 4cm,\,\) đường cao \(AH\) và đường trung tuyến \(AM\). Độ dài đoạn thẳng \(HM\) là
Câu 24 :
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) , đường cao \(AH\) . Biết \(AB = 10cm;\,AH = 6cm\). Tính độ dài các cạnh \(AC,BC\) của tam giác \(ABC\).
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ (như hình vẽ). Hệ thức nào sau đây là đúng?
Đáp án : B Lời giải chi tiết :
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Khi đó ta có hệ thức $H{A^2} = HB.HC$
Câu 2 :
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ (như hình vẽ). Hệ thức nào sau đây là sai?
Đáp án : D Lời giải chi tiết :
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Khi đó ta có các hệ thức $A{C^2} = CH.BC$; $A{B^2} = BH.BC$; $AB.AC = BC.AH$và $\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}$ Nhận thấy phương án D: $A{H^2} = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{A{B^2}.A{C^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}$ là sai.
Câu 3 :
Tính $x,y$ trong hình vẽ sau:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Tính $x$ theo hệ thức lượng $A{B^2} = BH.BC$ từ đó suy ra $y$. Lời giải chi tiết :
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có: $A{B^2} = BH.BC \Leftrightarrow BH = \dfrac{{A{B^2}}}{{BC}} = \dfrac{{144}}{{20}} = 7,2$$ \Rightarrow CH = BC - BH = 20 - 7,2 = 12,8$ Vậy $x = 7,2;y = 12,8$
Câu 4 :
Tính $x$ trong hình vẽ sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Đáp án : B Phương pháp giải :
Tính $x$ theo hệ thức lượng $\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}$ Lời giải chi tiết :
 Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông $ABC$ ta có: $\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}$ \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{A{B^2}.A{C^2}}} \)\(\Leftrightarrow A{H^2} = \dfrac{{A{B^2}.A{C^2}}}{{A{B^2} + A{C^2} }}\) $ \Rightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{12.13}}{{\sqrt {{{12}^2} + {{13}^2}} }} \approx 8,82$ Vậy $x \approx 8,82$.
Câu 5 :
Tính $x,y$ trong hình vẽ sau:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Bước 1: Tính $BC$ theo định lý Pytago Bước 2: Tính $x,y$ theo hệ thức lượng $A{B^2} = BH.BC;A{C^2} = CH.BC$ Lời giải chi tiết :
Theo định lý Pytago ta có $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \Leftrightarrow B{C^2} = 100 \Leftrightarrow BC = 10$ Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có: $A{B^2} = BH.BC \Rightarrow BH = \dfrac{{A{B^2}}}{{BC}} $ $= \dfrac{{{6^2}}}{10} = 3,6$ hay $x = 3,6$ $ \Rightarrow CH = BC - BH $$= 10 - 3,6 = 6,4.$ hay $y = 6,4$. Vậy $x = 3,6;y = 6,4.$
Câu 6 :
Tính $x,y$ trong hình vẽ sau:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Bước 1: Tính $BC$ theo định lý Pytago Bước 2: Tính $x,y$ theo hệ thức lượng $AH.BC = AB.AC$ Lời giải chi tiết :
 Theo định lý Pytago ta có $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \Leftrightarrow B{C^2} = 74 \Leftrightarrow BC = \sqrt {74} $ Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có: $AH.BC = AB.AC \Leftrightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{BC}} = \dfrac{{5.7}}{{\sqrt {74} }} = \dfrac{{35\sqrt {74} }}{{74}}$ Vậy $x = \dfrac{{35\sqrt {74} }}{{74}};y = \sqrt {74} $
Câu 7 :
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AH \bot BC$( $H$ thuộc $BC$ ). Cho biết $AB:AC = 3:4$ và $BC = 15cm.$ Tính độ dài đoạn thẳng $BH$.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Bước 1: Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm $AB,AC$. $\left( {\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a + c}}{{b + d}}} \right)$ Bước 2: Tính $BH$ theo hệ thức $A{B^2} = BH.BC$ Lời giải chi tiết :
 Ta có $AB:AC = 3:4$$ \Leftrightarrow \dfrac{{AB}}{3} = \dfrac{{AC}}{4} \Rightarrow \dfrac{{A{B^2}}}{9} = \dfrac{{A{C^2}}}{{16}} $$= \dfrac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{9+16}}= \dfrac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{25}}$ $=\dfrac{{B{C^2}}}{{25}}$$= \dfrac{{225}}{{25}} = 9$ (Vì theo định lý Pytago ta có $A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \Leftrightarrow A{B^2} + A{C^2} = 225$) Nên $\dfrac{{A{B^2}}}{9} = 9 \Rightarrow AB = 9$; $\dfrac{{A{C^2}}}{{16}} = 9 \Rightarrow AC = 12$ Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC$ ta có $A{B^2} = BH.BC \Rightarrow BH = \dfrac{{A{B^2}}}{{BC}} = \dfrac{{81}}{{15}} = 5,4$ Vậy $BH = 5,4$.
Câu 8 :
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH.$ Cho biết $AB:AC = 3:4$ và $AH = 6cm.$ Tính độ dài các đoạn thẳng $CH.$
Đáp án : A Phương pháp giải :
Bước 1: Tính $AB,AC$ dựa vào tỉ lệ cho trước và hệ thức $\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}$ Bước 2: Tính $CH$ theo định lý Pytago Lời giải chi tiết :
 Ta có $AB:AC = 3:4$ , đặt $AB = 3a;AC = 4a\,\left( {a > 0} \right)$ Theo hệ thức lượng $\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}$$ \Rightarrow \dfrac{1}{{36}} = \dfrac{1}{{9{a^2}}} + \dfrac{1}{{16{a^2}}} \Rightarrow \dfrac{1}{{36}} = \dfrac{{25}}{{144{a^2}}} \Rightarrow a = \dfrac{5}{2}$ (TM ) $ \Rightarrow AB = 7,5;AC = 10$ Theo định lý Pytago cho tam giác vuông $AHC$ ta có $CH = \sqrt {A{C^2} - A{H^2}} = \sqrt {100 - 36} = 8$ Vậy $CH = 8$.
Câu 9 :
Tính $x,y$ trong hình vẽ sau:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Bước 1: Tính $AH$ theo hệ thức $A{H^2} = BH.CH$ Bước 2: Tính $x;y$ theo định lý Pytago Lời giải chi tiết :
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có: $A{H^2} = BH.CH$$ \Rightarrow A{H^2} = 1.4 \Rightarrow AH = 2$ Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông $AHB;AHC$ ta có $AB = \sqrt {A{H^2} + H{B^2}} = \sqrt 5 ;AC = \sqrt {A{H^2} + H{C^2}} = 2\sqrt 5 $ Vậy $x = \sqrt 5 ;y = 2\sqrt 5 $.
Câu 10 :
Tính $x$ trong hình vẽ sau:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng hệ thức $\dfrac{1}{{M{D^2}}} = \dfrac{1}{{M{N^2}}} + \dfrac{1}{{M{P^2}}}$ Lời giải chi tiết :
 Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có: $\dfrac{1}{{M{D^2}}} = \dfrac{1}{{M{N^2}}} + \dfrac{1}{{M{P^2}}}$$ \Rightarrow \dfrac{1}{{36}} = \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{36}} = \dfrac{2}{{{x^2}}} \Rightarrow {x^2} = 72 \Leftrightarrow x = 6\sqrt 2 $ Vậy $x = 6\sqrt 2 $.
Câu 11 :
Cho ABCD là hình thang vuông tại $A$ và $D.$Đường chéo $BD$ vuông góc với $BC.$ Biết $AD = 12cm,DC = 25cm$ . Tính độ dài $BC$, biết $BC < 20$
Đáp án : A Phương pháp giải :
Bước 1: Kẻ thêm đoạn $BE \bot CD$ tại $E$ Bước 2: Sử dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao để tính $EC$ Bước 3: Áp dụng định lý Pytago để tính $BC$. Lời giải chi tiết :
 Kẻ $BE \bot CD$ tại $E$ Suy ra tứ giác $ABED$ là hình chữ nhật (vì $\widehat A = \widehat D = \widehat E = 90^\circ $) nên $BE = AD = 12\,\,cm$ Đặt $EC = x\,\left( {0 < x < 25} \right)$ thì $DE = 25 - x$ Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông $BCD$ ta có $B{E^2} = ED.EC \Leftrightarrow x\left( {25 - x} \right) = 144 $$\Leftrightarrow {x^2} - 25x + 144 = 0$ \( \Leftrightarrow {x^2} - 16x - 9x + 144 = 0 \)\(\Leftrightarrow x\left( {x - 16} \right) - 9\left( {x - 16} \right) = 0\)$\Leftrightarrow \left( {x - 16} \right)\left( {x - 9} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 16\\x = 9\end{array} \right.$(thỏa mãn) Với $EC = 16$, theo định lý Pytago ta có $BC = \sqrt {B{E^2} + E{C^2}} = \sqrt {{{12}^2} + {{16}^2}} = 20$ (loại) Với $EC = 9$, theo định lý Pytago ta có $BC = \sqrt {B{E^2} + E{C^2}} = \sqrt {{{12}^2} + {9^2}} = 15$ (nhận) Vậy $BC = 15\,cm$.
Câu 12 :
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Biết \(AB:AC = 3:4\) và \(AB + AC = 21cm\). Câu 12.1
Tính các cạnh của tam giác \(ABC\).
Đáp án : B Phương pháp giải :
Bước 1: Sử dụng tính chất tỉ lệ thức để tìm $AB,AC$. $\left( {\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a + c}}{{b + d}}} \right)$ Bước 2: Tính $BC$ theo định lý Pytago Lời giải chi tiết :
 Theo giả thiết: \(AB:AC = 3:4\), suy ra \(\dfrac{{AB}}{3} = \dfrac{{AC}}{4} = \dfrac{{AB + AC}}{{3 + 4}} = 3\). Do đó \(AB = 3.3 = 9\)\(\left( {cm} \right)\); \(AC = 3.4 = 12\left( {cm} \right)\). Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), theo định lý Py-ta-go ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \)\(= {9^2} + {12^2} = 225\), suy ra \(BC = 15cm\). Câu 12.2
Tính độ dài các đoạn \(AH,BH,CH\).
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng các hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông: \(A{B^2} = BH.BC\) và $AH.BC = AB.AC$ Lời giải chi tiết :
 Ta có $AB = 9;AC = 12;BC = 15$ $ \Rightarrow AH.BC = AB.AC \Rightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{BC}}$$ = \dfrac{{12.9}}{{15}} = 7,2$ $A{B^2} = BH.BC \Rightarrow BH $$= \dfrac{{A{B^2}}}{{BC}} $$= \dfrac{{81}}{{15}} = 5,4$ $ \Rightarrow CH = BC - BH = 15 - 5,4 = 9,6$ Vậy $AH = 7,2;BH = 5,4;CH = 9,6$.
Câu 13 :
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A,$ đường cao $AH.$ Gọi $D$ và $E$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $AB, AC.$(hình vẽ) Câu 13.1
Tỉ số $\dfrac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}}$ bằng với tỉ số nào sau đây?
Đáp án : B Lời giải chi tiết :
Xét tam giác vuông $ABC$ có $AH$ là đường cao nên $A{B^2} = BH.BC;A{C^2} = CH.BC$ Nên $\dfrac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \dfrac{{BH.BC}}{{CH.BC}} = \dfrac{{HB}}{{HC}}$ Câu 13.2
Tỉ số $\dfrac{{A{B^3}}}{{A{C^3}}}$ bằng với tỉ số nào sau đây?
Đáp án : A Lời giải chi tiết :
Tam giác vuông $AHB$ có $B{H^2} = BD.AB \Rightarrow BD = \dfrac{{B{H^2}}}{{AB}}$ Tam giác vuông $AHC$ có $H{C^2} = AC.EC \Rightarrow EC = \dfrac{{H{C^2}}}{{AC}}$ Từ đó $\dfrac{{BD}}{{EC}} = \dfrac{{H{B^2}}}{{AB}}:\dfrac{{H{C^2}}}{{AC}} = \dfrac{{H{B^2}}}{{H{C^2}}}.\dfrac{{AC}}{{AB}}$ mà theo câu trước thì $\dfrac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \dfrac{{HB}}{{HC}}$ nên $\dfrac{{BD}}{{EC}} = \dfrac{{A{B^4}}}{{A{C^4}}}.\dfrac{{AC}}{{AB}} \Leftrightarrow \dfrac{{BD}}{{EC}} = \dfrac{{A{B^3}}}{{A{C^3}}}$
Câu 14 :
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , đường cao $AH$ . Cho biết $BH = 4cm,CH = 9cm$. Gọi $D,E$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $H$ trên các cạnh $AB$ và $AC$. Các đường thẳng vuông góc với $DE$ tại $D$ và $E$ lần lượt cắt $BC$ tại $M,N$ . (hình vẽ) Câu 14.1
Tính độ dài đoạn thẳng $DE$.
Đáp án : D Phương pháp giải :
Bước 1: Chứng minh $DE = AH$ Bước 2: Sử dụng hệ thức $A{H^2} = BH.CH$ từ đó tính $AH$$ \Rightarrow DE$. Lời giải chi tiết :
Tứ giác $AEHD$ là hình chữ nhật vì $\widehat A = \widehat E = \widehat D = 90^\circ $ nên $DE = AH$ Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $A{H^2} = HB.HC$$ = 4.9 = 36 \Rightarrow AH = 6$ Nên $DE = 6\,cm$. Câu 14.2
Kết luận nào sau đây là đúng?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Chứng minh $M$ là trung điểm của $BH$, $N$ là trung điểm của $CH$ Lời giải chi tiết :
+) Ta có $\widehat {NEC} + \widehat {AED} = 90^\circ $ mà $\widehat {AED} = \widehat {HAE}$ (do $AEHD$ là hình chữ nhật) và $\widehat {HAE} = \widehat {ABC}$ (cùng phụ với $\widehat {ACB}$) nên $\widehat {NEC} + \widehat {ABC} = 90^\circ $ mà $\widehat {ACB} + \widehat {ABC} = 90^\circ $ nên $\widehat {ACB} = \widehat {NEC}$ hay $\Delta NEC$ cân tại $N$$ \Rightarrow EN = NC$.$\left( 1 \right)$ Từ $\left( 1 \right);\left( 2 \right)$ ta có $NH = NC$ Tương tự ta có $MH = MB$ nên $MN = MH + NH = \dfrac{1}{2}HB + \dfrac{1}{2}HC = \dfrac{1}{2}BC$. Câu 14.3
Tính diện tích tứ giác $DENM$
Đáp án : A Phương pháp giải :
Bước 1 : Chứng minh $DENM$ là hình thang vuông Bước 2: Sử dụng công thức tính diện tích hình thang . Lời giải chi tiết :
Vì $DM \bot DE;$$EN \bot DE \Rightarrow DM{\rm{//}}EN;$$\widehat D = \widehat E = 90^\circ $ nên $DENM$ là hình thang vuông Theo kết quả hai câu trước ta có: $DM = \dfrac{{BH}}{2} = 2;$$EN = \dfrac{{CH}}{2} = 4,5;DE = 6$ Nên ${S_{DENM}} = \dfrac{{\left( {DM + EN} \right).DE}}{2} $$= 19,5\,c{m^2}$
Câu 15 :
Cho tam giác $CDE$ nhọn, đường cao $CH.$ Gọi $M,N$ theo thứ tự là hình chiếu của $H$ lên $CD,CE.$ (hình vẽ) Câu 15.1
Tích $CD.CM$ bằng
Đáp án : B Lời giải chi tiết :
Tam giác $CHD$ vuông tại $H$, ta có $C{H^2} = CM.CD$ Tam giác $CHE$ vuông tại $H$, ta có $C{H^2} = CN.CE$ Nên $CM.CD = CN.CE$. Câu 15.2
Tam giác $CMN$ đồng dạng với tam giác nào dưới đây?
Đáp án : A Phương pháp giải :
Chứng minh tam giác đồng dạng bằng cách sử dụng trường hợp đồng dạng thứ hai cạnh-góc-cạnh Lời giải chi tiết :
Từ câu trước ta có $CM.CD = CN.CE $$\Leftrightarrow \dfrac{{CM}}{{CN}} = \dfrac{{CE}}{{CD}}$ Xét $\Delta CMN$ và $\Delta CED$ có $\widehat C$ chung và $\dfrac{{CM}}{{CN}} = \dfrac{{CE}}{{CD}}$ nên $\Delta CMN\backsim\Delta CED\,\,\left( {c - g - c} \right)$
Câu 16 :
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có cạnh \(AB = 30cm\) và \(AC = 40cm\), đường cao \(AH\), trung tuyến \(AM\). Câu 16.1
Tính \(BH,\,\,HM,\,\,MC.\)
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng định lý Pitago, hệ thức lượng trong tam giác vuông và tính chất đường trung tuyến của tam giác để tính các cạnh tương ứng. Lời giải chi tiết :
Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABH\) vuông tại \(A\) có: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) \( \Leftrightarrow B{C^2} = {30^2} + {40^2} = 2500 \Rightarrow BC = 50\,\,cm.\) Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có: \(A{B^2} = BH.BC\) \( \Leftrightarrow {30^2} = 50.BH \Leftrightarrow BH = 18\,\,cm.\) Vì \(AM\) là đường trung tuyến \( \Rightarrow M\) là trung điểm \(BC\)\( \Rightarrow BM = MC = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}.50 = 25\,\,cm.\) Ta có: \(MH = BM - BH = 25 - 18 = 7\,\,cm.\) Câu 16.2
Tính \(AH.\)
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng hệ thức lượng: \(AH.BC = AB.AC.\) Lời giải chi tiết :
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có: \(AH.BC = AB.AC\)\( \Leftrightarrow AH.50 = 30.40 \Leftrightarrow AH = 24\,\,cm.\)
Câu 17 :
Tính diện tích hình thang ABCD có đường cao bằng 12cm, hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau, BD = 15cm.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng định lý Pytago tính \(HD\) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính \(DE.\) Diện tích hình thang bằng tích của tổng hai đáy với chiều cao chia 2. Lời giải chi tiết :
 Qua B vẽ đường thẳng song song với \(AC\) , cắt \(DC\) ở \(E\) . Gọi \(BH\) là đường cao của hình thang. Ta có \(BE//AC,AC \bot BD\) nên \(BE \bot BD\) Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông \(BDH\) , ta có: \(B{H^2} + H{D^2} = B{D^2}\) \( \Rightarrow {12^2} + H{D^2} = {15^2} \Rightarrow H{D^2} = 81 \Rightarrow HD = 9cm\) Xét tam giác \(BDE\) vuông tại \(B\): \(B{D^2} = DE.DH \Rightarrow {15^2} = DE.9 \Rightarrow DE = 25(cm)\) Ta có: \(AB = CE\) nên \(AB + CD = CE + CD = DE = 25cm\) Do đó: \({S_{ABCD}} = 25.12:2 = 150(c{m^2})\)
Câu 18 :
Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\), kẻ đường cao \(AH\) và \(CK\) . Biết \(AH = 7,5cm;\,\,\,CK = 12cm.\) Tính \(BC,AB\).
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng định lý Pitago, hệ thức lượng trong tam giác vuông, công thức tính diện tích tam giác và tính chất tam giác cân. Lời giải chi tiết :
Đặt \(BH = x\,\,\,\,\left( {x > 0,\,\,\,cm} \right)\) Ta có: \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}CK.AB\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow AH.BC = CK.AB\\ \Leftrightarrow 7,5.2x = 12.AB \Leftrightarrow AB = \dfrac{5}{4}x\end{array}\) Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) ta có: \(A{B^2} = B{H^2} + A{H^2}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{25}}{{16}}{x^2} = {x^2} + 7,{5^2} \Leftrightarrow \dfrac{9}{{16}}{x^2} = 7,{5^2}\)\( \Leftrightarrow {x^2} = 100 \Rightarrow x = 10\)\( \Rightarrow AB = \dfrac{5}{4}.10 = 12,5\,\,cm\) Ta có: \(\Delta ABC\) cân tại \(A \Rightarrow AH\) là đường cao đồng thời là đường trung tuyến (định lý) \( \Rightarrow H\) là trung điểm của \(BC\)\( \Rightarrow BC = 2BH = 20cm\)
Câu 19 :
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Gọi \(M,N\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB,AC\). Biết \(HM = 15cm,HN = 20cm\). Tính \(HB,HC,AH\).
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng định lý Pi-ta-go, hệ thức lượng trong tam giác vuông tương ứng để tính độ dài các cạnh. Lời giải chi tiết :
Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) có: \(M\) là trung điểm \(AB\) \( \Rightarrow HM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AB\) \( \Rightarrow HM = \dfrac{1}{2}AB \Leftrightarrow AB = 2HM = 2.15 = 30\,\,\left( {cm} \right)\) Xét \(\Delta ACH\) vuông tại \(H\) có: \(N\) là trung điểm \(AC\) \( \Rightarrow HN\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AC\) \( \Rightarrow HN = \dfrac{1}{2}AC \Leftrightarrow AC = 2HN = 2.20 = 40\,\,\left( {cm} \right)\) Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABH\) vuông tại \(A\) có: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) \( \Leftrightarrow B{C^2} = {30^2} + {40^2} = 2500 \Rightarrow BC = 50\,\,\left( {cm} \right)\) Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có: \(A{B^2} = BH.BC\)\( \Leftrightarrow {30^2} = 50.BH \Leftrightarrow BH = 18\,\,\left( {cm} \right)\) Ta có: \(HC = BC - BH = 50 - 18 = 32\,\,\left( {cm} \right)\) Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có: \(AH.BC = AB.AC\)\( \Leftrightarrow AH.50 = 30.40 \Leftrightarrow AH = 24\,\,\left( {cm} \right)\)
Câu 20 :
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có cạnh \(AB = 6cm\) và \(AC = 8cm\) . Các phân giác trong và ngoài của góc \(B\) cắt đường thẳng \(AC\) lần lượt tại \(M\) và \(N\). Tính các đoạn thẳng \(AM\) và \(AN\).
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng định lý Pitago cho tam giác ABC vuông tại A để tính độ dài cạnh BC. Theo đề bài ta có AM, AN lần lượt là các đường phân giác trong và ngoài của góc B. Khi đó áp dụng tính chất tia phân giác của một góc ta có: \(\dfrac{{AM}}{{MC}} = \dfrac{{AN}}{{NC}} = \dfrac{{AB}}{{BC}}.\) Lời giải chi tiết :
Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABH\) vuông tại \(A\) có: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) \( \Leftrightarrow B{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100 \Rightarrow BC = 10\left( {cm} \right)\) Vì \(BM\) là tia phân giác trong của góc \(B \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MC}} = \dfrac{{AB}}{{BC}}\) (Tính chất đường phân giác) \( \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MC + MA}} = \dfrac{{AB}}{{BC + AB}} \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{AC}} = \dfrac{{AB}}{{BC + AB}}\)\( \Rightarrow \dfrac{{MA}}{8} = \dfrac{6}{{10 + 6}} \Rightarrow MA = 3cm\) Vì \(BM;BN\) là tia phân giác trong và ngoài của góc \(B \Rightarrow \angle NBM = {90^0}\) Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABM\) vuông tại \(B\) có đường cao \(BA\) ta có: \( \Rightarrow A{B^2} = AM.AN\)\( \Leftrightarrow {6^2} = 3.AN \Leftrightarrow AN = 12\left( {cm} \right)\)
Câu 21 :
Một tam giác vuông có cạnh huyền bằng \(5\), còn đường cao tương ứng cạnh huyền là \(2.\) Hãy tính cạnh nhỏ nhất của tam giác vuông này.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Giả sử tam giác đã cho là \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB < AC,\,\,\,BC = 5,\,\,\,AH = 2.\) Đặt \(BH = x\,\,\,\left( {0 < x < 2,5} \right).\) Khi đó áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và định lý Pitago để tính \(x\) và từ đó suy ra độ dài các cạnh của tam giác. Lời giải chi tiết :
Giả sử tam giác đã cho là \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB < AC,\,\,\,BC = 5,\,\,\,AH = 2.\) Đặt \(BH = x\,\,\,\left( {0 < x < 2,5} \right) \Rightarrow HC = 5 - x.\) Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có: \( \Rightarrow A{H^2} = BH.CH \Leftrightarrow {2^2} = x\left( {5 - x} \right)\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 4\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow A{B^2} = BC.BH = 5.1 = 5 \Leftrightarrow AB = \sqrt 5 .\) Vậy cạnh nhỏ nhất của tam giác đã cho có độ dài là \(\sqrt 5 .\)
Câu 22 :
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) các cạnh \(AB,\,\,AC\) tương ứng tỉ lệ với \(3\) và \(4.\) Biết đường cao \(AH = 18\,\,cm.\)
Câu 22.1
Tính chu vi \(\Delta ABC\).
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng các công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính độ dài các cạnh của \(\Delta ABC\) sau đó áp dụng các công thức tính chu vi tam giác giác để tính. Lời giải chi tiết :
Theo đề bài ta có: các cạnh \(AB,\,\,AC\) tương ứng tỉ lệ với \(3\) và \(4\) \( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow AB = \dfrac{3}{4}AC.\) Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có: \(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}} \Leftrightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }}\\ \Leftrightarrow 18 = \dfrac{{\dfrac{3}{4}AC.AC}}{{\sqrt {\dfrac{9}{{16}}A{C^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{3}{4}A{C^2}}}{{\dfrac{5}{4}AC}} = \dfrac{3}{5}AC\\ \Leftrightarrow AC = \dfrac{{18.5}}{3} = 30\,\,cm.\\ \Rightarrow AB = \dfrac{3}{4}AC = \dfrac{3}{4}.30 = 22,5\,\,cm.\end{array}\) Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có: \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {22,{5^2} + {{30}^2}} = 37,5\,\,cm.\) \( \Rightarrow \) Chu vi \(\Delta ABC:\,\,\,AB + BC + CA = 22,5 + 30 + 37,5 = 90\,\,cm.\) Câu 22.2
Tính diện tích \(\Delta ABC\)
Đáp án : B Phương pháp giải :
Áp dụng các công thức tính diện tích tam giác giác để tính. Lời giải chi tiết :
Diện tích \(\Delta ABC\) là: \(S = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}.18.37,5 = 337,5\,\,c{m^2}.\)
Câu 23 :
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 3cm,\,AC = 4cm,\,\) đường cao \(AH\) và đường trung tuyến \(AM\). Độ dài đoạn thẳng \(HM\) là
Đáp án : A Phương pháp giải :
+) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính \(BH\). +) Tính \(HM = BM - BH\). Lời giải chi tiết :
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ABC:\,\,BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\,\,\left( {cm} \right)\). Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ABC:\,\,A{B^2} = BC.BH \Rightarrow BH = \dfrac{{A{B^2}}}{{BC}} = \dfrac{9}{5}\,\,\left( {cm} \right)\). \(M\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow BM = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{5}{2}\,\,\left( {cm} \right)\). Vậy \( \Rightarrow HM = BM - BH = \dfrac{7}{{10}}\,\,\left( {cm} \right)\)
Câu 24 :
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) , đường cao \(AH\) . Biết \(AB = 10cm;\,AH = 6cm\). Tính độ dài các cạnh \(AC,BC\) của tam giác \(ABC\).
Đáp án : B Phương pháp giải :
+ Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông. Tính BH + Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác. Tính BC + Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác ABC. Tính AC. Lời giải chi tiết :
Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác \(ABH\) vuông tại H. Ta có: \(\begin{array}{l}A{H^2} + B{H^2} = A{B^2}\\ \Rightarrow B{H^2} = A{B^2} - A{H^2} = {10^2} - {6^2} = 100 - 36 = 64\\ \Rightarrow B{H^2} = {8^2}\\ \Rightarrow BH = 8\,\left( {cm} \right)\end{array}\) Trong tam giác vuông \(ABC\) vuông tại \(A\) có AH là đường cao \(\begin{array}{l} \Rightarrow A{B^2} = BH.BC\\ \Rightarrow BC = \dfrac{{A{B^2}}}{{BH}} = \dfrac{{{{10}^2}}}{8} = \dfrac{{100}}{8} = 12,5\,\left( {cm} \right)\end{array}\) Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông ABC ta có: \(\begin{array}{l}A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = 12,{5^2} - {10^2} = 56,25\\ \Rightarrow AC = 7,5\,\,\,\,\left( {cm} \right).\end{array}\) Vậy: \(AC = 7,5\,\left( {cm} \right);\,\,\,\,BC = 12,5\,\left( {cm} \right).\)
|
