Trắc nghiệm Bài tập hay và khó chương 3 về hệ phương trình Toán 9Đề bài
Câu 1 :
Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 5\\mx - y = 4\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l}\left( 1 \right)\\\left( 2 \right)\end{array}\) Câu 1.1
Tìm \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x,y} \right)\) trong đó $x,y$ trái dấu.
Câu 1.2
Tìm \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn $x = \left| y \right|$.
Câu 2 :
Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + my = m + 1\\mx + y = 3m - 1\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l}\left( 1 \right)\\\left( 2 \right)\end{array}\) Câu 2.1
Tìm số nguyên \(m\) sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x,y} \right)\) mà $x,y$ đều là số nguyên.
Câu 2.2
Trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\) thì điểm \(M\left( {x;y} \right)\) luôn chạy trên đường thẳng nào dưới đây?
Câu 2.3
Tìm \(m\) để hệ trên có nghiệm duy nhất sao cho \(x.y\) đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 3 :
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{(x + y)^2} + y = 3\\2({x^2} + {y^2} + xy) + x = 5\end{array} \right.\) ta được số nghiệm là
Câu 4 :
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}xy - {y^2} = \sqrt {3y - 1} - \sqrt {x + 2y - 1} \,\,\, (1)\\{x^3}y - 4x{y^2} + 7xy - 5x - y + 2 = 0 \,\,\, (2)\end{array} \right.\) ( với \(x \in R,y \in R\)) ta được nghiệm là $(x;y).$ Khi đó $x.y$ bằng
Câu 5 :
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 2xy = 2\\{x^3} + {y^3} = 8\end{array} \right.\) có bao nhiêu nghiệm?
Câu 6 :
Biết rằng hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x + y} \right) = 3\left( {\sqrt[3]{{{x^2}y}} + \sqrt[3]{{x{y^2}}}} \right)\\\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 6\end{array} \right.\) có hai cặp nghiệm \(\left( {{x_1};{y_1}} \right);\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) . Tính \({x_1} + {x_2}\) .
Câu 7 :
Biết rằng hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - \sqrt {xy} = 3\\\sqrt {x + 1} + \sqrt {y + 1} = 4\end{array} \right.\) có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\) . Tính \(x + 2y\) .
Câu 8 :
Biết rằng hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + {y^2}} + \sqrt {2xy} = 8\sqrt 2 \\\sqrt x + \sqrt y = 4\end{array} \right.\) có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\) . Tính \(\dfrac{x}{y}\) .
Câu 9 :
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{xy}}} \right) = 5\\\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{{x^2}{y^2}}}} \right) = 9\end{array} \right.\) có số nghiệm là
Câu 10 :
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3}y\left( {1 + y} \right) + {x^2}{y^2}\left( {2 + y} \right) + x{y^3} - 30 = 0\\{x^2}y + x\left( {1 + y + {y^2}} \right) + y - 11 = 0\end{array} \right.\) có bao nhiêu cặp nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) mà \(x < 1\) ?
Câu 11 :
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + \sqrt x = 2y\\{y^2} + \sqrt y = 2x\end{array} \right.\) có bao nhiêu cặp nghiệm \(\left( {x;y} \right) \ne \left( {0;0} \right)\) ?
Câu 12 :
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {{y^2} + 6} \right) = y\left( {{x^2} + 1} \right)\\\left( {y - 1} \right)\left( {{x^2} + 6} \right) = x\left( {{y^2} + 1} \right)\end{array} \right.\) có bao nhiêu cặp nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) mà \(x > y\) ?
Câu 13 :
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{xy}} = \dfrac{x}{z} + 1\\\dfrac{1}{{yz}} = \dfrac{y}{x} + 1\\\dfrac{1}{{zx}} = \dfrac{z}{y} + 1\end{array} \right.\). Số nghiệm của hệ phương trình trên là:
Câu 14 :
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{y^3} - {x^3} = 1\\{x^5} - {y^5} + xy = 0\end{array} \right.\) . Khẳng định nào trong các khẳng định sau đúng:
Câu 15 :
Cho \((x;y;z)\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + 3{x^2} + 2x - 5 = y\\{y^3} + 3{y^2} + 2y - 5 = z\\{z^3} + 3{z^2} + 2z - 5 = x\end{array} \right.\) Khẳng định nào trong các khẳng định sau là sai:
Câu 16 :
Cho \((x;y;z)\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}36{x^2}y - 60{x^2} + 25y = 0\\36{y^2}z - 60{y^2} + 25z = 0\\36{z^2}x - 60{z^2} + 25x = 0\end{array} \right.\) Giá trị nhỏ nhất của \(A = x + y + z\) là:
Câu 17 :
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{\rm{ - ax}} + y = 3\\\left| {x + 1} \right| + y = 2\end{array} \right.$. Giá trị của a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là:
Câu 18 :
Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2x + 3} + \sqrt {4 - y} = 4{\rm{ }}\left( 1 \right)\\\sqrt {2y + 3} + \sqrt {4 - x} = 4{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Câu 19 :
Giải hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{xy}}} \right) = 5\\\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{{x^2}{y^2}}}} \right) = 9\end{array} \right.\)
Câu 20 :
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 2x - y\\{y^2} = 2y - z\\{z^2} = 2z - t\\{t^2} = 2t - x\end{array} \right.\)
Câu 21 :
Tìm các số thực \(x\) và \(y\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} = {y^2} + 18\\{y^3} = {x^2} + 18\end{array} \right.\).
Câu 22 :
Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + 2{y^2} + x{y^2} = 2 + x - 2{x^2}\\4{y^2} = \left( {\sqrt {{y^2} + 1} + 1} \right)\left( {{y^2} - {x^3} + 3x - 2} \right)\end{array} \right.\)
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 5\\mx - y = 4\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l}\left( 1 \right)\\\left( 2 \right)\end{array}\) Câu 1.1
Tìm \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x,y} \right)\) trong đó $x,y$ trái dấu.
Đáp án : A Phương pháp giải :
+ Từ phương trình (1) biểu diễn \(x\) theo \(y.\) + Thế vào phương trình \(\left( 2 \right)\) để được phương trình bậc nhất ẩn \(y.\) + Sử dụng kiến thức \(A.X + B = 0\) có nghiệm duy nhất khi \(A \ne 0.\) + Biến đổi theo yêu cầu \(xy < 0\) để tìm ra điều kiện của \(m.\) Lời giải chi tiết :
Từ phương trình (1) ta có \(x = 2y + 5\). Thay \(x = 2y + 5\) vào phương trình (2) ta được:\(m\left( {2y + 5} \right) - y = 4 \Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right).y = 4 - 5m\) (3) Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) có nghiệm duy nhất. Điều này tương đương với: \(2m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \dfrac{1}{2}\). Từ đó ta được: \(y = \dfrac{{4 - 5m}}{{2m - 1}}\) và \(x = 5 + 2y = \dfrac{3}{{2m - 1}}\). Ta có: \(x.y = \dfrac{{3\left( {4 - 5m} \right)}}{{{{\left( {2m - 1} \right)}^2}}}\). Do đó \(x.y < 0 \Leftrightarrow 4 - 5m < 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{4}{5}\) (thỏa mãn điều kiện) Câu 1.2
Tìm \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn $x = \left| y \right|$.
Đáp án : A Phương pháp giải :
+ Từ phương trình (1) biểu diễn \(x\) theo \(y.\) + Thế vào phương trình \(\left( 2 \right)\) để được phương trình bậc nhất ẩn \(y.\) + Sử dụng kiến thức \(A.X + B = 0\) có nghiệm duy nhất khi \(A \ne 0.\) + Biến đổi theo yêu cầu $x = \left| y \right|$ để tìm ra điều kiện của \(m.\) Lời giải chi tiết :
Từ phương trình (1) ta có \(x = 2y + 5\). Thay \(x = 2y + 5\) vào phương trình (2) ta được:\(m\left( {2y + 5} \right) - y = 4 \Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right).y = 4 - 5m\) (3) Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) có nghiệm duy nhất. Điều này tương đương với: \(2m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \dfrac{1}{2}\). Từ đó ta được: \(y = \dfrac{{4 - 5m}}{{2m - 1}}\) và \(x = 5 + 2y = \dfrac{3}{{2m - 1}}\). Ta có: \(x = \left| y \right| \Leftrightarrow \dfrac{3}{{2m - 1}} = \left| {\dfrac{{4 - 5m}}{{2m - 1}}} \right|\) (4) Từ (4) suy ra \(2m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{1}{2}\). Với điều kiện \(m > \dfrac{1}{2}\) ta có: \(\left( 4 \right) \Leftrightarrow \left| {4 - 5m} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4 - 5m = 3\\4 - 5m = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{1}{5}\left( l \right)\\m = \dfrac{7}{5}\end{array} \right.\). Vậy \(m = \dfrac{7}{5}\).
Câu 2 :
Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + my = m + 1\\mx + y = 3m - 1\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l}\left( 1 \right)\\\left( 2 \right)\end{array}\) Câu 2.1
Tìm số nguyên \(m\) sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x,y} \right)\) mà $x,y$ đều là số nguyên.
Đáp án : C Phương pháp giải :
+ Từ phương trình (2) biểu diễn \(y\) theo \(x.\) + Thế vào phương trình \(\left( 1 \right)\) để được phương trình bậc nhất ẩn \(x.\) + Sử dụng kiến thức \(A.X + B = 0\) có nghiệm duy nhất khi \(A \ne 0.\) + Biến đổi theo yêu cầu $x;y \in Z$ để tìm ra điều kiện của \(m.\) Lời giải chi tiết :
Từ phương trình (2) ta có \(y = 3m - 1 - mx\). Thay vào phương trình (1) ta được:\(x + m\left( {3m - 1 - mx} \right) = m + 1 \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 1} \right)x = 3{m^2} - 2m - 1\) (3) Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm duy nhất , tức là \({m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 1\). Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3{m^2} - 2m - 1}}{{{m^2} - 1}} = \dfrac{{\left( {m - 1} \right)\left( {3m + 1} \right)}}{{\left( {m - 1} \right).\left( {m + 1} \right)}} = \dfrac{{3m + 1}}{{m + 1}}\\y = 3m - 1 - m.\dfrac{{3m + 1}}{{m + 1}} = \dfrac{{m - 1}}{{m + 1}}\end{array} \right.\) Hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3m + 1}}{{m + 1}} = 3 - \dfrac{2}{{m + 1}}\\y = \dfrac{{m - 1}}{{m + 1}} = 1 - \dfrac{2}{{m + 1}}\end{array} \right.\) Vậy \(x,y\) nguyên khi và chỉ khi \(\dfrac{2}{{m + 1}}\) nguyên. Do đó \(m + 1\) chỉ có thể là \( - 2; - 1;1;2\). Vậy \(m \in \left\{ { - 3; - 2;0} \right\}\) (thỏa mãn) hoặc \(m = 1\) (loại). Câu 2.2
Trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\) thì điểm \(M\left( {x;y} \right)\) luôn chạy trên đường thẳng nào dưới đây?
Đáp án : C Phương pháp giải :
+ Tìm \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (sử dụng kết quả câu trước ) + Tìm \(x;y\) theo \(m\) và biến đổi để có hệ thức của \(x;y\) độc lập với \(m.\) Lời giải chi tiết :
Theo câu trước ta có hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \(m \ne \pm 1\) Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3m + 1}}{{m + 1}} = 3 - \dfrac{2}{{m + 1}}\\y = \dfrac{{m - 1}}{{m + 1}} = 1 - \dfrac{2}{{m + 1}}\end{array} \right.\) Suy ra: $x - y = 3 - \dfrac{2}{{m + 1}} - \left( {1 - \dfrac{2}{{m + 1}}} \right) = 2$ Vậy điểm \(M\left( {x;y} \right)\) luôn chạy trên đường thẳng cố định có phương trình \(y = x - 2\). Câu 2.3
Tìm \(m\) để hệ trên có nghiệm duy nhất sao cho \(x.y\) đạt giá trị nhỏ nhất
Đáp án : B Phương pháp giải :
+ Tìm \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (sử dụng kết quả câu trước ) + Tìm \(x;y\) theo \(m\) và biến đổi để có \(x.y\) nhỏ nhất. Lời giải chi tiết :
Theo câu trước ta có hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \(m \ne \pm 1\) Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3m + 1}}{{m + 1}} = 3 - \dfrac{2}{{m + 1}}\\y = \dfrac{{m - 1}}{{m + 1}} = 1 - \dfrac{2}{{m + 1}}\end{array} \right.\) suy ra \(y = x - 2.\) Nên \(xy = x.\left( {x - 2} \right) = {x^2} - 2x + 1 - 1 = {\left( {x - 1} \right)^2} - 1 \ge - 1\) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \(x = 1 \Leftrightarrow 3 - \dfrac{2}{{m + 1}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{2}{{m + 1}} = 2 \Leftrightarrow m + 1 = 1 \Leftrightarrow m = 0\). Vậy với \(m = 0\) thì \(x.y\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 3 :
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{(x + y)^2} + y = 3\\2({x^2} + {y^2} + xy) + x = 5\end{array} \right.\) ta được số nghiệm là
Đáp án : A Phương pháp giải :
+ Khai triển hằng đẳng thức rồi dùng phương pháp cộng đại số để biến đổi Lời giải chi tiết :
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{(x + y)^2} + y = 3\,\\2({x^2} + {y^2} + xy) + x = 5\,\end{array} \right.$\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + 4xy + 2{y^2} + 2y = 6\\2{x^2} + 2{y^2} + 2xy + x = 5\end{array} \right.\) Suy ra \(2xy + 2y - x - 1 = 0\)\( \Leftrightarrow (x + 1)(2y - 1) = 0 \Leftrightarrow x = - 1\) hoặc \(y = \dfrac{1}{2}\) Với \(x = - 1\), ta được \({y^2} - y - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = - 1\\y = 2\end{array} \right.\) Ta được hai nghiệm \(( - 1; - 1)\)và \(( - 1;2)\) Với \(y = \dfrac{1}{2}\), ta được \({x^2} + x - \dfrac{9}{4} = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 1 \pm \sqrt {10} }}{2}\) Ta được hai nghiệm \(\left( {\dfrac{{ - 1 - \sqrt {10} }}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\)và \(\left( {\dfrac{{ - 1 + \sqrt {10} }}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\) Vậy hệ có bốn nghiệm \(( - 1; - 1)\); \(( - 1;2)\); \(\left( {\dfrac{{ - 1 - \sqrt {10} }}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\)và \(\left( {\dfrac{{ - 1 + \sqrt {10} }}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\).
Câu 4 :
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}xy - {y^2} = \sqrt {3y - 1} - \sqrt {x + 2y - 1} \,\,\, (1)\\{x^3}y - 4x{y^2} + 7xy - 5x - y + 2 = 0 \,\,\, (2)\end{array} \right.\) ( với \(x \in R,y \in R\)) ta được nghiệm là $(x;y).$ Khi đó $x.y$ bằng
Đáp án : B Phương pháp giải :
+ Dùng phương pháp nhân liên hợp để biến đổi. Lời giải chi tiết :
ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}y \ge \dfrac{1}{3}\\x + 2y \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1-2y\\y \ge \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\) Xét \(\sqrt {3y - 1} + \sqrt {x + 2y - 1} = 0 \Leftrightarrow x = y = \dfrac{1}{3}\) Thay vào (2) không thỏa mãn. Xét \(\sqrt {3y - 1} + \sqrt {x + 2y - 1} \ne 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{1}{3}\\y \ne \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\) \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow y\left( {x - y} \right) = \dfrac{{y - x}}{{\sqrt {3y - 1} + \sqrt {x + 2y - 1} }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\y + \dfrac{1}{{\sqrt {3y - 1} + \sqrt {x + 2y - 1} }} = 0\,\,\left( {VN\,{\rm{do }}\,y \ge \dfrac{1}{3}} \right)\end{array} \right.\) Với $x = y,$ thay vào (2) ta được: \({x^4} - 4{x^3} + 7{x^2} - 6x + 2 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1\) Khi đó: $y = 1$ (TM). Vậy nghiệm của hệ là: $\left( {1;1} \right).$ Nên $x.y=1.$
Câu 5 :
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 2xy = 2\\{x^3} + {y^3} = 8\end{array} \right.\) có bao nhiêu nghiệm?
Đáp án : C Phương pháp giải :
+ Dùng phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 1 Cách giải: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}S = x + y\\P = x.y\end{array} \right.\) điều kiện \({S^2} \ge 4P\) quy hệ phương trình về 2 ẩn \(S,P\) Lời giải chi tiết :
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}S = x + y\\P = x.y\end{array} \right.\) điều kiện \({S^2} \ge 4P\) hệ phương trình đã cho trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}S + 2P = 2\\S\left( {{S^2} - 3P} \right) = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P = \dfrac{{2 - S}}{2}\\S\left( {{S^2} - \dfrac{{6 - 3S}}{2}} \right) = 8\end{array} \right.\)\( \Rightarrow 2{S^3} + 3{S^2} - 6S - 16 = 0 \Leftrightarrow \left( {S - 2} \right)\left( {2{S^2} + 7S + 8} \right) = 0 \Leftrightarrow S = 2 \Rightarrow P = 0\) Hay \(\left\{ \begin{array}{l} Vậy hệ có hai nghiệm.
Câu 6 :
Biết rằng hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x + y} \right) = 3\left( {\sqrt[3]{{{x^2}y}} + \sqrt[3]{{x{y^2}}}} \right)\\\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 6\end{array} \right.\) có hai cặp nghiệm \(\left( {{x_1};{y_1}} \right);\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) . Tính \({x_1} + {x_2}\) .
Đáp án : C Phương pháp giải :
+ Dùng phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 1 Cách giải: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}S = x + y\\P = x.y\end{array} \right.\) điều kiện \({S^2} \ge 4P\) quy hệ phương trình về 2 ẩn \(S,P\) Lời giải chi tiết :
Đặt \(a = \sqrt[3]{x},b = \sqrt[3]{y}\) hệ đã cho trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}2\left( {{a^3} + {b^3}} \right) = 3\left( {{a^2}b + {b^2}a} \right)\\a + b = 6\end{array} \right.\). Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}S = a + b\\P = ab\end{array} \right.\) điều kiện \({S^2} \ge 4P\) thì hệ đã cho trở thành. \(\left\{ \begin{array}{l}2\left( {{S^3} - 3SP} \right) = 3SP\\S = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {36 - 3P} \right) = 3P\\S = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S = 6\\P = 8\end{array} \right. (TM).\) Hay \(\left\{ \begin{array}{l} \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2 \Rightarrow x = 8\\b = 4 \Rightarrow y = 64\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}a = 4 \Rightarrow x = 64\\b = 2 \Rightarrow y = 8\end{array} \right.\) Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {8;64} \right),\left( {64;8} \right)\) Suy ra ${x_1} + {x_2} = 72.$
Câu 7 :
Biết rằng hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - \sqrt {xy} = 3\\\sqrt {x + 1} + \sqrt {y + 1} = 4\end{array} \right.\) có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\) . Tính \(x + 2y\) .
Đáp án : A Phương pháp giải :
+ Dùng phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 1 Cách giải: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}S = x + y\\P = x.y\end{array} \right.\) điều kiện \({S^2} \ge 4P\) quy hệ phương trình về 2 ẩn \(S,P\) Lời giải chi tiết :
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}xy \ge 0\\x,y \ge - 1\end{array} \right.\) . Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}S = x + y\\P = x.y\end{array} \right.\) điều kiện \({S^2} \ge 4P\) hệ phương trình đã cho trở thành: \( \left\{ \begin{array}{l}S - \sqrt P = 3\\S + 2 + 2\sqrt {S + P + 1} = 16\end{array} \right.\) $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P = {\left( {S - 3} \right)^2}\,\, (S \ge 3)\\2\sqrt {S + {{\left( {S - 3} \right)}^2} + 1} = 14 - S\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 \le S \le 14;P = {\left( {S - 3} \right)^2}\\4\left( {{S^2} -5S + 10} \right) = 196 - 28S + {S^2}\end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 \le S \le 14;P = \left( {S - 3} \right)^2\\{3S^2} + 8S - 156 = 0\end{array} \right.$ \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}S = 6\\P = 9 \end{array} \right.\). Hay \(\left\{ \begin{array}{l} Vậy hệ đã cho có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;3} \right)\). Suy ra \(x + 2y = 9.\)
Câu 8 :
Biết rằng hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + {y^2}} + \sqrt {2xy} = 8\sqrt 2 \\\sqrt x + \sqrt y = 4\end{array} \right.\) có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\) . Tính \(\dfrac{x}{y}\) .
Đáp án : D Phương pháp giải :
+ Dùng phương pháp cộng đại số và hằng đẳng thức để biến đổi Lời giải chi tiết :
Điều kiện: \(xy > 0.\) $\begin{array}{l} Thay $x=y$ vào $x + y + 2\sqrt {xy} = 16$ ta được \(2x + 2\left| x \right| = 16 \Leftrightarrow x + \left| x \right| = 8 \Rightarrow x = 4 \Rightarrow y = x = 4\) Vậy hệ có một cặp nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {4;4} \right)\) Khi đó \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{4}{4} = 1.\)
Câu 9 :
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{xy}}} \right) = 5\\\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{{x^2}{y^2}}}} \right) = 9\end{array} \right.\) có số nghiệm là
Đáp án : C Phương pháp giải :
+ Biến đổi để sử dụng cách giải hệ đối xứng loại 1. Lời giải chi tiết :
Điều kiện: \(xy \ne 0\). Hệ đã cho tương đương: $\left\{ \begin{array}{l}x + y + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 5\\{x^2} + {y^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right) + \left( {y + \dfrac{1}{y}} \right) = 5\\{\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)^2} + {\left( {y + \dfrac{1}{y}} \right)^2} = 13\end{array} \right.$. Đặt $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right) + \left( {y + \dfrac{1}{y}} \right) = S\\\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right).\left( {y + \dfrac{1}{y}} \right) = P\end{array} \right.$ Hệ trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}{S^2} - 2P = 13\\S = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow S = 5,P = 6\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{1}{x} = 2;y + \dfrac{1}{y} = 3\\x + \dfrac{1}{x} = 3;y + \dfrac{1}{y} = 2\end{array} \right.\). \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1;y = \dfrac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}\\x = \dfrac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2};y = 1\end{array} \right.\). Vậy hệ đã cho có bốn nghiệm: \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;\dfrac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}} \right),\)\(\left( {x;y} \right)=\left( {\dfrac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2};1} \right) \).
Câu 10 :
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3}y\left( {1 + y} \right) + {x^2}{y^2}\left( {2 + y} \right) + x{y^3} - 30 = 0\\{x^2}y + x\left( {1 + y + {y^2}} \right) + y - 11 = 0\end{array} \right.\) có bao nhiêu cặp nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) mà \(x < 1\) ?
Đáp án : D Phương pháp giải :
+ Biến đổi để sử dụng cách giải hệ đối xứng loại 1. Lời giải chi tiết :
Hệ tương đương với : \(\left\{ \begin{array}{l}xy\left( {x + y} \right)\left( {x + y + xy} \right) = 30\\xy\left( {x + y} \right) + x + y + xy = 11\end{array} \right.\). Đặt \(xy\left( {x + y} \right) = a;xy + x + y = b\). Ta thu được hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}ab = 30\\a + b = 11\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 5;b = 6\\a = 6;b = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}xy\left( {x + y} \right) = 5\\xy + x + y = 6\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}xy\left( {x + y} \right) = 6\\xy + x + y = 5\end{array} \right.\end{array} \right.\). TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}xy\left( {x + y} \right) = 6\\xy + x + y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}xy = 2\\x + y = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}xy = 3\\x + y = 2\end{array} \right.(L)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2;y = 1\\x = 1;y = 2\end{array} \right.\) TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}xy\left( {x + y} \right) = 5\\xy + x + y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}xy = 5\\x + y = 1\end{array} \right.(L)\\\left\{ \begin{array}{l}xy = 1\\x + y = 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{5 - \sqrt {21} }}{2};y = \dfrac{{5 + \sqrt {21} }}{2}\\x = \dfrac{{5 + \sqrt {21} }}{2};y = \dfrac{{5 - \sqrt {21} }}{2}\end{array} \right.\). Vậy hệ có nghiệm: \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;2} \right),\left( {2;1} \right),\left( {\dfrac{{5 \pm \sqrt {21} }}{2};\dfrac{{5 \mp \sqrt {21} }}{2}} \right)\) Suy ra có một cặp nghiệm thỏa mãn đề bài là \(\left( {\dfrac{{5 - \sqrt {21} }}{2};\dfrac{{5 + \sqrt {21} }}{2}} \right)\) .
Câu 11 :
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + \sqrt x = 2y\\{y^2} + \sqrt y = 2x\end{array} \right.\) có bao nhiêu cặp nghiệm \(\left( {x;y} \right) \ne \left( {0;0} \right)\) ?
Đáp án : C Phương pháp giải :
+ Biến đổi để sử dụng cách giải hệ đối xứng loại 2. Lời giải chi tiết :
Điều kiện: \(x,y \ge 0\). Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta thu được: \( {x^2} + \sqrt x - \left( {{y^2} + \sqrt y } \right) = 2\left( {y - x} \right)\)\( \Leftrightarrow \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left[ {\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {x + y} \right) + 1 + 2\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)} \right] = 0\) Vì \(\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {x + y} \right) + 1 + 2\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right) > 0\) nên phương trình đã cho tương đương với: \(x = y\). Thay \(x = y\) vào phương trình \({x^2} + \sqrt x = 2y\) ta được \({x^2} + \sqrt x = 2x\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 2x + \sqrt x = 0 \Leftrightarrow {x^2} - x - x + \sqrt x = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) - \sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right) - \sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 0\\x = 1 \Rightarrow y = 1\\x + \sqrt x - 1 = 0\,\left( * \right)\end{array} \right.\) Ta có \({\rm{pt}}\,\,\left( * \right) \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} - \dfrac{5}{4} = 0 \)\(\Leftrightarrow {\left( {\sqrt x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{{\sqrt 5 }}{2}} \right)^2}\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = \dfrac{{\sqrt 5 - 1}}{2}\\\sqrt x = \dfrac{{ - \sqrt 5 - 1}}{2}\left( L \right)\end{array} \right. \)\(\Rightarrow x = \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2} \Rightarrow y = \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\) Vậy hệ có 3 cặp nghiệm: $\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {0;0} \right),\left( {1;1} \right),\left( {\dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2};\dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)} \right\}$ Suy ra có hai cặp nghiệm thỏa mãn đề bài.
Câu 12 :
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {{y^2} + 6} \right) = y\left( {{x^2} + 1} \right)\\\left( {y - 1} \right)\left( {{x^2} + 6} \right) = x\left( {{y^2} + 1} \right)\end{array} \right.\) có bao nhiêu cặp nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) mà \(x > y\) ?
Đáp án : A Phương pháp giải :
+ Khai triển từng phương trình rồi sử dụng cách giải hệ đối xứng loại 2. Lời giải chi tiết :
Hệ đã cho \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x{y^2} + 6x - {y^2} - 6 = y{x^2} + y\\y{x^2} + 6y - {x^2} - 6 = x{y^2} + x\end{array} \right.\) Trừ vế theo vế hai phương trình của hệ ta được: \(\begin{array}{l}2xy\left( {y - x} \right) + 7\left( {x - y} \right) + \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) = 0 \\\Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y - 2xy + 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\x + y - 2xy + 7 = 0\end{array} \right.\end{array}\) + Nếu \(x = y\) thay vào hệ ta có: \({x^2} - 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y = 2\\x = y = 3\end{array} \right.\) + Nếu \(x + y - 2xy + 7 = 0 \) $\begin{array}{l} Mặt khác khi cộng hai phương trình của hệ đã cho ta được: \({x^2} + {y^2} - 5x - 5x + 12 = 0 \)$ \Leftrightarrow 4{x^2} - 20x + 25 + 4{y^2} - 20y + 25 - 2 = 0$ \(\Leftrightarrow {\left( {2x - 5} \right)^2} + {\left( {2y - 5} \right)^2} = 2\). Đặt \(a = 2x - 5,b = 2y - 5\) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 2\\\left( {a + 4} \right)\left( {b + 4} \right) = 15\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a + b} \right)^2} - 2ab = 2\\ab + 4\left( {a + b} \right) = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a + b = 0\\ab = - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a + b = - 8\\ab = 31\end{array} \right.\end{array} \right.\) Trường hợp 1: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 0\\ab = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {3;2} \right),\left( {2;3} \right)\) Trường hợp 2: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = - 8\\ab = 31\end{array} \right.\) vô nghiệm. Vậy nghiệm của hệ đã cho là: \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {2;2} \right),\left( {3;3} \right),\left( {2;3} \right),\left( {3;2} \right)} \right\}\) Suy ra có \(1\) cặp nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;2} \right).\)
Câu 13 :
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{xy}} = \dfrac{x}{z} + 1\\\dfrac{1}{{yz}} = \dfrac{y}{x} + 1\\\dfrac{1}{{zx}} = \dfrac{z}{y} + 1\end{array} \right.\). Số nghiệm của hệ phương trình trên là:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Vì $3$ số có vai trò giống nhau nên ta có thể giả sử \(x \ge y\) sau đó biến đổi để chia từng vế với vế của các phương trình cho nhau, để chứng minh được hệ có nghiệm \(x = y = z\) Lời giải chi tiết :
Điều kiện \(xyz \ne 0\) . Nhận thấy nếu một trong ba số \(x,y,z\) có một số âm, chẳng hạn \(x < 0\) thì phương trình thứ 3 vô nghiệm. Nếu hai trong số ba số \(x,y,z\) là số âm, chẳng hạn \(x,y < 0\) thì phương trình thứ 2 vô nghiệm. Vậy ba số \(x,y,z\) cùng dấu. Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{xy}} = \dfrac{x}{z} + 1\\\dfrac{1}{{yz}} = \dfrac{y}{x} + 1\\\dfrac{1}{{zx}} = \dfrac{z}{y} + 1\end{array} \right.\) $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \( \bullet \) Trường hợp 1: \(x,y,z > 0\) Nếu \(x \ge y\) chia hai vế của phương trình thứ hai cho hai vế của phươngng trình thứ ba của hệ ta được \(\dfrac{{{x^2}}}{{{y^2}}} = \dfrac{{x + y}}{{y + z}}\)\( \Rightarrow x \ge z\) Với \(x \ge z\) chia hai vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai: \(\dfrac{{{z^2}}}{{{x^2}}} = \dfrac{{x + z}}{{y + x}} \Rightarrow z \le y\) Với \(z \le y\) chia phương trình thứ nhất cho phương trình thứ ba: \(\dfrac{{{z^2}}}{{{y^2}}} = \dfrac{{x + z}}{{y + z}} \Rightarrow x \le y\) Suy ra \(x = y = z\) thay vào hệ phương trình đã cho ta tìm được $\dfrac{1}{{{x^2}}} = 2 \Rightarrow x = \sqrt 2 \,\,\left( {x > 0} \right)$ suy ra nghiệm \(x = y = z = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\) \( \bullet \) Trường hợp 2: \(x,y,z < 0\) ta làm tương tự, tìm được thêm nghiệm \(x = y = z = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\) Vậy hệ phương trình có $2$ nghiệm.
Câu 14 :
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{y^3} - {x^3} = 1\\{x^5} - {y^5} + xy = 0\end{array} \right.\) . Khẳng định nào trong các khẳng định sau đúng:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng dữ kiện ở phương trình trên thay vào phương trình dưới để biến đổi thành phương trình tích có nhân tử chung là \((y - x)\) Lời giải chi tiết :
Xét phương trình \({x^5} - {y^5} + xy = 0 \Leftrightarrow {x^5} - {y^5} + xy({y^3} - {x^3}) = 0 \Leftrightarrow (x - y)({x^4} + {y^4}) = 0\) $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - y = 0\\{x^4} + {y^4} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\x = y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y $ Thử lại \(x = y\) không thỏa mãn phương trình đầu của hệ. Vậy hệ vô nghiệm.
Câu 15 :
Cho \((x;y;z)\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + 3{x^2} + 2x - 5 = y\\{y^3} + 3{y^2} + 2y - 5 = z\\{z^3} + 3{z^2} + 2z - 5 = x\end{array} \right.\) Khẳng định nào trong các khẳng định sau là sai:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Cộng 3 vế của từng phương trình lại với nhau, sau đó phân tích về cùng 1 dạng để đánh giá Lời giải chi tiết :
Cộng vế với vế của từng phương trình với nhau ta được: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,({x^3} + 3{x^2} + x - 5) + ({y^3} + 3{y^2} + y - 5) + ({z^3} + 3{z^2} + z - 5) = 0\\ \Leftrightarrow (x - 1)({x^2} + 4x + 5) + (y - 1)({y^2} + 4y + 5) + (z - 1)({z^2} + 4z + 5) = 0\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\) Nếu \(x > 1 \Rightarrow {z^3} + 3{z^2} + 2z - 5 > 1 \Leftrightarrow (z - 1)({z^2} + 4x + 6) > 0 \Rightarrow z > 1\) Tương tự với \(z > 1 \Rightarrow y > 1\) Suy ra \(VT(1) > 0\) (phương trình vô nghiệm) Chứng minh tương tự với \(x < 1\) ta cũng được phương trình (1) vô nghiệm Suy ra phương trình (1) có nghiệm duy nhất \(x = y = z = 1\)
Câu 16 :
Cho \((x;y;z)\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}36{x^2}y - 60{x^2} + 25y = 0\\36{y^2}z - 60{y^2} + 25z = 0\\36{z^2}x - 60{z^2} + 25x = 0\end{array} \right.\) Giá trị nhỏ nhất của \(A = x + y + z\) là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Rút $y$ theo $x$ từ phương trình (1), rút $z$ theo $y$ từ phương trình (2) và rút $x$ theo $z$ từ phương trình (3) sau đó dùng bất đẳng thức Cô-si để đánh giá tìm ra \(x = y = z\) Lời giải chi tiết :
\(\left\{ \begin{array}{l}36{x^2}y - 60{x^2} + 25y = 0\\36{y^2}z - 60{y^2} + 25z = 0\\36{z^2}x - 60{z^2} + 25x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{60{x^2}}}{{36{x^2} + 25}}\\z = \dfrac{{60{y^2}}}{{36{y^2} + 25}}\\x = \dfrac{{60{z^2}}}{{36{z^2} + 25}}\end{array} \right. \Rightarrow x,y,z \ge 0\) Nhận thấy \(x = y = z = 0\) là 1 nghiệm của hệ phương trình Xét \(x > 0;y > 0;z > 0\) áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số không âm, ta có: \(36{x^2} + 25 \ge 2\sqrt {36{x^2}.25} = 60\left| x \right| \ge 60x \Rightarrow y \le x\) Chứng minh tương tự, ta được \(z \le y;x \le z \Rightarrow x \le z \le y \le x \Rightarrow x = y = z\) Thay vào phương trình (1) ta được \(36{x^3} - 60{x^2} + 25x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{6}\) hay \(x = y = z = \dfrac{5}{6}\) Suy ra giá trị nhỏ nhất của \(A = x + y + z = 0\) (khi \(x = y = z = 0\) )
Câu 17 :
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{\rm{ - ax}} + y = 3\\\left| {x + 1} \right| + y = 2\end{array} \right.$. Giá trị của a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
+ Xét hai trường hợp \(x \ge - 1\) và \(x < - 1\) + Tìm điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất trong từng trường hợp và chú ý đến điều kiện của \(x.\) Lời giải chi tiết :
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} - ax + y = 3\\\left| {x + 1} \right| + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = ax + 3\\\left| {x + 1} \right| + ax + 3 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = ax + 3\\\left| {x + 1} \right| + ax + 1 = 0\end{array} \right.$ Nếu \(x \ge - 1\) ta có \(x + 1 + ax + 1 = 0 \Rightarrow x(a + 1) = - 2\) \((1)\) Phương trình \((1)\) có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow a \ne - 1 \Rightarrow x = \dfrac{{ - 2}}{{a + 1}} \Rightarrow y = \dfrac{{a + 3}}{{a + 1}}\) Do \(x \ge - 1 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2}}{{a + 1}} \ge - 1 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2}}{{a + 1}} + 1 \ge 0 \Leftrightarrow \dfrac{{a - 1}}{{a + 1}} \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}(a - 1)(a + 1) \ge 0\\a \ne - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a \ge 1\\a < - 1\end{array} \right.\) Nếu \(x < - 1\) ta có \( - x - 1 + ax + 1 = 0 \Rightarrow (a - 1)x = 0\) \((2)\) Nếu \(a = 1\) thì (2) là \(0x = 0\) đúng với mọi \(x < - 1\) nên (2) có vô số nghiệm hay hệ đã cho có vô số nghiệm. (loại) Nếu \(a \ne 1\) thì (2) có nghiệm duy nhất \(x = 0\) (loại do \(x < - 1\)). Do đó \((2)\) vô nghiệm khi \(a \ne 1\). Để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì có 2 trường hợp: Trường hợp 1: Phương trình \((1)\) vô nghiệm và phương trình \((2)\) có nghiệm duy nhất. Trường hợp này không xảy ra vì \((2)\) chỉ có thể vô nghiệm hoặc vô số nghiệm. Trường hợp 2: Phương trình \((1)\) có nghiệm duy nhất và phương trình \((2)\) vô nghiệm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a \ge 1\\a < - 1\end{array} \right.\\a \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a > 1\\a < - 1\end{array} \right.\)
Câu 18 :
Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2x + 3} + \sqrt {4 - y} = 4{\rm{ }}\left( 1 \right)\\\sqrt {2y + 3} + \sqrt {4 - x} = 4{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Đáp án : C Phương pháp giải :
Thay đổi vị trí x và y cho nhau thì phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành phương trình \(\left( 2 \right)\) và hệ không thay đổi \( \Rightarrow \) hệ đối xứng loại II. \( \to \) Phương pháp: Lấy vế trừ theo vế. Nên ta có lời giải sau: Lời giải chi tiết :
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{3}{2} \le x \le 4\\ - \dfrac{3}{2} \le x \le 4\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l}\left( 1 \right) - \left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2x + 3} + \sqrt {4 - y} = 4\\\left( {\sqrt {2x + 3} - \sqrt {2y + 3} } \right) + \left( {\sqrt {4 - y} - \sqrt {4 - x} } \right) = 0\end{array} \right.\\{\rm{ }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2x + 3} + \sqrt {4 - y} = 4\\\dfrac{{2\left( {x - y} \right)}}{{\sqrt {2x + 3} + \sqrt {2y + 3} }} + \dfrac{{x - y}}{{\sqrt {4 - x} + \sqrt {4 - y} }} = 0\end{array} \right.\\{\rm{ }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2x + 3} + \sqrt {4 - y} = 4\\\left( {x - y} \right)\left( {\dfrac{2}{{\sqrt {2x + 3} + \sqrt {2y + 3} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {4 - x} + \sqrt {4 - y} }}} \right) = 0\end{array} \right.\\{\rm{ }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2x + 3} + \sqrt {4 - y} = 4\\x - y = 0\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {do:\dfrac{2}{{\sqrt {2x + 3} + \sqrt {2y + 3} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {4 - x} + \sqrt {4 - y} }} > 0} \right)\\{\rm{ }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2x + 3} + \sqrt {4 - x} = 4\\x = y\end{array} \right.\\{\rm{ }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 7 + 2\sqrt {\left( {2x + 3} \right)\left( {4 - x} \right)} = 16\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y = 3\\x = y = \dfrac{{11}}{9}\end{array} \right.\end{array}\) So với điều kiện, hệ có hai nghiệm: \(S = \left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( {3;3} \right),\left( {\dfrac{{11}}{9};\dfrac{{11}}{9}} \right)} \right\}\).
Câu 19 :
Giải hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{xy}}} \right) = 5\\\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{{x^2}{y^2}}}} \right) = 9\end{array} \right.\)
Đáp án : D Phương pháp giải :
Nhận khai triển hệ phương trình ban đầu sau đó đặt \(x + \dfrac{1}{x} = a;y + \dfrac{1}{y} = b\) đưa về hệ đối xứng loại 1 Lời giải chi tiết :
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{xy}}} \right) = 5\\\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{{x^2}{y^2}}}} \right) = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \dfrac{1}{x} + y + \dfrac{1}{y} = 5\\{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}} + {y^2} + \dfrac{1}{{{y^2}}} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \dfrac{1}{x} + y + \dfrac{1}{y} = 5\\{\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)^2} + {\left( {y + \dfrac{1}{y}} \right)^2} = 13\end{array} \right.\) Đặt \(x + \dfrac{1}{x} = a;y + \dfrac{1}{y} = b\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 5\\{a^2} + {b^2} = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5 - b\\{(5 - b)^2} + {b^2} = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 5\\(b - 2)(b - 3) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 2\end{array} \right.\end{array} \right.\) Giải \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \dfrac{1}{x} = 2\\y + \dfrac{1}{y} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = \dfrac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\) Giải \(\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \dfrac{1}{x} = 3\\y + \dfrac{1}{y} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x = \dfrac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\) Vậy hệ đã cho có nghiệm\(\left( {x;y} \right)\) là : \(\left( {1;\dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right),\left( {1;\dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right),\left( {\dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2};1} \right),\left( {\dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2};1} \right)\)
Câu 20 :
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 2x - y\\{y^2} = 2y - z\\{z^2} = 2z - t\\{t^2} = 2t - x\end{array} \right.\)
Đáp án : D Phương pháp giải :
+) Biến đổi hệ phương trình ban đầu bằng cách đặt \(1 - x = a\) tương tự với y, z, t. +) Đưa về hệ mới. +) Sử dụng bất đẳng thức để tìm nghiệm tại dấu “=” Lời giải chi tiết :
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 2x - y\\{y^2} = 2y - z\\{z^2} = 2z - t\\{t^2} = 2t - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 - x} \right)^2} = 1 - y \ge 0\\{\left( {1 - y} \right)^2} = 1 - z \ge 0\\{\left( {1 - z} \right)^2} = 1 - t \ge 0\\{\left( {1 - t} \right)^2} = 1 - x \ge 0\end{array} \right.\) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}b = 1 - y \ge 0\\c = 1 - z \ge 0\\d = 1 - t \ge 0\\a = 1 - x \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = b\\{b^2} = c\\{c^2} = d\\{d^2} = a\end{array} \right.\) +) Xét \(a = 0 \Rightarrow b = c = d = 0 \Rightarrow x = y = z = t = 1\) +) Xét \(a \ne 0 \Rightarrow b;c;d \ne 0\). Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = b\\{b^2} = c\\{c^2} = d\\{d^2} = a\end{array} \right.\) nhân theo vế ta có \({\left( {abcd} \right)^2} - abcd = 0 \Leftrightarrow abcd = 1\)( vì \(abcd \ne 0\)) Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = b \ge 0\\{b^2} = c \ge 0\\{c^2} = d \ge 0\\{d^2} = a \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} = a + b + c + d\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} + 2{d^2} - 2a + 2b + 2c + 2d = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} + {\left( {d - 1} \right)^2} + {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} - 4 = 0\end{array}\) Ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} \ge 4\sqrt[4]{{{a^2}{b^2}{c^2}{d^2}}} = 4\) \( \Rightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} + {\left( {d - 1} \right)^2} + {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} - 4 \ge 0\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = c = d = 1 \Rightarrow x = y = z = t = 0\). Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y;z;t} \right)\)là \(\left( {0;0;0;0} \right);\left( {1;1;1;1} \right)\).
Câu 21 :
Tìm các số thực \(x\) và \(y\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} = {y^2} + 18\\{y^3} = {x^2} + 18\end{array} \right.\).
Đáp án : C Phương pháp giải :
Trừ vế với vế để xuất hiện nhân tử chung. Lời giải chi tiết :
Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} = {y^2} + 18\,\,\,\left( 1 \right)\\{y^3} = {x^2} + 18\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\). Trừ vế theo vế của phương trình (1) và (2) ta có: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^3} - {y^3} = {y^2} - {x^2}\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) = - \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} + x + y} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - y = 0\\{x^2} + xy + {y^2} + x + y = 0\end{array} \right.\end{array}\) TH1: \(x - y = 0 \Leftrightarrow x = y\). Thay vào phương trình (1) ta có: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x^3} = {x^2} + 18 \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} - 18 = 0\\ \Leftrightarrow {x^3} - 27 - {x^2} + 9 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 9} \right) - \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 9 - x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 2x + 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3\\{x^2} + 2x + 6 = 0\end{array} \right.\end{array}\) Xét phương trình \({x^2} + 2x + 6 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + 5 = 0\) (vô nghiệm do \({\left( {x + 1} \right)^2} + 5 \ge 5 > 0\,\,\,\forall x\)) Với \(x = 3 \Rightarrow y = 3\) \( \Rightarrow \) Hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;3} \right)\). TH2: \({x^2} + xy + {y^2} + x + y = 0\). Vì \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} = {y^2} + 18 \ge 18 \Rightarrow x \ge \sqrt[3]{{18}} > 0\\{y^3} = {x^2} + 18 \ge 18 \Rightarrow y \ge \sqrt[3]{{18}} > 0\end{array} \right. \Rightarrow x + y > 0\) Lại có \({x^2} + xy + {y^2} = {x^2} + 2x.\dfrac{1}{2}y + \dfrac{1}{4}{y^2} + \dfrac{3}{4}{y^2} = {\left( {x + \dfrac{1}{2}y} \right)^2} + \dfrac{3}{4}{y^2} \ge 0\,\,\forall x,\,\,y\). Do đó \({x^2} + xy + {y^2} + x + y > 0\,\,\forall x,y\), do đó phương trình \({x^2} + xy + {y^2} + x + y = 0\) vô nghiệm. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;3} \right)\).
Câu 22 :
Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + 2{y^2} + x{y^2} = 2 + x - 2{x^2}\\4{y^2} = \left( {\sqrt {{y^2} + 1} + 1} \right)\left( {{y^2} - {x^3} + 3x - 2} \right)\end{array} \right.\)
Đáp án : A Phương pháp giải :
Biến đổi phương trình đầu thành phương trình tích. Từ đó đưa về giải hai hệ phương trình. Lời giải chi tiết :
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + 2{y^2} + x{y^2} = 2 + x - 2{x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\4{y^2} = \left( {\sqrt {{y^2} + 1} + 1} \right)\left( {{y^2} - {x^3} + 3x - 2} \right)\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {{x^3} + 2{x^2} - x - 2} \right) + \left( {2{y^2} + x{y^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) + {y^2}\left( {x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 1 + {y^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2 = 0\\{x^2} - 1 + {y^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\{y^2} = 1 - {x^2}\end{array} \right.\end{array}\) TH1: \(x = - 2\) thay vào \(\left( 2 \right)\) được: \(\begin{array}{l}4{y^2} = \left( {\sqrt {{y^2} + 1} + 1} \right)\left( {{y^2} + 8 - 6 - 2} \right) \Leftrightarrow 4{y^2} = \left( {\sqrt {{y^2} + 1} + 1} \right).{y^2}\\ \Leftrightarrow {y^2}\left( {\sqrt {{y^2} + 1} + 1 - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow {y^2}\left( {\sqrt {{y^2} + 1} - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{y^2} = 0\\\sqrt {{y^2} + 1} - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0\\{y^2} + 1 = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0\\{y^2} = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0\\y = \pm 2\sqrt 2 \end{array} \right.\end{array}\) TH2: \({y^2} = 1 - {x^2}\) thay vào (2) được: \(\begin{array}{l}4\left( {1 - {x^2}} \right) = \left( {\sqrt {2 - {x^2}} + 1} \right)\left( {1 - {x^2} - {x^3} + 3x - 2} \right)\\ \Leftrightarrow 4\left( {1 - {x^2}} \right) = \left( {\sqrt {2 - {x^2}} + 1} \right)\left( { - {x^3} - {x^2} + 3x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 4\left( {{x^2} - 1} \right) = \left( {\sqrt {2 - {x^2}} + 1} \right)\left( {{x^3} + {x^2} - 3x + 1} \right)\\ \Leftrightarrow 4\left( {{x^2} - 1} \right) = \left( {\sqrt {2 - {x^2}} + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = \left( {\sqrt {2 - {x^2}} + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left[ {4x + 4 - \left( {\sqrt {2 - {x^2}} + 1} \right)\left( {{x^2} + 2x - 1} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\4x + 4 - \left( {\sqrt {2 - {x^2}} + 1} \right)\left( {{x^2} + 2x - 1} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\4x + 4 = \left( {\sqrt {2 - {x^2}} + 1} \right)\left( {{x^2} + 2x - 1} \right)\end{array} \right.\end{array}\) Với \(x = 1\) thì \({y^2} = 1 - 1 = 0 \Leftrightarrow y = 0\). Với \(4x + 4 = \left( {\sqrt {2 - {x^2}} + 1} \right)\left( {{x^2} + 2x - 1} \right)\) ta có: \(\begin{array}{l}4x + 4 = \left( {\sqrt {2 - {x^2}} + 1} \right)\left( {{x^2} + 2x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 4x + 4 = \sqrt {2 - {x^2}} \left( {{x^2} + 2x - 1} \right) + {x^2} + 2x - 1\\ \Leftrightarrow \sqrt {2 - {x^2}} \left( {{x^2} + 2x - 1} \right) = - {x^2} + 2x + 5\\ \Leftrightarrow \sqrt {2 - {x^2}} = \dfrac{{ - {x^2} + 2x + 5}}{{{x^2} + 2x - 1}}\\ \Leftrightarrow \sqrt {2 - {x^2}} = \dfrac{{6 - {{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - 2}}\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\) (Do \({x^2} + 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1 \pm \sqrt 2 \) không thỏa mãn phương trình) Vì \({x^2} + {y^2} = 1\) nên \({x^2} \le 1 \Rightarrow - 1 \le x \le 1\) \( \Rightarrow 1 \le \sqrt {2 - {x^2}} \le \sqrt 2 \) hay \(1 \le VT\left( * \right) \le \sqrt 2 \) Lại có, Với \(x \le 1\) thì \(\dfrac{{6 - {{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - 2}} \ge \dfrac{{6 - {{\left( {1 - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {1 + 1} \right)}^2} - 2}} = 3 \Rightarrow VP\left( * \right) \ge 3\) Với \(x \ge - 1\) thì \(\dfrac{{6 - {{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - 2}} \le \dfrac{{6 - {{\left( { - 1 - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( { - 1 + 1} \right)}^2} - 2}} = - 1 \Rightarrow VP\left( * \right) \le - 1\) Do đó với \( - 1 \le x \le 1\) thì \(VP\left( * \right) \ge 3\) hoặc . \( \Rightarrow \) (*) vô nghiệm do \(1 \le VT\left( * \right) \le \sqrt 2 \) và \(VP\left( * \right) \ge 3\) hoặc \(VP\left( * \right) \le - 1\). Vậy hệ đã cho có nghiệm \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( { - 2;0} \right),\left( { - 2; - 2\sqrt 2 } \right),\left( { - 2;2\sqrt 2 } \right),\left( {1;0} \right)} \right\}\).
|
