Trắc nghiệm Bài 6,7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn Toán 9Đề bài
Câu 1 :
Cho các biểu thức $A,B$ mà $A.B \ge 0;B > 0$, khẳng định nào sau đây là đúng?
Câu 2 :
Cho các biểu thức với $A < 0$ và $B \ge 0$ , khẳng định nào sau đây là đúng?
Câu 3 :
Đưa thừa số $\sqrt {81{{\left( {2 - y} \right)}^4}} $ ra ngoài dấu căn ta được ?
Câu 4 :
Đưa thừa số $5y\sqrt y $ ($y \ge 0$) vào trong dấu căn ta được
Câu 5 :
Đưa thừa số $x\sqrt {\dfrac{{ - 35}}{x}} $ ($x < 0$) vào trong dấu căn ta được
Câu 6 :
So sánh hai số $5\sqrt 3 $ và $4\sqrt 5 $
Câu 7 :
Khử mẫu biểu thức sau $ xy\sqrt {\dfrac{4}{{x^2y^2}}} $ với $x > 0;y > 0$ ta được
Câu 8 :
Khử mẫu biểu thức sau $ - xy\sqrt {\dfrac{3}{{xy}}} $ với $x < 0;y < 0$ ta được
Câu 9 :
Sau khi rút gọn biểu thức $\dfrac{1}{{5 + 3\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{5 - 3\sqrt 2 }}$ ta được phân số tối giản $\dfrac{a}{b},\left( {a,b \in \mathbb{Z}} \right)$. Khi đó $2a$ có giá trị là:
Câu 10 :
Rút gọn biểu thức \(\sqrt {32x} + \sqrt {50x} - 2\sqrt {8x} + \sqrt {18x} \) với $x \ge 0$ ta được kết quả là
Câu 11 :
Rút gọn biểu thức \(5\sqrt a - 4b\sqrt {25{a^3}} + 5a\sqrt {16a{b^2}} - \sqrt {9a} \) với $a \ge 0;b \ge 0$ ta được kết quả là
Câu 12 :
Giá trị của biểu thức \(2\sqrt {\dfrac{{16a}}{3}} - 3\sqrt {\dfrac{a}{{27}}} - 6\sqrt {\dfrac{{4a}}{{75}}} \) là
Câu 13 :
Trục căn thức ở mẫu biểu thức \(\dfrac{{2a}}{{2 - \sqrt a }}\)với $a \ge 0;a \ne 4$ ta được
Câu 14 :
Trục căn thức ở mẫu biểu thức \(\dfrac{6}{{\sqrt x + \sqrt {2y} }}\)với $x \ge 0;y \ge 0$ ta được
Câu 15 :
Tính giá trị biểu thức\(\left( {\dfrac{{\sqrt {14} - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt {15} - \sqrt 5 }}{{1 - \sqrt 3 }}} \right):\dfrac{1}{{\sqrt 7 - \sqrt 5 }}.\)
Câu 16 :
Giá trị biểu thức $\dfrac{3}{2}\sqrt 6 + 2\sqrt {\dfrac{2}{3}} - 4\sqrt {\dfrac{3}{2}} $ là giá trị nào sau đây?
Câu 17 :
Cho ba biểu thức $P = x\sqrt y + y\sqrt x ;Q = x\sqrt x + y\sqrt y ;$ $R = x - y$. Biểu thức nào bằng với biểu thức $\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)$ với $x,y$ không âm.
Câu 18 :
Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {4{x^2} - 9} = 2\sqrt {2x + 3} \) là
Câu 19 :
Phương trình \(\dfrac{2}{3}\sqrt {9x - 9} - \dfrac{1}{4}\sqrt {16x - 16} + 27\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{81}}} = 4\) có mấy nghiệm?
Câu 20 :
Giá trị của biểu thức \(\sqrt {\dfrac{3}{{20}}} + \sqrt {\dfrac{1}{{60}}} - 2\sqrt {\dfrac{1}{{15}}} \) là
Câu 21 :
Rút gọn biểu thức \(\dfrac{a}{{\sqrt 5 + 1}} + \dfrac{a}{{\sqrt 5 - 2}} - \dfrac{a}{{3 - \sqrt 5 }} - \sqrt 5 a\) ta được
Câu 22 :
Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt {x + 2\sqrt {2x - 4} } + \sqrt {x - 2\sqrt {2x - 4} } \) với \(x \ge 2\) ta được:
Câu 23 :
Rút gọn biểu thức \(\left( {4\sqrt x - \sqrt {2x} } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt {2x} } \right)\) với \(x\) không âm ta được:
Câu 24 :
Biểu thức \(2\sqrt {40\sqrt {12} } - 2\sqrt {\sqrt {75} } - 3\sqrt {5\sqrt {48} } \) sau khi rút gọn là:
Câu 25 :
Rút gọn \(\dfrac{{\left( {x\sqrt y + y\sqrt x } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}}{{\sqrt {xy} }}\) với \(x > 0,\,y > 0.\)
Câu 26 :
Rút gọn biểu thức \(A = \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 4} }}\) với \(x \ne 2\) ta được:
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Cho các biểu thức $A,B$ mà $A.B \ge 0;B > 0$, khẳng định nào sau đây là đúng?
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng công thức trục căn thức ở mẫu. Lời giải chi tiết :
Sử dụng công thức trục căn thức ở mẫu. Với các biểu thức $A,B$ mà $A.B \ge 0;B \ne 0$, ta có $\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{{\left| B \right|}} = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {AB} }}{B}\,\,khi\,B > 0\\ - \dfrac{{\sqrt {AB} }}{B}\,\,khi\,B < 0\end{array} \right.$
Câu 2 :
Cho các biểu thức với $A < 0$ và $B \ge 0$ , khẳng định nào sau đây là đúng?
Đáp án : B Lời giải chi tiết :
Với hai biểu thức $A,B$ mà $B \ge 0$, ta có $\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,{\rm{khi}}\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,{\rm{khi}}\,A < 0\end{array} \right.$
Câu 3 :
Đưa thừa số $\sqrt {81{{\left( {2 - y} \right)}^4}} $ ra ngoài dấu căn ta được ?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn: Với hai biểu thức $A,B$ mà $B \ge 0$, ta có $\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,{\rm{khi}}\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,{\rm{khi}}\,A < 0\end{array} \right.$ Lời giải chi tiết :
Ta có $\sqrt {81{{\left( {2 - y} \right)}^4}} = \sqrt {81.{{\left[ {{{\left( {2 - y} \right)}^2}} \right]}^2}} = \left| {{{\left( {2 - y} \right)}^2}} \right|\sqrt {81} = 9{\left( {2 - y} \right)^2}$
Câu 4 :
Đưa thừa số $5y\sqrt y $ ($y \ge 0$) vào trong dấu căn ta được
Đáp án : B Phương pháp giải :
Đưa thừa số vào trong dấu căn +) $A\sqrt B = \sqrt {{A^2}B} $ với $A \ge 0$ và $B \ge 0$ +) $A\sqrt B = - \sqrt {{A^2}B} $ với $A < 0$ và $B \ge 0$ Lời giải chi tiết :
Ta có $5y\sqrt y $$ = \sqrt {{{\left( {5y} \right)}^2}y} = \sqrt {25{y^2}.y} = \sqrt {25{y^3}} $.
Câu 5 :
Đưa thừa số $x\sqrt {\dfrac{{ - 35}}{x}} $ ($x < 0$) vào trong dấu căn ta được
Đáp án : B Phương pháp giải :
Đưa thừa số vào trong dấu căn +) $A\sqrt B = \sqrt {{A^2}B} $ với $A \ge 0$ và $B \ge 0$ +) $A\sqrt B = - \sqrt {{A^2}B} $ với $A < 0$ và $B \ge 0$ Lời giải chi tiết :
Ta có $x\sqrt {\dfrac{{ - 35}}{x}} $$ = - \sqrt {{x^2}.\dfrac{{ - 35}}{x}} = - \sqrt { - 35x} $.
Câu 6 :
So sánh hai số $5\sqrt 3 $ và $4\sqrt 5 $
Đáp án : D Phương pháp giải :
Đưa thừa số vào trong dấu căn để so sánh hai số $\sqrt A < \sqrt B \Leftrightarrow 0 \le A < B$. Đưa thừa số vào trong dấu căn +) $A\sqrt B = \sqrt {{A^2}B} $ với $A \ge 0$ và $B \ge 0$ +) $A\sqrt B = - \sqrt {{A^2}B} $ với $A < 0$ và $B \ge 0$ Lời giải chi tiết :
Ta có $5\sqrt 3 = \sqrt {{5^2}.3} = \sqrt {25.3} = \sqrt {75} $; $4\sqrt 5 = \sqrt {{4^2}.5} = \sqrt {16.5} = \sqrt {80} $ Vì $75 < 80 $ nên $\sqrt {75} < \sqrt {80} $ hay $ 5\sqrt 3 < 4\sqrt 5 $
Câu 7 :
Khử mẫu biểu thức sau $ xy\sqrt {\dfrac{4}{{x^2y^2}}} $ với $x > 0;y > 0$ ta được
Đáp án : D Phương pháp giải :
Khử mẫu biểu thức chứa căn theo công thức Với các biểu thức $A,B$ mà $A \ge 0;B\ne 0$, ta có \(\sqrt {\dfrac{A}{{{B^2}}}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\left| B \right|}}\) Lời giải chi tiết :
Vì $x > 0;y > 0$ nên $xy > 0$. Từ đó ta có $ xy\sqrt {\dfrac{4}{{x^2y^2}}} $$ = xy.\dfrac{{\sqrt {4} }}{\sqrt{x^2y^2}} = xy.\dfrac{2}{xy}= 2 $.
Câu 8 :
Khử mẫu biểu thức sau $ - xy\sqrt {\dfrac{3}{{xy}}} $ với $x < 0;y < 0$ ta được
Đáp án : D Phương pháp giải :
Khử mẫu biểu thức chứa căn theo công thức Với các biểu thức $A,B$ mà $A.B \ge 0;B \ne 0$, ta có $\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{{\left| B \right|}} = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {AB} }}{B}\,\,khi\,B > 0\\ - \dfrac{{\sqrt {AB} \,}}{B}\,\,khi\,\,B < 0\end{array} \right.$ Lời giải chi tiết :
Vì $x < 0;y < 0$ nên $xy > 0$. Từ đó ta có $ - xy\sqrt {\dfrac{3}{{xy}}} $$ = - xy.\dfrac{{\sqrt {3xy} }}{{xy}} = - \sqrt {3xy} $.
Câu 9 :
Sau khi rút gọn biểu thức $\dfrac{1}{{5 + 3\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{5 - 3\sqrt 2 }}$ ta được phân số tối giản $\dfrac{a}{b},\left( {a,b \in \mathbb{Z}} \right)$. Khi đó $2a$ có giá trị là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Trục căn thức ở mẫu theo công thức Với các biểu thức $A,B,C$ mà $A \ge 0,A \ne {B^2}$, ta có $\dfrac{C}{{\sqrt A + B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A - B} \right)}}{{A - {B^2}}};\dfrac{C}{{\sqrt A - B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A + B} \right)}}{{A - {B^2}}}$ Lời giải chi tiết :
Ta có $\dfrac{1}{{5 + 3\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{5 - 3\sqrt 2 }} \\= \dfrac{{5 - 3\sqrt 2 }}{{\left( {5 + 3\sqrt 2 } \right)\left( {5 - 3\sqrt 2 } \right)}} + \dfrac{{5 + 3\sqrt 2 }}{{\left( {5 + 3\sqrt 2 } \right)\left( {5 - 3\sqrt 2 } \right)}}\\ =\dfrac{{5 - 3\sqrt 2+5 + 3\sqrt 2 }}{{\left( {5 + 3\sqrt 2 } \right)\left( {5 - 3\sqrt 2 } \right)}} \\= \dfrac{{10}}{{{5^2} - {{\left( {3\sqrt 2 } \right)}^2}}} = \dfrac{{10}}{{25 - 18}} = \dfrac{{10}}{7}$ Suy ra $a = 10;b = 7 \Rightarrow 2a = 2.10 = 20$.
Câu 10 :
Rút gọn biểu thức \(\sqrt {32x} + \sqrt {50x} - 2\sqrt {8x} + \sqrt {18x} \) với $x \ge 0$ ta được kết quả là
Đáp án : A Phương pháp giải :
+ Đưa thừa số ra ngoài dấu căn để xuất hiện nhân tử chung từ đó thực hiện phép tính Công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn: Với hai biểu thức $A,B$ mà $B \ge 0$, ta có $\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,{\rm{khi}}\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,{\rm{khi}}\,A < 0\end{array} \right.$ Lời giải chi tiết :
Ta có \(\sqrt {32x} + \sqrt {50x} - 2\sqrt {8x} + \sqrt {18x} \)$ = \sqrt {16.2x} + \sqrt {25.2x} - 2\sqrt {4.2x} + \sqrt {9.2x} = \sqrt {{4^2}.2x} + \sqrt {{5^2}.2x} - 2\sqrt {{2^2}.2x} + \sqrt {{3^2}.2x} $ $ = 4\sqrt {2x} + 5\sqrt {2x} - 4\sqrt {2x} + 3\sqrt {2x} = \sqrt {2x} \left( {4 + 5 - 4 + 3} \right) = 8\sqrt {2x} $
Câu 11 :
Rút gọn biểu thức \(5\sqrt a - 4b\sqrt {25{a^3}} + 5a\sqrt {16a{b^2}} - \sqrt {9a} \) với $a \ge 0;b \ge 0$ ta được kết quả là
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng công thức đưa thừa số vào trong dấu căn và công thức khai phương một tích để xuất hiện nhân tử chung từ đó thực hiện phép tính. Đưa thừa số vào trong dấu căn +) $A\sqrt B = \sqrt {{A^2}B} $ với $A \ge 0$ và $B \ge 0$ +) $A\sqrt B = - \sqrt {{A^2}B} $ với $A < 0$ và $B \ge 0$ Công thức khai phương một tích $\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B \,\,\left( {A \ge 0;B \ge 0} \right)$ Lời giải chi tiết :
Ta có \(5\sqrt a - 4b\sqrt {25{a^3}} + 5a\sqrt {16a{b^2}} - \sqrt {9a} \)$ = 5\sqrt a - 4\sqrt {25{a^3}{b^2}} + 5\sqrt {16a{b^2}.{a^2}} - \sqrt 9 .\sqrt a $ $ = 5\sqrt a - 4\sqrt {25} .\sqrt {{a^3}{b^2}} + 5\sqrt {16} .\sqrt {{a^3}{b^2}} - 3\sqrt a $$ = \left( {5\sqrt a - 3\sqrt a } \right) - \left( {4.5\sqrt {{a^3}{b^2}} - 5.4\sqrt {{a^3}{b^2}} } \right)$$ = 2\sqrt a $
Câu 12 :
Giá trị của biểu thức \(2\sqrt {\dfrac{{16a}}{3}} - 3\sqrt {\dfrac{a}{{27}}} - 6\sqrt {\dfrac{{4a}}{{75}}} \) là
Đáp án : A Phương pháp giải :
- Sử dụng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn để xuất hiện nhân tử chung từ đó thực hiện phép tính Công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn: Với hai biểu thức $A,B$ mà $B \ge 0$, ta có $\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,{\rm{khi}}\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,{\rm{khi}}\,A < 0\end{array} \right.$ - Sử dụng công thức trục căn thức $\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{B},\,\left( {A \ge 0;\,B > 0} \right)$. Lời giải chi tiết :
Ta có \(2\sqrt {\dfrac{{16a}}{3}} - 3\sqrt {\dfrac{a}{{27}}} - 6\sqrt {\dfrac{{4a}}{{75}}} = 2\sqrt {{4^2}.\dfrac{a}{3}} - 3\sqrt {\dfrac{1}{9}.\dfrac{a}{3}} - 6\sqrt {\dfrac{4}{{25}}.\dfrac{a}{3}} \)$ = 2.4\sqrt {\dfrac{a}{3}} - 3.\dfrac{1}{3}\sqrt {\dfrac{a}{3}} - 6.\dfrac{2}{5}.\sqrt {\dfrac{a}{3}} $ $ = \sqrt {\dfrac{a}{3}} .\left( {8 - 1 - \dfrac{{12}}{5}} \right) = \dfrac{{23}}{5}\sqrt {\dfrac{a}{3}} = \dfrac{{23}}{5}.\dfrac{{\sqrt {3a} }}{3} = \dfrac{{23\sqrt {3a} }}{{15}}$
Câu 13 :
Trục căn thức ở mẫu biểu thức \(\dfrac{{2a}}{{2 - \sqrt a }}\)với $a \ge 0;a \ne 4$ ta được
Đáp án : C Phương pháp giải :
Trục căn thức ở mẫu theo công thức Với các biểu thức $A,B,C$ mà $A \ge 0,A \ne {B^2}$, ta có $\dfrac{C}{{\sqrt A + B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A - B} \right)}}{{A - {B^2}}};\dfrac{C}{{\sqrt A - B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A + B} \right)}}{{A - {B^2}}}$ Lời giải chi tiết :
Ta có $\dfrac{{2a}}{{2 - \sqrt a }} = \dfrac{{2a\left( {2 + \sqrt a } \right)}}{{\left( {2 - \sqrt a } \right)\left( {2 + \sqrt a } \right)}} = \dfrac{{2a\sqrt a + 4a}}{{4 - a}}.$
Câu 14 :
Trục căn thức ở mẫu biểu thức \(\dfrac{6}{{\sqrt x + \sqrt {2y} }}\)với $x \ge 0;y \ge 0$ ta được
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng công thức Với các biểu thức $A,B,C$ mà $A \ge 0,B \ge 0,A \ne B$ ta có $\dfrac{C}{{\sqrt A - \sqrt B }} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A + \sqrt B } \right)}}{{A - B}}$; $\dfrac{C}{{\sqrt A + \sqrt B }} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A - \sqrt B } \right)}}{{A - B}}$ Lời giải chi tiết :
Ta có \(\dfrac{6}{{\sqrt x + \sqrt {2y} }}\)$ = \dfrac{{6\left( {\sqrt x - \sqrt {2y} } \right)}}{{\left( {\sqrt x + \sqrt {2y} } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt {2y} } \right)}} = \dfrac{{6\left( {\sqrt x - \sqrt {2y} } \right)}}{{x - 2y}}$
Câu 15 :
Tính giá trị biểu thức\(\left( {\dfrac{{\sqrt {14} - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt {15} - \sqrt 5 }}{{1 - \sqrt 3 }}} \right):\dfrac{1}{{\sqrt 7 - \sqrt 5 }}.\)
Đáp án : B Phương pháp giải :
- Sử dụng công thức khai phương một tích để xuất hiện nhân tử chung và rút gọn $\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B \,\,\left( {A,B \ge 0} \right)$ - Hoặc trục căn thức ở mẫu rồi rút gọn Với các biểu thức $A,B,C$ mà $A \ge 0,A \ne {B^2}$, ta có $\dfrac{C}{{\sqrt A + B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A - B} \right)}}{{A - {B^2}}};\dfrac{C}{{\sqrt A - B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A + B} \right)}}{{A - {B^2}}}$ Lời giải chi tiết :
Ta có \(\left( {\dfrac{{\sqrt {14} - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt {15} - \sqrt 5 }}{{1 - \sqrt 3 }}} \right):\dfrac{1}{{\sqrt 7 - \sqrt 5 }}\)$ = \left( {\dfrac{{\sqrt 2 .\sqrt 7 - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt 5 .\sqrt 3 - \sqrt 5 }}{{1 - \sqrt 3 }}} \right):\dfrac{1}{{\sqrt 7 - \sqrt 5 }}$ $ = \left( {\dfrac{{\sqrt 7 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{{1 - \sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt 5 \left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{{1 - \sqrt 3 }}} \right).\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)$ $ = \left( { - \sqrt 7 - \sqrt 5 } \right).\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)$ $= - \left( {\sqrt 7 + \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)$ $= - \left( {7 - 5} \right) = - 2$
Câu 16 :
Giá trị biểu thức $\dfrac{3}{2}\sqrt 6 + 2\sqrt {\dfrac{2}{3}} - 4\sqrt {\dfrac{3}{2}} $ là giá trị nào sau đây?
Đáp án : A Phương pháp giải :
-Sử dụng công thức trục căn thức $\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{B},\,\left( {A \ge 0;\,B > 0} \right)$. Lời giải chi tiết :
Ta có $\dfrac{3}{2}\sqrt 6 + 2\sqrt {\dfrac{2}{3}} - 4\sqrt {\dfrac{3}{2}} = \dfrac{3}{2}\sqrt 6 + 2.\dfrac{{\sqrt 6 }}{3} - 4\dfrac{{\sqrt 6 }}{2}$$ = \sqrt 6 \left( {\dfrac{3}{2} + \dfrac{2}{3} - \dfrac{4}{2}} \right) = \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}$.
Câu 17 :
Cho ba biểu thức $P = x\sqrt y + y\sqrt x ;Q = x\sqrt x + y\sqrt y ;$ $R = x - y$. Biểu thức nào bằng với biểu thức $\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)$ với $x,y$ không âm.
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng công thức đưa thừa số vào trong dấu căn và phân tích đa thức thành nhân tử. Đưa thừa số vào trong dấu căn +) $A\sqrt B = \sqrt {{A^2}B} $ với $A \ge 0$ và $B \ge 0$ +) $A\sqrt B = - \sqrt {{A^2}B} $ với $A < 0$ và $B \ge 0$ Lời giải chi tiết :
$P = x\sqrt y + y\sqrt x $ $= {\left( {\sqrt x } \right)^2}\sqrt y + {\left( {\sqrt y } \right)^2}\sqrt x $ $= \sqrt {xy} \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)$ $Q = x\sqrt x + y\sqrt y $ $= {\left( {\sqrt x } \right)^3} + {\left( {\sqrt y } \right)^3}$ $= \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {x - \sqrt {xy} + y} \right)$ $R = x - y = {\left( {\sqrt x } \right)^2} - {\left( {\sqrt y } \right)^2} $ $= \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)$ Vậy $R = \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)$.
Câu 18 :
Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {4{x^2} - 9} = 2\sqrt {2x + 3} \) là
Đáp án : D Phương pháp giải :
Tìm điều kiện xác định -Sử dụng công thức đưa thừa số vào trong dấu căn để đưa phương trình về dạng cơ bản $\sqrt A = \sqrt B$ khi $\left\{ \begin{array}{l}B \ge 0\\A = B\end{array} \right.$ Đưa thừa số vào trong dấu căn +) $A\sqrt B = \sqrt {{A^2}B} $ với $A \ge 0$ và $B \ge 0$ +) $A\sqrt B = - \sqrt {{A^2}B} $ với $A < 0$ và $B \ge 0$ Lời giải chi tiết :
Ta có \(\sqrt {4{x^2} - 9} = 2\sqrt {2x + 3} \) $ \sqrt {4{x^2} - 9} = \sqrt {4\left( {2x + 3} \right)} $ $ \sqrt {4{x^2} - 9} = \sqrt {8x + 12} $ Điều kiện: $8x + 12 \ge 0 $ hay $ \ge - \dfrac{3}{2}$. Với điều kiện trên ta có $\sqrt {4{x^2} - 9} = \sqrt {8x + 12} $ $ 4{x^2} - 9 = 8x + 12 $ $ 4{x^2} - 8x - 21 = 0 $ $4{x^2} + 6x - 14x - 21 = 0$ $2x\left( {2x + 3} \right) - 7\left( {2x + 3} \right) = 0 \\ \left( {2x - 7} \right)\left( {2x + 3} \right) = 0 \\ \left[ \begin{array}{l}2x - 7 = 0\\2x + 3 = 0\end{array} \right. \\ \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{7}{2}\\x = - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\left( {TM} \right)$ Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x = \dfrac{7}{2};x = - \dfrac{3}{2}$.
Câu 19 :
Phương trình \(\dfrac{2}{3}\sqrt {9x - 9} - \dfrac{1}{4}\sqrt {16x - 16} + 27\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{81}}} = 4\) có mấy nghiệm?
Đáp án : A Phương pháp giải :
-Tìm điều kiện xác định -Sử dụng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn để đưa phương trình về dạng cơ bản $\sqrt A = m\,\,\left( {m \ge 0} \right) $ hay $ A = {m^2}$ Với hai biểu thức $A,B$ mà $B \ge 0$, ta có $\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,{\rm{khi}}\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,{\rm{khi}}\,A < 0\end{array} \right.$ Lời giải chi tiết :
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}9x - 9 \ge 0\\16x - 16 \ge 0\\\dfrac{{x - 1}}{{81}} \ge 0\end{array} \right. $ $\left\{ \begin{array}{l}9\left( {x - 1} \right) \ge 0\\16\left( {x - 1} \right) \ge 0\\x - 1 \ge 0\end{array} \right. \\ x - 1 \ge 0 \\ x \ge 1$ Ta có \(\dfrac{2}{3}\sqrt {9x - 9} - \dfrac{1}{4}\sqrt {16x - 16} + 27\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{81}}} = 4\)$ \\\dfrac{2}{3}\sqrt {9\left( {x - 1} \right)} - \dfrac{1}{4}\sqrt {16\left( {x - 1} \right)} + 27\sqrt {\dfrac{1}{{81}}.\left( {x - 1} \right)} = 4$ \( \dfrac{2}{3}.3\sqrt {x - 1} - \dfrac{1}{4}.4\sqrt {x - 1} + 27.\dfrac{1}{9}.\sqrt {x - 1} = 4\) \( 4\sqrt {x - 1} = 4 \) \( \sqrt {x - 1} = 1\) \( x - 1 = 1 \) \( x = 2\left( {TM} \right)\) Vậy phương trình có một nghiệm \(x = 2\).
Câu 20 :
Giá trị của biểu thức \(\sqrt {\dfrac{3}{{20}}} + \sqrt {\dfrac{1}{{60}}} - 2\sqrt {\dfrac{1}{{15}}} \) là
Đáp án : B Phương pháp giải :
-Khử mẫu của biểu thức lấy căn theo công thức $\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{B},\,\left( {A \ge 0;\,B > 0} \right)$ -Quy đồng mẫu số các phân số. Lời giải chi tiết :
Ta có \(\sqrt {\dfrac{3}{{20}}} + \sqrt {\dfrac{1}{{60}}} - 2\sqrt {\dfrac{1}{{15}}} \)\( = \dfrac{{\sqrt {3.20} }}{{20}} + \dfrac{{\sqrt {60} }}{{60}} - \dfrac{{2\sqrt {15} }}{{15}}\)\( = \dfrac{{3\sqrt {60} + \sqrt {60} - 4.\sqrt {4.15} }}{{60}} = \dfrac{{4\sqrt {60} - 4\sqrt {60} }}{{60}} = 0.\)
Câu 21 :
Rút gọn biểu thức \(\dfrac{a}{{\sqrt 5 + 1}} + \dfrac{a}{{\sqrt 5 - 2}} - \dfrac{a}{{3 - \sqrt 5 }} - \sqrt 5 a\) ta được
Đáp án : B Phương pháp giải :
-Trục căn thức ở mẫu theo công thức Với các biểu thức $A,B,C$ mà $A \ge 0,A \ne {B^2}$, ta có $\dfrac{C}{{\sqrt A + B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A - B} \right)}}{{A - {B^2}}};\dfrac{C}{{\sqrt A - B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A + B} \right)}}{{A - {B^2}}}$ -Quy đồng mẫu số các phân số rồi rút gọn Lời giải chi tiết :
Ta có \(\dfrac{a}{{\sqrt 5 + 1}} + \dfrac{a}{{\sqrt 5 - 2}} - \dfrac{a}{{3 - \sqrt 5 }} - \sqrt 5 a\)$ = \dfrac{{a\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}} + \dfrac{{a\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}} - \dfrac{{a\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}}{{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}} - \sqrt 5 a$ $ = \dfrac{{a\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}}{4} + \dfrac{{a\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}}{1} - \dfrac{{a\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}}{4} - \sqrt 5 a$$ = \dfrac{{a\left( {\sqrt 5 - 1} \right) + 4a\left( {2 + \sqrt 5 } \right) - a\left( {3 + \sqrt 5 } \right) - 4\sqrt 5 a}}{4}$ $ = \dfrac{{a\left( {\sqrt 5 - 1 + 8+ 4\sqrt 5 - 3 - \sqrt 5 - 4\sqrt 5 } \right)}}{4} = \dfrac{{4a}}{4} = a$
Câu 22 :
Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt {x + 2\sqrt {2x - 4} } + \sqrt {x - 2\sqrt {2x - 4} } \) với \(x \ge 2\) ta được:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Với \(B \ge 0\), ta có \(\sqrt {{A^2}.B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,\,khi\,\,\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\) Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để xử lý bài toán: \({\left( {A \pm B} \right)^2} = {A^2} \pm 2AB + {B^2}\) Lời giải chi tiết :
Điều kiện: \(x \ge 2\) \(A = \sqrt {x + 2\sqrt {2x - 4} } + \sqrt {x - 2\sqrt {2x - 4} } \)\( = \sqrt {x + 2\sqrt {2\left( {x - 2} \right)} } + \sqrt {x - 2\sqrt {2\left( {x - 2} \right)} } \)\( = \sqrt {x - 2 + 2\sqrt 2 .\sqrt {x - 2} + 2} + \sqrt {x - 2 - 2\sqrt 2 .\sqrt {x - 2} + 2} \)\( = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 2} + \sqrt 2 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 2} - \sqrt 2 } \right)}^2}} \)\( = \left| {\sqrt {x - 2} + \sqrt 2 } \right| + \left| {\sqrt {x - 2} - \sqrt 2 } \right| \)\( = \sqrt {x - 2} + \sqrt 2 + \left| {\sqrt {x - 2} - \sqrt 2 } \right|\) +) Với \(\sqrt {x - 2} - \sqrt 2 \ge 0 \) \(\sqrt {x - 2} \ge \sqrt 2 \) \( \\ x - 2 \ge 2 \\ x \ge 4\) Ta có: \(\left| {\sqrt {x - 2} - \sqrt 2 } \right| = \sqrt {x - 2} - \sqrt 2 \) \( \Rightarrow A = \sqrt {x - 2} + \sqrt 2 + \sqrt {x - 2} - \sqrt 2 \) \( = 2\sqrt {x - 2} .\) +) Với \(\sqrt {x - 2} - \sqrt 2 < 0 \) \( \sqrt {x - 2} < \sqrt 2 \) \( \\ x - 2 < 2 \\ x < 4\) Ta có: \(\left| {\sqrt {x - 2} - \sqrt 2 } \right| = \sqrt 2 - \sqrt {x - 2} \) \( \Rightarrow A = \sqrt {x - 2} + \sqrt 2 + \sqrt 2 - \sqrt {x - 2} = 2\sqrt 2 .\) Vậy \(A = \left\{ \begin{array}{l}2\sqrt {x - 2} \,\,\,khi\,\,\,x \ge 4\\2\sqrt 2 \,\,\,khi\,\,\,2 \le x < 4\end{array} \right..\)
Câu 23 :
Rút gọn biểu thức \(\left( {4\sqrt x - \sqrt {2x} } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt {2x} } \right)\) với \(x\) không âm ta được:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Với \(B \ge 0\), ta có \(\sqrt {{A^2}.B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,\,khi\,\,\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\) Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\,\,\,\left( {4\sqrt x - \sqrt {2x} } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt {2x} } \right)\\ = 4\sqrt x .\sqrt x - 4\sqrt {2x.x} - \sqrt {2x.x} + \sqrt {2x} .\sqrt {2x} \\ = 4x - 4\sqrt {2{x^2}} - \sqrt {2{x^2}} + 2x\\ = 6x - 5\sqrt {2{x^2}} \\ = 6x - 5\sqrt 2 \left| x \right|\\ = 6x - 5\sqrt 2 x\,\,\,\left( {do\,\,\,x \ge 0} \right)\\ = \left( {6 - 5\sqrt 2 } \right)x.\end{array}\)
Câu 24 :
Biểu thức \(2\sqrt {40\sqrt {12} } - 2\sqrt {\sqrt {75} } - 3\sqrt {5\sqrt {48} } \) sau khi rút gọn là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Với \(B \ge 0\), ta có \(\sqrt {{A^2}.B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,\,khi\,\,\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\) Sử dụng công thức hằng đẳng thức : \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\) Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,2\sqrt {40\sqrt {12} } - 2\sqrt {\sqrt {75} } - 3\sqrt {5\sqrt {48} } \\ = 2\sqrt {40\sqrt {4.3} } - 2\sqrt {\sqrt {25.3} } - 3\sqrt {5\sqrt {16.3} } \\ = 2\sqrt {40.2\sqrt 3 } - 2\sqrt {5\sqrt 3 } - 3\sqrt {5.4\sqrt 3 } \\ = 2\sqrt {80} .\sqrt {\sqrt 3 } - 2\sqrt 5 .\sqrt {\sqrt 3 } - 3\sqrt {20} .\sqrt {\sqrt 3 } \\ = 2\sqrt {16.5} \sqrt {\sqrt 3 } - 2\sqrt 5 .\sqrt {\sqrt 3 } - 3\sqrt {4.5} .\sqrt {\sqrt 3 } \\ = 2.4\sqrt 5 .\sqrt {\sqrt 3 } - 2\sqrt 5 .\sqrt {\sqrt 3 } - 3.2\sqrt 5 .\sqrt {\sqrt 3 } \\ = \left( {2.4 - 2 - 3.2} \right)\sqrt 5 .\sqrt {\sqrt 3 } \\ = 0.\sqrt 5 .\sqrt {\sqrt 3 } = 0.\end{array}\)
Câu 25 :
Rút gọn \(\dfrac{{\left( {x\sqrt y + y\sqrt x } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}}{{\sqrt {xy} }}\) với \(x > 0,\,y > 0.\)
Đáp án : A Phương pháp giải :
Với \(B \ge 0\), ta có \(\sqrt {{A^2}.B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,\,khi\,\,\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\) Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ: \({A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)\) Phân tích biểu thức ở trong căn thành nhân tử. Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\dfrac{{\left( {x\sqrt y + y\sqrt x } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}}{{\sqrt {xy} }}\\ = \dfrac{{\left( {\sqrt x .\sqrt x .\sqrt y + \sqrt y .\sqrt y .\sqrt x } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}}{{\sqrt {xy} }}\\ = \dfrac{{\sqrt {xy} \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}}{{\sqrt {xy} }}\\ = \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\\ = {\left( {\sqrt x } \right)^2} - {\left( {\sqrt y } \right)^2}\\ = x - y.\end{array}\)
Câu 26 :
Rút gọn biểu thức \(A = \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 4} }}\) với \(x \ne 2\) ta được:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Với \(B \ge 0\), ta có \(\sqrt {{A^2}.B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,\,khi\,\,\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\) Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ: \({A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)\) Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để xử lý bài toán: \({(A \pm B)^2} = {A^2} \pm 2AB + {B^2}\) Lời giải chi tiết :
Điều kiện : \( x \ne 2\) Ta có: \(A = \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 4} }} = \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} }} = \dfrac{{x - 2}}{{\left| {x - 2} \right|}}\) + Nếu \(x < 2\) thì \(\left| {x - 2} \right| = - \left( {x - 2} \right),\) ta có: \(A = \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 4} }}\)\( = \dfrac{{x - 2}}{{ - \left( {x - 2} \right)}} = - 1\) + Nếu \(x > 2\) thì \(\left| {x - 2} \right| = x - 2,\) ta có: \(A = \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 4} }} = \dfrac{{x - 2}}{{x - 2}} = 1\)
|
