Trắc nghiệm Đề thi khảo sát chất lượng đầu năm - Đề số 3Đề bài
Câu 1 :
Phân tích đa thức \({x^3}y - 2{x^2}y + xy\) ta được:
Câu 2 :
Nếu \(( - 2).a < ( - 2).b\) thì:
Câu 3 :
Giá trị của phân thức \(\dfrac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}\) bằng \(0\) khi \(x\) bằng:
Câu 4 :
Hình lập phương có thể tích \(512c{m^3}\) thì có diện tích toàn phần là:
Câu 5 :
Cho hình vẽ sau: biết \(EF//BC\). Tìm đáp án sai trong các đáp án sau: 
Câu 6 :
Tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{2}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{2 - x}} = \dfrac{{3x - 11}}{{(x + 1)(x - 2)}}\) là:
Câu 7 :
Số nghiệm của phương trình \(\left| {2x + 3} \right| - 5 = 0\) là:
Câu 8 :
Tập nghiệm của bất phương trình \(\dfrac{{2x - 3}}{2} > \dfrac{{8x - 11}}{6}\) là:
Câu 9 :
Một đội sản xuất theo kế hoạch mỗi ngày phải trồng 300 cây xanh. Khi thực hiện, mỗi ngày đội đã trồng thêm được 100 cây xanh, do đó đội đã hoàn thành trước kế hoạch 1 ngày và còn trồng thêm được 600 cây xanh. Hỏi theo kế hoạch, đội sản xuất đó phải trồng bao nhiêu cây xanh?
Câu 10 :
Với giá trị nào của x thì giá trị của phân thức \(\dfrac{{3{\rm{x}} + 1}}{{x + 2}}\) nhỏ hơn \(2.\)
Câu 11 :
Một ô tô đi từ một trường THCS lúc \(7\) giờ sáng, dự kiến đến khu du lịch Khoang Xanh – Suối Tiên lúc \(8\) giờ \(24\) phút. Nhưng do trời mưa nên mỗi giờ ô tô đã đi chậm hơn dự kiến là \(9km\) nên đến \(8\) giờ \(45\) phút xe mới tới Khoang Xanh – Suối Tiên. Tính độ dài quãng đường từ trường THCS đến khu du lịch Khoang Xanh – Suối Tiên.
Câu 12 :
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(AB = 10cm,\,\,BC = 12cm\), đường cao \(AH\). Gọi \(E,F\) lần lượt là hình chiếu của \(H\) trên \(AB\) và \(AC\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(AH\) và \(EF\).  Câu 12.1
Chọn câu đúng.
Câu 12.2
Tính \(HE\).
Câu 12.3
Tính diện tích tam giác \(AEF\) (làm tròn đến hàng đơn vị).
Câu 13 :
Cho ba số dương \(a,\,b,\,c\) có tổng bằng \(1\). Giá trị nhỏ nhất của \(P = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}\) là:
Câu 14 :
Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;\;y} \right)\) thỏa mãn phương trình: \({x^3} + 3x = {x^2}y + 2y + 5.\)
Câu 15 :
Cho hai biểu thức: \(A = \dfrac{x}{{x - 3}},\)\(B = \dfrac{{2x}}{{x + 5}} - \dfrac{{{x^2} - 15x}}{{{x^2} - 25}}\,\,\,\,\left( {x \ne 0;x \ne 3;x \ne \pm 5} \right)\) Câu 15.1
Tính giá trị của biểu thức \(A\) tại \(x\) thỏa mãn \(\left| {x - 2} \right| = 1\).
Câu 15.2
Rút gọn biểu thức \(Q = B:A\) ta được:
Câu 15.3
Cho \(Q = B:A.\) Tìm \(x\) để \(Q = 3.\)
Câu 15.4
Tìm \(x\) để \(Q =B:A> 1\).
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Phân tích đa thức \({x^3}y - 2{x^2}y + xy\) ta được:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung và hẳng đẳng thức \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\). Lời giải chi tiết :
Ta có: \({x^3}y - 2{x^2}y + xy\)\( = xy\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) = xy{\left( {x - 1} \right)^2}.\)
Câu 2 :
Nếu \(( - 2).a < ( - 2).b\) thì:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Áp dụng tính chất: Khi nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho. Lời giải chi tiết :
Ta có: \(( - 2).a < ( - 2).b\) suy ra \(a > b\) (nhân cả hai vế với \(\dfrac{{ - 1}}{2}\)).
Câu 3 :
Giá trị của phân thức \(\dfrac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}\) bằng \(0\) khi \(x\) bằng:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu: Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình. Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu. Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được. Bước 4: (Kết luận) Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho. Lời giải chi tiết :
Từ yêu cầu đề bài suy ra: \(\dfrac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 2x + 1}} = 0\) ĐKXĐ: \(x \ne - 1\) \(\begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 2x + 1}} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}} = 0 \Leftrightarrow x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\,\,(tmdk)\end{array}\) Vậy giá trị của phân thức \(\dfrac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}\) bằng \(0\) khi \(x = 1\).
Câu 4 :
Hình lập phương có thể tích \(512c{m^3}\) thì có diện tích toàn phần là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Tìm số \(a\) sao cho \(a.a.a = 512\), khi đó \(a\) là độ dài cạnh hình lập phương đó. Tính diện tích toàn phần ta lấy cạnh nhân với cạnh rồi nhân với \(6\). Lời giải chi tiết :
Ta có: \(8. 8. 8 = 512\) nên độ dài hình lập phương đã cho có cạnh là \(8cm\). Diện tích toàn phần của hình lập phương đã cho là: \(8 \times 8 \times 6 = 384\,\,(c{m^2})\). Vậy hình lập phương có thể tích \(512c{m^3}\) thì có diện tích toàn phần là \(384c{m^2}\).
Câu 5 :
Cho hình vẽ sau: biết \(EF//BC\). Tìm đáp án sai trong các đáp án sau:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Áp dụng định lí Ta-lét: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. Lời giải chi tiết :
Ta có: \(EF//BC\) nên ta có các tỉ lệ thức đúng là: \(\dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{AF}}{{AC}};\,\,\dfrac{{AE}}{{EB}} = \dfrac{{AF}}{{FC}};\,\,\dfrac{{BC}}{{EF}} = \dfrac{{AC}}{{AF}};\,\,\dfrac{{EF}}{{BC}} = \dfrac{{AE}}{{AB}}\) Đáp án sai là: \(\dfrac{{EF}}{{BC}} = \dfrac{{AE}}{{EB}}\)
Câu 6 :
Tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{2}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{2 - x}} = \dfrac{{3x - 11}}{{(x + 1)(x - 2)}}\) là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu: Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình. Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu. Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được. Bước 4: (Kết luận) Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho. Lời giải chi tiết :
TXĐ: \(x \ne - 1;x \ne 2\) Ta có: \(\dfrac{2}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{2 - x}} = \dfrac{{3x - 11}}{{(x + 1)(x - 2)}} \)\(\Leftrightarrow \dfrac{2}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x - 2}} = \dfrac{{3x - 11}}{{(x + 1)(x - 2)}}\) \( \Rightarrow 2(x - 2) - (x + 1) = 3x - 11\) \( \Leftrightarrow 2x - 4 - x - 1 = 3x - 11\) \( \Leftrightarrow x = 3\left( {tm} \right)\) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 3.\)
Câu 7 :
Số nghiệm của phương trình \(\left| {2x + 3} \right| - 5 = 0\) là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Biến đổi đưa phương trình đã cho về dạng \(\left| A \right| = m\,\,\left( {m \ge 0} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = m\\A = - m\end{array} \right.\) Lời giải chi tiết :
\(\left| {2x + 3} \right| - 5 = 0 \Leftrightarrow \left| {2x + 3} \right| = 5\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 3 = 5\\2x + 3 = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 4\end{array} \right.\) Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {1; - 4} \right\}\). Hay phương trình đã cho có 2 nghiệm.
Câu 8 :
Tập nghiệm của bất phương trình \(\dfrac{{2x - 3}}{2} > \dfrac{{8x - 11}}{6}\) là:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Biến đổi bất phương trình về dạng bất phương trình một ẩn và giải bất phương trình. Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\dfrac{{2x - 3}}{2} > \dfrac{{8x - 11}}{6} \)\(\Leftrightarrow 3(2x - 3) > 8x - 11\) \( \Leftrightarrow 6x - 9 > 8x - 11\) \( \Leftrightarrow 2x < 2 \Leftrightarrow x < 1\) Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left\{ {x\left| {x < 1} \right.} \right\}\).
Câu 9 :
Một đội sản xuất theo kế hoạch mỗi ngày phải trồng 300 cây xanh. Khi thực hiện, mỗi ngày đội đã trồng thêm được 100 cây xanh, do đó đội đã hoàn thành trước kế hoạch 1 ngày và còn trồng thêm được 600 cây xanh. Hỏi theo kế hoạch, đội sản xuất đó phải trồng bao nhiêu cây xanh?
Đáp án : D Phương pháp giải :
Bước 1. Lập phương trình: Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số; Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết; Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2. Giải phương trình. Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận. Lời giải chi tiết :
Gọi số ngày đội phải trồng xong số cây xanh theo kế hoạch là \(x\) (cây) (ĐK: \(x > 1;x \in \mathbb{N}\)) \(\Rightarrow \)số cây đội phải trồng theo kế hoạch là: \(300x\) (cây) Thực tế: Số ngày hoàn thành công việc là \(x - 1\) (ngày) Số cây trồng được là: \(400\left( {x{\rm{ }} - 1} \right)\) (cây) Vì thực tế số cây trồng được nhiều hơn kế hoạch là \(600\) cây nên ta có phương trình: \(\begin{array}{l}400\left( {x - 1} \right)-300x = 600\\ \Leftrightarrow 400x - 400 - 300x = 600\\ \Leftrightarrow 100x = 1000\\ \Leftrightarrow x = 10\,\left( {tm} \right)\end{array}\) Vậy số cây tổ phải trồng theo kế hoạch là: \(10.300 = 3000\) (cây).
Câu 10 :
Với giá trị nào của x thì giá trị của phân thức \(\dfrac{{3{\rm{x}} + 1}}{{x + 2}}\) nhỏ hơn \(2.\)
Đáp án : D Phương pháp giải :
Biến đổi phân thức đã cho, từ đó tìm ra giá trị của x thỏa mãn điều kiện bài toán. Lưu ý: \(\dfrac{{A\left( x \right)}}{{B\left( x \right)}} < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}A\left( x \right) < 0\\B\left( x \right) > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}A\left( x \right) > 0\\B\left( x \right) < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\) Lời giải chi tiết :
\(\dfrac{{3{\rm{x}} + 1}}{{x + 2}} < 2\) ĐKXĐ: \(x \ne - 2\) \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\dfrac{{3{\rm{x}} + 1}}{{x + 2}} < 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3{\rm{x}} + 1}}{{x + 2}} < \dfrac{{2.\left( {x + 2} \right)}}{{x + 2}} \\\Leftrightarrow \dfrac{{3{\rm{x}} + 1}}{{x + 2}} - \dfrac{{2{\rm{x}} + 4}}{{x + 2}} < 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3{\rm{x}} + 1 - 2{\rm{x}} - 4}}{{x + 2}} < 0 \Leftrightarrow \dfrac{{x - 3}}{{x + 2}} < 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 3 < 0\\x + 2 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 3 > 0\\x + 2 < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x < 3\\x > - 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x > 3\\x < - 2\end{array} \right.(KTM)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow - 2 < x < 3\end{array}\) Kết hợp ĐKXĐ thì \( - 2 < x < 3\) thỏa mãn. Vậy để \(\dfrac{{3{\rm{x}} + 1}}{{x + 2}} < 2\) thì \( - 2 < x < 3.\)
Câu 11 :
Một ô tô đi từ một trường THCS lúc \(7\) giờ sáng, dự kiến đến khu du lịch Khoang Xanh – Suối Tiên lúc \(8\) giờ \(24\) phút. Nhưng do trời mưa nên mỗi giờ ô tô đã đi chậm hơn dự kiến là \(9km\) nên đến \(8\) giờ \(45\) phút xe mới tới Khoang Xanh – Suối Tiên. Tính độ dài quãng đường từ trường THCS đến khu du lịch Khoang Xanh – Suối Tiên.
Đáp án : C Phương pháp giải :
Bước 1. Lập phương trình: Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số; Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết; Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2. Giải phương trình. Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận. Lời giải chi tiết :
Gọi vận tốc dự kiến ô tô sẽ đi là \(x\,\,(km/h);\,\left( {x > 9} \right)\). \( \Rightarrow \) Vận tốc thực tế của ô tô là \(x - 9\,\,(km/h)\). Theo dự kiến, ô tô đi từ trường THCS đến khu du lịch Khoang Xanh – Suối Tiên hết thời gian là: \(8\) giờ \(24\) phút \( - \,\,\,7\) giờ \( = 1\) giờ \(24\) phút \( = 1\dfrac{2}{5}\) giờ \( = \dfrac{7}{5}\) giờ. Thực tế ô tô đi từ trường THCS đến khu du lịch Khoang Xanh – Suối Tiên hết thời gian là: \(8\) giờ \(45\) phút \( - \,\,\,7\) giờ \( = 1\) giờ \(45\) phút \( = 1\dfrac{3}{4}\) giờ \( = \dfrac{7}{4}\) giờ Theo bài ra ta có phương trình: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,x.\dfrac{7}{5} = \left( {x - 9} \right).\dfrac{7}{4} \Leftrightarrow \dfrac{{7x. 4}}{{20}} = \dfrac{{\left( {x - 9} \right). 7. 5}}{{20}}\\ \Leftrightarrow 28x = \left( {x - 9} \right). 35 \Leftrightarrow 28x = 35x - 315\\ \Leftrightarrow 7x = 315 \Leftrightarrow x = 45\,(tm)\end{array}\). Vậy vận tốc đi dự kiến của ô tô là \(63\,km/h\). Độ dài quãng đường từ trường THCS đến khu du lịch Khoang Xanh – Suối Tiên là: \(45. \dfrac{7}{5} = 63\,\,(km).\)
Câu 12 :
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(AB = 10cm,\,\,BC = 12cm\), đường cao \(AH\). Gọi \(E,F\) lần lượt là hình chiếu của \(H\) trên \(AB\) và \(AC\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(AH\) và \(EF\). Câu 12.1
Chọn câu đúng.
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác. Sử dụng định lý từ vuông góc đến song song để chứng minh song song. Lời giải chi tiết :
*) Xét \(\Delta AEH\) và \(\Delta AHB\) có: \(\begin{array}{l}+)\, \widehat H = \widehat E = {90^0}\\+) \,\widehat {EAH}\,\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta AEH \backsim \Delta AHB\,\,\left( {g - g} \right)\end{array}\) *) \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có: \(AH\) là đường cao nên \(AH\) đồng thời là đường trung tuyến, là đường phân giác của \(\Delta ABC\). Xét hai tam giác vuông \(AEH\) và \(AFH\) có: \(\widehat {EAH} = \widehat {FAH}\) (vì \(AH\) là tia phân giác của góc \(A\)) \(AH\) là cạnh chung Vậy \(\Delta AEH = \Delta AFH\) (cạnh huyền – góc nhọn) Suy ra: \(AE = AF\) (hai cạnh tương ứng) Tam giác \(AEF\) cân (vì \(AE = AF\)) có: \(AI\) là đường phân giác nên \(AI\) đồng thời là đường cao \( \Rightarrow AI \bot EF \Rightarrow AH \bot EF.\) Lại có: \(AH \bot BC\), suy ra \(EF//BC\). Câu 12.2
Tính \(HE\).
Đáp án : D Phương pháp giải :
Từ các tam giác đồng dạng, ta suy ra các tỉ lệ tương ứng, từ đó tính được độ dài cạnh HE. Lời giải chi tiết :
Ta có: \(H\) là trung điểm của \(BC\) (vì \(AH\) là đường trung tuyến) nên \(BH = \dfrac{1}{2}BC = 6\,cm\). Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông \(AHB\) ta có: \(\begin{array}{l}A{H^2} + B{H^2} = A{B^2}\\ \Rightarrow A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {10^2} - {6^2} = 64\\ \Rightarrow AH = 8\,cm\end{array}\) Lại có: (chứng minh câu a) \( \Rightarrow \dfrac{{EH}}{{HB}} = \dfrac{{AH}}{{AB}} \Rightarrow EH = \dfrac{{HB.AH}}{{AB}} = \dfrac{{6.8}}{{10}} = 4,8\,cm\). Vậy \(HE = 4,8\,cm.\) Câu 12.3
Tính diện tích tam giác \(AEF\) (làm tròn đến hàng đơn vị).
Đáp án : B Phương pháp giải :
Áp dụng tỉ lệ đồng dạng của tam giác: Cho \(\Delta ABC \backsim \Delta A'B'C'\) đồng dạng theo tỉ số \(k \)\(\Rightarrow \dfrac{{{S_{\Delta ABC}}}}{{{S_{\Delta A'B'C'}}}} = {k^2}.\) Lời giải chi tiết :
Theo câu trước ta có: \(EF//BC\) nên \(\widehat {AEF} = \widehat {ABC}\) (hai góc đồng vị) và \(EH = 4,8\,cm\). Xét \(\Delta AEF\) và \(\Delta ABC\) ta có: \(\widehat {EAF}\,chung\) \(\widehat {AEF} = \widehat {ABC}\) (cmt) \( \Rightarrow \Delta AEF \backsim \Delta ABC\,\,\left( {g - g} \right).\) \( \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{AF}}{{AC}} = \dfrac{{EF}}{{BC}}\) (các cặp cạnh tương ứng) Áp dụng định lý Pi-ta-go cho \(\Delta AEH\) ta có: \(AE = \sqrt {A{H^2} - E{H^2}} = \sqrt {{8^2} - 4,{8^2}} = 6,4\,\,cm.\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{6,4}}{{10}} = \dfrac{{16}}{{25}}.\\ \Rightarrow \dfrac{{{S_{\Delta AEF}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {\left( {\dfrac{{AE}}{{AB}}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{{16}}{{25}}} \right)^2}\\ \Rightarrow {S_{\Delta AEF}} = {\left( {\dfrac{{16}}{{25}}} \right)^2}.{S_{\Delta ABC}}\\ = {\left( {\dfrac{{16}}{{25}}} \right)^2}.\dfrac{1}{2}.AH.BC\\ = {\left( {\dfrac{{16}}{{25}}} \right)^2}.\dfrac{1}{2}.8.12\\ = 19,6608\,\,c{m^2}.\end{array}\). Vậy \({S_{\Delta AEF}} \approx 20\,c{m^2}.\)
Câu 13 :
Cho ba số dương \(a,\,b,\,c\) có tổng bằng \(1\). Giá trị nhỏ nhất của \(P = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}\) là:
Đáp án : D Phương pháp giải :
- Áp dụng giả thiết ba số dương \(a,\,b,\,c\) có tổng bằng \(1\) để thay thế vào tử số của các phân số ở vế phải. - Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \,\left( {\forall a,b \ge 0} \right)\). Lời giải chi tiết :
Theo giả thiết ta có: \(a + b + c = 1\). Ta có: \(\begin{array}{l}\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = \dfrac{{a + b + c}}{a} + \dfrac{{a + b + c}}{b} + \dfrac{{a + b + c}}{c}\\ = 1 + \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{a} + \dfrac{a}{b} + 1 + \dfrac{c}{b} + \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} + 1\\ = 3 + \left( {\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b}} \right) + \left( {\dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{b}} \right) + \left( {\dfrac{c}{a} + \dfrac{a}{c}} \right)\\ \ge 3 + 2.\sqrt {\dfrac{b}{a} \cdot \dfrac{a}{b}} + 2.\sqrt {\dfrac{b}{c} \cdot \dfrac{c}{b}} + 2.\sqrt {\dfrac{c}{a} \cdot \dfrac{a}{c}} \\ \ge 3 + 2.1 + 2.1 + 2.1 = 9\end{array}\) Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = c\\a + b + c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = \dfrac{1}{3}.\) Vậy \(P = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge 9\) hay giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(9\) khi \(a = b = c = \dfrac{1}{3}.\)
Câu 14 :
Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;\;y} \right)\) thỏa mãn phương trình: \({x^3} + 3x = {x^2}y + 2y + 5.\)
Đáp án : A Phương pháp giải :
Biến đổi biểu thức đã cho thành biểu thức tính y theo x. Vận dụng kiến thức về phép chia hết, biện luận, tính toán ra cặp (x; y) thỏa mãn. Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\begin{array}{l}\;\;\;\;{x^3} + 3x = {x^2}y + 2y + 5\\ \Leftrightarrow {x^3} + 3x - 5 = {x^2}y + 2y\\ \Leftrightarrow {x^3} + 3x - 5 = y\left( {{x^2} + 2} \right)\\ \Leftrightarrow y = \dfrac{{{x^3} + 3x - 5}}{{{x^2} + 2}}\;\;\left( {do\;\;{x^2} + 2 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow y = \dfrac{{{x^3} + 2x + x - 5}}{{{x^2} + 2}}\\ \Leftrightarrow y = x + \dfrac{{x - 5}}{{{x^2} + 2}}\;\;\left( * \right)\;.\end{array}\) Để \(y \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left( {x + \dfrac{{x - 5}}{{{x^2} + 2}}} \right) \in \mathbb{Z}\) Mà \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow y \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \dfrac{{x - 5}}{{{x^2} + 2}} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)\; \vdots \;\left( {{x^2} + 2} \right)\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow \left[ {\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)} \right]\; \vdots \;\left( {{x^2} + 2} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 25} \right)\; \vdots \;\left( {{x^2} + 2} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 2 - 27} \right)\; \vdots \;\left( {{x^2} + 2} \right)\\ \Leftrightarrow 27\; \vdots \;\left( {{x^2} + 2} \right)\end{array}\). Hay \(\left( {{x^2} + 2} \right) \in Ư\left( {27} \right)\) Mà \({x^2} + 2 \ge 2\;\;\forall x \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left( {{x^2} + 2} \right) \in \left\{ {3;\;9;\;27} \right\}\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 2 = 3\\{x^2} + 2 = 9\\{x^2} + 2 = 27\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 1\;\;\left( {tm} \right)\\{x^2} = 7\;\;\left( {ktm} \right)\\{x^2} = 25\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 1\\{x^2} = 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\;\\x = - 1\;\\x = 5\\x = - 5\end{array} \right.\) +) Với \(x = 1 \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow y = 1 + \dfrac{{1 - 5}}{{1 + 2}} = - \dfrac{1}{3}\;\;\left( {ktm} \right)\) +) Với \(x = - 1 \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow y = - 1 + \dfrac{{ - 1 - 5}}{{{{\left( { - 1} \right)}^2} + 2}} = - 3\;\;\left( {tm} \right)\) +) Với \(x = 5 \Rightarrow y = x + \dfrac{{x - 5}}{{{x^2} + 2}} = 5 + \dfrac{0}{{27}} = 5\;\;\left( {tm} \right)\) +) Với \(x = - 5 \Rightarrow y = x + \dfrac{{x - 5}}{{{x^2} + 2}} = - 5 + \dfrac{{ - 5 - 5}}{{27}} = - \dfrac{{145}}{{27}}\;\;\left( {ktm} \right)\) Vậy có hai cặp số nguyên \(\left( {x;\;y} \right) \in \left\{ {\left( { - 1; - 3} \right);\;\left( {5;\;5} \right)} \right\}\) thỏa mãn phương trình.
Câu 15 :
Cho hai biểu thức: \(A = \dfrac{x}{{x - 3}},\)\(B = \dfrac{{2x}}{{x + 5}} - \dfrac{{{x^2} - 15x}}{{{x^2} - 25}}\,\,\,\,\left( {x \ne 0;x \ne 3;x \ne \pm 5} \right)\) Câu 15.1
Tính giá trị của biểu thức \(A\) tại \(x\) thỏa mãn \(\left| {x - 2} \right| = 1\).
Đáp án : A Phương pháp giải :
- Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối: \(\left| x \right| = a \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = a\\x = - a\end{array} \right.\) - Thay giá trị \(x\) vừa tìm được vào biểu thức \(A.\) Lời giải chi tiết :
Điều kiện: \(x \ne 3.\) Ta có: \(\left| {x - 2} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 1\\x - 2 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 + 2\\x = - 1 + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\,\,(ktm)\\x = 1\,\,\,(tm)\end{array} \right.\) Thay \(x = 1\) vào biểu thức \(A\) ta có: \(\dfrac{1}{{1 - 3}} = \dfrac{1}{{ - 2}} = - \dfrac{1}{2}\) Vậy giá trị của biểu thức \(A\) tại \(x\) thỏa mãn \(\left| {x - 2} \right| = 1\) là \(\dfrac{{ - 1}}{2}\). Câu 15.2
Rút gọn biểu thức \(Q = B:A\) ta được:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Thực hiện phép chia \(B:A\) để tìm biểu thức \(Q\). Phân tích tử thức và nẫu thức thành nhân tử để rút gọn. Lời giải chi tiết :
Điều kiện: \(x \ne 0,\,\,x \ne 3;\,\,x \ne \pm 5.\) \(B:A = \left( {\dfrac{{2x}}{{x + 5}} - \dfrac{{{x^2} - 15x}}{{{x^2} - 25}}} \right):\dfrac{x}{{x - 3}}\)\(= \left[ {\dfrac{{2x\left( {x - 5} \right)}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)}} - \dfrac{{{x^2} - 15x}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)}}} \right].\dfrac{{x - 3}}{x} \)\(= \dfrac{{2x\left( {x - 5} \right) - \left( {{x^2} - 15x} \right)}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)}}.\dfrac{{x - 3}}{x}\)\( = \dfrac{{2{x^2} - 10x - {x^2} + 15x}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)}}.\dfrac{{x - 3}}{x}\)\( = \dfrac{{{x^2} + 5x}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)}}.\dfrac{{x - 3}}{x}\)\( = \dfrac{{x\left( {x + 5} \right)}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)}}.\dfrac{{x - 3}}{x}\)\( = \dfrac{x}{{x - 5}}.\dfrac{{x - 3}}{x} = \dfrac{{x - 3}}{{x - 5}}\). Vậy \(Q = B:A = \dfrac{{x - 3}}{{x - 5}}\). Câu 15.3
Cho \(Q = B:A.\) Tìm \(x\) để \(Q = 3.\)
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng kết quả câu trước \(Q = B:A = \dfrac{{x - 3}}{{x - 5}}\) với \(x \ne 0,\,\,x \ne 3;\,\,x \ne \pm 5.\) Từ đó giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thu được. Lời giải chi tiết :
Theo câu trước ta có: \(Q = B:A = \dfrac{{x - 3}}{{x - 5}}\) với \(x \ne 0,\,\,x \ne 3;\,\,x \ne \pm 5.\) Để \(Q = 3\) thì \(\dfrac{{x - 3}}{{x - 5}} = 3 \Rightarrow x - 3 = 3\left( {x - 5} \right)\) \( \Leftrightarrow x - 3 = 3x - 15 \Leftrightarrow 2x = 12 \Leftrightarrow x = 6\left( {tm} \right)\). Câu 15.4
Tìm \(x\) để \(Q =B:A> 1\).
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng kết quả câu trước \(Q = B:A = \dfrac{{x - 3}}{{x - 5}}\) với \(x \ne 0;\,\,x \ne 3;\,\,x \ne \pm 5.\) Từ đó giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thu được. Lời giải chi tiết :
Ta có: \(Q = \dfrac{{x - 3}}{{x - 5}} = \dfrac{{x - 5 + 2}}{{x - 5}} \)\(= 1 + \dfrac{2}{{x - 5}}\) Do đó để \(Q > 1\) thì \(1 + \dfrac{2}{{x - 5}} > 1 \Leftrightarrow \dfrac{2}{{x - 5}} > 0\)\( \Leftrightarrow x - 5 > 0 \Leftrightarrow x > 5\,\,\,(tmdk)\) Vậy với \(x > 5\) thì \(Q > 1\).
|
