Trắc nghiệm Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế Toán 9Đề bài
Câu 1 :
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - y = 5\\3x + 2y = 18\end{array} \right.$có nghiệm $\left( {x;y} \right)$. Tích $x.y$ là
Câu 2 :
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x - 7y = 8\\10x + 3y = 21\end{array} \right.$có nghiệm $\left( {x;y} \right)$. Tổng $x + y$ là
Câu 3 :
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 12\\2x + 3y = 3\end{array} \right.$. Số nghiệm của hệ phương trình là
Câu 4 :
Số nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} - x - \sqrt 2 y = \sqrt 3 \\\sqrt 2 x + 2y = - \sqrt 6 \end{array} \right.$là
Câu 5 :
Số nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 1} \right)\left( {y - 1} \right) = xy - 1\\\left( {x - 3} \right)\left( {y - 3} \right) = xy - 3\end{array} \right.$ là
Câu 6 :
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + by = - 1\\bx - 2ay = 1\end{array} \right.$. Biết rằng hệ phương trình có nghiệm là $\left( {1; - 2} \right)$, tính $a - b$.
Câu 7 :
Cho hai đường thẳng: ${d_1}:mx - 2\left( {3n + 2} \right)y = 6$ và ${d_2}:\left( {3m - 1} \right)x + 2ny = 56.$ Tìm tích $m. n$ để hai đường thẳng cắt nhau tại điểm $I\left( { - 2;3} \right)$.
Câu 8 :
Tìm a, b để đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua hai điểm \(M(3; - 5),N\left( {1;2} \right)\)
Câu 9 :
Số nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{x - 2}} + \dfrac{1}{{2y - 1}} = 2\\\dfrac{2}{{x - 2}} - \dfrac{3}{{2y - 1}} = 1\end{array} \right.$là
Câu 10 :
Tìm các giá trị của \(m\) và \(n\) sao cho đa thức \(P\left( x \right) = m{x^3} + \left( {m - 2} \right){x^2} - \left( {3n - 5} \right)x - 4n\) đồng thời chia hết cho \(x + 1\) và \(x - 3\).
Câu 11 :
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{2}{{2x + y}} + \dfrac{5}{{x + 2y}} = \dfrac{5}{6}\\\dfrac{3}{{2x + y}} - \dfrac{4}{{x + 2y}} = - \dfrac{3}{5}\end{array} \right.$. Nếu đặt $\dfrac{1}{{2x + y}} = a;\dfrac{1}{{x + 2y}} = b$ ta được hệ phương trình mới là:
Câu 12 :
Biết nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y} = 1\\\dfrac{3}{x} + \dfrac{4}{y} = 5\end{array} \right.$là $\left( {x;y} \right)$. Tính $9x + 2y$.
Câu 13 :
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{15x}}{{\sqrt y }} - \dfrac{{7\sqrt x }}{y} = 9\\\dfrac{{4x}}{{\sqrt y }} + \dfrac{{9\sqrt x }}{y} = 5\end{array} \right.$. Nếu đặt $\dfrac{x}{{\sqrt y }} = a;\dfrac{{\sqrt x }}{y} = b$ (với $x > 0;y > 0$) ta được hệ phương trình mới là:
Câu 14 :
Nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3\left( {y - 5} \right) + 2\left( {x - 3} \right) = 0\\7\left( {x - 4} \right) + 3\left( {x + y - 1} \right) - 14 = 0\end{array} \right.$là $\left( {x;y} \right)$. Tính ${x^2} + {y^2}$.
Câu 15 :
Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}mx + 4y = 20\\x + my = 10\end{array} \right.\), với m là tham số. Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất?
Câu 16 :
Tìm cặp giá trị \((a;b)\) để hai hệ phương trình sau tương đương \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 1\\x + y = 4\end{array} \right.(I)\) và \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{ax}} - y = 2\\2ax + by = 7\end{array} \right.(II)\)
Câu 17 :
Tìm a để hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - \left( {a + 1} \right)x + y = - a - 1\\x + \left( {a - 1} \right)y = 2\end{array} \right.\) có nghiệm duy nhất thỏa mãn \(x - y = 0\)
Câu 18 :
Nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{align} & \sqrt{\frac{1-x}{2y+1}}+\sqrt{\frac{2y+1}{1-x}}=2 \\ & x-y=1 \\\end{align} \right.\) là:
Câu 19 :
Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 1\\{x^2} + 2xy - {y^2} = 7\end{array} \right.\) , cặp nghiệm của hệ phương trình đã cho là:
Câu 20 :
Cho hệ phương trình \(\left\{ \matrix{ x + my = 1 \hfill \cr mx - y = - m \hfill \cr} \right.\) Hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào giá trị của m là:
Câu 21 :
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}mx - y = n\\nx + my = 1\end{array} \right.\) (m, n là tham số) Câu 21.1
Giải hệ phương trình với \(m = \dfrac{{ - 1}}{2};n = \dfrac{1}{3}\), ta được nghiệm là:
Câu 21.2
Xác định các tham số m và n để phương trình có nghiệm \(\left( { - 1;\sqrt 3 } \right)\)
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - y = 5\\3x + 2y = 18\end{array} \right.$có nghiệm $\left( {x;y} \right)$. Tích $x.y$ là
Đáp án : B Lời giải chi tiết :
Từ phương trình thứ nhất, ta có: \(x = y + 5\) Thay vào phương trình thứ hai, ta được: \(3.\left( {y + 5} \right) + 2y = 18\\3y + 15 + 2y = 18\\5y = 3\\y = \dfrac{3}{5}\) Thay vào \(x = y + 5\), ta được: \(x = \dfrac{3}{5}+ 5 = \dfrac{28}{5}\) Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{28}{5};\dfrac{3}{5}} \right)$ Suy ra $x.y = \dfrac{28}{5}.\dfrac{3}{5} = \dfrac{84}{25}$
Câu 2 :
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x - 7y = 8\\10x + 3y = 21\end{array} \right.$có nghiệm $\left( {x;y} \right)$. Tổng $x + y$ là
Đáp án : D Lời giải chi tiết :
Từ phương trình thứ nhất, ta có: \(x = \frac{{8 + 7y}}{2}\). Thay vào phương trình thứ hai, ta có: \(10.\left( {\frac{{8 + 7y}}{2}} \right) + 3y = 21\) \(40 + 35y + 3y = 21\) \(38y = {\rm{\;}} - 19\) \(y = - \frac{1}{2}\) Thay vào \(x = \frac{{8 + 7y}}{2}\), ta được: \(x = \frac{{8 + 7.\left( { - \frac{1}{2}} \right)}}{2} = \frac{9}{4}\) Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{9}{4}; - \frac{1}{2}} \right)\) suy ra \(x + y = \frac{7}{4}\).
Câu 3 :
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 12\\2x + 3y = 3\end{array} \right.$. Số nghiệm của hệ phương trình là
Đáp án : A Lời giải chi tiết :
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 12\\2x + 3y = 3\end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 12+ 2y\\2\left( {12 + 2y} \right) +3y = 3\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 12 +2y\\ 7y = -21\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = -3\\x = 12 +2.(-3)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = - 3\end{array} \right.$ Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( 6;-3\right)$
Câu 4 :
Số nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} - x - \sqrt 2 y = \sqrt 3 \\\sqrt 2 x + 2y = - \sqrt 6 \end{array} \right.$là
Đáp án : D Lời giải chi tiết :
Ta có $\left\{ \begin{array}{l} - x - \sqrt 2 y = \sqrt 3 \\\sqrt 2 x + 2y = - \sqrt 6 \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \sqrt 2 y - \sqrt 3 \\\sqrt 2 \left( { - \sqrt 2 y - \sqrt 3 } \right) + 2 y = - \sqrt 6 \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \sqrt 2 y - \sqrt 3 \\ - 2y - \sqrt 6 + 2 y = - \sqrt 6 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \sqrt 2 y - \sqrt 3 \\ - \sqrt 6 = - \sqrt 6 \end{array} \right.$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \in \mathbb{R}\\x = - \sqrt 2 y - \sqrt 3 \end{array} \right.$ Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.
Câu 5 :
Số nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 1} \right)\left( {y - 1} \right) = xy - 1\\\left( {x - 3} \right)\left( {y - 3} \right) = xy - 3\end{array} \right.$ là
Đáp án : A Phương pháp giải :
Đưa hệ phương trình về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn rồi giải bằng phương pháp thế. Lời giải chi tiết :
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 1} \right)\left( {y - 1} \right) = xy - 1\\\left( {x - 3} \right)\left( {y - 3} \right) = xy - 3\end{array} \right.$ $ \left\{ \begin{array}{l}xy - x + y - 1 = xy - 1\\xy - 3x - 3y + 9 = xy - 3\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} - x + y = 0\\ - 3x - 3y = -12\end{array} \right.$ Từ phương trình thứ nhất ta có: \(x = y\) Thay vào phương trình thứ hai, ta được: \(- 6y = -12\) hay \(y=2\). Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( { 2; 2} \right)$
Câu 6 :
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + by = - 1\\bx - 2ay = 1\end{array} \right.$. Biết rằng hệ phương trình có nghiệm là $\left( {1; - 2} \right)$, tính $a - b$.
Đáp án : B Phương pháp giải :
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm $\left( {{x_0};{y_0}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a{x_0} + b{y_0} = c\\a'{x_0} + b'{y_0} = c'\end{array} \right..$ Lời giải chi tiết :
Thay $x = 1;y = - 2$ vào hệ ta được $\left\{ \begin{array}{l}2.1 + b.\left( { - 2} \right) = - 1\\b.1 - 2a.\left( { - 2} \right) = 1\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} - 2b = - 3\\b + 4a = 1\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{3}{2}\\\dfrac{3}{2} + 4a = 1\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{3}{2}\\a = - \dfrac{1}{8}\end{array} \right.$ $a - b = - \dfrac{{13}}{8}$ Vậy $a - b = - \dfrac{{13}}{8}$.
Câu 7 :
Cho hai đường thẳng: ${d_1}:mx - 2\left( {3n + 2} \right)y = 6$ và ${d_2}:\left( {3m - 1} \right)x + 2ny = 56.$ Tìm tích $m. n$ để hai đường thẳng cắt nhau tại điểm $I\left( { - 2;3} \right)$.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Bước 1: Sử dụng: đường thẳng $d:ax + by = c$ đi qua điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ để có được hai phương trình ẩn $m$ và $n$. Bước 2: Giải hệ hai phương trình ẩn $m$ và $n$ bằng phương pháp thế để tìm $m$ và $n$. Từ đó suy ra tích $m.n$ Lời giải chi tiết :
+) Thay tọa độ điểm $I$ vào phương trình ${d_1}$ ta được $m.\left( { - 2} \right) - 2\left( {3n + 2} \right).3 = 6 $ $- 2m - 18n = 18 $ $m + 9n = - 9$ +) Thay tọa độ điểm $I$ vào phương trình ${d_2}$ ta được $\left( {3m - 1} \right).\left( { - 2} \right) + 2n.3 = 56$ $ - 6m + 2 + 6n = 56 $ $m - n = - 9$ Suy ra hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}m + 9n = - 9\\m - n = - 9\end{array} \right.$ Thế m theo n vào phương trình thứ hai, ta được: $ \left\{ \begin{array}{l}m = - 9 + n\\ - 9 + n + 9n = - 9\end{array} \right. $ $\left\{ \begin{array}{l}m = - 9 + n\\10n = 0\end{array} \right. $ $\left\{ \begin{array}{l}n = 0\\m = - 9\end{array} \right. $ $m.n = 0.$ Vậy $m.n = 0$.
Câu 8 :
Tìm a, b để đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua hai điểm \(M(3; - 5),N\left( {1;2} \right)\)
Đáp án : D Phương pháp giải :
Bước 1: Sử dụng đường thẳng $d:ax + by = c$ đi qua điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$$ \Leftrightarrow a{x_0} + b{y_0} = c$ để có được hai phương trình ẩn $a$ và $b$. Bước 2: Giải hệ hai phương trình ẩn $a$ và $b$ bằng phương pháp thế. Lời giải chi tiết :
Thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình đường thẳng ta được $3a + b = - 5$ Thay tọa độ điểm $N$ vào phương trình đường thẳng ta được $a + b = 2$ Từ đó ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}a + b = 2\\3a + b = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2 - a\\3a + 2 - a = -5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2 - a\\2a = -7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{-7}{2}\\b = \dfrac{11}{2}\end{array} \right.$ Vậy $a = \dfrac{-7}{2};b = \dfrac{11}{2}$
Câu 9 :
Số nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{x - 2}} + \dfrac{1}{{2y - 1}} = 2\\\dfrac{2}{{x - 2}} - \dfrac{3}{{2y - 1}} = 1\end{array} \right.$là
Đáp án : A Lời giải chi tiết :
Điều kiện: $x \ne 2;y \ne \dfrac{1}{2}$ Đặt $\dfrac{1}{{x - 2}} = a;\dfrac{1}{{2y - 1}} = b$ khi đó ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}a + b = 2\\2a - 3b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2 - b\\2\left( {2 - b} \right) - 3b = 1\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2 - b\\ - 5b = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{3}{5}\\a = 2 - b\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{3}{5}\\a = 2 - \dfrac{3}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{7}{5}\\b = \dfrac{3}{5}\end{array} \right.$ Trả lại biến ta được $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{x - 2}} = \dfrac{7}{5}\\\dfrac{1}{{2y - 1}} = \dfrac{3}{5}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7x - 14 = 5\\6y - 3 = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{19}}{7}\\y = \dfrac{4}{3}\end{array} \right.$(Thỏa mãn điều kiện) Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{19}}{7};\dfrac{4}{3}} \right)$.
Câu 10 :
Tìm các giá trị của \(m\) và \(n\) sao cho đa thức \(P\left( x \right) = m{x^3} + \left( {m - 2} \right){x^2} - \left( {3n - 5} \right)x - 4n\) đồng thời chia hết cho \(x + 1\) và \(x - 3\).
Đáp án : C Phương pháp giải :
Ta sử dụng: Đa thức \(P\left( x \right)\) chia hết cho đa thức \(x - a\) khi và chỉ khi \(P\left( a \right) = 0\) + Tính \(P\left( { - 1} \right);P\left( 3 \right)\) + Từ giả thiết ta giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}P\left( { - 1} \right) = 0\\P\left( 3 \right) = 0\end{array} \right.\) để tìm \(m;n.\) Lời giải chi tiết :
Ta sử dụng: Đa thức \(P\left( x \right)\) chia hết cho đa thức \(x - a\) khi và chỉ khi \(P\left( a \right) = 0\) Áp dụng mệnh đề trên với \(a = - 1,\) rồi với \(a = 3,\) ta có \(P\left( { - 1} \right) = m{\left( { - 1} \right)^3} + \left( {m - 2} \right).{\left( { - 1} \right)^2} - \left( {3n - 5} \right).\left( { - 1} \right) - 4n = - n - 7\) \(P\left( 3 \right) = m{.3^3} + \left( {m - 2} \right){.3^2} - \left( {3n - 5} \right).3 - 4n = 36m - 13n - 3\) Theo giả thiết, \(P\left( x \right)\) chia hết cho \(x + 1\) nên \(P\left( { - 1} \right) = 0\) tức là \( - n - 7 = 0\) Tương tự, vì \(P\left( x \right)\) chia hết cho \(x - 3\) nên \(P\left( 3 \right) = 0\) tức là \(36m - 13n - 3 = 0\) Vậy ta phải giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - n - 7 = 0\\36m - 13n - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n = - 7\\36m - 13.\left( { - 7} \right) - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n = - 7\\m = - \dfrac{{22}}{9}\end{array} \right.\) Trả lời: Vậy \(m = - \dfrac{{22}}{9};n = - 7\).
Câu 11 :
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{2}{{2x + y}} + \dfrac{5}{{x + 2y}} = \dfrac{5}{6}\\\dfrac{3}{{2x + y}} - \dfrac{4}{{x + 2y}} = - \dfrac{3}{5}\end{array} \right.$. Nếu đặt $\dfrac{1}{{2x + y}} = a;\dfrac{1}{{x + 2y}} = b$ ta được hệ phương trình mới là:
Đáp án : A Lời giải chi tiết :
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{2}{{2x + y}} + \dfrac{5}{{x + 2y}} = \dfrac{5}{6}\\\dfrac{3}{{2x + y}} - \dfrac{4}{{x + 2y}} = - \dfrac{3}{5}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2.\dfrac{1}{{2x + y}} + 5.\dfrac{1}{{x + 2y}} = \dfrac{5}{6}\\3.\dfrac{1}{{2x + y}} - 4.\dfrac{1}{{x + 2y}} = - \dfrac{3}{5}\end{array} \right.$ Đặt $\dfrac{1}{{2x + y}} = a;\dfrac{1}{{x + 2y}} = b$ ta được hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2a + 5b = \dfrac{5}{6}\\3a - 4b = - \dfrac{3}{5}\end{array} \right.$
Câu 12 :
Biết nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y} = 1\\\dfrac{3}{x} + \dfrac{4}{y} = 5\end{array} \right.$là $\left( {x;y} \right)$. Tính $9x + 2y$.
Đáp án : B Lời giải chi tiết :
Điều kiện: $x \ne 0;y \ne 0$ Đặt $\dfrac{1}{x} = a;\dfrac{1}{y} = b$ khi đó ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}a - b = 1\\3a + 4b = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 + b\\3\left( {1 + b} \right) + 4b = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 + b\\7b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{2}{7}\\a = 1 + \dfrac{2}{7}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{9}{7}\\b = \dfrac{2}{7}\end{array} \right.$ Trả lại biến ta được $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} = \dfrac{9}{7}\\\dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{7}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{7}{9}\\y = \dfrac{7}{2}\end{array} \right.$ (Thỏa mãn điều kiện) Khi đó $9x + 2y = 9.\dfrac{7}{9} + 2.\dfrac{7}{2} = 14$.
Câu 13 :
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{15x}}{{\sqrt y }} - \dfrac{{7\sqrt x }}{y} = 9\\\dfrac{{4x}}{{\sqrt y }} + \dfrac{{9\sqrt x }}{y} = 5\end{array} \right.$. Nếu đặt $\dfrac{x}{{\sqrt y }} = a;\dfrac{{\sqrt x }}{y} = b$ (với $x > 0;y > 0$) ta được hệ phương trình mới là:
Đáp án : B Lời giải chi tiết :
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{15x}}{{\sqrt y }} - \dfrac{{7\sqrt x }}{y} = 9\\\dfrac{{4x}}{{\sqrt y }} + \dfrac{{9\sqrt x }}{y} = 5\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}15.\dfrac{x}{{\sqrt y }} - 7.\dfrac{{\sqrt x }}{y} = 9\\4.\dfrac{x}{{\sqrt y }} + 9.\dfrac{{\sqrt x }}{y} = 5\end{array} \right.$ Đặt $\dfrac{x}{{\sqrt y }} = a;\dfrac{{\sqrt x }}{y} = b$ ta được hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}15a - 7b = 9\\4a + 9b = 5\end{array} \right.$
Câu 14 :
Nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3\left( {y - 5} \right) + 2\left( {x - 3} \right) = 0\\7\left( {x - 4} \right) + 3\left( {x + y - 1} \right) - 14 = 0\end{array} \right.$là $\left( {x;y} \right)$. Tính ${x^2} + {y^2}$.
Đáp án : B Phương pháp giải :
Đưa hệ phương trình về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn rồi giải bằng phương pháp thế Lời giải chi tiết :
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}3\left( {y - 5} \right) + 2\left( {x - 3} \right) = 0\\7\left( {x - 4} \right) + 3\left( {x + y - 1} \right) - 14 = 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3y - 15 + 2x - 6 = 0\\7x - 28 + 3x + 3y - 3 - 14 = 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 21\\10x + 3y = 45\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3y = 21 - 2x\\10x + 21 - 2x = 45\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3y = 21 - 2x\\8x = 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\3y = 15\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 5\end{array} \right.$ Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {3;5} \right)$ $ \Rightarrow {x^2} + {y^2} = {3^2} + {5^2} = 34$
Câu 15 :
Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}mx + 4y = 20\\x + my = 10\end{array} \right.\), với m là tham số. Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Trước tiên ta biểu diễn theo , rồi thế vào phương trình còn lại ta đươc một phương trình ẩn , tham số . Để yêu cầu bài toán được thỏa mãn thì phương trình đó phải có hệ số khác 0. Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}mx + 4y = 20\\x + my = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}mx + 4y = 20\\x = 10 - my\end{array} \right.\\ \Rightarrow m\left( {10 - my} \right) + 4y = 20\\ \Leftrightarrow 10m - {m^2}y + 4y = 20\\ \Leftrightarrow y\left( {4 - {m^2}} \right) = 20 - 10m(1)\end{array}\) Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow 4 - {m^2} \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 2.\) Vậy với \(m \ne \pm 2\) thì yêu cầu bài toán được thỏa mãn.
Câu 16 :
Tìm cặp giá trị \((a;b)\) để hai hệ phương trình sau tương đương \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 1\\x + y = 4\end{array} \right.(I)\) và \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{ax}} - y = 2\\2ax + by = 7\end{array} \right.(II)\)
Đáp án : D Phương pháp giải :
Hai hệ phương trình tương đường khi và chỉ khi hai hệ phương trình có cùng tập nghiệm. Lời giải chi tiết :
Giải phương trình (I) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2y\\1 + 2y + y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2y\\3y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.\) Hai phương trình tương đương \( \Leftrightarrow \) hai phương trình có cùng tập nghiệm hay (3; 1) cũng là nghiệm của phương trình (2). Thay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.\) vào hệ phương trình (II) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}3a - 1 = 2\\6a + b = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\end{array} \right.\)
Câu 17 :
Tìm a để hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - \left( {a + 1} \right)x + y = - a - 1\\x + \left( {a - 1} \right)y = 2\end{array} \right.\) có nghiệm duy nhất thỏa mãn \(x - y = 0\)
Đáp án : C Phương pháp giải :
+) Rút một ẩn theo ẩn còn lại từ phương trình thứ nhất, thế vào phương trình thứ hai. +) Đưa phương trình về dạng \(ax = b\) +) Để phương trình \(ax = b\) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \(a \ne 0\) +) Giải x và y theo a thay vào biểu thức \(x - y = 0\) Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l} - \left( {a + 1} \right)x + y = - a - 1\\x + \left( {a - 1} \right)y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - a - 1 + \left( {a + 1} \right)x\\x + \left( {a - 1} \right)\left[ { - a - 1 + \left( {a + 1} \right)x} \right] = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - a - 1 + \left( {a + 1} \right)x\\x + \left( {a - 1} \right)\left( { - a - 1} \right) + \left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - a - 1 + \left( {a + 1} \right)x\\\left( {{a^2} - 1 + 1} \right)x - {a^2} + 1 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - a - 1 + \left( {a + 1} \right)x\\{a^2}x = {a^2} + 1\end{array} \right.\end{array}\) Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi phương trình \({a^2}x = {a^2} + 1\) có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow a \ne 0\). Với \(a \ne 0\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}y = - a - 1 + \left( {a + 1} \right)x\\{a^2}x = {a^2} + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - a - 1 + \left( {a + 1} \right).\dfrac{{{a^2} + 1}}{{{a^2}}}\\x = \dfrac{{{a^2} + 1}}{{{a^2}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{a + 1}}{{{a^2}}}\\x = \dfrac{{{a^2} + 1}}{{{a^2}}}\end{array} \right.\) Mà \(x - y = 0 \Rightarrow \dfrac{{{a^2} + 1}}{{{a^2}}} - \dfrac{{a + 1}}{{{a^2}}} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2} - a}}{{{a^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\,\,\left( {ktm} \right)\\a = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\) Vậy \(a = 1\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 18 :
Nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{align} & \sqrt{\frac{1-x}{2y+1}}+\sqrt{\frac{2y+1}{1-x}}=2 \\ & x-y=1 \\\end{align} \right.\) là:
Đáp án : D Phương pháp giải :
+) Tìm điều kiện của x và y để biểu thức trong căn có nghĩa. +) Biểu diễn x theo y và thay vào phương trình còn lại ta được một phương trình chứa căn thức với ẩn là y. Tiếp theo, ta đặt ẩn phụ để giải, thay ngược lại để tìm được giá trị của x và y. +) Khi tìm được nghiệm x và y ta đối chiếu với điều kiện xác định và kết luận nghiệm của hệ phương trình. Lời giải chi tiết :
Đk: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{1 - x}}{{2y + 1}} \ge 0\\\dfrac{{2y + 1}}{{1 - x}} \ge 0\\y \ne \dfrac{{ - 1}}{2}\\x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{1 - x}}{{2y + 1}} > 0\\\dfrac{{2y + 1}}{{1 - x}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}1 - x > 0\\2y + 1 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}1 - x < 0\\2y + 1 < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x < 1\\y > \dfrac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x > 1\\y < \dfrac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\end{array} \right..\) \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {\dfrac{{1 - x}}{{2y + 1}}} + \sqrt {\dfrac{{2y + 1}}{{1 - x}}} = 2\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x - y = 1\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\) từ \(\left( 2 \right)\) suy ra: \(x=1+y\) thay vào \(\left( 1 \right)\) ta có: \(pt \Leftrightarrow \sqrt {\dfrac{{1 - 1 - y}}{{2y + 1}}} + \sqrt {\dfrac{{2y + 1}}{{1 - 1 - y}}} = 2 \Leftrightarrow \sqrt {\dfrac{{ - y}}{{2y + 1}}} + \sqrt {\dfrac{{2y + 1}}{{ - y}}} = 2\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\) Đặt \(\dfrac{-y}{2y+1}=t\left( t\ge 0 \right)\Rightarrow \dfrac{2y+1}{-y}=\dfrac{1}{t}\) khi đó \(\left( 3 \right)\) có dạng: \(\sqrt t + \sqrt {\dfrac{1}{t}} = 2 \Leftrightarrow t + 2 + \dfrac{1}{t} = 4 \Leftrightarrow {t^2} - 2t + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {t - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow t = 1\left( {tm} \right)\) Suy ra: \(\dfrac{-y}{2y+1}=1\Leftrightarrow 2y+1=-y\Leftrightarrow y=\dfrac{1}{3}\,\,\,\left( tm \right)\Rightarrow x=\dfrac{1}{3}+1=\dfrac{4}{3}\,\,\,\left( ktm \right)\) Vậy hệ phương trình vô nghiệm.
Câu 19 :
Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 1\\{x^2} + 2xy - {y^2} = 7\end{array} \right.\) , cặp nghiệm của hệ phương trình đã cho là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Với dạng này ta sẽ sử dụng phương pháp thế. Từ phương trình bậc nhất ta biểu diễn ẩn này theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại. Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 1\\{x^2} + 2xy - {y^2} = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2x - 1\\{x^2} + 2x\left( {2x - 1} \right) - {\left( {2x - 1} \right)^2} = 7\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2x - 1\\{x^2} + 4{x^2} - 2x - 4{x^2} + 4x - 1 - 7 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2x - 1\\{x^2} + 2x - 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2x - 1\\\left( {x + 4} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2x - 1\\\left[ \begin{array}{l}x + 4 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\left\{ \begin{array}{l}y = 2x - 1\\\left[ \begin{array}{l}x = - 4\\x = 2\end{array} \right.\end{array} \right.} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\y = - 9\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)
Câu 20 :
Cho hệ phương trình \(\left\{ \matrix{ x + my = 1 \hfill \cr mx - y = - m \hfill \cr} \right.\) Hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào giá trị của m là:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Tìm nghiệm của hệ phương trình theo m. Sau đó biến đổi m theo x và y. Từ đó ta có hệ thức không phụ thuộc vào m của x và y. Lời giải chi tiết :
\(\displaystyle\left\{ \matrix{x + my = 1 \hfill \cr mx - y = - m \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x = 1 - my \hfill \cr m(1 - my) - y = - m \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 1 - my \hfill \cr m - {m^2}y - y = - m \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x = 1 - my \hfill \cr y({m^2} + 1) = 2m \hfill \cr} \right.\)
Câu 21 :
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}mx - y = n\\nx + my = 1\end{array} \right.\) (m, n là tham số) Câu 21.1
Giải hệ phương trình với \(m = \dfrac{{ - 1}}{2};n = \dfrac{1}{3}\), ta được nghiệm là:
Đáp án : C Phương pháp giải :
+) Thay \(m = \dfrac{{ - 1}}{2};n = \dfrac{1}{3}\) vào hệ phương trình đưa về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. +) Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số. Lời giải chi tiết :
Thay \(m = \dfrac{{ - 1}}{2};n = \dfrac{1}{3}\)ta có hệ phương trình ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{ - 1}}{2}x - y = \dfrac{1}{3}\\\dfrac{1}{3}x + \dfrac{{ - 1}}{2}y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{ - 1}}{2}x - \dfrac{1}{3}\\\dfrac{1}{3}x + \dfrac{{ - 1}}{2}\left( {\dfrac{{ - 1}}{2}x - \dfrac{1}{3}} \right) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{ - 1}}{2}x - \dfrac{1}{3}\\\dfrac{7}{{12}}x = \dfrac{5}{6}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{10}}{7}\\y = \dfrac{{ - 22}}{{21}}\end{array} \right.\) Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) là \(\left( {\dfrac{{10}}{7};\dfrac{{ - 22}}{{21}}} \right)\) Câu 21.2
Xác định các tham số m và n để phương trình có nghiệm \(\left( { - 1;\sqrt 3 } \right)\)
Đáp án : A Phương pháp giải :
Thay \(x = - 1;y = \sqrt 3 \) giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số tìm m, n. Lời giải chi tiết :
Để phương trình có nghiệm \(\left( { - 1;\sqrt 3 } \right)\) thay \(x = - 1;\,\,y = \sqrt 3 \) vào hệ phương trình ta có: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} - m - \sqrt 3 = n\\ - n + \sqrt 3 m = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m - \sqrt 3 = n\\ - \left( { - m - \sqrt 3 } \right) + \sqrt 3 m = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m - \sqrt 3 = n\\\left( {1 + \sqrt 3 } \right)m = 1 - \sqrt 3 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m - \sqrt 3 = n\\m = \dfrac{{1 - \sqrt 3 }}{{1 + \sqrt 3 }} = - 2 + \sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n = - \left( { - 2 + \sqrt 3 } \right) - \sqrt 3 = 2 - 2\sqrt 3 \\m = - 2 + \sqrt 3 \end{array} \right.\end{array}\) Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}m = - 2 + \sqrt 3 \\n = 2 - 2\sqrt 3 \end{array} \right.\)
|
