Trắc nghiệm Bài 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số Toán 9

Đề bài

Câu 1 :

Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}8x + 7y = 16\\8x - 3y =  - 24\end{array} \right.\). Nghiệm của hệ phương trình là

  • A

    $\left( {x;y} \right) = \left( { - \dfrac{3}{2};4} \right)$

  • B

    $\left( {x;y} \right) = \left( {4; - \dfrac{3}{2}} \right)$

  • C

    $\left( {x;y} \right) = \left( { - \dfrac{3}{2}; - 4} \right)$

  • D

    $\left( {x;y} \right) = \left( { - 2;2} \right)$

Câu 2 :

Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\4x + y = 9\end{array} \right.\). Nghiệm của hệ phương trình là $\left( {x;y} \right)$, tính $x - y$

  • A

    $x - y =  - 1$

  • B

    $x - y = 1$

  • C

    $x - y = 0$

  • D

    $x - y = 2$

Câu 3 :

Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 2  - y\sqrt 3  = 1\\x + y\sqrt 3  = \sqrt 2 \end{array} \right.\). Biết nghiệm của hệ phương trình là $\left( {x;y} \right)$, tính $x + 3\sqrt 3 y$

  • A

    $3\sqrt 2  + 2$

  • B

    $ - 3\sqrt 2  - 2$

  • C

    $2\sqrt 2  - 2$

  • D

    $3\sqrt 2  - 2$

Câu 4 :

Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}4\sqrt x  - 3\sqrt y  = 4\\2\sqrt x  + \sqrt y  = 2\end{array} \right.$. Biết nghiệm của hệ phương trình là $\left( {x;y} \right)$, tính $x.y$

  • A

    $2$

  • B

    $0$

  • C

    $-2$

  • D

    $1$

Câu 5 :

Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{2}{x} + y = 3\\\dfrac{1}{x} - 2y = 4\end{array} \right.$. Biết nghiệm của hệ phương trình là $\left( {x;y} \right)$, tính $\dfrac{x}{y}$

  • A

    $2$

  • B

    $ - 2$

  • C

    $ - \dfrac{1}{2}$

  • D

    $\dfrac{1}{2}$

Câu 6 :

Số nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}5(x + 2y) - 3(x - y) = 99\\x - 3y = 7x - 4y - 17\end{array} \right.\)

  • A

    $2$

  • B

    Vô số 

  • C

    $1$

  • D

    $0$

Câu 7 :

Kết luận nào đúng khi nói về nghiệm $\left( {x;y} \right)$ của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + \dfrac{y}{2} = \dfrac{{2x - 3}}{2}\\\dfrac{x}{2} + 3y = \dfrac{{25 - 9y}}{8}\end{array} \right.\)

  • A

    $x > 0;y < 0$

  • B

    $x < 0;y < 0$

  • C

    $x < 0;y > 0$

  • D

    $x > 0;y > 0$

Câu 8 :

Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}(x - 3)(2y + 5) = (2x + 7)(y - 1)\\(4x + 1)(3y - 6) = (6x - 1)(2y + 3)\end{array} \right.\)tương đương với hệ phương trình nào dưới đây?

  • A

    $\left\{ \begin{array}{l}x - 13y = 8\\ - 42x + 5y = 3\end{array} \right.$

  • B

    $\left\{ \begin{array}{l}42x - 78y = 48\\ - 42x + 5y = 3\end{array} \right.$

  • C

    $\left\{ \begin{array}{l}42x + 78y = 48\\ - 42x + 5y = 3\end{array} \right.$

  • D

    $\left\{ \begin{array}{l}7x - 13y = 8\\ - 4x + 5y = 3\end{array} \right.$

Câu 9 :

Kết luận đúng về nghiệm $\left( {x;y} \right)$của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3\sqrt {x - 1}  + 2\sqrt y  = 13\\2\sqrt {x - 1}  - \sqrt y  = 4\end{array} \right.\)

  • A

    $x.y = 16$

  • B

    $x + y = 10$

  • C

    $x - y = 6$

  • D

    $y:x = 4$

Câu 10 :

Tìm $a,b$ để hệ phương trình  $\left\{ \begin{array}{l}2ax + by =  - 1\\bx - ay = 5\end{array} \right.$

có nghiệm là $\left( {3; - 4} \right)$.

  • A

    $a = \dfrac{1}{2};b = 1$

  • B

    $a =  - \dfrac{1}{2};b = 1$

  • C

    $a = \dfrac{1}{2};b =  - 1$

  • D

    $a =  - \dfrac{1}{2};b =  - 1$

Câu 11 :

Nghiệm $\left( {x;y} \right)$ của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{7}{{\sqrt x  - 7}} - \dfrac{4}{{\sqrt y  + 6}} = \dfrac{5}{3}\\\dfrac{5}{{\sqrt x  - 7}} + \dfrac{3}{{\sqrt y  + 6}} = 2\dfrac{1}{6}\end{array} \right.\) có tính chất là:

  • A

    $x;y$ nguyên dương

  • B

    $x;y$ là số vô tỉ

  • C

    $x;y$ nguyên âm

  • D

    $x$ nguyên dương, $y$ không âm

Câu 12 :

Tìm các giá trị của m để nghiệm của hệ phương trình :

\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2x + 1}}{3} - \dfrac{{y + 1}}{4} = \dfrac{{4x - 2y + 2}}{5}\\\dfrac{{2x - 3}}{4} - \dfrac{{y - 4}}{3} =  - 2x + 2y - 2\end{array} \right.\)

cũng là nghiệm của phương trình \(6mx - 5y = 2m - 66\).

  • A

    $m =  - 1$

  • B

    $m = 1$

  • C

    $m = 2$

  • D

    $m = 3$

Câu 13 :

Tìm \(a,b\) biết đường thẳng \(d:y = ax + b\) đi qua hai điểm \(A\left( { - 4; - 2} \right);B\left( {2;1} \right)\).

  • A

    \(a = 0;b = \dfrac{1}{2}\)

  • B

    \(a = \dfrac{1}{2};b = 0\)

  • C

    \(a = 1;b = 1\)

  • D

    \(a =  - \dfrac{1}{2};b = \dfrac{1}{2}\)

Câu 14 :

Hai hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 3\\x + y = 2\end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y = 2\\ax + 2y = 4\end{array} \right.\) tương đương khi và chỉ khi:

  • A
    \(a = 2\)       
  • B
    \(a =  - 2\)                
  • C
    \(a = 6\)       
  • D
    \(a =  - 6\)
Câu 15 :

Biết rằng khi \(m\) thay đổi, giao điểm của hai đường thẳng \(y = 3x - m - 1\) và \(y = 2x + m - 1\)  luôn nằm trên đường thẳng \(y = \,ax + b\) . Khi đó tổng \(S = a + b\) là

  • A
    \(S = 6\)           
  • B

    \(S = \dfrac{7}{2}\)                    

  • C

    \(S = \dfrac{3}{2}\)        

  • D
    \(S = 4\) 

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}8x + 7y = 16\\8x - 3y =  - 24\end{array} \right.\). Nghiệm của hệ phương trình là

  • A

    $\left( {x;y} \right) = \left( { - \dfrac{3}{2};4} \right)$

  • B

    $\left( {x;y} \right) = \left( {4; - \dfrac{3}{2}} \right)$

  • C

    $\left( {x;y} \right) = \left( { - \dfrac{3}{2}; - 4} \right)$

  • D

    $\left( {x;y} \right) = \left( { - 2;2} \right)$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}8x + 7y = 16\\8x - 3y =  - 24\end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8x + 7y = 16\\8x + 7y - \left( {8x - 3y} \right) = 16 - \left( { - 24} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8x + 7y = 16\\10y = 40\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4\\8x + 7.4 = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4\\x =  - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( { - \dfrac{3}{2};4} \right)$

Câu 2 :

Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\4x + y = 9\end{array} \right.\). Nghiệm của hệ phương trình là $\left( {x;y} \right)$, tính $x - y$

  • A

    $x - y =  - 1$

  • B

    $x - y = 1$

  • C

    $x - y = 0$

  • D

    $x - y = 2$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 3 để được phương trình mới có hệ số của biến đối nhau.

Sử dụng phương pháp cộng đại số để tìm nghiệm của hệ.

Lời giải chi tiết :

Ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\4x + y = 9\end{array} \right. \)

$\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\12x + 3y = 27\end{array} \right.$

$\left\{\begin{array}{l}2x - 3y = 1\\2x - 3y+12x+3y =1+ 27\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\14x = 28\end{array} \right. $

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\)

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;1} \right)\)

$ \Rightarrow x - y = 2 - 1 = 1$.

Câu 3 :

Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 2  - y\sqrt 3  = 1\\x + y\sqrt 3  = \sqrt 2 \end{array} \right.\). Biết nghiệm của hệ phương trình là $\left( {x;y} \right)$, tính $x + 3\sqrt 3 y$

  • A

    $3\sqrt 2  + 2$

  • B

    $ - 3\sqrt 2  - 2$

  • C

    $2\sqrt 2  - 2$

  • D

    $3\sqrt 2  - 2$

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 2  - y\sqrt 3  = 1\\x + y\sqrt 3  = \sqrt 2 \end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 2  - y\sqrt 3  = 1\\x\sqrt 2  + y\sqrt 6  = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 2  - y\sqrt 3  = 1\\\left( {\sqrt 6  + \sqrt 3 } \right)y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 2  - y\sqrt 3  = 1\\y = \dfrac{1}{{\sqrt 6  + \sqrt 3 }}\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{\sqrt 6  - \sqrt 3 }}{3}\\x\sqrt 2  - \sqrt 3 .\dfrac{{\sqrt 6  - \sqrt 3 }}{3} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{\sqrt 6  - \sqrt 3 }}{3}\\x = 1\end{array} \right.$

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;\dfrac{{\sqrt 6  - \sqrt 3 }}{3}} \right)\)

$ \Rightarrow x + 3\sqrt 3 y = 1 + 3\sqrt 2  - 3 = 3\sqrt 2  - 2$.

Câu 4 :

Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}4\sqrt x  - 3\sqrt y  = 4\\2\sqrt x  + \sqrt y  = 2\end{array} \right.$. Biết nghiệm của hệ phương trình là $\left( {x;y} \right)$, tính $x.y$

  • A

    $2$

  • B

    $0$

  • C

    $-2$

  • D

    $1$

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

ĐK: $x \ge 0;y \ge 0$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}4\sqrt x  - 3\sqrt y  = 4\\2\sqrt x  + \sqrt y  = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4\sqrt x  - 3\sqrt y  = 4\\4\sqrt x  + 2\sqrt y  = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5\sqrt y  = 0\\2\sqrt x  + \sqrt y  = 2\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt y  = 0\\2\sqrt x  = 2\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 0\\x = 1\end{array} \right.$ (Thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;0} \right) \Rightarrow x.y = 0.\)

Câu 5 :

Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{2}{x} + y = 3\\\dfrac{1}{x} - 2y = 4\end{array} \right.$. Biết nghiệm của hệ phương trình là $\left( {x;y} \right)$, tính $\dfrac{x}{y}$

  • A

    $2$

  • B

    $ - 2$

  • C

    $ - \dfrac{1}{2}$

  • D

    $\dfrac{1}{2}$

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

ĐK: $x \ne 0$

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 2, ta được:

\(\dfrac{4}{x} + 2y = 6\)

Cộng cả hai vế của hai phương trình, ta được:

\(x = \frac{1}{2}\)

Suy ra \(y = - 1\)

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{1}{2}; - 1} \right)$ $ \Rightarrow \dfrac{x}{y} =  - \dfrac{1}{2}$

Câu 6 :

Số nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}5(x + 2y) - 3(x - y) = 99\\x - 3y = 7x - 4y - 17\end{array} \right.\)

  • A

    $2$

  • B

    Vô số 

  • C

    $1$

  • D

    $0$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Giải hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn sau đó sử dụng phương pháp cộng đại số

Lời giải chi tiết :

Ta có

$\left\{ \begin{array}{l}5(x + 2y) - 3(x - y) = 99\\x - 3y = 7x - 4y - 17\end{array} \right.$ 

$\left\{ \begin{array}{l}5x + 10y - 3x + 3y = 99\\x - 3y - 7x + 4y =  - 17\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}2x + 13y = 99\\ - 6x + y =  - 17\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}6x + 39y = 297\\ - 6x + y =  - 17\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} - 6x + y =  - 17\\40y = 280\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}y = 7\\x =  4\end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {  4;7} \right)$

Câu 7 :

Kết luận nào đúng khi nói về nghiệm $\left( {x;y} \right)$ của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + \dfrac{y}{2} = \dfrac{{2x - 3}}{2}\\\dfrac{x}{2} + 3y = \dfrac{{25 - 9y}}{8}\end{array} \right.\)

  • A

    $x > 0;y < 0$

  • B

    $x < 0;y < 0$

  • C

    $x < 0;y > 0$

  • D

    $x > 0;y > 0$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Giải hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn sau đó sử dụng phương pháp cộng đại số.

Lời giải chi tiết :

Ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}x + \dfrac{y}{2} = \dfrac{{2x - 3}}{2}\\\dfrac{x}{2} + 3y = \dfrac{{25 - 9y}}{8}\end{array} \right.\)

$\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 2x - 3\\4x + 24y = 25 - 9y\end{array} \right. $

$\left\{ \begin{array}{l}y =  - 3\\4x + 33y = 25\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}x = 31\\y =  - 3\end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {31; - 3} \right)$.

$ \Rightarrow x > 0;y < 0$

Câu 8 :

Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}(x - 3)(2y + 5) = (2x + 7)(y - 1)\\(4x + 1)(3y - 6) = (6x - 1)(2y + 3)\end{array} \right.\)tương đương với hệ phương trình nào dưới đây?

  • A

    $\left\{ \begin{array}{l}x - 13y = 8\\ - 42x + 5y = 3\end{array} \right.$

  • B

    $\left\{ \begin{array}{l}42x - 78y = 48\\ - 42x + 5y = 3\end{array} \right.$

  • C

    $\left\{ \begin{array}{l}42x + 78y = 48\\ - 42x + 5y = 3\end{array} \right.$

  • D

    $\left\{ \begin{array}{l}7x - 13y = 8\\ - 4x + 5y = 3\end{array} \right.$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Giải hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn sau đó sử dụng phương pháp cộng đại số

(Có thể sử dụng định nghĩa: hai hệ phương trình tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.)

Lời giải chi tiết :

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}(x - 3)(2y + 5) = (2x + 7)(y - 1)\\(4x + 1)(3y - 6) = (6x - 1)(2y + 3)\end{array}\end{array}} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2xy + 5x - 6y - 15 = 2xy - 2x + 7y - 7\\12xy - 24x + 3y - 6 = 12xy + 18x - 2y - 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7x - 13y = 8\\ - 42x + 5y = 3\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{42x - 78y = 48}\\{ - 42x + 5y = 3}\end{array}} \right.\)

 

Câu 9 :

Kết luận đúng về nghiệm $\left( {x;y} \right)$của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3\sqrt {x - 1}  + 2\sqrt y  = 13\\2\sqrt {x - 1}  - \sqrt y  = 4\end{array} \right.\)

  • A

    $x.y = 16$

  • B

    $x + y = 10$

  • C

    $x - y = 6$

  • D

    $y:x = 4$

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $x \ge 1;y \ge 0$

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}3\sqrt {x - 1}  + 2\sqrt y  = 13\\2\sqrt {x - 1}  - \sqrt y  = 4\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3\sqrt {x - 1} + 2\sqrt y = 13\\
4\sqrt {x - 1} - 2\sqrt y = 8
\end{array} \right.\)
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\sqrt {x - 1}  - \sqrt y  = 4\\7\sqrt {x - 1}  = 21\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 1}  = 3\\3.3 + 2\sqrt y  = 13\end{array} \right.$ \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 1 = 9\\
2\sqrt y = 4
\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 10\\
y = 4
\end{array} \right.\)
(thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {10;4} \right)$.

Nên $x - y = 10 - 4 = 6.$

Câu 10 :

Tìm $a,b$ để hệ phương trình  $\left\{ \begin{array}{l}2ax + by =  - 1\\bx - ay = 5\end{array} \right.$

có nghiệm là $\left( {3; - 4} \right)$.

  • A

    $a = \dfrac{1}{2};b = 1$

  • B

    $a =  - \dfrac{1}{2};b = 1$

  • C

    $a = \dfrac{1}{2};b =  - 1$

  • D

    $a =  - \dfrac{1}{2};b =  - 1$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\)  có nghiệm \(({x_0};{y_0})\) khi \( \left\{ \begin{array}{l}a{x_0} + b{y_0} = c\\a'{x_0} + b'{y_0} = c'\end{array} \right..\)

Đưa về giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $a,b$ bằng phương pháp thế.

Lời giải chi tiết :

Thay $x = 3;y =  - 4$ vào hệ phương trình ta được

$\left\{ \begin{array}{l}2a.3 + b\left( { - 4} \right) =  - 1\\b.3 - a.\left( { - 4} \right) = 5\end{array} \right.$

$ \left\{ \begin{array}{l}6a - 4b =  - 1\\4a + 3b = 5\end{array} \right.$

$ \left\{ \begin{array}{l}12a - 8b =  - 2\\12a + 9b = 15\end{array} \right.$

$  \left\{ \begin{array}{l}17b = 17\\4a + 3b = 5\end{array} \right.$

$  \left\{ \begin{array}{l}b = 1\\a = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

Vậy $a = \dfrac{1}{2};b = 1$

Câu 11 :

Nghiệm $\left( {x;y} \right)$ của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{7}{{\sqrt x  - 7}} - \dfrac{4}{{\sqrt y  + 6}} = \dfrac{5}{3}\\\dfrac{5}{{\sqrt x  - 7}} + \dfrac{3}{{\sqrt y  + 6}} = 2\dfrac{1}{6}\end{array} \right.\) có tính chất là:

  • A

    $x;y$ nguyên dương

  • B

    $x;y$ là số vô tỉ

  • C

    $x;y$ nguyên âm

  • D

    $x$ nguyên dương, $y$ không âm

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $x \ge 0;x \ne 7;y \ge 0$

Đặt $\dfrac{1}{{\sqrt x  - 7}} = a;\dfrac{1}{{\sqrt y  + 6}} = b$ ta được $\left\{ \begin{array}{l}7a - 4b = \dfrac{5}{3}\\5a + 3b = 2\dfrac{1}{6}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}21a - 12b = 5\\20a + 12b = \dfrac{{26}}{3}\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}21a - 12b = 5\\41a = \dfrac{{41}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{3}\\21.\dfrac{1}{3} - 12b = 5\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{3}\\b = \dfrac{1}{6}\end{array} \right.$

Trả lại biến ta có $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{\sqrt x  - 7}} = \dfrac{1}{3}\\\dfrac{1}{{\sqrt y  + 6}} = \dfrac{1}{6}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x  - 7 = 3\\\sqrt y  + 6 = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 100\\y = 0\end{array} \right.\left( {TM} \right)$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( {100;0} \right)$.

Câu 12 :

Tìm các giá trị của m để nghiệm của hệ phương trình :

\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2x + 1}}{3} - \dfrac{{y + 1}}{4} = \dfrac{{4x - 2y + 2}}{5}\\\dfrac{{2x - 3}}{4} - \dfrac{{y - 4}}{3} =  - 2x + 2y - 2\end{array} \right.\)

cũng là nghiệm của phương trình \(6mx - 5y = 2m - 66\).

  • A

    $m =  - 1$

  • B

    $m = 1$

  • C

    $m = 2$

  • D

    $m = 3$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1 : Giải hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Bước 2 : Thay nghiệm vừa tìm được vào phương trình chưa tham số $m$ để tìm $m$

Lời giải chi tiết :

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2x + 1}}{3} - \dfrac{{y + 1}}{4} = \dfrac{{4x - 2y + 2}}{5}\\\dfrac{{2x - 3}}{4} - \dfrac{{y - 4}}{3} =  - 2x + 2y - 2\end{array} \right.\)

$ \left\{ \begin{array}{l}40x + 20 - 15y - 15 = 48x - 24y + 24\\6x - 9 - 4y + 16 =  - 24x + 24y - 24\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}8x - 9y =  - 19\\30x - 28y =  - 31\end{array} \right.$

$ \left\{ \begin{array}{l}120x - 135y =  - 285\\120x - 112y =  - 124\end{array} \right.$

$ \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{11}}{2}\\y = 7\end{array} \right.$

Thay $x = \dfrac{{11}}{2};y = 7$ vào phương trình \(6mx - 5y = 2m - 66\) ta được

$6m.\dfrac{{11}}{2} - 5.7 = 2m - 66$

$\Leftrightarrow 31m = -31$ $\Leftrightarrow m = -1.$

Câu 13 :

Tìm \(a,b\) biết đường thẳng \(d:y = ax + b\) đi qua hai điểm \(A\left( { - 4; - 2} \right);B\left( {2;1} \right)\).

  • A

    \(a = 0;b = \dfrac{1}{2}\)

  • B

    \(a = \dfrac{1}{2};b = 0\)

  • C

    \(a = 1;b = 1\)

  • D

    \(a =  - \dfrac{1}{2};b = \dfrac{1}{2}\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \Leftrightarrow a{x_0} + b = {y_0}\)

Từ đề bài ta suy ra hệ hai phương trình hai ẩn \(a;b\). Giải hệ phương trình ta tìm được \(a;b.\) 

Lời giải chi tiết :

Đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua điểm \(A\left( { - 4; - 2} \right) \) thì \(  - 4a + b =  - 2\)  (1)

Đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua điểm \(B\left( {2;1} \right) \) thì \( 2a + b = 1\)  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l} - 4a + b =  - 2\\2a + b = 1\end{array} \right. \)

\(\left\{ \begin{array}{l} - 6a =  - 3\\2a + b = 1\end{array} \right.\)

\( \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{2}\\2.\dfrac{1}{2} + b = 1\end{array} \right. \)

\( \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{2}\\b = 0\end{array} \right.\)

Vậy \(a = \dfrac{1}{2};b = 0\)

Câu 14 :

Hai hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 3\\x + y = 2\end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y = 2\\ax + 2y = 4\end{array} \right.\) tương đương khi và chỉ khi:

  • A
    \(a = 2\)       
  • B
    \(a =  - 2\)                
  • C
    \(a = 6\)       
  • D
    \(a =  - 6\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Hai hệ phương trình tương đương khi có cùng tập nghiệm.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 3\\x + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\x + y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right.\)

Để hai hệ phương trình tương đương thì \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right)\) cũng là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y = 2\\ax + 2y = 4\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3.1 - 1 = 2\,\\a.1 + 2.1 = 4\end{array} \right. \Rightarrow a = 2\)

Câu 15 :

Biết rằng khi \(m\) thay đổi, giao điểm của hai đường thẳng \(y = 3x - m - 1\) và \(y = 2x + m - 1\)  luôn nằm trên đường thẳng \(y = \,ax + b\) . Khi đó tổng \(S = a + b\) là

  • A
    \(S = 6\)           
  • B

    \(S = \dfrac{7}{2}\)                    

  • C

    \(S = \dfrac{3}{2}\)        

  • D
    \(S = 4\) 

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Cô lập \(m\).

Lời giải chi tiết :

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng thõa mãn hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}y = 3x - m - 1\,\,\left( 1 \right)\\y = 2x + m - 1\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Cộng vế theo vế của (1) với (2) ta có: \(2y = 5x - 2 \)

\(y = \dfrac{5}{2}x - 1\).

Suy ra \(  \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{5}{2}\\b =  - 1\end{array} \right.\)

hay \(a + b = \dfrac{5}{2} - 1 = \dfrac{3}{2}\).

close