Bài tập trắc nghiệm Toán 9

Trắc nghiệm Bài 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số Toán 9

Làm đề thi

Đề bài

Câu 1 :

Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}8x + 7y = 16\\8x - 3y =  - 24\end{array} \right.\). Nghiệm của hệ phương trình là

  • A

    $\left( {x;y} \right) = \left( { - \dfrac{3}{2};4} \right)$

  • B

    $\left( {x;y} \right) = \left( {4; - \dfrac{3}{2}} \right)$

  • C

    $\left( {x;y} \right) = \left( { - \dfrac{3}{2}; - 4} \right)$

  • D

    $\left( {x;y} \right) = \left( { - 2;2} \right)$

Câu 2 :

Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\4x + y = 9\end{array} \right.\). Nghiệm của hệ phương trình là $\left( {x;y} \right)$, tính $x - y$

  • A

    $x - y =  - 1$

  • B

    $x - y = 1$

  • C

    $x - y = 0$

  • D

    $x - y = 2$

Câu 3 :

Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 2  - y\sqrt 3  = 1\\x + y\sqrt 3  = \sqrt 2 \end{array} \right.\). Biết nghiệm của hệ phương trình là $\left( {x;y} \right)$, tính $x + 3\sqrt 3 y$

  • A

    $3\sqrt 2  + 2$

  • B

    $ - 3\sqrt 2  - 2$

  • C

    $2\sqrt 2  - 2$

  • D

    $3\sqrt 2  - 2$

Câu 4 :

Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}4\sqrt x  - 3\sqrt y  = 4\\2\sqrt x  + \sqrt y  = 2\end{array} \right.$. Biết nghiệm của hệ phương trình là $\left( {x;y} \right)$, tính $x.y$

  • A

    $2$

  • B

    $0$

  • C

    $-2$

  • D

    $1$

Câu 5 :

Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{2}{x} + y = 3\\\dfrac{1}{x} - 2y = 4\end{array} \right.$. Biết nghiệm của hệ phương trình là $\left( {x;y} \right)$, tính $\dfrac{x}{y}$

  • A

    $2$

  • B

    $ - 2$

  • C

    $ - \dfrac{1}{2}$

  • D

    $\dfrac{1}{2}$

Câu 6 :

Số nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}5(x + 2y) - 3(x - y) = 99\\x - 3y = 7x - 4y - 17\end{array} \right.\)là

  • A

    $2$

  • B

    Vô số 

  • C

    $1$

  • D

    $0$

Câu 7 :

Kết luận nào đúng khi nói về nghiệm $\left( {x;y} \right)$ của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + \dfrac{y}{2} = \dfrac{{2x - 3}}{2}\\\dfrac{x}{2} + 3y = \dfrac{{25 - 9y}}{8}\end{array} \right.\)

  • A

    $x > 0;y < 0$

  • B

    $x < 0;y < 0$

  • C

    $x < 0;y > 0$

  • D

    $x > 0;y > 0$

Câu 8 :

Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}(x - 3)(2y + 5) = (2x + 7)(y - 1)\\(4x + 1)(3y - 6) = (6x - 1)(2y + 3)\end{array} \right.\)tương đương với hệ phương trình nào dưới đây?

  • A

    $\left\{ \begin{array}{l}x - 13y = 8\\ - 42x + 5y = 3\end{array} \right.$

  • B

    $\left\{ \begin{array}{l}42x - 78y = 48\\ - 42x + 5y = 3\end{array} \right.$

  • C

    $\left\{ \begin{array}{l}42x + 78y = 48\\ - 42x + 5y = 3\end{array} \right.$

  • D

    $\left\{ \begin{array}{l}7x - 13y = 8\\ - 4x + 5y = 3\end{array} \right.$

Câu 9 :

Kết luận đúng về nghiệm $\left( {x;y} \right)$của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3\sqrt {x - 1}  + 2\sqrt y  = 13\\2\sqrt {x - 1}  - \sqrt y  = 4\end{array} \right.\)

  • A

    $x.y = 16$

  • B

    $x + y = 10$

  • C

    $x - y = 6$

  • D

    $y:x = 4$

Câu 10 :

Tìm $a,b$ để hệ phương trình  $\left\{ \begin{array}{l}2ax + by =  - 1\\bx - ay = 5\end{array} \right.$

có nghiệm là $\left( {3; - 4} \right)$.

  • A

    $a = \dfrac{1}{2};b = 1$

  • B

    $a =  - \dfrac{1}{2};b = 1$

  • C

    $a = \dfrac{1}{2};b =  - 1$

  • D

    $a =  - \dfrac{1}{2};b =  - 1$

Câu 11 :

Nghiệm $\left( {x;y} \right)$ của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{7}{{\sqrt x  - 7}} - \dfrac{4}{{\sqrt y  + 6}} = \dfrac{5}{3}\\\dfrac{5}{{\sqrt x  - 7}} + \dfrac{3}{{\sqrt y  + 6}} = 2\dfrac{1}{6}\end{array} \right.\) có tính chất là:

  • A

    $x;y$ nguyên dương

  • B

    $x;y$ là số vô tỉ

  • C

    $x;y$ nguyên âm

  • D

    $x$ nguyên dương, $y$ không âm

Câu 12 :

Tìm các giá trị của m để nghiệm của hệ phương trình :

\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2x + 1}}{3} - \dfrac{{y + 1}}{4} = \dfrac{{4x - 2y + 2}}{5}\\\dfrac{{2x - 3}}{4} - \dfrac{{y - 4}}{3} =  - 2x + 2y - 2\end{array} \right.\)

cũng là nghiệm của phương trình \(6mx - 5y = 2m - 66\).

  • A

    $m =  - 1$

  • B

    $m = 1$

  • C

    $m = 2$

  • D

    $m = 3$

Câu 13 :

Tìm \(a,b\) biết đường thẳng \(d:y = ax + b\) đi qua hai điểm \(A\left( { - 4; - 2} \right);B\left( {2;1} \right)\).

  • A

    \(a = 0;b = \dfrac{1}{2}\)

  • B

    \(a = \dfrac{1}{2};b = 0\)

  • C

    \(a = 1;b = 1\)

  • D

    \(a =  - \dfrac{1}{2};b = \dfrac{1}{2}\)

Câu 14 :

Hai hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 3\\x + y = 2\end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y = 2\\ax + 2y = 4\end{array} \right.\) tương đương khi và chỉ khi:

  • A
    \(a = 2\)       
  • B
    \(a =  - 2\)                
  • C
    \(a = 6\)       
  • D
    \(a =  - 6\)
Câu 15 :

Biết rằng khi \(m\) thay đổi, giao điểm của hai đường thẳng \(y = 3x - m - 1\) và \(y = 2x + m - 1\)  luôn nằm trên đường thẳng \(y = \,ax + b\) . Khi đó tổng \(S = a + b\) là

  • A
    \(S = 6\)           
  • B

    \(S = \dfrac{7}{2}\)                    

  • C

    \(S = \dfrac{3}{2}\)        

  • D
    \(S = 4\) 

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}8x + 7y = 16\\8x - 3y =  - 24\end{array} \right.\). Nghiệm của hệ phương trình là

  • A

    $\left( {x;y} \right) = \left( { - \dfrac{3}{2};4} \right)$

  • B

    $\left( {x;y} \right) = \left( {4; - \dfrac{3}{2}} \right)$

  • C

    $\left( {x;y} \right) = \left( { - \dfrac{3}{2}; - 4} \right)$

  • D

    $\left( {x;y} \right) = \left( { - 2;2} \right)$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}8x + 7y = 16\\8x - 3y =  - 24\end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8x + 7y = 16\\8x + 7y - \left( {8x - 3y} \right) = 16 - \left( { - 24} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8x + 7y = 16\\10y = 40\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4\\8x + 7.4 = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4\\x =  - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( { - \dfrac{3}{2};4} \right)$

Câu 2 :

Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\4x + y = 9\end{array} \right.\). Nghiệm của hệ phương trình là $\left( {x;y} \right)$, tính $x - y$

  • A

    $x - y =  - 1$

  • B

    $x - y = 1$

  • C

    $x - y = 0$

  • D

    $x - y = 2$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 3 để được phương trình mới có hệ số của biến đối nhau.

Sử dụng phương pháp cộng đại số để tìm nghiệm của hệ.

Lời giải chi tiết :

Ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\4x + y = 9\end{array} \right. \)

$\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\12x + 3y = 27\end{array} \right.$

$\left\{\begin{array}{l}2x - 3y = 1\\2x - 3y+12x+3y =1+ 27\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\14x = 28\end{array} \right. $

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\)

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;1} \right)\)

$ \Rightarrow x - y = 2 - 1 = 1$.

Câu 3 :

Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 2  - y\sqrt 3  = 1\\x + y\sqrt 3  = \sqrt 2 \end{array} \right.\). Biết nghiệm của hệ phương trình là $\left( {x;y} \right)$, tính $x + 3\sqrt 3 y$

  • A

    $3\sqrt 2  + 2$

  • B

    $ - 3\sqrt 2  - 2$

  • C

    $2\sqrt 2  - 2$

  • D

    $3\sqrt 2  - 2$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Nhân hai vế của phương trình thứ hai với \(\sqrt 2\) để hệ số của x ở hai phương trình bằng nhau.

Sử dụng phương pháp cộng đại số để giải hệ phương trình.

Lời giải chi tiết :

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 2  - y\sqrt 3  = 1\\x + y\sqrt 3  = \sqrt 2 \end{array} \right.\)

Nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với \(\sqrt 2\) ta được phương trình: \(x\sqrt 2  + y\sqrt 6  = 2\)

Cộng từng vế của hai phương trình với nhau, ta được phương trình \(\left( {\sqrt 6  + \sqrt 3 } \right)y = 1\) hay \(y = \dfrac{1}{{\sqrt 6  + \sqrt 3 }}\)

Thay \(y = \dfrac{1}{{\sqrt 6  + \sqrt 3 }}\) vào \(x\sqrt 2  - y\sqrt 3  = 1\) ta được \(x\sqrt 2  - \sqrt 3 .\dfrac{{\sqrt 6  - \sqrt 3 }}{3} = 1\) suy ra \( x = 1\)

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;\dfrac{{\sqrt 6  - \sqrt 3 }}{3}} \right)\)

$ \Rightarrow x + 3\sqrt 3 y = 1 + 3\sqrt 2  - 3 = 3\sqrt 2  - 2$.

Câu 4 :

Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}4\sqrt x  - 3\sqrt y  = 4\\2\sqrt x  + \sqrt y  = 2\end{array} \right.$. Biết nghiệm của hệ phương trình là $\left( {x;y} \right)$, tính $x.y$

  • A

    $2$

  • B

    $0$

  • C

    $-2$

  • D

    $1$

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

ĐK: $x \ge 0;y \ge 0$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}4\sqrt x  - 3\sqrt y  = 4\\2\sqrt x  + \sqrt y  = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4\sqrt x  - 3\sqrt y  = 4\\4\sqrt x  + 2\sqrt y  = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5\sqrt y  = 0\\2\sqrt x  + \sqrt y  = 2\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt y  = 0\\2\sqrt x  = 2\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 0\\x = 1\end{array} \right.$ (Thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;0} \right) \Rightarrow x.y = 0.\)

Câu 5 :

Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{2}{x} + y = 3\\\dfrac{1}{x} - 2y = 4\end{array} \right.$. Biết nghiệm của hệ phương trình là $\left( {x;y} \right)$, tính $\dfrac{x}{y}$

  • A

    $2$

  • B

    $ - 2$

  • C

    $ - \dfrac{1}{2}$

  • D

    $\dfrac{1}{2}$

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

ĐK: $x \ne 0$

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 2, ta được:

\(\dfrac{4}{x} + 2y = 6\)

Cộng cả hai vế của hai phương trình, ta được:

\(x = \frac{1}{2}\)

Suy ra \(\dfrac{2}{\frac{1}{2}} + y = 3\)

\( 4 + y = 3\)

Suy ra \(y = - 1\)

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{1}{2}; - 1} \right)$ Do đó $ \dfrac{x}{y} = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{-1} =  - \dfrac{1}{2}$

Câu 6 :

Số nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}5(x + 2y) - 3(x - y) = 99\\x - 3y = 7x - 4y - 17\end{array} \right.\)là

  • A

    $2$

  • B

    Vô số 

  • C

    $1$

  • D

    $0$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Giải hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn sau đó sử dụng phương pháp cộng đại số

Lời giải chi tiết :

Ta có

$\left\{ \begin{array}{l}5(x + 2y) - 3(x - y) = 99\\x - 3y = 7x - 4y - 17\end{array} \right.$ 

$\left\{ \begin{array}{l}5x + 10y - 3x + 3y = 99\\x - 3y - 7x + 4y =  - 17\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}2x + 13y = 99\\ - 6x + y =  - 17\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}6x + 39y = 297\\ - 6x + y =  - 17\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} - 6x + y =  - 17\\40y = 280\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}y = 7\\x =  4\end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {  4;7} \right)$

Câu 7 :

Kết luận nào đúng khi nói về nghiệm $\left( {x;y} \right)$ của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + \dfrac{y}{2} = \dfrac{{2x - 3}}{2}\\\dfrac{x}{2} + 3y = \dfrac{{25 - 9y}}{8}\end{array} \right.\)

  • A

    $x > 0;y < 0$

  • B

    $x < 0;y < 0$

  • C

    $x < 0;y > 0$

  • D

    $x > 0;y > 0$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Giải hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn sau đó sử dụng phương pháp cộng đại số.

Lời giải chi tiết :

Ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}x + \dfrac{y}{2} = \dfrac{{2x - 3}}{2}\\\dfrac{x}{2} + 3y = \dfrac{{25 - 9y}}{8}\end{array} \right.\)

$\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 2x - 3\\4x + 24y = 25 - 9y\end{array} \right. $

$\left\{ \begin{array}{l}y =  - 3\\4x + 33y = 25\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}x = 31\\y =  - 3\end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {31; - 3} \right)$.

$ \Rightarrow x > 0;y < 0$

Câu 8 :

Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}(x - 3)(2y + 5) = (2x + 7)(y - 1)\\(4x + 1)(3y - 6) = (6x - 1)(2y + 3)\end{array} \right.\)tương đương với hệ phương trình nào dưới đây?

  • A

    $\left\{ \begin{array}{l}x - 13y = 8\\ - 42x + 5y = 3\end{array} \right.$

  • B

    $\left\{ \begin{array}{l}42x - 78y = 48\\ - 42x + 5y = 3\end{array} \right.$

  • C

    $\left\{ \begin{array}{l}42x + 78y = 48\\ - 42x + 5y = 3\end{array} \right.$

  • D

    $\left\{ \begin{array}{l}7x - 13y = 8\\ - 4x + 5y = 3\end{array} \right.$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Giải hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn sau đó sử dụng phương pháp cộng đại số

(Có thể sử dụng định nghĩa: hai hệ phương trình tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.)

Lời giải chi tiết :

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}(x - 3)(2y + 5) = (2x + 7)(y - 1)\\(4x + 1)(3y - 6) = (6x - 1)(2y + 3)\end{array}\end{array}} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2xy + 5x - 6y - 15 = 2xy - 2x + 7y - 7\\12xy - 24x + 3y - 6 = 12xy + 18x - 2y - 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7x - 13y = 8\\ - 42x + 5y = 3\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{42x - 78y = 48}\\{ - 42x + 5y = 3}\end{array}} \right.\)

 

Chú ý

Khi biến đổi hệ phương trình ban đầu đến bước nào đó ra được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, rồi so sánh với đáp án để rút ngắn thời gian làm bài.

Câu 9 :

Kết luận đúng về nghiệm $\left( {x;y} \right)$của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3\sqrt {x - 1}  + 2\sqrt y  = 13\\2\sqrt {x - 1}  - \sqrt y  = 4\end{array} \right.\)

  • A

    $x.y = 16$

  • B

    $x + y = 10$

  • C

    $x - y = 6$

  • D

    $y:x = 4$

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $x \ge 1;y \ge 0$

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}3\sqrt {x - 1}  + 2\sqrt y  = 13\\2\sqrt {x - 1}  - \sqrt y  = 4\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3\sqrt {x - 1} + 2\sqrt y = 13\\
4\sqrt {x - 1} - 2\sqrt y = 8
\end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\sqrt {x - 1}  - \sqrt y  = 4\\7\sqrt {x - 1}  = 21\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 1}  = 3\\3.3 + 2\sqrt y  = 13\end{array} \right.$ \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 1 = 9\\
2\sqrt y = 4
\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 10\\
y = 4
\end{array} \right.\)(thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {10;4} \right)$.

Nên $x - y = 10 - 4 = 6.$

Câu 10 :

Tìm $a,b$ để hệ phương trình  $\left\{ \begin{array}{l}2ax + by =  - 1\\bx - ay = 5\end{array} \right.$

có nghiệm là $\left( {3; - 4} \right)$.

  • A

    $a = \dfrac{1}{2};b = 1$

  • B

    $a =  - \dfrac{1}{2};b = 1$

  • C

    $a = \dfrac{1}{2};b =  - 1$

  • D

    $a =  - \dfrac{1}{2};b =  - 1$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\)  có nghiệm \(({x_0};{y_0})\) khi \( \left\{ \begin{array}{l}a{x_0} + b{y_0} = c\\a'{x_0} + b'{y_0} = c'\end{array} \right..\)

Đưa về giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $a,b$ bằng phương pháp thế.

Lời giải chi tiết :

Thay $x = 3;y =  - 4$ vào hệ phương trình ta được

$\left\{ \begin{array}{l}2a.3 + b\left( { - 4} \right) =  - 1\\b.3 - a.\left( { - 4} \right) = 5\end{array} \right.$

$ \left\{ \begin{array}{l}6a - 4b =  - 1\\4a + 3b = 5\end{array} \right.$

$ \left\{ \begin{array}{l}12a - 8b =  - 2\\12a + 9b = 15\end{array} \right.$

$  \left\{ \begin{array}{l}17b = 17\\4a + 3b = 5\end{array} \right.$

$  \left\{ \begin{array}{l}b = 1\\a = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

Vậy $a = \dfrac{1}{2};b = 1$

Câu 11 :

Nghiệm $\left( {x;y} \right)$ của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{7}{{\sqrt x  - 7}} - \dfrac{4}{{\sqrt y  + 6}} = \dfrac{5}{3}\\\dfrac{5}{{\sqrt x  - 7}} + \dfrac{3}{{\sqrt y  + 6}} = 2\dfrac{1}{6}\end{array} \right.\) có tính chất là:

  • A

    $x;y$ nguyên dương

  • B

    $x;y$ là số vô tỉ

  • C

    $x;y$ nguyên âm

  • D

    $x$ nguyên dương, $y$ không âm

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Đặt $\dfrac{1}{{\sqrt x  - 7}} = a;\dfrac{1}{{\sqrt y  + 6}} = b$

Sử dụng phương pháp cộng đại số để giải hệ phương trình ẩn a, b.

Thay lại vào để giải tìm x, y.

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $x \ge 0;x \ne 7;y \ge 0$

Đặt $\dfrac{1}{{\sqrt x  - 7}} = a;\dfrac{1}{{\sqrt y  + 6}} = b$ ta được:

$\left\{ \begin{array}{l}7a - 4b = \dfrac{5}{3}\\5a + 3b = 2\dfrac{1}{6}\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}21a - 12b = 5\\20a + 12b = \dfrac{{26}}{3}\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}21a - 12b = 5\\41a = \dfrac{{41}}{3}\end{array} \right. $

$\left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{3}\\21.\dfrac{1}{3} - 12b = 5\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{3}\\b = \dfrac{1}{6}\end{array} \right.$

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{\sqrt x  - 7}} = \dfrac{1}{3}\\\dfrac{1}{{\sqrt y  + 6}} = \dfrac{1}{6}\end{array} \right. $

$\left\{ \begin{array}{l}\sqrt x  - 7 = 3\\\sqrt y  + 6 = 6\end{array} \right. $

$\left\{ \begin{array}{l}x = 100\\y = 0\end{array} \right.\left( {TM} \right)$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( {100;0} \right)$.

Câu 12 :

Tìm các giá trị của m để nghiệm của hệ phương trình :

\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2x + 1}}{3} - \dfrac{{y + 1}}{4} = \dfrac{{4x - 2y + 2}}{5}\\\dfrac{{2x - 3}}{4} - \dfrac{{y - 4}}{3} =  - 2x + 2y - 2\end{array} \right.\)

cũng là nghiệm của phương trình \(6mx - 5y = 2m - 66\).

  • A

    $m =  - 1$

  • B

    $m = 1$

  • C

    $m = 2$

  • D

    $m = 3$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1 : Giải hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Bước 2 : Thay nghiệm vừa tìm được vào phương trình chưa tham số $m$ để tìm $m$

Lời giải chi tiết :

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2x + 1}}{3} - \dfrac{{y + 1}}{4} = \dfrac{{4x - 2y + 2}}{5}\\\dfrac{{2x - 3}}{4} - \dfrac{{y - 4}}{3} =  - 2x + 2y - 2\end{array} \right.\)

$ \left\{ \begin{array}{l}40x + 20 - 15y - 15 = 48x - 24y + 24\\6x - 9 - 4y + 16 =  - 24x + 24y - 24\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}8x - 9y =  - 19\\30x - 28y =  - 31\end{array} \right.$

$ \left\{ \begin{array}{l}120x - 135y =  - 285\\120x - 112y =  - 124\end{array} \right.$

$ \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{11}}{2}\\y = 7\end{array} \right.$

Thay $x = \dfrac{{11}}{2};y = 7$ vào phương trình \(6mx - 5y = 2m - 66\) ta được

$6m.\dfrac{{11}}{2} - 5.7 = 2m - 66$

$\Leftrightarrow 31m = -31$ $\Leftrightarrow m = -1.$

Câu 13 :

Tìm \(a,b\) biết đường thẳng \(d:y = ax + b\) đi qua hai điểm \(A\left( { - 4; - 2} \right);B\left( {2;1} \right)\).

  • A

    \(a = 0;b = \dfrac{1}{2}\)

  • B

    \(a = \dfrac{1}{2};b = 0\)

  • C

    \(a = 1;b = 1\)

  • D

    \(a =  - \dfrac{1}{2};b = \dfrac{1}{2}\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \) thì \(a{x_0} + b = {y_0}\)

Từ đề bài ta suy ra hệ hai phương trình hai ẩn \(a;b\). Giải hệ phương trình ta tìm được \(a;b.\) 

Lời giải chi tiết :

Đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua điểm \(A\left( { - 4; - 2} \right) \) thì \(  - 4a + b =  - 2\)  (1)

Đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua điểm \(B\left( {2;1} \right) \) thì \( 2a + b = 1\)  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l} - 4a + b =  - 2\\2a + b = 1\end{array} \right. \)

\(\left\{ \begin{array}{l} - 6a =  - 3\\2a + b = 1\end{array} \right.\)

\( \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{2}\\2.\dfrac{1}{2} + b = 1\end{array} \right. \)

\( \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{2}\\b = 0\end{array} \right.\)

Vậy \(a = \dfrac{1}{2};b = 0\)

Câu 14 :

Hai hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 3\\x + y = 2\end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y = 2\\ax + 2y = 4\end{array} \right.\) tương đương khi và chỉ khi:

  • A
    \(a = 2\)       
  • B
    \(a =  - 2\)                
  • C
    \(a = 6\)       
  • D
    \(a =  - 6\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Hai hệ phương trình tương đương khi có cùng tập nghiệm.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 3\\x + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\x + y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right.\)

Để hai hệ phương trình tương đương thì \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right)\) cũng là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y = 2\\ax + 2y = 4\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3.1 - 1 = 2\,\\a.1 + 2.1 = 4\end{array} \right. \Rightarrow a = 2\)

Câu 15 :

Biết rằng khi \(m\) thay đổi, giao điểm của hai đường thẳng \(y = 3x - m - 1\) và \(y = 2x + m - 1\)  luôn nằm trên đường thẳng \(y = \,ax + b\) . Khi đó tổng \(S = a + b\) là

  • A
    \(S = 6\)           
  • B

    \(S = \dfrac{7}{2}\)                    

  • C

    \(S = \dfrac{3}{2}\)        

  • D
    \(S = 4\) 

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Cô lập \(m\).

Lời giải chi tiết :

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng thõa mãn hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}y = 3x - m - 1\,\,\left( 1 \right)\\y = 2x + m - 1\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Cộng vế theo vế của (1) với (2) ta có: \(2y = 5x - 2 \)

\(y = \dfrac{5}{2}x - 1\).

Suy ra \(  \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{5}{2}\\b =  - 1\end{array} \right.\)

hay \(a + b = \dfrac{5}{2} - 1 = \dfrac{3}{2}\).

Bài liên quan
close