Trắc nghiệm Bài tập ôn tập chương 4 Toán 9Đề bài
Câu 1 :
Cho phương trình: \({x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + {m^2} + m + 1 = 0\) (1) Khẳng định nào trong các khẳng định sau đúng:
Câu 2 :
Cho phương trình bậc hai: \({x^2} + ax + b = 0\) (1) có $2$ nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\). Điều kiện để \({x_1}; {x_2} > 0\) là:
Câu 3 :
Giả sử: \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - 4x - 9 = 0\). Khi đó \(x_1^2 + x_2^2\) bằng:
Câu 4 :
Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là \(\sqrt 5 - 2\) và \(\sqrt 5 + 2\).
Câu 5 :
Tập nghiệm của phương trình \({x^4} - 5{x^2} + 6 = 0\) là:
Câu 6 :
Tập nghiệm của phương trình \(x + 4\sqrt x - 12 = 0\) là:
Câu 7 :
Cho phương trình: \({x^4} + m{x^2} + 2m + 3 = 0\) (1). Với giá trị nào dưới đây của $m$ thì phương trình (1) có $4$ nghiệm phân biệt ?
Câu 8 :
Cho phương trình bậc hai: \({x^2} - 2px + 5 = 0\) có $1$ nghiệm \({x_1} = 2\) Tìm giá trị của $p$ và nghiệm \({x_2}\) còn lại:
Câu 9 :
Cho phương trình bậc hai: \({x^2} - qx + 50 = 0\). Tìm \(q > 0\) và $2$ nghiệm \({x_1};{x_2}\) của phương trình biết rằng \({x_1} = 2{x_2}\).
Câu 10 :
Cho phương trình: \({x^2} - \left( {m + 2} \right)x + \left( {2m - 1} \right) = 0\) có $2$ nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\). Hệ thức liên hệ giữa $2$ nghiệm không phụ thuộc vào giá trị của $m$ là:
Câu 11 :
Cho phương trình: \({x^2} - 3(m - 5)x + {m^2} - 9 = 0\). Tìm $m$ để pt có $2$ nghiệm phân biệt trái dấu.
Câu 12 :
Cho phương trình: \({x^2} + 2(2m + 1)x + 4{m^2} = 0\). Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm.
Câu 13 :
Cho phương trình: \({x^2} - 2(m - 1)x + {m^2} - 3m = 0\). Tìm $m$ để phương trình có $2$ nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 8\).
Câu 14 :
Tìm các giá trị của m để đường thẳng \(d:\,\,y = 2\left( {m - 1} \right)x - m - 1\) cắt parabol (P): \(y = {x^2}\) tại hai điểm có hoành độ trái dấu.
Câu 15 :
Tìm các giá trị của m để đường thẳng d: \(y = 2\left( {m - 3} \right)x + 4m - 8\) cắt đồ thị hàm số (P):\(y = {x^2}\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ âm.
Câu 16 :
Cho phương trình: \(x - 2\sqrt x + m - 3 = 0\) (1) Điều kiện của $m$ để phương trình có $2$ nghiệm phân biệt là:
Câu 17 :
Cho phương trình: \({x^2} + x - \dfrac{{18}}{{{x^2} + x}} = 3\) (1) Phương trình trên có số nghiệm là:
Câu 18 :
Cho phương trình: \(\dfrac{{2x}}{{3{x^2} - x + 2}} - \dfrac{{7x}}{{3{x^2} + 5x + 2}} = 1\) (1) Gọi $S$ là tổng tất cả các nghiệm của phương trình (1). Giá trị của $S$ là:
Câu 19 :
Phương trình \({x^4} - 3{x^3} - 2{x^2} + 6x + 4 = 0\) có bao nhiêu nghiệm?
Câu 20 :
Tập nghiệm của phương trình \((x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) = 35\) là:
Câu 21 :
Tập nghiệm của phương trình: \(\dfrac{{12}}{{x - 1}} - \dfrac{8}{{x + 1}} = 1\) là:
Câu 22 :
Cho phương trình: \(x - 3\sqrt x + m - 4 = 0\). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt?
Câu 23 :
Định m để đường thẳng (d): \(y = \left( {m + 1} \right)x - 2m\) cắt parabol (P): \(y = {x^2}\) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\) sao cho: \({x_1},{x_2}\) là độ dài hai góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5.
Câu 24 :
Cho phương trình: \({x^2} - 2mx + 2m - 1 = 0\). Tìm $m$ để phương trình có $2$ nghiệm phân biệt thỏa mãn: \(2\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) - 5{x_1}{x_2} = - 1\).
Câu 25 :
Cho phương trình: \({x^2} + 2(m - 1)x - (m + 1) = 0\). Tìm $m$ để pt có $2$ nghiệm nhỏ hơn $2$.
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Cho phương trình: \({x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + {m^2} + m + 1 = 0\) (1) Khẳng định nào trong các khẳng định sau đúng:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Phương trình đã cho là phương trình bậc $2$ ẩn $x$ và tham số m. Để xem phương trình có nghiệm hay không, ta xét đại lượng \(\Delta \) của phương trình. Thay các giá trị của $m$ vào để tìm đáp án đúng. Lời giải chi tiết :
Phương trình (1) là phương trình bậc hai với ẩn $x$ và tham số $m$. Xét: \(\Delta ' = {\left( {m - 3} \right)^2} - \left( {{m^2} + m + 1} \right) = {m^2} - 6m + 9 - {m^2} - m - 1 = - 7m + 8\). \( \bullet \) Phương trình đã cho vô nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta ' < 0 \Leftrightarrow - 7m + 8 < 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{8}{7}\). \( \bullet \) Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow \Delta ' = 0 \Leftrightarrow - 7m + 8 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{8}{7}\). \( \bullet \) Phương trình đã cho có $2$ nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow - 7m + 8 > 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{8}{7}\). Như vậy + Với $m=3>\dfrac{8}{7}$ thì phương trình vô nghiệm nên A sai. + Với $m=-1<\dfrac{8}{7}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt nên B sai. + Với $ m=2>\dfrac{8}{7}$ thì phương trình vô nghiệm nên C đúng, D sai. Vậy đáp án đúng là đáp án C.
Câu 2 :
Cho phương trình bậc hai: \({x^2} + ax + b = 0\) (1) có $2$ nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\). Điều kiện để \({x_1}; {x_2} > 0\) là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Điều kiện để phương trình bậc hai có $2$ nghiệm phân biệt là \(\Delta > 0\). Phương trình bậc hai có $2$ nghiệm dương phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.\) Lời giải chi tiết :
Phương trình (1) có $2$ nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) nên \(\Delta > 0 \Leftrightarrow {a^2} > 4b\). Để phương trình (1) có $2$ nghiệm dương phân biệt thì \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} > 4b\\ - a > 0\\b > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} > 4b\\a < 0\\b > 0\end{array} \right.\)
Câu 3 :
Giả sử: \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - 4x - 9 = 0\). Khi đó \(x_1^2 + x_2^2\) bằng:
Đáp án : C Phương pháp giải :
- Biến đổi: \({x_1}^2 + {x_2}^2 = {x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 - 2{x_1}{x_2} = {({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}{x_2}\). - Áp dụng hệ thức Vi-et tính được: \({x_1} + {x_2},\,\,{x_1}.{x_2}\), thay vào biểu thức bên trên ta tìm được \(x_1^2 + x_2^2\). Lời giải chi tiết :
Phương trình đã cho có: \(\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - 1.\left( { - 9} \right) = 13 > 0\) nên có hai nghiệm phân biệt. Ta có: \({x_1}^2 + {x_2}^2 = {x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 - 2{x_1}{x_2} = {({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}{x_2}\) (1) Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = \dfrac{{ - ( - 4)}}{1} = 4\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a} = \dfrac{{ - 9}}{1} = - 9\end{array} \right.\\\end{array}\) Thay vào (1) ta được: \({x_1}^2 + {x_2}^2 = {4^2} - 2.( - 9) = 16 + 18 = 34\).
Câu 4 :
Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là \(\sqrt 5 - 2\) và \(\sqrt 5 + 2\).
Đáp án : A Phương pháp giải :
\(\left\{ \begin{array}{l}u + v = S\\u.v = P\end{array} \right. \Rightarrow \) \(u,v\) là nghiệm của phương trình: \({x^2} - Sx + P = 0\). (ĐK: \({S^2} \ge 4P\) ) Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\begin{array}{l}S = \sqrt 5 - 2 + \sqrt 5 + 2 = 2\sqrt 5. \\P = (\sqrt 5 - 2)(\sqrt 5 + 2) = 5 - 4 = 1\end{array}\). Nhận thấy \({S^2} > 4P\,\left( {{\rm{do}}\,{{\left( {2\sqrt 5 } \right)}^2} = 20 > 4} \right)\) Nên phương trình bậc hai có 2 nghiệm \(\sqrt 5 - 2\) và \(\sqrt 5 + 2\) là: \({x^2} - 2\sqrt 5 \,x + 1 = 0\).
Câu 5 :
Tập nghiệm của phương trình \({x^4} - 5{x^2} + 6 = 0\) là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Phương trình đã cho là phương trình trùng phương, ta đặt: \({x^2} = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)\) khi đó đưa về được phương trình bậc hai: \({t^2} - 5t + 6 = 0\). Giải phương trình bậc hai ẩn \(t\) sau đó quay lại tìm được \(x\). Lời giải chi tiết :
\({x^4} - 5{x^2} + 6 = 0\) (1) Đặt: \({x^2} = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)\) \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} - 5t + 6 = 0\) Có: \(\Delta = {5^2} - 4.6 = 1 > 0 \Rightarrow \) phương trình có 2 nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} = \dfrac{{5 + 1}}{2} = 3\,\,\,\left( {tm} \right)\\{t_2} = \dfrac{{5 - 1}}{2} = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\) . +) Với \(t = 3 \Rightarrow {x^2} = 3 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 3 .\) +) Với \(t = 2 \Rightarrow {x^2} = 2 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2 .\) Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = \left\{ { \pm \sqrt 2 \,;\,\, \pm \sqrt 3 } \right\}$.
Câu 6 :
Tập nghiệm của phương trình \(x + 4\sqrt x - 12 = 0\) là:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Đặt: \(\sqrt x = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)\), khi đó đưa về được phương trình bậc hai: \({t^2} + 4t - 12 = 0\). Giải phương trình bậc hai ẩn \(t\) sau đó quay lại tìm được \(x\). Lời giải chi tiết :
\(x + 4\sqrt x - 12 = 0\) (1) ĐKXĐ: \(x \ge 0.\) Đặt: \(\sqrt x = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)\) \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} + 4t - 12 = 0.\) Có: \(\Delta ' = {2^2} + 12 = 16 > 0 \Rightarrow \) phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} = - 2 + \sqrt {16} = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\\{t_2} = - 2 - \sqrt {16} = - 6\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\) Với \(t = 2 \Rightarrow \sqrt x = 2 \Leftrightarrow x = 4\,\,\left( {tm} \right).\) Vậy phương trình có nghiệm \(x = 4.\)
Câu 7 :
Cho phương trình: \({x^4} + m{x^2} + 2m + 3 = 0\) (1). Với giá trị nào dưới đây của $m$ thì phương trình (1) có $4$ nghiệm phân biệt ?
Đáp án : A Phương pháp giải :
Đặt \({x^2} = t\) $( t \ge 0)$ đưa phương trình (1) thành phương trình bậc $2$ với ẩn $t$ và tham số $m$. Phương trình mới thu được: \({t^2} + mt + 2m + 3 = 0\) (2) Để phương trình (1) có $4$ nghiệm phân biệt, thì phương trình (2) có $2$ nghiệm dương phân biệt. Biện luận phương trình (2) theo tham số $m$ để có $2$ nghiệm dương phân biệt. Lời giải chi tiết :
Đặt: \({x^2} = t\left( {t \ge 0} \right)\) ta được: \({t^2} + mt + 2m + 3 = 0\) (2). Để phương trình (1) có $4$ nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có $2$ nghiệm dương phân biệt Phương trình (2) có $2$ nghiệm dương phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4\left( {2m + 3} \right) > 0\\ - m > 0\\2m + 3 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 8m - 12 > 0\\m < 0\\m > - \dfrac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 4 + 2\sqrt 7 \\m < 4 - 2\sqrt 7 \end{array} \right.\\ - \dfrac{3}{2} < m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - \dfrac{3}{2} < m < 4 - 2\sqrt 7 \) Với các giá trị thuộc \( - \dfrac{3}{2} < m < 4 - 2\sqrt 7 \) thì phương trình đã cho có $4$ nghiệm phân biệt. Nhận thấy trong các đáp án thì thì chỉ có \(m = - \dfrac{7}{5}\) thỏa mãn \( - \dfrac{3}{2} < m < 4 - 2\sqrt 7 \) để phương trình đã cho có $4$ nghiệm phân biệt.
Câu 8 :
Cho phương trình bậc hai: \({x^2} - 2px + 5 = 0\) có $1$ nghiệm \({x_1} = 2\) Tìm giá trị của $p$ và nghiệm \({x_2}\) còn lại:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Thay nghiệm \({x_1} = 2\) vào phương trình đã cho để tìm $p$. Thay giá trị $p$ tìm được vào phương trình, phân tích thành phương trình tích với nhân tử là \((x - 2)\) để tìm nghiệm còn lại. Lời giải chi tiết :
Thay \(x = 2\) vào phương trình đã cho ta được: \(4 - 4p + 5 = 0 \Leftrightarrow 4p = 9 \Leftrightarrow p = \dfrac{9}{4}\). Thay \(p = \dfrac{9}{4}\) vào phương trình đã cho ta được: \({x^2} - \dfrac{9}{2}x + 5 = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 9x + 10 = 0 \Leftrightarrow (x - 2)(2x - 5) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = \dfrac{5}{2}\end{array} \right.\) Vậy nghiệm còn lại là \({x_2} = \dfrac{5}{2}\).
Câu 9 :
Cho phương trình bậc hai: \({x^2} - qx + 50 = 0\). Tìm \(q > 0\) và $2$ nghiệm \({x_1};{x_2}\) của phương trình biết rằng \({x_1} = 2{x_2}\).
Đáp án : B Phương pháp giải :
Tìm điều kiện để phương trình đã cho có $2$ nghiệm phân biệt. Dùng dữ kiện \({x_1} = 2{x_2}\) kết hợp với hệ thức Vi-et, ta sẽ tìm được các giá trị: \(q,{x_1},{x_2}\). Lời giải chi tiết :
Để phương trình đã cho có $2$ nghiệm thì: \(\Delta \ge 0 \Leftrightarrow {q^2} - 200 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q \ge 10\sqrt 2 \\q \le - 10\sqrt 2 \end{array} \right.\) Khi đó phương trình có hai nghiệm: \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn hệ thức Vi-et \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = q\\{x_1}.{x_2} = 50\end{array} \right.\) Với \({x_1} = 2{x_2}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}2{x_2} + {x_2} = q\\2{x_2}.{x_2} = 50\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{x_2} = q\\x_2^2 = 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 5\\q = 15\end{array} \right.\) (do \(q > 0\) nên \({x_2} = 5 > 0\)) Khi đó: \({x_1} = 2{x_2} = 2.5 = 10\). Vậy \(q = 15;{x_1} = 10,{x_2} = 5\)
Câu 10 :
Cho phương trình: \({x^2} - \left( {m + 2} \right)x + \left( {2m - 1} \right) = 0\) có $2$ nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\). Hệ thức liên hệ giữa $2$ nghiệm không phụ thuộc vào giá trị của $m$ là:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Tìm điều kiện của $m$ để hệ phương trình có $2$ nghiệm phân biệt. Áp dụng hệ thức Viet để tính tổng $2$ nghiệm và tích $2$ nghiệm. Dùng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế để triệt tiêu $m$ từ $2$ phương trình, rút về $1$ phương trình là hệ thức liên hệ giữa $2$ nghiệm không phụ thuộc vào giá trị của $m$. Lời giải chi tiết :
Phương trình đã cho có $2$ nghiệm phân biệt: \( \Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {2m - 1} \right) > 0\) \( \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 - 8m + 4 > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 8 > 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} + 4 > 0\left( {\forall m} \right)\) Vậy với mọi $m$ phương trình đã cho luôn có $2$ nghiệm phân biệt. Áp dụng hệ thức Viet, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 2\\{x_1}{x_2} = 2m - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 2m + 4\\{x_1}{x_2} = 2m - 1\end{array} \right. \Rightarrow 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - {x_1}{x_2} = 5\) Vậy $2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - {x_1}{x_2} = 5$ là hệ thức liên hệ giữa $2$ nghiệm không phụ thuộc vào giá trị của $m$.
Câu 11 :
Cho phương trình: \({x^2} - 3(m - 5)x + {m^2} - 9 = 0\). Tìm $m$ để pt có $2$ nghiệm phân biệt trái dấu.
Đáp án : D Phương pháp giải :
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu thì ta giải: \(a.c < 0\) tìm giá trị của \(m\). Lời giải chi tiết :
Phương trình: \({x^2} - 3(m - 5)x + {m^2} - 9 = 0\) có \(a=1;b=-3(m-5);c=m^2-9\) Phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu: \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow a.c < 0\\ \Leftrightarrow 1.({m^2} - 9) < 0\\ \Leftrightarrow (m-3)(m+3)<0\end{array}\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
Câu 12 :
Cho phương trình: \({x^2} + 2(2m + 1)x + 4{m^2} = 0\). Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm.
Đáp án : B Phương pháp giải :
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm thì ta giải: \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right.\) tìm giá trị của \(m\). Lời giải chi tiết :
Xét phương trình: \({x^2} + 2(2m + 1)x + 4{m^2} = 0\). Phương trình có hai nghiệm phân biệt âm: $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(2m + 1)^2} - 4{m^2} > 0\\ - 2(2m + 1) < 0\\{m^2} > 0\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4m + 1 > 0\\2m + 1 > 0\\{m^2} > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m >-1 \\2m > - 1\\m \ne 0\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{{ - 1}}{4} \\m > \dfrac{{ - 1}}{2}\\m \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{{ - 1}}{4}\\m \ne 0\end{array} \right.\end{array}$.
Câu 13 :
Cho phương trình: \({x^2} - 2(m - 1)x + {m^2} - 3m = 0\). Tìm $m$ để phương trình có $2$ nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 8\).
Đáp án : A Phương pháp giải :
- Trước tiên ta tìm điều kiện của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\,(\Delta ' > 0)\). - Ta biến đổi biểu thức: \({x_1}^2 + {x_2}^2\) về biểu thức có chứa: ${x_1} + {x_2}$ và ${x_1}{x_2}$ rồi từ đó ta tìm được giá trị của \(m\). - Đối chiếu với điều kiện xác định của \(m\) để tìm được giá trị thỏa mãn yêu cầu của bài toán. Lời giải chi tiết :
Xét phương trình: \({x^2} - 2(m - 1)x + {m^2} - 3m = 0\) ta có: $\Delta ' = {(m - 1)^2} - 1.\left( {{m^2} - 3m} \right) = {m^2} - 2m + 1 - {m^2} + 3m = m + 1$. Để phương trình có hai nhiệm phân biệt thì $\Delta ' > 0 \Leftrightarrow m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - 1$ . Ta có: ${x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 8$ (*) Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2(m - 1)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 3m\end{array} \right.$ thay vào (*) ta được: $\begin{array}{l}{{\rm{[}}2(m - 1){\rm{]}}^2} - 2.\left( {{m^2} - 3m} \right) = 8\\ \Leftrightarrow 4.({m^2} - 2m + 1) - 2{m^2} + 6m - 8 = 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 8m + 4 - 2{m^2} + 6m - 8 = 0\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 2m - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow (m + 1)(m - 2) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\,(ktm)\\m = 2\,(tm)\end{array} \right.\end{array}$ Vậy với $m = 2$ thì yêu cầu của bài toán được thỏa mãn.
Câu 14 :
Tìm các giá trị của m để đường thẳng \(d:\,\,y = 2\left( {m - 1} \right)x - m - 1\) cắt parabol (P): \(y = {x^2}\) tại hai điểm có hoành độ trái dấu.
Đáp án : B Phương pháp giải :
+ Xét phương trình hoành độ giao điểm. + Phương trình bậc hai: \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow a.c < 0\). Lời giải chi tiết :
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là: \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m + 1 = 0\,\,\left( * \right)\) Ta có: \(a = 1;\,b = - 2\left( {m - 1} \right);\,c = m + 1\) Đường thẳng d cắt (P) tại 2 điểm có hoành độ trái dấu \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có 2 nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow ac < 0\) \( \Leftrightarrow 1.\left( {m + 1} \right) < 0 \Leftrightarrow m < - 1\)
Câu 15 :
Tìm các giá trị của m để đường thẳng d: \(y = 2\left( {m - 3} \right)x + 4m - 8\) cắt đồ thị hàm số (P):\(y = {x^2}\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ âm.
Đáp án : C Phương pháp giải :
+ Xét phương trình hoành độ giao điểm. + Phương trình bậc hai: \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm âm phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S = {x_1} + {x_2} < 0\\P = {x_1}.{x_2} > 0\end{array} \right.\) Lời giải chi tiết :
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là: \({x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + 8 - 4m = 0\,\,\left( * \right)\) Ta có: \(a = 1;b = - 2\left( {m - 3} \right);c = 8 - 4m\) Đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ âm \( \Leftrightarrow \)Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt cùng âm\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\P > 0\\S < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = b{'^2} - ac > 0\\P = {x_1}.{x_2} > 0\\S = {x_1} + {x_2} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left[ { - \left( {m - 3} \right)} \right]^2} - \left( {8 - 4m} \right) > 0\\8 - 4m > 0\\2\left( {m - 3} \right) < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 6m + 9 - 8 + 4m > 0\\ - 4m > - 8\\m < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} > 0\\m < 2\\m < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m < 2\\m < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m < 2\end{array} \right.\)
Câu 16 :
Cho phương trình: \(x - 2\sqrt x + m - 3 = 0\) (1) Điều kiện của $m$ để phương trình có $2$ nghiệm phân biệt là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Đặt: \(\sqrt x = t\left( {t \ge 0} \right)\). Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai với ẩn $t$. Biện luận để phương trình (1) có $2$ nghiệm phân biệt thì phương trình với ẩn $t$ phải có 2 nghiệm phân biệt không âm. Áp dụng định lí Vi-et để giải ra điều kiện của $m$. Lời giải chi tiết :
Đặt: \(\sqrt x = t\left( {t \ge 0} \right)\) ta được: \({t^2} - 2t + m - 3 = 0\) (2) Để phương trình (1) có $2$ nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có $2$ nghiệm phân biệt thỏa mãn: \(t \ge 0\). Phương trình (2 ) có $2$ nghiệm phân biệt thỏa mãn: \(t \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\S > 0\\P \ge 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( { - 1} \right)^2} - \left( {m - 3} \right) > 0\\2 > 0\\m - 3 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 4\\m \ge 3\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 \le m < 4\)
Câu 17 :
Cho phương trình: \({x^2} + x - \dfrac{{18}}{{{x^2} + x}} = 3\) (1) Phương trình trên có số nghiệm là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Đặt: \(t = {x^2} + x\left( {t \ne 0} \right)\). Đưa phương trình (1) thành phương trình bậc hai với ẩn $t$ để giải. Thay các giá trị t tìm được vào để giải tìm $x$. Lời giải chi tiết :
Điều kiện: \({x^2} + x \ne 0 \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne - 1\end{array} \right.\) Đặt: \(t = {x^2} + x\left( {t \ne 0} \right)\) ta được: \(t - \dfrac{{18}}{t} = 3 \Leftrightarrow {t^2} - 3t - 18 = 0\) \( \Leftrightarrow (t - 6)(t + 3) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 3\\t = 6\end{array} \right.\) (thỏa mãn \(t \ne 0\)). + Nếu \(t = - 3 \Rightarrow {x^2} + x = - 3 \Leftrightarrow {x^2} + x + 3 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{11}}{4} = 0\) (Vô nghiệm). + Nếu \(t = 6 \Rightarrow {x^2} + x = 6 \Leftrightarrow {x^2} + x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 3\end{array} \right.\) (thỏa mãn).
Câu 18 :
Cho phương trình: \(\dfrac{{2x}}{{3{x^2} - x + 2}} - \dfrac{{7x}}{{3{x^2} + 5x + 2}} = 1\) (1) Gọi $S$ là tổng tất cả các nghiệm của phương trình (1). Giá trị của $S$ là:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Xét \(x = 0\) không phải nghiệm của phương trình, ta chia cả tử và mẫu của $2$ phân số vế trái cho $x$ để xuất hiện ẩn phụ. Đặt: \(t = 3x + \dfrac{2}{x}\), đưa phương trình về phương trình bậc hai với ẩn $t$. Lời giải chi tiết :
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}3{x^2} - x + 2 \ne 0\\3{x^2} + 5x + 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 1\\x \ne - \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\) Xét \(x = 0\) không phải nghiệm của phương trình. Xét \(x \ne 0\) ta có: \(\dfrac{{2x}}{{3{x^2} - x + 2}} - \dfrac{{7x}}{{3{x^2} + 5x + 2}} = 1 \)\(\Rightarrow \dfrac{2}{{3x - 1 + \dfrac{2}{x}}} - \dfrac{7}{{3x + 5 + \dfrac{2}{x}}} = 1\). Đặt \(t = 3x + \dfrac{2}{x}\) ta được: $\dfrac{2}{{t - 1}} - \dfrac{7}{{t + 5}} = 1 \Rightarrow 2\left( {t + 5} \right) - 7\left( {t - 1} \right) = \left( {t - 1} \right)\left( {t + 5} \right)$. \( \Leftrightarrow 2t + 10 - 7t + 7 = {t^2} + 5t - t - 5 \Leftrightarrow {t^2} + 9t - 22 = 0 \Leftrightarrow (t - 2)(t + 11) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = - 11\end{array} \right.\) \( \circ \) Nếu \(t = 2 \Rightarrow 3x + \dfrac{2}{x} = 2 \Rightarrow 3{x^2} - 2x + 2 = 0 \)\(\Leftrightarrow 2{x^2} + {\left( {x - 1} \right)^2} + 1 = 0\) (Vô nghiệm). \( \circ \) Nếu \(t = - 11 \Rightarrow 3x + \dfrac{2}{x} = - 11 \Rightarrow 3{x^2} + 11x + 2 = 0 \)\(\Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 11 \pm \sqrt {97} }}{6}\) (Thỏa mãn). Vậy phương trình đã cho có $2$ nghiệm \(x = \dfrac{{ - 11 \pm \sqrt {97} }}{6}\). Suy ra tổng $2$ nghiệm \(S = - \dfrac{{11}}{3}\).
Câu 19 :
Phương trình \({x^4} - 3{x^3} - 2{x^2} + 6x + 4 = 0\) có bao nhiêu nghiệm?
Đáp án : C Phương pháp giải :
+) Xét: \(x = 0\) không là nghiệm của phương trình. +) Với: \(x \ne 0\) ta chia 2 vế của phương trình cho \({x^2}\) để đưa về phương trình bậc thấp hơn sau đó giải phương trình đó để tìm \(x\). Lời giải chi tiết :
Phương trình: \({x^4} - 3{x^3} - 2{x^2} + 6x + 4 = 0\,\,\,\left( 1 \right).\) Ta thấy: \(x = 0\) không là nghiệm của phương trình đã cho. Với: \(x \ne 0\), ta chia cả 2 vế của phương trình cho \({x^2}\) ta được: \(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 2 + \dfrac{6}{x} + \dfrac{4}{{{x^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + \dfrac{4}{{{x^2}}}} \right) - 3\left( {x - \dfrac{2}{x}} \right) - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2.x.\dfrac{2}{x} + \dfrac{4}{{{x^2}}} + 4} \right) - 3\left( {x - \dfrac{2}{x}} \right) - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - \dfrac{2}{x}} \right)^2} - 3\left( {x - \dfrac{2}{x}} \right) + 2 = 0\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\) Đặt: \(x - \dfrac{2}{x} = t\) \( \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 = 0\). Có: \(a + b + c = 1 - 3 + 2 = 0 \Rightarrow \) phương trình có hai nghiệm phân biết: \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} = 1\\{t_2} = 2\end{array} \right..\) +) Với \(t = 1 \Rightarrow x - \dfrac{2}{x} = 1 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 2\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\) +) Với \(t = 2 \Rightarrow x - \dfrac{2}{x} = 2 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 2 = 0\). Có: \(\Delta ' = 1 + 2 = 3 > 0 \Rightarrow \) phương trình có 2 nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}x = 1 + \sqrt 3 \,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 1 - \sqrt 3 \,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\) Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.
Câu 20 :
Tập nghiệm của phương trình \((x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) = 35\) là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
- Ghép \((x + 2)(x + 5)\) lại thành một cặp, \((x + 3)(x + 4)\) lại thành một cặp, sau đó đặt ẩn phụ \(t\) đưa về được phương trình bậc hai ẩn \(t\). Giải phương trình bậc hai ẩn \(t\) thì quay lại tìm được \(x\). Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right)\left( {x + 5} \right) = 35\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x + 5} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right) = 35\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 7x + 10} \right)\left( {{x^2} + 7x + 12} \right) = 35\,\,\,\left( * \right)\end{array}\) Đặt: \({x^2} + 7x + 10 = t \Rightarrow {x^2} + 7x + 12 = t + 2.\) \(\left( * \right) \Leftrightarrow t\left( {t + 2} \right) = 35 \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 35 = 0.\) Có: \(\Delta ' = 1 + 35 = 36 > 0 \Rightarrow \) phương trình có 2 nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} = - 1 + \sqrt {36} = 5\\{t_2} = - 1 - \sqrt {36} = - 7\end{array} \right..\) +) Với: \(t = 5 \Rightarrow {x^2} + 7x + 10 = 5 \Leftrightarrow {x^2} + 7x + 5 = 0\) Có: \(\Delta = {7^2} - 4.5 = 29 > 0 \Rightarrow \) phương trình có 2 nghiệm phân biệt: $\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{ - 7 + \sqrt {29} }}{2}\\{x_2} = \dfrac{{ - 7 - \sqrt {29} }}{2}\end{array} \right.$ +) Với: \(t = - 7 \Rightarrow {x^2} + 7x + 10 = - 7 \Leftrightarrow {x^2} + 7x + 17 = 0\). Có: \(\Delta = {7^2} - 4.17 = - 19 < 0 \Rightarrow \) phương trình vô nghiệm. Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ {\dfrac{{ - 7 + \sqrt {29} }}{2};\dfrac{{ - 7 - \sqrt {29} }}{2}} \right\}.\)
Câu 21 :
Tập nghiệm của phương trình: \(\dfrac{{12}}{{x - 1}} - \dfrac{8}{{x + 1}} = 1\) là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Tìm điều kiện xác cho phân thức, sau đó quy đồng đưa về dạng hai phân thức bằng nhau. Lời giải chi tiết :
ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne - 1\end{array} \right.$ $\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{12}}{{x - 1}} - \dfrac{8}{{x + 1}} = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{12(x + 1)}}{{(x - 1)(x + 1)}} - \dfrac{{8(x - 1)}}{{(x - 1)(x + 1)}} = \dfrac{{(x - 1)(x + 1)}}{{(x - 1)(x + 1)}}\\ \Leftrightarrow 12(x + 1) - 8(x - 1) = (x - 1)(x + 1)\\ \Leftrightarrow 12x + 12 - 8x + 8 = {x^2} - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 21 = 0\end{array}$. Có: \(\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} + 21 = 25 > 0 \Rightarrow \) phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = 2 + \sqrt {25} = 7\,\,\,\left( {tm} \right);\,\,\,\,{x_2} = 2 - \sqrt {25} = - 3\,\,\left( {tm} \right).\) Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {\( - 3;7\,\)}.
Câu 22 :
Cho phương trình: \(x - 3\sqrt x + m - 4 = 0\). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Đặt: \(\sqrt x = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)\), khi đó đưa về được phương trình bậc hai: \({t^2} - 3t + m - 4 = 0\). Giải và biện luận nghiệm theo phương trình bậc hai ẩn \(t\). Lời giải chi tiết :
\(x - 3\sqrt x + m - 4 = 0\) (1). Đk: \(x \ge 0.\) Đặt: \(\sqrt x = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)\) \( \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} - 3t + m - 4 = 0\,\,\,\left( 2 \right)\) Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) phải có 2 nghiệm phân biệt không âm. \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\ - \dfrac{b}{a} > 0\\\dfrac{c}{a} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( { - 3} \right)^2} - 4\left( {m - 4} \right) > 0\\3 > 0\,\,\,\forall m\\m - 4 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 - 4m + 16 > 0\\m \ge 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{{25}}{4}\\m \ge 4\end{array} \right. \Leftrightarrow 4 \le m < \dfrac{{25}}{4}.\)
Câu 23 :
Định m để đường thẳng (d): \(y = \left( {m + 1} \right)x - 2m\) cắt parabol (P): \(y = {x^2}\) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\) sao cho: \({x_1},{x_2}\) là độ dài hai góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5.
Đáp án : B Phương pháp giải :
+ Xét phương trình hoành độ giao điểm. + Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt. + Sử dụng định lý Pytago và hệ thức Vi-et để tính toán. Lời giải chi tiết :
Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^2} - \left( {m + 1} \right)x + 2m = 0\). Để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thỏa mãn yêu cầu bài toán thì phương trình trên có 2 nghiệm dương phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn: \(x_1^2 + x_2^2 = 25\). Do đó, m phải thỏa mãn các điều kiện sau: \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\{x_1} + {x_2} > 0\\{x_1}{x_2} > 0\\x_1^2 + x_2^2 = 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 1} \right)^2} - 8m > 0\\m + 1 > 0\\2m > 0\\{\left( {m + 1} \right)^2} - 4m = 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m < 3 - \sqrt 8 \\m > 3 + \sqrt 8 \end{array} \right.\\m > - 1\\m > 0\\\left[ \begin{array}{l}m = 6\\m = - 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 6\)
Câu 24 :
Cho phương trình: \({x^2} - 2mx + 2m - 1 = 0\). Tìm $m$ để phương trình có $2$ nghiệm phân biệt thỏa mãn: \(2\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) - 5{x_1}{x_2} = - 1\).
Đáp án : B Phương pháp giải :
- Trước tiên ta tìm điều kiện của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt: \({x_1},{x_2}\,(\Delta ' > 0)\). - Ta biến đổi biểu thức \(2({x_1}^2 + {x_2}^2) - 5{x_1}{x_2}\) về biểu thức có chứa ${x_1} + {x_2}$ và ${x_1}{x_2}$ rồi từ đó ta tìm được giá trị của \(m\). - Đối chiếu với điều kiện xác định của \(m\) để tìm được giá trị thỏa mãn yêu cầu của bài toán. Lời giải chi tiết :
Xét phương trình: \({x^2} - 2mx + 2m - 1 = 0\) ta có: $\Delta ' = {m^2} - 1.\left( {2m - 1} \right) = {m^2} - 2m + 1 = {(m - 1)^2}$ Để phương trình có hai nhiệm phân biệt thì $\Delta ' > 0 \Leftrightarrow {(m - 1)^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne 1$ . Ta có: \(\begin{array}{l}2({x_1}^2 + {x_2}^2) - 5{x_1}{x_2} = - 1\\ \Leftrightarrow 2{\rm{[}}{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}{\rm{]}} - 5{x_1}{x_2} = - 1\\ \Leftrightarrow 2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} - 5{x_1}{x_2} = - 1\\ \Leftrightarrow 2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 9{x_1}{x_2} = - 1\,\,\,(*)\end{array}\) Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = 2m - 1\end{array} \right.$ thay vào (*) ta được: $\begin{array}{l}2{(2m)^2} - 9\left( {2m - 1} \right) = - 1\\ \Leftrightarrow 2.4{m^2} - 18m + 9 + 1 = 0\\ \Leftrightarrow 8{m^2} - 18m + 10 = 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 9m + 5 = 0\\ \Leftrightarrow (m - 1)(4m - 5) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\,(ktm)\\m = \dfrac{5}{4}\,(tm)\end{array} \right.\end{array}$ Vậy với $m = \dfrac{5}{4}$ thì yêu cầu của bài toán được thỏa mãn.
Câu 25 :
Cho phương trình: \({x^2} + 2(m - 1)x - (m + 1) = 0\). Tìm $m$ để pt có $2$ nghiệm nhỏ hơn $2$.
Đáp án : D Phương pháp giải :
- Để trả lời yêu cầu bài toán, trước tiên ta tìm điều kiện của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm: \({x_1},{x_2}\,(\Delta ' > 0)\). - Phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) đều nhỏ hơn $2 \Leftrightarrow {x_1} - 2 < 0;\,{x_2} - 2 < 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}({x_1} - 2)({x_2} - 2) > 0\\\dfrac{S}{2} < 2\end{array} \right.$. - Ta biến đổi biểu thức trên về biểu thức có chứa ${x_1} + {x_2}$ và ${x_1}{x_2}$ rồi từ đó ta tìm được giá trị của \(m\). - Đối chiếu với điều kiện xác định của \(m\) để tìm được giá trị thỏa mãn yêu cầu của bài toán. Lời giải chi tiết :
Xét phương trình: \({x^2} + 2(m - 1)x - (m + 1) = 0\) ta có: $\begin{array}{l}\Delta ' = {(m - 1)^2} + m + 1 \\= {m^2} - 2m + 1 + m + 1 = {m^2} - m + 2\\\Delta '\, = {m^2} - 2m.\dfrac{1}{2} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} \\= {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4}\,\\ \Rightarrow \Delta ' > 0\,\,\forall m\end{array}$. Vậy phương trình luôn có hai nhiệm phân biệt: \(x{}_1,\,{x_2}\) với mọi giá trị của \(m\). Từ giả thiết ta có: $\begin{array}{l}{x_1} - 2 < 0;\,{x_2} - 2 < 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}({x_1} - 2)({x_2} - 2) > 0\\\dfrac{S}{2} < 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} - 2{x_1} - 2{x_2} + 4 > 0\\ - m + 1 < 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} - 2({x_1} + {x_2}) + 4 > 0\,\,\,(*)\\m > - 1\end{array} \right.\end{array}$ Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2(m - 1)\\{x_1}{x_2} = - (m + 1)\end{array} \right.$ thay vào (*) ta được: $\begin{array}{l} - (m + 1) - 2.( - 2)(m - 1) + 4 > 0\\ \Leftrightarrow - m - 1 + 4m - 4 + 4 > 0\\ \Leftrightarrow 3m - 1 > 0\,\,\\ \Leftrightarrow m > \dfrac{1}{3}\end{array}$ Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}
|
