Trắc nghiệm Sự tương giao giữa đường thẳng và Parabol Toán 9Đề bài
Câu 1 :
Đường thẳng $d:y = mx + n$ và parabol $\left( P \right):y = a{x^2}$$\left( {a \ne 0} \right)$ tiếp xúc với nhau khi phương trình $a{x^2} = mx + n$ có
Câu 2 :
Chọn khẳng định đúng. Nếu phương trình $a{x^2} = mx + n$ vô nghiệm thì đường thẳng $d:y = mx + n$ và parabol $\left( P \right):y = a{x^2}$
Câu 3 :
Số giao điểm của đường thẳng $d:y = 2x + 4$ và parabol $\left( P \right):y = {x^2}$ là:
Câu 4 :
Tìm tham số $m$ để đường thẳng $d:y = \dfrac{1}{2}x + m$ tiếp xúc với parabol $\left( P \right):y = \dfrac{{{x^2}}}{2}$
Câu 5 :
Tìm tham số $m$ để đường thẳng $d:y = mx + 2$ cắt parabol $\left( P \right):y = \dfrac{{{x^2}}}{2}$ tại hai điểm phân biệt
Câu 6 :
Tìm tham số $m$ để đường thẳng $d:y = 2x + m$ và parabol $\left( P \right):y = 2{x^2}$ không có điểm chung
Câu 7 :
Tìm tham số $m$ để đường thẳng $d:y = mx + m + 1$ và parabol $\left( P \right):y = {x^2}$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt nằm bên trái trục tung.
Câu 8 :
Tìm tham số $m$ để đường thẳng $d:y = \left( {m - 2} \right)x + 3m$ và parabol $\left( P \right):y = {x^2}$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt nằm hai phía của trục tung.
Câu 9 :
Có bao nhiêu giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d:y = 2mx + 4$ và parabol $\left( P \right):y = {x^2}$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ ${x_1};{x_2}$ thỏa mãn $\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = - 3$
Câu 10 :
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để đường thẳng $d:y = 2mx - 2m + 3$ và parabol $\left( P \right):y = {x^2}$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt có tọa độ $\left( {{x_1};{y_1}} \right);\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ thỏa mãn ${y_1} + {y_2} < 9$
Câu 11 :
Cho đường thẳng \(d\) :\(y = - 3x + 1\) và parabol : \(\left( P \right)\)\(y = m{x^2}\left( {m \ne 0} \right)\). Tìm \(m\) để \(d\) và \(\left( P \right)\) cắt nhau tại hai điểm \(A\) và \(B\) phân biệt và cùng nằm về một phía đối với trục tung.
Câu 12 :
Cho parabol $\left( P \right):y = {x^2}$ và $d:y = 2x + 3.$ Câu 12.1
Tìm tọa độ giao điểm $A,B$ của $\left( P \right)$ và $ d$.
Câu 12.2
Với giao điểm $A,B$ của $\left( P \right)$ và $d$ ở câu trước . Gọi $C,D$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A,B$ lên $Ox$. Tính diện tích tứ giác ${\rm{ABDC}}$.
Câu 13 :
Tìm giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d:y = - \dfrac{1}{2}x + m$ và parabol $\left( P \right):y = - \dfrac{1}{4}{x^2}$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ ${x_1};{x_2}$ thỏa mãn \(3{x_1} + 5{x_2} = 5\)
Câu 14 :
Cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(d:y = \left( {{m^2} + 2} \right)x - {m^2}\). Tìm \(m\) để \(d\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt nằm về bên phải trục tung.
Câu 15 :
Cho parabol \(\left( P \right)\) có đỉnh \(O\) và đi qua điểm \(A\left( {2;4} \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = 2(m - 1)x + 2m + 2\) (với \(m\) là tham số). Giá trị của \(m\) để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt là
Câu 16 :
Cho parabol \(\left( P \right):y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\) đi qua điểm \(A\left( { - 2;4} \right)\) và tiếp xúc với đồ thị \(\left( d \right)\) của hàm số \(y = 2(m - 1)x - (m - 1)\).Toạ độ tiếp điểm là
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Đường thẳng $d:y = mx + n$ và parabol $\left( P \right):y = a{x^2}$$\left( {a \ne 0} \right)$ tiếp xúc với nhau khi phương trình $a{x^2} = mx + n$ có
Đáp án : B Lời giải chi tiết :
Đường thẳng $d$ và parabol $\left( P \right)$ tiếp xúc với nhau khi phương trình $a{x^2} = mx + n \Leftrightarrow a{x^2} - mx - n = 0$ có nghiệm kép $\left( {\Delta = 0} \right)$
Câu 2 :
Chọn khẳng định đúng. Nếu phương trình $a{x^2} = mx + n$ vô nghiệm thì đường thẳng $d:y = mx + n$ và parabol $\left( P \right):y = a{x^2}$
Đáp án : C Lời giải chi tiết :
Đường thẳng $d:y = mx + n$ và parabol $\left( P \right):y = a{x^2}$ không cắt nhau khi phương trình $a{x^2} = mx + n$ vô nghiệm.
Câu 3 :
Số giao điểm của đường thẳng $d:y = 2x + 4$ và parabol $\left( P \right):y = {x^2}$ là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Bước 1: Giải phương trình hoành độ giao điểm. Bước 2: Số nghiệm vừa tìm được của phương trình là số giao điểm của đường thẳng và parabol Lời giải chi tiết :
Xét phương trình hoành độ giao điểm ${x^2} = 2x + 4 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 4 = 0$ có $\Delta ' = 5 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt hay đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt.
Câu 4 :
Tìm tham số $m$ để đường thẳng $d:y = \dfrac{1}{2}x + m$ tiếp xúc với parabol $\left( P \right):y = \dfrac{{{x^2}}}{2}$
Đáp án : D Phương pháp giải :
Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và parabol Bước 2: Để đường thẳng tiếp xúc với parabol thì phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép Lời giải chi tiết :
Xét phương trình hoành độ giao điểm $\dfrac{{{x^2}}}{2} = \dfrac{1}{2}x + m \Leftrightarrow {x^2} - x - 2m = 0$ có $\Delta = 8m + 1$ Để đường thẳng $d$ tiếp xúc với parabol $\left( P \right)$ thì $\Delta = 0 \Leftrightarrow 8m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = - \dfrac{1}{8}$.
Câu 5 :
Tìm tham số $m$ để đường thẳng $d:y = mx + 2$ cắt parabol $\left( P \right):y = \dfrac{{{x^2}}}{2}$ tại hai điểm phân biệt
Đáp án : D Phương pháp giải :
Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và parabol Bước 2: Để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt thì phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt. Lời giải chi tiết :
Xét phương trình hoành độ giao điểm $\dfrac{{{x^2}}}{2} = mx + 2 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx - 4 = 0$ có $\Delta ' = {m^2} + 4$ Vì $\Delta ' = {m^2} + 4 > 0;\forall m$ nên đường thẳng $d:y = mx + 2$ cắt parabol $\left( P \right):y = \dfrac{{{x^2}}}{2}$ tại hai điểm phân biệt với mọi $m$.
Câu 6 :
Tìm tham số $m$ để đường thẳng $d:y = 2x + m$ và parabol $\left( P \right):y = 2{x^2}$ không có điểm chung
Đáp án : A Phương pháp giải :
Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và parabol Bước 2: Để đường thẳng không cắt parabol thì phương trình hoành độ giao điểm vô nghiệm Lời giải chi tiết :
Xét phương trình hoành độ giao điểm $2{x^2} = 2x + m \Leftrightarrow 2{x^2} - 2x - m = 0$ có $\Delta ' = 1 + 2m$ Để đường thẳng $d:y = 2x + m$ không cắt parabol $\left( P \right):y = 2{x^2}$ thì $\Delta ' < 0 \Leftrightarrow 2m + 1 < 0 \Leftrightarrow m < - \dfrac{1}{2}$
Câu 7 :
Tìm tham số $m$ để đường thẳng $d:y = mx + m + 1$ và parabol $\left( P \right):y = {x^2}$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt nằm bên trái trục tung.
Đáp án : B Phương pháp giải :
Bước 1: Viết phương trình hoành độ giao điểm (*) Bước 2: Đường thẳng $d$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt nằm bên trái trục tung $ \Leftrightarrow $ phương trình (*) có hai nghiệm âm phân biệt $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right.$ Lời giải chi tiết :
Phương trình hoành độ giao điểm ${x^2} = mx + m + 1 \Leftrightarrow {x^2} - mx - m - 1 = 0\left( * \right)$ có $\Delta = {m^2} - 4\left( { - m - 1} \right) = {m^2} + 4m + 4 = {\left( {m + 2} \right)^2} \ge 0$, $\forall m$; $S = {x_1} + {x_2} = m;P = {x_1}.{x_2} = - m - 1$ với ${x_1};{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình (*). Đường thẳng $d$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt nằm bên trái trục tung $ \Leftrightarrow $ phương trình (*) có hai nghiệm âm phân biệt $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 2} \right)^2} > 0\\m < 0\\ - m - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne - 2\\m < 0\\m < - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < - 1\\m \ne - 2\end{array} \right.$ Vậy $\left\{ \begin{array}{l}m < - 1\\m \ne - 2\end{array} \right.$ .
Câu 8 :
Tìm tham số $m$ để đường thẳng $d:y = \left( {m - 2} \right)x + 3m$ và parabol $\left( P \right):y = {x^2}$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt nằm hai phía của trục tung.
Đáp án : D Phương pháp giải :
Bước 1: Viết phương trình hoành độ giao điểm (*) Bước 2: Đường thẳng $d$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt nằm hai phía trục tung $ \Leftrightarrow $ phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu$ \Leftrightarrow ac < 0$ Lời giải chi tiết :
Phương trình hoành độ giao điểm ${x^2} = \left( {m - 2} \right)x + 3m $ $\Leftrightarrow {x^2} - \left( {m - 2} \right)x - 3m = 0$ Đường thẳng $d$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt nằm hai phía trục tung $ \Leftrightarrow $ phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu $ \Leftrightarrow ac < 0$ $ \Leftrightarrow - 3m < 0 \Leftrightarrow m > 0$.
Câu 9 :
Có bao nhiêu giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d:y = 2mx + 4$ và parabol $\left( P \right):y = {x^2}$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ ${x_1};{x_2}$ thỏa mãn $\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = - 3$
Đáp án : B Phương pháp giải :
Bước 1: Viết phương trình hoành độ giao điểm (*) Bước 2: Tìm điều kiện để đường thẳng $d$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt Bước 3: Biến đổi biểu thức đã cho để sử dụng hệ thức Vi-et và tìm $m$. Lời giải chi tiết :
Phương trình hoành độ giao điểm ${x^2} = 2mx + 4 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx - 4 = 0$ có $\Delta ' = {m^2} + 4 > 0;\forall m$ nên đường thẳng $d$ luôn cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ ${x_1};{x_2}$ Theo hệ thức Vi-et ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}.{x_2} = - 4\end{array} \right.$(${x_1};{x_2} \ne 0$) Ta có $\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = - 3$$ \Leftrightarrow \dfrac{{{x_1}^2 + x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}} = - 3 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + {x_1}{x_2} = 0 \Leftrightarrow 4{m^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 1\end{array} \right.$ Vậy $m = 1;m = - 1$ là các giá trị cần tìm.
Câu 10 :
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để đường thẳng $d:y = 2mx - 2m + 3$ và parabol $\left( P \right):y = {x^2}$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt có tọa độ $\left( {{x_1};{y_1}} \right);\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ thỏa mãn ${y_1} + {y_2} < 9$
Đáp án : C Phương pháp giải :
Bước 1: Viết phương trình hoành độ giao điểm (*) Bước 2: Tìm điều kiện để đường thẳng $d$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt Bước 3: Biến đổi biểu thức đã cho để sử dụng hệ thức Vi-et và tìm $m$. Lời giải chi tiết :
Phương trình hoành độ giao điểm ${x^2} = 2mx - 2m + 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + 2m - 3 = 0$ có $\Delta ' = {m^2} - 2m + 3 = {\left( {m - 1} \right)^2} + 2 > 0;\forall m$ Nên nên đường thẳng $d$ luôn cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt có tọa độ $\left( {{x_1};{y_1}} \right);\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ Ta có ${y_1} = x_1^2;{y_2} = x_2^2$. Theo hệ thức Vi-et: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}.{x_2} = 2m - 3\end{array} \right.$ Xét ${y_1} + {y_2} < 9$$ \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 < 9 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} < 9 \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m + 6 - 9 < 0$$ \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m - 3 < 0 \Leftrightarrow \left( {2m + 1} \right)\left( {2m - 3} \right) < 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2m + 1 < 0\\2m - 3 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2m + 1 > 0\\2m - 3 < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m < - \dfrac{1}{2}\\m > \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m < - \dfrac{1}{2}\\m < \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow - \dfrac{1}{2} < m < \dfrac{3}{2}$ Mà $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {0;1} \right\}$ Vậy có hai giá trị của $m$ thỏa mãn.
Câu 11 :
Cho đường thẳng \(d\) :\(y = - 3x + 1\) và parabol : \(\left( P \right)\)\(y = m{x^2}\left( {m \ne 0} \right)\). Tìm \(m\) để \(d\) và \(\left( P \right)\) cắt nhau tại hai điểm \(A\) và \(B\) phân biệt và cùng nằm về một phía đối với trục tung.
Đáp án : B Phương pháp giải :
Bước 1: Viết phương trình hoành độ giao điểm (*) Bước 2: Đường thẳng $d$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt nằm cùng một phía với trục tung $ \Leftrightarrow $ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\end{array} \right.$ Lời giải chi tiết :
Phương trình hoành độ giao điểm $m{x^2} = - 3x + 1 \Leftrightarrow m{x^2} + 3x - 1 = 0\,\left( * \right)$ có $\Delta = 9 + 4m$; $P = {x_1}.{x_2} = \dfrac{{ - 1}}{m}$ với ${x_1};{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình (*). Đường thẳng $d$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt nằm cùng một phía với trục tung $ \Leftrightarrow $ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m + 9 > 0\\\dfrac{{ - 1}}{m} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - \dfrac{9}{4}\\m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - \dfrac{9}{4} < m < 0$ Vậy $ - \dfrac{9}{4} < m < 0$.
Câu 12 :
Cho parabol $\left( P \right):y = {x^2}$ và $d:y = 2x + 3.$ Câu 12.1
Tìm tọa độ giao điểm $A,B$ của $\left( P \right)$ và $ d$.
Đáp án : C Phương pháp giải :
Giải phương trình hoành độ giao điểm tìm được hoành độ $x$, thay trở lại hàm số tìm được $y$ từ đó giao điểm có tọa độ $\left( {x;y} \right)$. Lời giải chi tiết :
Phương trình hoành độ giao điểm ${x^2} = 2x + 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1 \Rightarrow y = {\left( { - 1} \right)^2} = 1\\x = 3 \Rightarrow y = {3^2} = 9\end{array} \right.$ Giao điểm của $d$ và $\left( P \right)$ là $A\left( { - 1;1} \right);B\left( {3;9} \right)$. Câu 12.2
Với giao điểm $A,B$ của $\left( P \right)$ và $d$ ở câu trước . Gọi $C,D$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A,B$ lên $Ox$. Tính diện tích tứ giác ${\rm{ABDC}}$.
Đáp án : A Phương pháp giải :
+) Vẽ hình trên cùng một hệ trục tọa độ +) Xác định tọa độ $C,D$ +) Tính diện tích hình thang vuông ${\rm{ABCD}}$. Sử dụng công thức tính độ dài $A\left( {{x_A};{y_A}} \right);B\left( {{x_B};{y_B}} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_B}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_B}} \right)}^2}} $ Lời giải chi tiết :
Ta có $A\left( { - 1;1} \right);B\left( {3;9} \right)$ nên $C\left( { - 1;0} \right);D\left( {3;0} \right)$ $ \Rightarrow AC = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = 1;$ $DC = 4;BD = \sqrt {{0^2} + {9^2}} = 9.$ Vì $AC \bot BC;BD \bot BC \Rightarrow ABDC$ là hình thang vuông nên ${S_{ABDC}} = \dfrac{{\left( {AC + BD} \right).DC}}{2} = 20$ (đvdt) 
Câu 13 :
Tìm giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d:y = - \dfrac{1}{2}x + m$ và parabol $\left( P \right):y = - \dfrac{1}{4}{x^2}$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ ${x_1};{x_2}$ thỏa mãn \(3{x_1} + 5{x_2} = 5\)
Đáp án : A Phương pháp giải :
Bước 1: Viết phương trình hoành độ giao điểm (*) Bước 2: Tìm điều kiện để đường thẳng $d$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt Bước 3: Sử dụng hệ thức Vi-et kết hợp với phương trình đã cho để tìm $m$. Lời giải chi tiết :
Phương trình hoành độ giao điểm $ - \dfrac{1}{4}{x^2} = - \dfrac{1}{2}x + m \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 4m = 0$ có $\Delta ' = 1 - 4m$ Để đường thẳng $d$ luôn cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ ${x_1};{x_2}$ thì $\Delta > 0 \Leftrightarrow 1 - 4m > 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{1}{4}$ Theo hệ thức Vi-et ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\,\left( 1 \right)\\{x_1}.{x_2} = 4m\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$ Ta có \(3{x_1} + 5{x_2} = 5\)$ \Leftrightarrow {x_1} = \dfrac{{5 - 5{x_2}}}{3}$ thay vào phương trình $\left( 1 \right)$ ta được $\dfrac{{5 - 5{x_2}}}{3} + {x_2} = 2 \Leftrightarrow {x_2} = - \dfrac{1}{2} \Rightarrow {x_1} = \dfrac{5}{2}$ Thay ${x_2} = - \dfrac{1}{2};{x_1} = \dfrac{5}{2}$ vào phương trình $\left( 2 \right)$ ta được $\left( { - \dfrac{1}{2}} \right).\dfrac{5}{2} = 4m \Leftrightarrow m = - \dfrac{5}{{16}}$ (TM ) Vậy $m = - \dfrac{5}{{16}}$ là giá trị cần tìm.
Câu 14 :
Cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(d:y = \left( {{m^2} + 2} \right)x - {m^2}\). Tìm \(m\) để \(d\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt nằm về bên phải trục tung.
Đáp án : C Phương pháp giải :
- Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và \(\left( P \right)\).. - Điều kiện để hai giao điểm nằm về bên phải trục tung là phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dương \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right..\) Lời giải chi tiết :
Xét phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} = \left( {{m^2} + 2} \right)x - {m^2} \Leftrightarrow {x^2} - \left( {{m^2} + 2} \right)x + {m^2} = 0\left( 1 \right)\). \(d\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt nằm về bên phải trục tung khi và chỉ khi phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt cùng dương \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta = {\left( {{m^2} + 2} \right)^2} - 4{m^2} > 0\\S = {m^2} + 2 > 0\\P = {m^2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{m^2} - 2m + 2} \right)\left( {{m^2} + 2m + 2} \right) > 0\\m \ne 0\end{array} \right.\) Mà \({m^2} - 2m + 2 = {\left( {m - 1} \right)^2} + 1 > 0\,\,\forall m;\)\({m^2} + 2m + 2 = {\left( {m + 1} \right)^2} + 1 > 0\,\,\forall m\) nên \(\left( {{m^2} - 2m + 2} \right)\left( {{m^2} + 2m + 2} \right) > 0;\,\forall m\) Từ đó \(m \ne 0\) thỏa mãn đề bài.
Câu 15 :
Cho parabol \(\left( P \right)\) có đỉnh \(O\) và đi qua điểm \(A\left( {2;4} \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = 2(m - 1)x + 2m + 2\) (với \(m\) là tham số). Giá trị của \(m\) để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt là
Đáp án : D Phương pháp giải :
Viết phương trình parabol khi biết điểm đi qua Sử dụng biện luận phương trình bậc hai để biện luận số giao điểm của hai đồ thị thông qua phương trình hoành độ giao điểm Lời giải chi tiết :
Parabol \(\left( P \right)\) có đỉnh \(O\) nên có dạng \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\). Mà \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {2;4} \right)\) nên toạ độ \(A\) thoả mãn phương trình parabol \(\left( P \right)\) suy ra \(4 = a{.2^2} = 4a \Leftrightarrow a = 1\) (thoả mãn \(a \ne 0\)) Phương trình parabol \(\left( P \right)\) là \(y = {x^2}\). \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt thì phương trình hoành độ giao điểm phải có hai nghiệm phân biệt. Suy ra phương trình \({x^2} - 2(m - 1)x - 2m - 2 = 0\) có hai nghiệm phân biệt. \( \Leftrightarrow \Delta ' = {( - (m - 1))^2} + 2m + 2 > 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 + 2m + 2 > 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} + 3 > 0\) (luôn đúng) Vậy \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt.
Câu 16 :
Cho parabol \(\left( P \right):y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\) đi qua điểm \(A\left( { - 2;4} \right)\) và tiếp xúc với đồ thị \(\left( d \right)\) của hàm số \(y = 2(m - 1)x - (m - 1)\).Toạ độ tiếp điểm là
Đáp án : C Phương pháp giải :
Viết phương trình parabol khi biết điểm đi qua Sử dụng biện luận phương trình bậc hai để biện luận số giao điểm của hai đồ thị thông qua phương trình hoành độ giao điểm Lời giải chi tiết :
\(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( { - 2;4} \right)\) nên \(4 = a.{\left( { - 2} \right)^2} = 4a \Leftrightarrow a = 1\). Vậy phương trình parabol \(\left( P \right)\) là \(y = {x^2}\). Để \(\left( P \right)\) tiếp xúc với \(\left( d \right)\) thì phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} - 2(m - 1)x + (m - 1) = 0\) có nghiệm kép \( \Leftrightarrow \Delta ' = {( - (m - 1))^2} - m + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 - m + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} - 3m + 2 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 2\end{array} \right.\) Nếu \(m = 1\) thì hoành độ giao điểm là \(x = 0\) . Vậy tiếp điểm \(\left( {0;0} \right)\) Nếu \(m = 2\) thì hoành độ giao điểm là \(x = 1\) . Vậy tiếp điểm \(\left( {1;1} \right)\)
|
