Trắc nghiệm Bài tập ôn tập chương 2 Toán 9Đề bài
Câu 1 :
“Đồ thị hàm số $y = {\rm{ax}} + b\,(a \ne 0)$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng ... và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng ...” . Trong dấu “…” lần lượt là?
Câu 2 :
Điểm nào sau đây thuộc ĐTHS $y = 2{\rm{x}} + 1$:
Câu 3 :
Với giá trị nào của $m$ thì điểm $\left( {1;2} \right)$ thuộc đường thẳng $x - y = m$?
Câu 4 :
Điểm $\left( { - 2;3} \right)$ thuộc đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau:
Câu 5 :
Đồ thị hàm số $y = (3 - m)x + m + 3$ đi qua gốc tọa độ khi:
Câu 6 :
Cho $3$ đường thẳng $\left( d \right):{\rm{ }}y = \left( {m + 2} \right)x - 3m;\left( {d'} \right):{\rm{ }}y = 2x + 4\;;\left( {d''} \right):{\rm{ }}y = - 3x - 1.$ Giá trị của $m$ để $3$ đường thẳng trên đồng quy là :
Câu 7 :
Cho $3$ điểm $A(0;3),B(2;2);C(m + 3;m)$. Giá trị của $m$ để $3$ điểm $A,B,C$ thẳng hàng là:
Câu 8 :
Tìm $m$ để đường thẳng $\left( d \right):{\rm{ }}y = x + 3;\left( {d'} \right):{\rm{ }}y = - x + 1;\left( {d''} \right):{\rm{ }}y = \sqrt 3 x - m - 2$ đồng quy.
Câu 9 :
Giá trị của $m$ để đường thẳng $y = (m - 1)x - m$ cắt trục tung tại điểm có tung độ là $1 + \sqrt 2 $ là:
Câu 10 :
Hai đồ thị hàm số $y = \dfrac{1}{2}x - 3$ và $y = - x + 3$ cắt nhau tại điểm :
Câu 11 :
Cho $2$ đường thẳng: $d:y = - 4x + m + 1;d':y = \dfrac{4}{3}x + 15 - 3m$. Tìm giá trị của $m$ để $d$ cắt $d'$ tại điểm nằm trên trục tung.
Câu 12 :
Cho $2$ đường thẳng $d:y = 2x - 1;d':y = (m - 3)x + 2$. Tìm $m$ để $d$ cắt $d'$ mà hoành độ và tung độ giao điểm cùng dấu.
Câu 13 :
Tìm $m$ để đường thẳng $\left( d \right):{\rm{ 2}}y + x - 7 = 0;\left( {d'} \right):{\rm{ }}y = 3;\left( {d''} \right):{\rm{ }}y = mx - 1$ đồng quy.
Câu 14 :
Tìm $m$ để $2$ đường thẳng $d:y = 2x + m + 3;d':y = - 4x - m - 2$ cắt nhau tại $1$ điểm thuộc trục hoành.
Câu 15 :
Cho đường thẳng $d:y = x - 1$. Khi đó khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đã cho là:
Câu 16 :
Cho đường thẳng $d$ vuông góc với $d':y = - \dfrac{1}{3}{\rm{x}}$ và $d$ đi qua $P\left( {1; - 1} \right)$ . Khi đó phương trình đường thẳng $d$ là:
Câu 17 :
Đường thẳng $y = a{\rm{x}} + b$ đi qua $2$ điểm $M\left( { - 3;2} \right)$ và $N\left( {1; - 1} \right)$ là:
Câu 18 :
Cho đường thẳng $d':y = - 2x + 6$. Gọi $M,N$ lần lượt là giao điểm của $d'$ với $Ox$ và $Oy$. Khi đó chu vi tam giác $OMN$ là:
Câu 19 :
Cho $2$ đường thằng $d:y = 2x - 1;d':y = x - 3$. Đường thẳng nào đi qua giao điểm của $d$ và $d'$?
Câu 20 :
Đường thẳng $y = {\rm{ax}} + b$ đi qua điểm $\left( {3;2} \right)$. Khi đó $6a + 2b$ bằng:
Câu 21 :
Biết đồ thị hàm số $y = {\rm{ax}} + b$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $1$ và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $2.$ Giá trị của $a$ và $b$ lần lượt là:
Câu 22 :
Đường thẳng $d:y = {\rm{ax}} + b$ đi qua điểm $A\left( {2; - 1} \right)$ và $M$ . Biết $M$ thuộc đường thẳng $d':2x + y = 3$ và điểm $M$ có hoành độ bằng $0,5$ . Khi đó $a$ nhận giá trị là:
Câu 23 :
Tìm $m$ để giao điểm của $d:mx + 2y = 5;d':y = - 2x + 1$ nằm ở góc phần tư thứ nhất.
Câu 24 :
Tìm $m$ để giao điểm của $d:y = 12x + 5 - m;d':y = 3x + m + 3$ nằm bên trái trục tung.
Câu 25 :
Cho đường thẳng ${d_1}:y = 2x + 6$ cắt $Ox;Oy$ theo thứ tự $A$ và $B$. Diện tích tam giác $OAB$ là:
Câu 26 :
Cho hàm số \(y = \left( {m + 1} \right)x + 6\,\,\,\left( 1 \right)\) với \(m \ne - 1\) Gọi đồ thị của hàm số \(\left( 1 \right)\) là đường thẳng \(\left( d \right),\) tìm \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt đường thẳng \(y = 5x + m - 2\) tại một điểm nằm trên trục tung.
Câu 27 :
Cho đường thẳng $d:y = x + 2;d':y = - 2x + 5$. Gọi $M$ là giao điểm của $d$ và $d'$ . $A$ và $B$ lần lượt là giao điểm của $d$ và $d'$ với trục hoành. Khi đó diện tích tam giác $AMB$ là:
Câu 28 :
Cho hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = 2x - 3\) và \(\left( {{d_2}} \right):y = - \dfrac{1}{2}x + 2\) Tìm \(m\) để ba đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\), \(\left( {{d_2}} \right)\) và \(\left( {{d_3}} \right):y = 3x - 2m - 3\) đồng quy.
Câu 29 :
Cho $M\left( {0;2} \right),N\left( {1;0} \right),P\left( { - 1; - 1} \right)$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA$ và $AB$ của tam giác $ABC$ . Phương trình đường thẳng $AB$ của tam giác $ABC$ là:
Câu 30 :
Cho $M\left( {0;2} \right),N\left( {1;0} \right),P\left( { - 1; - 1} \right)$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA$ và $AB$ của tam giác $ABC$ . Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.
Cho hai đường thẳng \({d_1}:y = \left( {m - 2} \right)x + m + 4\) và \({d_2}:y = \left( {n + 1} \right)x - 3\) Câu 31
Tìm điều kiện của \(m\) để hàm số có đồ thị \({d_1}\) luôn nghịch biến và điều kiện của \(n\) để hàm số có đồ thị \({d_2}\) luôn đồng biến.
Câu 32
Tìm các giá trị của \(m\) và của \(n\) để hai đường thẳng \({d_1}\)và \({d_2}\) cùng đi qua điểm \(A\left( {1;0} \right).\)
Cho hai đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {m - 2} \right)x + m\) và \(\left( \Delta \right):y = - 4x + 1\) Câu 33
Tìm \(m\) để \(\left( d \right)\) song song với \(\left( \Delta \right)\).
Câu 34
Tìm điểm cố định đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn đi qua với mọi \(m\).
Câu 35
Tìm tọa độ điểm \(B\) thuộc \(\left( \Delta \right)\) sao cho \(AB\) vuông góc với \(\left( \Delta \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right):y = mx - 2\)\(\left( {m \ne 0} \right)\) Câu 36
Xác định \(m\) để hàm số \(y = mx - 2\)\(\left( {m \ne 0} \right)\) đồng biến.
Câu 37
Xác định giá trị của \(m\) để đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1;2} \right)\)
Câu 38
Xác định giá trị của \(m\) để đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right)\) cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng \(1.\)
Câu 39 :
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\)cho hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = {m^2}x - {m^4} + 2\) và \(\left( {{d_2}} \right):y = \dfrac{{{m^2}}}{{{m^2} + 1}}x + 2\) (\(m\) là tham số thực khác 0). Tìm tất cả giá trị của tham số \(m\) để \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) cắt nhau tại một điểm A duy nhất sao cho diện tích của hình thang \(ABHK\) bằng \(\dfrac{{15}}{2}.\) Biết \(B\left( { - 1;2} \right)\) và hai điểm \(H,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(B\) và A lên trục hoành.
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
“Đồ thị hàm số $y = {\rm{ax}} + b\,(a \ne 0)$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng ... và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng ...” . Trong dấu “…” lần lượt là?
Đáp án : B Phương pháp giải :
- ĐTHS cắt trục hoành thì cho $y=0$ từ đó tìm được $x,$ ĐTHS cắt trục tung thì cho $x=0$ từ đó tìm được $y.$ - So sánh với đề bài để tìm ra biểu thức cần điền vào chỗ trống. Lời giải chi tiết :
Đồ thị hàm số $y = {\rm{ax}} + b$ cắt trục hoành $ \Rightarrow y = 0 \Rightarrow {\rm{ax}} + b = 0 \Leftrightarrow x = - \dfrac{b}{a}$ ĐTHS $y = {\rm{ax}} + b$ cắt trục tung $ \Rightarrow x = 0 \Rightarrow y = {\rm{a}}{\rm{.0}} + b \Rightarrow y = b$ Vậy đồ thị hàm số $y = {\rm{ax}} + b\,(a \ne 0)$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $-\dfrac{b}{a}$ và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $b$.
Câu 2 :
Điểm nào sau đây thuộc ĐTHS $y = 2{\rm{x}} + 1$:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng kiến thức: Điểm $({x_0};{y_0})$ thuộc ĐTHS $y = {\rm{ax}} + b \Leftrightarrow {\rm{a}}{{\rm{x}}_0} + b = {y_0}$. Lời giải chi tiết :
Đáp án A: Thay $ x_0=0;y_0=1$ vào hàm số, ta có $ 2.0 + 1 = 1 \Rightarrow (0;1)$ thuộc ĐTHS đã cho.
Câu 3 :
Với giá trị nào của $m$ thì điểm $\left( {1;2} \right)$ thuộc đường thẳng $x - y = m$?
Đáp án : D Phương pháp giải :
Điểm $({x_0};{y_0})$ thuộc ĐTHS $y = {\rm{ax}} + b \Leftrightarrow {\rm{a}}{{\rm{x}}_0} + b = {y_0}$. Lời giải chi tiết :
Điểm $(1;2)$ thuộc ĐTHS $x - y = m \Leftrightarrow 1 - 2 = m \Leftrightarrow - 1 = m$.
Câu 4 :
Điểm $\left( { - 2;3} \right)$ thuộc đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau:
Đáp án : C Phương pháp giải :
- Điểm $({x_0};{y_0})$ thuộc ĐTHS $y = {\rm{ax}} + b \Leftrightarrow {\rm{a}}{{\rm{x}}_0} + b = {y_0}$. - Tính toán và chọn đáp án phù hợp. Lời giải chi tiết :
Ta có $3( - 2) - 2.3 = - 12 \ne 3$=> loại A $3( - 2) - 3 = - 9 \ne 0$ => loại B $0( - 2) + 3 = 3$
Câu 5 :
Đồ thị hàm số $y = (3 - m)x + m + 3$ đi qua gốc tọa độ khi:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng kiến thức: Điểm thuộc đồ thị hàm số. Điểm $M(x_0;y_0)$ thuộc đồ thị hàm số $y=ax+b$ \( \Leftrightarrow {y_0} = a{x_0} + b\) Lời giải chi tiết :
Ta có điểm $O\left( {0\;;0} \right)$ thuộc đường thẳng $y = (3 - m)x + m + 3 \Leftrightarrow (3-m).0+m + 3 = 0 $$\Leftrightarrow m+3=0\Leftrightarrow m = - 3$
Câu 6 :
Cho $3$ đường thẳng $\left( d \right):{\rm{ }}y = \left( {m + 2} \right)x - 3m;\left( {d'} \right):{\rm{ }}y = 2x + 4\;;\left( {d''} \right):{\rm{ }}y = - 3x - 1.$ Giá trị của $m$ để $3$ đường thẳng trên đồng quy là :
Đáp án : A Phương pháp giải :
- Tìm tọa độ giao điểm 2 đường thẳng cho trước $d';d''$ - Cho giao điểm vừa tìm được thuộc vào đường thẳng $d$. Điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc đường thẳng \(\left( d \right):y = ax + b \)\(\Leftrightarrow {y_0} = a{x_0} + b\) Lời giải chi tiết :
Xét phương trình hoành độ giao điểm $A$ của $\left( {d'} \right)$ và $\left( {d''} \right)$: $\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 4 = - 3x - 1}\\{ \Leftrightarrow 5x = - 5}\\{ \Leftrightarrow x = - 1}\\{ \Rightarrow y = 2\left( { - 1} \right) + 4 = 2}\\{ \Rightarrow A\left( { - 1;2} \right)}\end{array}$ Để $\left( d \right);\left( {d'} \right);\left( {d''} \right)$ đồng quy thì $A\left( { - 1;2} \right) \in \left( d \right)$ $\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow 2 = \left( {m + 2} \right).\left( { - 1} \right) - 3m}\\{ \Leftrightarrow 2 = - 2 - 4m}\\{ \Leftrightarrow 4m = - 4}\\{ \Leftrightarrow m = - 1}\end{array}$ Vậy khi $m = - 1$ thì $\left( d \right);\left( {d'} \right);\left( {d''} \right)$ đồng quy tại $A\left( { - 1;2} \right)$.
Câu 7 :
Cho $3$ điểm $A(0;3),B(2;2);C(m + 3;m)$. Giá trị của $m$ để $3$ điểm $A,B,C$ thẳng hàng là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
- Viết phương trình đường thẳng $(d)$ đi qua 2 điểm cho trước $A;B$. - Để $3$ điểm $A;B;C$ thẳng hàng thì $C \in (d)$ Lời giải chi tiết :
Gọi $d:y = {\rm{ax}} + b$ là đường thẳng đi qua $A$ và $B$. $\begin{array}{l}A(0;3) \in d \Leftrightarrow a.0 + b = 3 \Leftrightarrow b = 3\\B(2;2) \in d \Leftrightarrow a.2 + b = 2\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3\\2a + b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3\\a = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow d:y = - \dfrac{1}{2}x + 3\end{array}$ Để $3$ điểm $A,B,C$ thẳng hàng thì $C(m + 3;m) \in (d):y = - \dfrac{1}{2}x + 3$ $ \Leftrightarrow m = - \dfrac{1}{2}\left( {m + 3} \right) + 3 \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}m = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow m = 1$. Vậy $m = 1$.
Câu 8 :
Tìm $m$ để đường thẳng $\left( d \right):{\rm{ }}y = x + 3;\left( {d'} \right):{\rm{ }}y = - x + 1;\left( {d''} \right):{\rm{ }}y = \sqrt 3 x - m - 2$ đồng quy.
Đáp án : B Phương pháp giải :
- Tìm tọa độ giao điểm 2 đường thẳng cho trước $d;d'$ - Cho giao điểm vừa tìm được thuộc vào đường thẳng $d''$. Điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc đường thẳng \(\left( d \right):y = ax + b \)\(\Leftrightarrow {y_0} = a{x_0} + b\) Lời giải chi tiết :
$d:y = x + 3;d':y = - x + 1;d'':y = \sqrt 3 x - m - 2$ Xét phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $d'$: $x + 3 = - x + 1 \Leftrightarrow 2x = - 2 \Leftrightarrow x = - 1 \Rightarrow y = 2$ Do đó $d$ và $d'$ cắt nhau tại điểm $\left( { - 1;2} \right)$. Điểm $A( - 1;2) \in d'':y = \sqrt 3 x - m - 2 $$\Leftrightarrow 2 = \sqrt 3 .\left( { - 1} \right) - m - 2 $$\Leftrightarrow m = - 4 - \sqrt 3 $ Vậy $m = - 4 - \sqrt 3 $.
Câu 9 :
Giá trị của $m$ để đường thẳng $y = (m - 1)x - m$ cắt trục tung tại điểm có tung độ là $1 + \sqrt 2 $ là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng kiến thức đồ thị hàm số $y=ax+b$ cắt trục $Oy$ tại điểm $(0;b)$ và tính toán. Lời giải chi tiết :
Đồ thị hàm số $y = (m - 1)x - m$ cắt trục tung tại điểm có tung độ là $1 + \sqrt 2 $ $ \Rightarrow - m = 1 + \sqrt 2 \Rightarrow m = - 1 - \sqrt 2 $
Câu 10 :
Hai đồ thị hàm số $y = \dfrac{1}{2}x - 3$ và $y = - x + 3$ cắt nhau tại điểm :
Đáp án : D Phương pháp giải :
Xét phương trình hoành độ giao điểm 2 đường thẳng để tìm $x$ từ đó ta tìm được $y$. Lời giải chi tiết :
Xét phương trình hoành độ giao điểm: $\begin{array}{l}\dfrac{1}{2}x - 3 = - x + 3 \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}x = 6 \Leftrightarrow x = 4\\ \Rightarrow y = - 4 + 3 = - 1.\end{array}$ Vậy giao điểm cần tìm có tọa độ $(-4;1)$.
Câu 11 :
Cho $2$ đường thẳng: $d:y = - 4x + m + 1;d':y = \dfrac{4}{3}x + 15 - 3m$. Tìm giá trị của $m$ để $d$ cắt $d'$ tại điểm nằm trên trục tung.
Đáp án : D Phương pháp giải :
- Tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng cho trước - Một điểm nằm trên trục tung khi và chỉ khi hoành độ bằng $0.$ Lời giải chi tiết :
Xét phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $d'$ : $ - 4x + m + 1 = \dfrac{4}{3}x + 15 - 3m \Leftrightarrow \dfrac{{ - 16}}{3}x = 14 - 4m \Leftrightarrow x = \dfrac{{3(4m - 14)}}{{16}}$ $d$ cắt $d'$ tại điểm nằm trên trục tung $ \Leftrightarrow x = \dfrac{{3(4m - 14)}}{{16}} = 0 \Leftrightarrow 4m - 14 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{7}{2}.$
Câu 12 :
Cho $2$ đường thẳng $d:y = 2x - 1;d':y = (m - 3)x + 2$. Tìm $m$ để $d$ cắt $d'$ mà hoành độ và tung độ giao điểm cùng dấu.
Đáp án : B Phương pháp giải :
- Tìm tọa độ giao điểm 2 đường thẳng cho trước - Hoành độ và tung độ giao điểm cùng dấu $ \Leftrightarrow xy > 0$. Lời giải chi tiết :
Ta có $d \cap d' \Leftrightarrow m - 3 \ne 2 \Leftrightarrow m \ne 5$. Xét phương trình hoành độ của $d'$ và $d''$ : $\begin{array}{l}2x - 1 = (m - 3)x + 2 \Leftrightarrow (m - 5)x = - 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 3}}{{m - 5}}\\ \Rightarrow y = \dfrac{{ - 6}}{{m - 5}} - 1 = \dfrac{{ - m - 1}}{{m - 5}}\end{array}$ Theo đề bài: $x.y > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 3}}{{m - 5}}.\dfrac{{ - m - 1}}{{m - 5}} > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{3(m + 1)}}{{{{(m - 5)}^2}}} > 0$ Mà ${(m - 5)^2} > 0,\forall m \ne 5$ Suy ra $m > - 1$ Kết hợp điều kiện ta có: $\left\{ \begin{array}{l}m > - 1\\m \ne 5\end{array} \right.$.
Câu 13 :
Tìm $m$ để đường thẳng $\left( d \right):{\rm{ 2}}y + x - 7 = 0;\left( {d'} \right):{\rm{ }}y = 3;\left( {d''} \right):{\rm{ }}y = mx - 1$ đồng quy.
Đáp án : C Phương pháp giải :
- Tìm tọa độ giao điểm 2 đường thẳng cho trước $d;d'$ - Cho giao điểm vừa tìm được thuộc vào đường thẳng $d''$. Điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc đường thẳng \(\left( d \right):y = ax + b \)\(\Leftrightarrow {y_0} = a{x_0} + b\) Lời giải chi tiết :
$\left( d \right):{\rm{ 2}}y + x - 7 = 0 \Leftrightarrow y = - \dfrac{1}{2}x + \dfrac{7}{2}$ Xét phương trình hoành độ giao điểm của $\left( {d'} \right)$ và $\left( {d''} \right)$ : $ - \dfrac{1}{2}x + \dfrac{7}{2} = 3 \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2}x = - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x = 1$ nên tọa độ giao điểm là $(1;3)$ Để $\left( d \right);\left( {d'} \right);\left( {d''} \right)$ đồng quy thì $\left( {1;3} \right) \in \left( {d''} \right) \Leftrightarrow 3 = 1.m - 1 \Leftrightarrow m = 4$ Vậy với $m = 4$ thì $\left( d \right);\left( {d'} \right);\left( {d''} \right)$ đồng quy.
Câu 14 :
Tìm $m$ để $2$ đường thẳng $d:y = 2x + m + 3;d':y = - 4x - m - 2$ cắt nhau tại $1$ điểm thuộc trục hoành.
Đáp án : A Phương pháp giải :
- Tìm tọa độ giao điểm 2 đường thẳng - Điểm thuộc trục hoành khi và chỉ khi tung độ bằng 0. Lời giải chi tiết :
Xét phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $d'$: $2x + m + 3 = - 4x - m - 2 \Leftrightarrow 6x = - 2m - 5 $$\Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 2m - 5}}{6}$ $ \Rightarrow y = 2.\dfrac{{ - 2m - 5}}{6} + m + 3 $$= \dfrac{{m + 4}}{3}$ Ta có $d$ cắt $d'$ tại điểm thuộc trục hoành nên: $y = \dfrac{{m + 4}}{3} = 0 \Leftrightarrow m = - 4.$ Vậy $m = - 4$.
Câu 15 :
Cho đường thẳng $d:y = x - 1$. Khi đó khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đã cho là:
Đáp án : C Phương pháp giải :
- Tìm giao điểm của đường thẳng với trục hoành, trục tung - Dựng hình chiếu của tam giác được tạo thành - Áp dụng hệ thức trong tam giác vuông để tính khoảng cách từ điểm $O$ đến $1$ đường thẳng. Lời giải chi tiết :
 Ta có: $d \cap Ox$ tại $A(1;0) \Rightarrow OA = 1$ $d \cap Oy $ tại $ B(0; - 1) \Rightarrow OB = 1$ Ta có $OA \bot OB$. Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên đường thẳng $AB$. Áp dụng hệ thức trong tam giác ta có: $\begin{array}{l}\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} = \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{1} = 2\\ \Rightarrow OH = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array}$
Câu 16 :
Cho đường thẳng $d$ vuông góc với $d':y = - \dfrac{1}{3}{\rm{x}}$ và $d$ đi qua $P\left( {1; - 1} \right)$ . Khi đó phương trình đường thẳng $d$ là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng kiến thức: +) $d \bot d' \Leftrightarrow a.a' = - 1$ +) Điểm $({x_0};{y_0})$ thuộc đồ thị hàm số $y = {\rm{ax}} + b $$\Leftrightarrow {\rm{a}}{{\rm{x}}_0} + b = {y_0}$. Lời giải chi tiết :
Đường thẳng $d$ vuông góc với đường thẳng $d' \Rightarrow a.\dfrac{{ - 1}}{3} = - 1 \Leftrightarrow a = 3$ Đường thẳng $d$ đi qua điểm $P(1;-1) \Rightarrow 3.1 + b = - 1 \Leftrightarrow b = - 4$ $ \Rightarrow d:y = 3x - 4$.
Câu 17 :
Đường thẳng $y = a{\rm{x}} + b$ đi qua $2$ điểm $M\left( { - 3;2} \right)$ và $N\left( {1; - 1} \right)$ là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng kiến thức: +) Điểm $({x_0};{y_0})$ thuộc đồ thị hàm số $y = {\rm{ax}} + b$$ \Leftrightarrow {\rm{a}}{{\rm{x}}_0} + b = {y_0}$. +) Từ đó tìm $a;b$. Lời giải chi tiết :
Gọi $d:y = {\rm{ax}} + b$ đi qua $2$ điểm $M\left( { - 3;2} \right)$ và $N\left( {1; - 1} \right)$ $M$ thuộc $d \Leftrightarrow - 3a + b = 2 \Rightarrow b = 2 + 3a\,\,\,\,\,(1)$ $N$ thuộc $d \Leftrightarrow 1.a + b = - 1 \Rightarrow b = - 1 - a \,\,\,\,\,(2)$ Từ (1) và (2) suy ra \(2 + 3a = - 1 - a \Leftrightarrow 4a = - 3 \Leftrightarrow a = - \dfrac{3}{4}\)\( \Rightarrow b = 2 + 3a = - \dfrac{1}{4}\) Nên $a = \dfrac{{ - 3}}{4};b = - \dfrac{1}{4}$. Vậy $d:y = - \dfrac{3}{4}x - \dfrac{1}{4}$.
Câu 18 :
Cho đường thẳng $d':y = - 2x + 6$. Gọi $M,N$ lần lượt là giao điểm của $d'$ với $Ox$ và $Oy$. Khi đó chu vi tam giác $OMN$ là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
- Tìm giao điểm của đường thẳng với trục hoành, trục tung - Áp dụng định lý Py-ta-go để tính độ dài đoạn thẳng. - Sử dụng công thức chu vi tam giác. Lời giải chi tiết :
 Ta có: $\begin{array}{l}d' \cap Ox = M(3;0) \Rightarrow OM = 3\\d' \cap Oy = N(0;6) \Rightarrow ON = 6\end{array}$ Ta có tam giác $OMN$ vuông tại $O$. Áp dụng định lý Py ta go ta có: $M{N^2} = O{M^2} + O{N^2} = 9 + 36 = 45 \Rightarrow MN = 3\sqrt 5 $ Suy ra chu vi tam giác $OMN$ là: $MN + OM + ON = 3\sqrt 5 + 3 + 6 = 9 + 3\sqrt 5 $
Câu 19 :
Cho $2$ đường thằng $d:y = 2x - 1;d':y = x - 3$. Đường thẳng nào đi qua giao điểm của $d$ và $d'$?
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng kiến thức: - Xác định giao điểm của $2$ đường thẳng - Cho giao điểm đó thuộc đường thẳng ở các phương án để tìm ra đáp án phù hợp. Lời giải chi tiết :
Xét phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $d'$ ta có $2x - 1 = x - 3 \Leftrightarrow x = - 2 \Rightarrow y = - 5 \Rightarrow M( - 2; - 5)$ Trước hết xét $M$ có thuộc đường thẳng $y = 3x + 1$ không? Ta có $3.{x_M} + 1 = 3.( - 2) + 1 = - 5 = {y_M}$ nên $M$ thuộc đồ thị hàm số $y=3x+1$ hay A đúng.
Câu 20 :
Đường thẳng $y = {\rm{ax}} + b$ đi qua điểm $\left( {3;2} \right)$. Khi đó $6a + 2b$ bằng:
Đáp án : B Phương pháp giải :
- Sử dụng kiến thức: Điểm $M(x_0;y_0)$ thuộc đồ thị hàm số $y=ax+b$ $\Leftrightarrow {y_0} = a{x_0} + b$ - Biến đổi biểu thức cần tính để xuất hiện biểu thức đã có ở bước trên Lời giải chi tiết :
Điểm $\left( {3;2} \right)$ thuộc đường thẳng $y = {\rm{a}}x + b \Rightarrow 3a + b = 2$ Ta có $6a + 2b = 2(3a + b) = 2.2 = 4$
Câu 21 :
Biết đồ thị hàm số $y = {\rm{ax}} + b$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $1$ và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $2.$ Giá trị của $a$ và $b$ lần lượt là:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng kiến thức: - Đường thẳng $y=ax+b$ $(a \ne 0)$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $x=\dfrac{-b}{a}$ và cắt trục tung tại điểm có tung độ $y=b$ - Biến đổi để tìm $a;b.$ Lời giải chi tiết :
Đồ thị hàm số $y = {\rm{ax}} + b$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $1$ và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $2$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1.a + b = 0\\b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = 2\end{array} \right.$
Câu 22 :
Đường thẳng $d:y = {\rm{ax}} + b$ đi qua điểm $A\left( {2; - 1} \right)$ và $M$ . Biết $M$ thuộc đường thẳng $d':2x + y = 3$ và điểm $M$ có hoành độ bằng $0,5$ . Khi đó $a$ nhận giá trị là:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Ta sử dụng Điểm $M(x_0;y_0)$ thuộc đồ thị hàm số $y=ax+b$ $\Leftrightarrow {y_0} = a{x_0} + b$ Lời giải chi tiết :
Điểm \(A\left( {2; - 1} \right) \in d:y = ax + b \Leftrightarrow 2a + b = - 1\) Điểm \(M \in d':2x + y = 3\) có \(x = 0,5 \Rightarrow 2.0,5 + y = 3 \Leftrightarrow y = 2 \Rightarrow M\left( {\dfrac{1}{2};2} \right)\). \(M\left( {\dfrac{1}{2};2} \right) \in d \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}a + b = 2\) Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}2a + b = - 1\\\dfrac{1}{2}a + b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = - 1-2a\\b = 2-\dfrac{1}{2}a\end{array} \right. \)\(\Rightarrow - 1 - 2a = 2 - \dfrac{1}{2}a \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}a = - 3 \Leftrightarrow a = - 2\) Vậy \(a = - 2\).
Câu 23 :
Tìm $m$ để giao điểm của $d:mx + 2y = 5;d':y = - 2x + 1$ nằm ở góc phần tư thứ nhất.
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng kiến thức: - Điều kiện để 2 đường thẳng cắt nhau - Tìm giao điểm 2 đường thẳng - Điểm thuộc góc phần tư thứ nhất khi và chỉ khi $x > 0$ và $y > 0$ Lời giải chi tiết :
$\begin{array}{l}d:mx + 2y = 5 \Rightarrow y = \dfrac{{ - m}}{2}x + \dfrac{5}{2}\\d \cap d' \Leftrightarrow - \dfrac{m}{2} \ne - 2 \Leftrightarrow m \ne 4.\end{array}$ Xét phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $d'$ : $\dfrac{{ - m}}{2}x + \dfrac{5}{2} = - 2x + 1 \Leftrightarrow \dfrac{{4 - m}}{2}x = - \dfrac{3}{2} $$\Leftrightarrow x = \dfrac{3}{{m - 4}} \Rightarrow y=-2.\dfrac{3}{{m - 4}}-1 = \dfrac{{m - 10}}{{m - 4}}$ Do $d$ cắt $d'$ tại điểm nằm ở góc phần tư thứ nhất nên ta có: $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{{m - 4}} > 0\\\dfrac{{m - 10}}{{m - 4}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 4\\m > 10\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 10$ Kết hợp điều kiện suy ra $m > 10$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 24 :
Tìm $m$ để giao điểm của $d:y = 12x + 5 - m;d':y = 3x + m + 3$ nằm bên trái trục tung.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng kiến thức - Tìm tọa độ giao điểm 2 đường thẳng - Điểm nằm bên trái trục tung khi và chỉ khi $x < 0$ Lời giải chi tiết :
Xét phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $d'$ : $12x + 5 - m = 3x + m + 3 \Leftrightarrow 9x = 2m - 2 \Leftrightarrow x = \dfrac{{2m - 2}}{9}$ Do $d$ cắt $d'$ tại điểm nằm bên trái trục tung nên ta có: $x < 0 \Leftrightarrow \dfrac{{2m - 2}}{9} < 0 \Leftrightarrow 2m - 2 < 0 \Leftrightarrow m < 1.$
Câu 25 :
Cho đường thẳng ${d_1}:y = 2x + 6$ cắt $Ox;Oy$ theo thứ tự $A$ và $B$. Diện tích tam giác $OAB$ là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
- Tìm giao điểm của đường thẳng với $2$ trục tọa độ. - Tính độ dài đoạn thẳng - Sử dụng công thức tính diện tích tam giác vuông Lời giải chi tiết :
Ta có: $d \cap Ox $ tại $A( - 3;0) \Rightarrow OA = 3$ $d \cap Oy $ tại $B(0;6) \Rightarrow OB = 6$ Ta có $OA \bot OB$. Diện tích tam giác $AOB$ là: $\dfrac{1}{2}.3.6 = 9(đv{\rm{d}}t)$
Câu 26 :
Cho hàm số \(y = \left( {m + 1} \right)x + 6\,\,\,\left( 1 \right)\) với \(m \ne - 1\) Gọi đồ thị của hàm số \(\left( 1 \right)\) là đường thẳng \(\left( d \right),\) tìm \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt đường thẳng \(y = 5x + m - 2\) tại một điểm nằm trên trục tung.
Đáp án : C Phương pháp giải :
Để hai đường thẳng \(\left( d \right):y = ax + b\) và \(\left( {d'} \right):y = a'x + b'\) cắt nhau tại một điểm trên trục tung thì \(a \ne a'\) và phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng có nghiệm \(x = 0\). Lời giải chi tiết :
Để \(d:\,\,y = \left( {m + 1} \right)x + 6\) cắt đường thẳng \(y = 5x + m - 2\) tại một điểm nằm trên trục tung thì \(m + 1 \ne 5\) và phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng có nghiệm \(x = 0\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 \ne 5\\\left( {m + 1} \right).0 + 6 = 5.0 + m - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 4\\6 = m - 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 4\\m = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 8\,\,\,\left( {tmđk\,\,m \ne - 1} \right)\end{array}\) Vậy \(m = 8\) là giá trị cần tìm.
Câu 27 :
Cho đường thẳng $d:y = x + 2;d':y = - 2x + 5$. Gọi $M$ là giao điểm của $d$ và $d'$ . $A$ và $B$ lần lượt là giao điểm của $d$ và $d'$ với trục hoành. Khi đó diện tích tam giác $AMB$ là:
Đáp án : D Phương pháp giải :
- Xác định giao điểm 2 đường thẳng đã cho - Dựng đường cao của tam giác được tạo thành - Tính độ dài các đoạn thẳng - Tính diện tích tam giác. Lời giải chi tiết :
 Xét phương trình hoành độ giao điểm của ${d_1};{d_2}$ $x + 2 = - 2x + 5 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = 3 \Rightarrow {d_1} \cap {d_2}$ tại $ M(1;3)$ Gọi $H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $M$ tới $Ox$. Suy ra $MH = 3$ $d \cap Ox$ tại $ A( - 2;0) \Rightarrow OA = 2$ $d' \cap Ox$ tại $ B\left( {\dfrac{5}{2};0} \right) \Rightarrow OB = \dfrac{5}{2}$ $\Rightarrow AB = OA+OB=2 + \dfrac{5}{2} = \dfrac{9}{2}$ ${S_{MAB}} = \dfrac{1}{2}AB.MH = \dfrac{1}{2}.\dfrac{9}{2}.3 = \dfrac{{27}}{4}\,(dvdt)$
Câu 28 :
Cho hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = 2x - 3\) và \(\left( {{d_2}} \right):y = - \dfrac{1}{2}x + 2\) Tìm \(m\) để ba đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\), \(\left( {{d_2}} \right)\) và \(\left( {{d_3}} \right):y = 3x - 2m - 3\) đồng quy.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị \((d_1);(d_2)\) để tìm \(x,\) thay giá trị \(x\) vừa tìm được vào 1 trong hai phương trình để tìm \(y.\) Ba đường thẳng đồng quy khi và chỉ khi đường thẳng thứ ba đi qua giao điểm của hai đường thẳng còn lại. Lời giải chi tiết :
Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\): \(2x - 3 = - \dfrac{1}{2}x + 2 \Leftrightarrow 2x + \dfrac{1}{2}x = 2 + 3 \Leftrightarrow \dfrac{5}{2}x = 5 \Leftrightarrow x = 2\) Thay \(x = 2\) vào hàm số \(y = 2x - 3\) ta được \(y = 2.2 - 3 = 1.\) Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) là \(A\left( {2;1} \right)\). Ba đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) , \(\left( {{d_2}} \right)\) và \(\left( {{d_3}} \right):y = 3x - 2m - 3\) đồng quy \( \Rightarrow \left( {{d_3}} \right)\) đi qua giao điểm của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\)\( \Rightarrow A \in \left( {{d_3}} \right)\) Thay tọa độ điểm \(A\) vào hàm số \(\left( {{d_3}} \right):\,\,y = 3x - 2m - 3\) ta được: \(1 = 3.2 - 2m - 3\)\( \Rightarrow 2m = 6 - 3 - 1 \Rightarrow m = 1\) Vậy \(m = 1\) thì ba đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) , \(\left( {{d_2}} \right)\) và \(\left( {{d_3}} \right):y = 3x - 2m - 3\) đồng quy.
Câu 29 :
Cho $M\left( {0;2} \right),N\left( {1;0} \right),P\left( { - 1; - 1} \right)$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA$ và $AB$ của tam giác $ABC$ . Phương trình đường thẳng $AB$ của tam giác $ABC$ là:
Đáp án : C Phương pháp giải :
- Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cho trước - Nhận xét được $MN//AB$ và $AB$ đi qua trung điểm $P$ Lời giải chi tiết :
Giả sử $MN:y = {\rm{ax}} + b$ Ta có $N$ thuộc $MN \Rightarrow 0 = a.1 + b \Rightarrow a = - b$; $M$ thuộc $MN \Rightarrow 2 = a.0 + b \Rightarrow b = 2 \Rightarrow a = - 2$ $\Rightarrow b=2$ Do đó $MN:y = - 2{\rm{x}} + 2$. Vì $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA$ của tam giác $ABC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC \Rightarrow MN//AB$ Suy ra $AB$ có dạng: $y = - 2x + b'\,(b' \ne 2)$ Vì $P$ là trung điểm của $AB$ nên $AB$ đi qua $P\left( { - 1; - 1} \right)$ $ \Rightarrow - 1 = - 2( - 1) + b' \Leftrightarrow b' = - 3(t/m)$ Vậy $AB:y = - 2x - 3.$
Câu 30 :
Cho $M\left( {0;2} \right),N\left( {1;0} \right),P\left( { - 1; - 1} \right)$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA$ và $AB$ của tam giác $ABC$ . Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.
Đáp án : D Phương pháp giải :
- Sử dụng kiến thức đường trung bình của tam giác - Điểm thuộc đường thẳng - Hai đường thẳng vuông góc: $ d \bot d'$ \( \Leftrightarrow a.a' = - 1\) \( (a;a' \ne 0) \) Lời giải chi tiết :
Gọi phương trình đường trung trực của $AB$ là $d:y = mx + n$ và $MN:y = ax + b$ Ta có $N$ thuộc $MN \Rightarrow 0 = a.1 + b \Rightarrow a = - b$; $M$ thuộc $MN \Rightarrow 2 = a.0 + b \Rightarrow b = 2 \Rightarrow a = - 2$ Do đó $MN:y = - 2{\rm{x}} + 2$. Vì $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA$ của tam giác $ABC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC \Rightarrow MN//AB$. Vì $d$ là đường trung trực của $AB$ nên $BC \bot MN \Rightarrow m( - 2) = - 1 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}$ $ \Rightarrow d:y = \dfrac{1}{2}x + n$ Vì $P$ là trung điểm của $AB$ nên \(d\) đi qua $P$ $ \Rightarrow - 1 = \dfrac{1}{2}( - 1) + n \Leftrightarrow n = - \dfrac{1}{2}$. Vậy trung trực của $AB$ là : $y = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2}$. Cho hai đường thẳng \({d_1}:y = \left( {m - 2} \right)x + m + 4\) và \({d_2}:y = \left( {n + 1} \right)x - 3\) Câu 31
Tìm điều kiện của \(m\) để hàm số có đồ thị \({d_1}\) luôn nghịch biến và điều kiện của \(n\) để hàm số có đồ thị \({d_2}\) luôn đồng biến.
Đáp án : C Phương pháp giải :
Hàm số có phương trình \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\): Luôn đồng biến khi \(a > 0\) và nghịch biến khi \(a < 0.\) Lời giải chi tiết :
Hàm số có đồ thị \({d_1}:y = \left( {m - 2} \right)x + m + 4\) luôn nghịch biến \( \Leftrightarrow m - 2 < 0 \Leftrightarrow m < 2\) Hàm số có đồ thị \({d_2}:y = \left( {n + 1} \right)x - 3\) luôn đồng biến \( \Leftrightarrow n + 1 > 0 \Rightarrow n > - 1\) Vậy \(m < 2\) thì hàm số có đồ thị \({d_1}\) luôn nghịch biến. \(n > - 1\) thì hàm số có đồ thị \({d_2}\) luôn đồng biến. Câu 32
Tìm các giá trị của \(m\) và của \(n\) để hai đường thẳng \({d_1}\)và \({d_2}\) cùng đi qua điểm \(A\left( {1;0} \right).\)
Đáp án : A Phương pháp giải :
Hai đường thẳng cùng đi qua 1 điểm thì tọa độ của điểm đó đều thỏa mãn hai phương trình đường thẳng. Lời giải chi tiết :
Hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) cùng đi qua điểm \(A\left( {1;0} \right)\) nên ta thay tọa độ điểm A vào hai phương trình ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}0 = \left( {m - 2} \right).1 + m + 4\\0 = \left( {n + 1} \right).1 - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 2 + m + 4 = 0\\n + 1 - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m = - 2\\n = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 1\\n = 2\end{array} \right.\) Vậy \(m = - 1;n = 2\). Cho hai đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {m - 2} \right)x + m\) và \(\left( \Delta \right):y = - 4x + 1\) Câu 33
Tìm \(m\) để \(\left( d \right)\) song song với \(\left( \Delta \right)\).
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng điều kiện để hai đường thẳng song song: Hai đường thẳng \(y = ax + b\) và \(y = a'x + b'\) song song với nhau khi và chỉ khi \(a = a',\,\,b \ne b'.\) Lời giải chi tiết :
Để \(\left( d \right)\) song song với \(\left( \Delta \right)\) thì: \(\left\{ \begin{array}{l}m - 2 = - 4\\m \ne 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 2\\m \ne 1\end{array} \right. \Rightarrow m = - 2.\) Vậy \(m = - 2\) thỏa mãn yêu cầu. Câu 34
Tìm điểm cố định đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn đi qua với mọi \(m\).
Đáp án : B Phương pháp giải :
Đưa phương trình về dạng phương trình bậc nhất ẩn \(m\), tìm điều kiện để phương trình có vô số nghiệm, từ đó suy ra tọa độ điểm cố định mà đường thẳng đi qua. Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\begin{array}{l}y = \left( {m - 2} \right)x + m\\ \Leftrightarrow y = mx - 2x + m\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)m - 2x - y = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\) Để phương trình (*) nghiệm đúng với mọi \(m\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\ - 2x - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 2\end{array} \right.\). Vậy đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn đi qua \(A\left( { - 1;2} \right)\) với mọi \(m\). Câu 35
Tìm tọa độ điểm \(B\) thuộc \(\left( \Delta \right)\) sao cho \(AB\) vuông góc với \(\left( \Delta \right)\).
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng điều kiện để hai đường thẳng vuông góc: Hai đường thẳng \(y = ax + b\) và \(y = a'x + b'\) vuông góc khi và chỉ khi \(a.a' = - 1\). Tọa độ của giao điểm hai đường thẳng chính là nghiệm của hệ hai phương trình đường thẳng. Lời giải chi tiết :
Vì đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\left( { - 1;2} \right)\) nên gọi phương trình đường thẳng \(AB\)có hệ số góc \(k\): \(y = k\left( {x + 1} \right) + 2.\) Mà \(AB \bot \left( \Delta \right) = B\) nên suy ra: \(k.\left( { - 4} \right) = - 1\, \Rightarrow k = \dfrac{1}{4}\) Khi đó phương trình đường thẳng \(AB\) là: \(y = \dfrac{1}{4}\left( {x + 1} \right) + 2\) hay \(y = \dfrac{1}{4}x + \dfrac{9}{4}.\) Khi đó tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{1}{4}x + \dfrac{9}{4}\\y = - 4x + 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \dfrac{5}{{17}}\\y = \dfrac{{37}}{{17}}\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {\dfrac{{ - 5}}{{17}};\dfrac{{37}}{{17}}} \right)\) Vậy \(B\left( {\dfrac{{ - 5}}{{17}};\dfrac{{37}}{{17}}} \right).\) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right):y = mx - 2\)\(\left( {m \ne 0} \right)\) Câu 36
Xác định \(m\) để hàm số \(y = mx - 2\)\(\left( {m \ne 0} \right)\) đồng biến.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Hàm số \(y = ax + b\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\)đồng biến khi \(a > 0\) và nghịch biến khi \(a < 0\). Lời giải chi tiết :
Hàm số \(y = mx - 2\) đồng biến\( \Leftrightarrow m > 0\) Vậy \(m > 0.\) Chọn A. Câu 37
Xác định giá trị của \(m\) để đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1;2} \right)\)
Đáp án : D Phương pháp giải :
Một điểm thuộc 1 đường thẳng khi tọa độ điểm đó thỏa mãn phương trình đường thẳng. Lời giải chi tiết :
Đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1;2} \right)\) nên ta thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right)\) ta được: \(2 = m.1 - 2 \Rightarrow m = 4\) Khi \(m = 4\) đường thẳng có phương trình \(y = 4x - 2\) Câu 38
Xác định giá trị của \(m\) để đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right)\) cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng \(1.\)
Đáp án : D Phương pháp giải :
Tìm giao điểm của đường thẳng và 2 trục tọa độ, tam giác tạo thành là tam giác vuông. Lời giải chi tiết :
Điều kiện: \(m \ne 0.\) +) Với \(y = 0 \Rightarrow mx - 2 = 0 \Rightarrow mx = 2 \Rightarrow x = \dfrac{2}{m}\) \( \Rightarrow \left( {{d_m}} \right):y = mx - 2\) với cắt \(Ox\) tại điểm \(A\left( {\dfrac{2}{m};\,\,0} \right).\) +) Với \(x = 0 \Rightarrow y = - 2 \Rightarrow B\left( {0;\,\, - 2} \right)\) là giao của \(\left( {{d_m}} \right)\) và \(Oy.\) Khi đó diện tích của tam giác sẽ là: \(\begin{array}{l}{S_{OAB}} = \dfrac{1}{2}OA.OB = \dfrac{1}{2}.\left| {\dfrac{2}{m}} \right|.\left| { - 2} \right| = \dfrac{2}{{\left| m \right|}} = 1\\ \Leftrightarrow \left| m \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 2\end{array} \right..\end{array}\) Vậy \(m = 2\) hoặc \(m = - 2\) thì đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right)\) cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 1.
Câu 39 :
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\)cho hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = {m^2}x - {m^4} + 2\) và \(\left( {{d_2}} \right):y = \dfrac{{{m^2}}}{{{m^2} + 1}}x + 2\) (\(m\) là tham số thực khác 0). Tìm tất cả giá trị của tham số \(m\) để \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) cắt nhau tại một điểm A duy nhất sao cho diện tích của hình thang \(ABHK\) bằng \(\dfrac{{15}}{2}.\) Biết \(B\left( { - 1;2} \right)\) và hai điểm \(H,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(B\) và A lên trục hoành.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Tìm tọa độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\)và \(\left( {{d_2}} \right)\) theo \(m.\) Rối sử dụng công thức tính diện tích hình thang để tìm \(m.\) Lời giải chi tiết :
Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\)và \(\left( {{d_2}} \right)\) là: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{m^2}x - {m^4} + 2 = \dfrac{{{m^2}}}{{{m^2} + 1}}x + 2\\ \Leftrightarrow {m^2}\left( {{m^2} + 1} \right)x - {m^2}x = {m^4}\left( {{m^2} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {m^2}x = {m^2}\left( {{m^2} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow x = {m^2} + 1\,\,\,\,\,\left( {m \ne 0} \right)\\ \Rightarrow y = {m^2} + 2 \Rightarrow A\left( {{m^2} + 1;{m^2} + 2} \right)\end{array}\)
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B, A lên \(Ox\) nên \(H\left( { - 1;0} \right),K\left( {{m^2} + 1;0} \right)\) \(\begin{array}{l}{S_{ABHK}} = \dfrac{{15}}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {AK + BH} \right)HK}}{2} = \dfrac{{15}}{2}\\ \Leftrightarrow \left( {AK + BH} \right)HK = 15\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 4} \right)\left( {{m^2} + 2} \right) = 15\\ \Leftrightarrow {m^4} + 6{m^2} + 8 = 15\\ \Leftrightarrow {m^4} + 6{m^2} - 7 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 1} \right)\left( {{m^2} + 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} - 1 = 0\\{m^2} + 7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} = 1 \Rightarrow m = \pm 1\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\{m^2} = - 7\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\) Vậy \(m = \pm 1.\)
|
