Trắc nghiệm Bài 3,4: Liên hệ phép nhân, phép chia với phép khai phương Toán 9

Đề bài

Câu 1 :

Kết quả của phép tính $\sqrt {2,5} .\sqrt {14,4} $ là?

  • A

    $36$

  • B

    $6$

  • C

    $18$

  • D

    $9$

Câu 2 :

Kết quả của phép tính $\sqrt {\dfrac{{81}}{{169}}} $ là?

  • A

    $\dfrac{9}{{13}}$

  • B

    $\dfrac{9}{{169}}$

  • C

    $\dfrac{3}{{13}}$

  • D

    $\dfrac{{13}}{9}$

Câu 3 :

Phép tính $\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}{{.7}^2}} $ có kết quả là?

  • A

    $35$

  • B

    $5$

  • C

    $ - 35$

  • D

    Không tồn tại.

Câu 4 :

Cho $a,b$ là hai số không âm. Khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A

    $\sqrt {ab}  = a\sqrt b $

  • B

    $\sqrt a \sqrt b  = b\sqrt a $

  • C

    $\sqrt a .\sqrt b  = \sqrt {ab} $

  • D

    $\sqrt {ab}  = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$

Câu 5 :

Kết quả của phép tính $\sqrt {\dfrac{{ - 999}}{{111}}} $ là?

  • A

    $9$

  • B

    $-9$

  • C

    $-3$

  • D

    Không tồn tại.

Câu 6 :

Cho $a$ là số không âm, $b$ là số dương. Khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A

    $\sqrt {\dfrac{a}{b}}  = \dfrac{{\sqrt a }}{b}$

  • B

    $\sqrt {\dfrac{a}{b}}  = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$

  • C

    $\sqrt {\dfrac{a}{b}}=\dfrac{{ - \sqrt a }}{{\sqrt b }}$

  • D

    $\sqrt {\dfrac{a}{b}}=\dfrac{a}{{\sqrt b }}$

Câu 7 :

Rút gọn biểu thức  $\sqrt {{a^4}.{{\left( {2a - 1} \right)}^2}} $ với $a \ge \dfrac{1}{2}$ ta được

  • A

    $a\left( {2a - 1} \right)$

  • B

    $\left( {1 - 2a} \right){a^2}$

  • C

    $\left( {2a - 1} \right){a^2}$

  • D

    $\left( {1 - 2a} \right)a$

Câu 8 :

Rút gọn biểu thức  $\sqrt {{a^2}.{{\left( {2a - 3} \right)}^2}} $ với $ 0 \le a < \dfrac{3}{2}$ ta được

  • A

    $a\left( {2a - 3} \right)$

  • B

    $\left( {3- 2a} \right){a^2}$

  • C

    $\left( {2a - 3} \right){a^2}$

  • D

    $\left( {3 - 2a} \right)a$

Câu 9 :

Rút gọn biểu thức  $\sqrt {\dfrac{{{a^4}}}{{{b^2}}}} $ với $b \ne 0$ ta được

  • A

    $\dfrac{{{a^2}}}{b}$

  • B

    $\dfrac{a}{b}$

  • C

    $ - \dfrac{{{a^2}}}{b}$

  • D

    $\dfrac{{{a^2}}}{{\left| b \right|}}$

Câu 10 :

Rút gọn biểu thức  $\sqrt {0,9.0,1.{{\left( {3 - x} \right)}^2}} $ với $x > 3$ ta được

  • A

    $0,3\left( {x - 3} \right)$

  • B

    $0,3\left( {3 - x} \right)$

  • C

    $0,9\left( {x - 3} \right)$

  • D

    $0,1\left( {x - 3} \right)$

Câu 11 :

Giá trị biểu thức  $\sqrt {x - 2} .\sqrt {x + 2} $ khi $x = \sqrt {29} $ là

  • A

    $29$

  • B

    $5$

  • C

    $10$

  • D

    $25$

Câu 12 :

Rút gọn biểu thức  $E = \dfrac{{a - b}}{{2\sqrt a }}\sqrt {\dfrac{{ab}}{{{{(a - b)}^2}}}} $ với $0 < a < b$ ta được

  • A

    $\dfrac{{\sqrt a }}{2}$

  • B

    $\dfrac{{\sqrt b }}{2}$

  • C

    $\dfrac{{ - \sqrt b }}{2}$

  • D

    $a\sqrt b $

Câu 13 :

Rút gọn biểu thức  $4{a^4}{b^2}.\sqrt {\dfrac{9}{{{a^8}{b^4}}}} $ với $ab \ne 0$ ta được

  • A

    $\dfrac{{{a^2}}}{b}$

  • B

    $12$

  • C

    $6$

  • D

    $36$

Câu 14 :

Rút gọn biểu thức  $\dfrac{{\sqrt {{x^3} + 2{x^2}} }}{{\sqrt {x + 2} }}$ với $x > 0$ ta được

  • A

    $x$

  • B

    $-x$

  • C

    $\sqrt x $

  • D

    $\sqrt {x + 2} $

Câu 15 :

Với $x > 5$, cho biểu thức  $A = \dfrac{{\sqrt {{x^2} - 5x} }}{{\sqrt {x - 5} }}$ và $B = x$.

Có bao nhiêu giá trị của $x$ để $A = B$.

  • A

    $1$

  • B

    $2$

  • C

    $0$

  • D

    Vô số.

Câu 16 :

Với $x,y \ge 0;x \ne y$, rút gọn biểu thức  $A = \dfrac{{x - \sqrt {xy} }}{{x - y}}$  ta được

  • A

    $\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - \sqrt y }}$

  • B

    \(\dfrac{1}{{\sqrt x - \sqrt y }}\)

  • C

    $\dfrac{{\sqrt y }}{{\sqrt x  - \sqrt y }}$

  • D

    $\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + \sqrt y }}$

Câu 17 :

Giá trị của biểu thức  \((\sqrt {12}  + 2\sqrt {27} )\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} - \sqrt {150} \)  là:

  • A

    $12 - 5\sqrt 6 $

  • B

    $12 + 5\sqrt 6 $

  • C

    $12 + \sqrt 6 $

  • D

    $12 - \sqrt 6 $

Câu 18 :

Với \(a \ge 0,b \ge 0,a \ne b\), rút gọn biểu thức  \(\dfrac{{a - b}}{{\sqrt a  - \sqrt b }} - \dfrac{{\sqrt {{a^3}}  + \sqrt {{b^3}} }}{{a - b}}\)  ta được:

  • A

    $\dfrac{{\sqrt {ab} }}{{\sqrt a  - \sqrt b }}$

  • B

    $\dfrac{{\sqrt {ab}  - 2b}}{{\sqrt a  - \sqrt b }}$

  • C

    $\dfrac{{2b}}{{\sqrt a  - \sqrt b }}$

  • D

    $\dfrac{{\sqrt {ab}  - 2a}}{{\sqrt a  - \sqrt b }}$

Câu 19 :

Khẳng định nào sau đây đúng  về nghiệm ${x_0}$ của phương trình  \(\dfrac{{9x - 7}}{{\sqrt {7x + 5} }} = \sqrt {7x + 5} \)

  • A

    ${x_0} < 5$

  • B

    ${x_0} > 8$

  • C

    ${x_0} > 9$

  • D

    $5 < {x_0} < 7$

Câu 20 :

Nghiệm của phương trình  \(\sqrt {4x - 20}  + \sqrt {x - 5}  - \dfrac{1}{3}\sqrt {9x - 45}  = 4\) là

  • A

    $x =  - 9$

  • B

    $x =  5$

  • C

    $x =  8$

  • D

    $x =  9$

Câu 21 :

Tính : \(P = 2\sqrt 2 \left( {\sqrt 3  - 2} \right) + {\left( {1 + 2\sqrt 2 } \right)^2} - 2\sqrt 6  - \sqrt {9 - \sqrt {17} } .\sqrt {9 + \sqrt {17} } \)

  • A
    \(P = 1\)
  • B
    \(P =  - 1\)
  • C
    \(P =  - \sqrt 3 \)
  • D
    \(P = \sqrt 3 \)
Câu 22 :

Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt {1 + \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} \) với \(\left( {a > 0} \right)\)

  • A

    \(A = \dfrac{{{a^2} + a + 1}}{{a\left( {a - 1} \right)}}\)

  • B

    \(A = \dfrac{{{a^2} + a + 1}}{{a\left( {a + 1} \right)}}\)

  • C

    \(A = \dfrac{{{a^2} - a + 1}}{{a\left( {a - 1} \right)}}\)

  • D

    \(A = \dfrac{{{a^2} - a - 1}}{{a\left( {a - 1} \right)}}\)

Câu 23 :

Cho \(Q = \dfrac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\). Tìm \(x\) để \(Q = 3\)

  • A
    \(x =  \pm 1\)  
  • B
    \(x = 1\)         
  • C
    \(x =  - 1\)
  • D
    Kết quả khác
Câu 24 :

Tính giá trị biểu thức \(A = \dfrac{1}{{1 + \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3  + \sqrt 5 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 5  + \sqrt 7 }} \)\(+ ... + \dfrac{1}{{\sqrt {2019}  + \sqrt {2021} }}\)

  • A
    \(1 - \sqrt {2021} \)
  • B
    \(\sqrt {2021}  - 1\)
  • C

    \(\dfrac{{\sqrt {2021}  - 1}}{2}\)

  • D

    \(\dfrac{{\sqrt {2019}  - 1}}{2}\)

Câu 25 :

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = \dfrac{{x + \sqrt x  + 4}}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0\)

  • A
    \(5\)
  • B
    \(9\)
  • C
    \(4\)
  • D
    \(0\)

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Kết quả của phép tính $\sqrt {2,5} .\sqrt {14,4} $ là?

  • A

    $36$

  • B

    $6$

  • C

    $18$

  • D

    $9$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số \(a,b\) không âm, ta có \(\sqrt a .\sqrt b  = \sqrt {ab} \)

Lời giải chi tiết :

$\sqrt {2,5} .\sqrt {14,4}  = \sqrt {2,5.14,4}  = \sqrt {36}  = \sqrt {{6^2}}  = 6$

Câu 2 :

Kết quả của phép tính $\sqrt {\dfrac{{81}}{{169}}} $ là?

  • A

    $\dfrac{9}{{13}}$

  • B

    $\dfrac{9}{{169}}$

  • C

    $\dfrac{3}{{13}}$

  • D

    $\dfrac{{13}}{9}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức khai phương một thương: Với số $a$ không âm và số $b$ dương , ta có $\sqrt {\dfrac{a}{b}}  = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$.

Lời giải chi tiết :

$\sqrt {\dfrac{{81}}{{169}}}  = \dfrac{{\sqrt {81} }}{{\sqrt {169} }} = \dfrac{{\sqrt {{9^2}} }}{{\sqrt {{{13}^2}} }} = \dfrac{9}{{13}}$

Câu 3 :

Phép tính $\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}{{.7}^2}} $ có kết quả là?

  • A

    $35$

  • B

    $5$

  • C

    $ - 35$

  • D

    Không tồn tại.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

-Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt a .\sqrt b  = \sqrt {ab} $

-Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|$

Lời giải chi tiết :

Cách giải:

$\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}{{.7}^2}}  = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}} .\sqrt {{7^2}}  = \left| { - 5} \right|.\left| 7 \right| = 5.7 = 35$.

Câu 4 :

Cho $a,b$ là hai số không âm. Khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A

    $\sqrt {ab}  = a\sqrt b $

  • B

    $\sqrt a \sqrt b  = b\sqrt a $

  • C

    $\sqrt a .\sqrt b  = \sqrt {ab} $

  • D

    $\sqrt {ab}  = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức căn thức bậc hai của một tích.

Lời giải chi tiết :

Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt {ab}  = \sqrt a .\sqrt b $.

Câu 5 :

Kết quả của phép tính $\sqrt {\dfrac{{ - 999}}{{111}}} $ là?

  • A

    $9$

  • B

    $-9$

  • C

    $-3$

  • D

    Không tồn tại.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức khai phương một thương: Với số $a$ không âm và số $b$ dương , ta có $\sqrt {\dfrac{a}{b}}  = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$.

Lời giải chi tiết :

Vì $ - 999 < 0;111 > 0 \Rightarrow \dfrac{{ - 999}}{{111}} < 0$ nên không tồn tại căn bậc hai của số âm

Câu 6 :

Cho $a$ là số không âm, $b$ là số dương. Khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A

    $\sqrt {\dfrac{a}{b}}  = \dfrac{{\sqrt a }}{b}$

  • B

    $\sqrt {\dfrac{a}{b}}  = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$

  • C

    $\sqrt {\dfrac{a}{b}}=\dfrac{{ - \sqrt a }}{{\sqrt b }}$

  • D

    $\sqrt {\dfrac{a}{b}}=\dfrac{a}{{\sqrt b }}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức căn thức bậc hai của một thương.

Lời giải chi tiết :

Với số $a$ không âm và số $b$ dương , ta có $\sqrt {\dfrac{a}{b}}  = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$.

Câu 7 :

Rút gọn biểu thức  $\sqrt {{a^4}.{{\left( {2a - 1} \right)}^2}} $ với $a \ge \dfrac{1}{2}$ ta được

  • A

    $a\left( {2a - 1} \right)$

  • B

    $\left( {1 - 2a} \right){a^2}$

  • C

    $\left( {2a - 1} \right){a^2}$

  • D

    $\left( {1 - 2a} \right)a$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

-Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt a .\sqrt b  = \sqrt {ab} $

-Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|$

Lời giải chi tiết :

$\sqrt {{a^4}.{{\left( {2a - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {{a^4}} .\sqrt {{{\left( {2a - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {{a^2}} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {2a - 1} \right)}^2}}  $

$= \left| {{a^2}} \right|.\left| {2a - 1} \right| = {a^2}.\left( {2a - 1} \right)$

 (vì $a \ge \dfrac{1}{2} \Rightarrow 2a - 1 \ge 0 $

$\Rightarrow \left| {2a - 1} \right| = 2a - 1$)

Câu 8 :

Rút gọn biểu thức  $\sqrt {{a^2}.{{\left( {2a - 3} \right)}^2}} $ với $ 0 \le a < \dfrac{3}{2}$ ta được

  • A

    $a\left( {2a - 3} \right)$

  • B

    $\left( {3- 2a} \right){a^2}$

  • C

    $\left( {2a - 3} \right){a^2}$

  • D

    $\left( {3 - 2a} \right)a$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

-Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt a .\sqrt b  = \sqrt {ab} $

-Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|$

Lời giải chi tiết :

$\sqrt {{a^2}.{{\left( {2a - 3} \right)}^2}}  = \sqrt {{a^2}} .\sqrt {{{\left( {2a - 3} \right)}^2}}  =  \left| {{a}} \right|.\left| {2a - 3} \right| $$= {a}.\left( {3-2a } \right)$

 (vì $0 \le a <\dfrac{3}{2} \Rightarrow 2a - 3< 0$$ \Rightarrow \left| {2a - 3} \right| = 3-2a ) $

 

Câu 9 :

Rút gọn biểu thức  $\sqrt {\dfrac{{{a^4}}}{{{b^2}}}} $ với $b \ne 0$ ta được

  • A

    $\dfrac{{{a^2}}}{b}$

  • B

    $\dfrac{a}{b}$

  • C

    $ - \dfrac{{{a^2}}}{b}$

  • D

    $\dfrac{{{a^2}}}{{\left| b \right|}}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức khai phương một thương: Với số $a$ không âm và số $b$ dương , ta có $\sqrt {\dfrac{a}{b}}  = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$.

Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|$

Lời giải chi tiết :

Ta có $\sqrt {\dfrac{{{a^4}}}{{{b^2}}}} $$ = \dfrac{{\sqrt {{a^4}} }}{{\sqrt {{b^2}} }} = \dfrac{{\sqrt {{{\left( {{a^2}} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{b^2}} }} = \dfrac{{\left| {{a^2}} \right|}}{{\left| b \right|}} = \dfrac{{{a^2}}}{{\left| b \right|}}$.

Câu 10 :

Rút gọn biểu thức  $\sqrt {0,9.0,1.{{\left( {3 - x} \right)}^2}} $ với $x > 3$ ta được

  • A

    $0,3\left( {x - 3} \right)$

  • B

    $0,3\left( {3 - x} \right)$

  • C

    $0,9\left( {x - 3} \right)$

  • D

    $0,1\left( {x - 3} \right)$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

-Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt {ab}  = \sqrt a .\sqrt b $

-Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|$

Lời giải chi tiết :

Ta có $\sqrt {0,9.0,1.{{\left( {3 - x} \right)}^2}}  = \sqrt {0,09.{{\left( {3 - x} \right)}^2}} $

$= \sqrt {0,09} .\sqrt {{{\left( {3 - x} \right)}^2}}  = 0,3.\left| {3 - x} \right|$

Mà $x > 3 \Rightarrow 3 - x < 0 $

hay $ \left| {3 - x} \right| = x - 3$

Nên $\sqrt {0,9.0,1.{{\left( {3 - x} \right)}^2}}  = 0,3.\left( {x - 3} \right)$.

Câu 11 :

Giá trị biểu thức  $\sqrt {x - 2} .\sqrt {x + 2} $ khi $x = \sqrt {29} $ là

  • A

    $29$

  • B

    $5$

  • C

    $10$

  • D

    $25$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

-Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt a .\sqrt b  = \sqrt {ab} $

Lời giải chi tiết :

Ta có $\sqrt { {x - 2} }.\sqrt{ {x + 2} }  = \sqrt {{x^2} - 4} $ với \(x \ge 2\).

Thay $x = \sqrt {29} $ ( TMĐK \( x \ge 2\) ) vào biểu thức ta được $\sqrt {{x^2} - 4}  = \sqrt {{{\left( {\sqrt {29} } \right)}^2} - 4}  $

$= \sqrt {25}  = 5$.

Câu 12 :

Rút gọn biểu thức  $E = \dfrac{{a - b}}{{2\sqrt a }}\sqrt {\dfrac{{ab}}{{{{(a - b)}^2}}}} $ với $0 < a < b$ ta được

  • A

    $\dfrac{{\sqrt a }}{2}$

  • B

    $\dfrac{{\sqrt b }}{2}$

  • C

    $\dfrac{{ - \sqrt b }}{2}$

  • D

    $a\sqrt b $

Đáp án : C

Phương pháp giải :

-Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt {ab}  = \sqrt a .\sqrt b $

-Sử dụng công thức khai phương một thương: Với số $a$ không âm và số $b$ dương , ta có $\sqrt {\dfrac{a}{b}}  = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$.

-Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|$

Lời giải chi tiết :

$E = \dfrac{{a - b}}{{2\sqrt a }}\sqrt {\dfrac{{ab}}{{{{(a - b)}^2}}}} $$ = \dfrac{{a - b}}{{2\sqrt a }}.\dfrac{{\sqrt {ab} }}{{\sqrt {{{\left( {a - b} \right)}^2}} }} = \dfrac{{a - b}}{{2\sqrt a }}.\dfrac{{\sqrt a .\sqrt b }}{{\left| {a - b} \right|}} = \dfrac{{\left( {a - b} \right)\sqrt b }}{{2\left| {a - b} \right|}}$

Mà $0 < a < b$ nên $a - b < 0 \Rightarrow \left| {a - b} \right| =  - \left( {a - b} \right)$. Khi đó $E = \dfrac{{\left( {a - b} \right)\sqrt b }}{{ - 2\left( {a - b} \right)}} = \dfrac{{ - \sqrt b }}{2}$.

Câu 13 :

Rút gọn biểu thức  $4{a^4}{b^2}.\sqrt {\dfrac{9}{{{a^8}{b^4}}}} $ với $ab \ne 0$ ta được

  • A

    $\dfrac{{{a^2}}}{b}$

  • B

    $12$

  • C

    $6$

  • D

    $36$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Sử dụng công thức khai phương một thương: Với số $a$ không âm và số $b$ dương, ta có $\sqrt {\dfrac{a}{b}}  = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$.

+ Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|$

Lời giải chi tiết :

Ta có $4{a^4}{b^2}.\sqrt {\dfrac{9}{{{a^8}{b^4}}}} $$ = 4{a^4}{b^2}.\dfrac{{\sqrt 9 }}{{\sqrt {{a^8}{b^4}} }} = 4{a^4}{b^2}.\dfrac{3}{{\sqrt {{a^8}} .\sqrt {{b^4}} }}$$ = \dfrac{{12{a^4}{b^2}}}{{\sqrt {{{\left( {{a^4}} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {{b^2}} \right)}^2}} }} = \dfrac{{12{a^4}{b^2}}}{{{a^4}.{b^2}}} = 12$.

Câu 14 :

Rút gọn biểu thức  $\dfrac{{\sqrt {{x^3} + 2{x^2}} }}{{\sqrt {x + 2} }}$ với $x > 0$ ta được

  • A

    $x$

  • B

    $-x$

  • C

    $\sqrt x $

  • D

    $\sqrt {x + 2} $

Đáp án : A

Phương pháp giải :

-Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt {ab}  = \sqrt a .\sqrt b $

-Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|$

Lời giải chi tiết :

Ta có $\dfrac{{\sqrt {{x^3} + 2{x^2}} }}{{\sqrt {x + 2} }}$$ = \dfrac{{\sqrt {{x^2}\left( {x + 2} \right)} }}{{\sqrt {x + 2} }} = \dfrac{{\sqrt {{x^2}} .\sqrt {x + 2} }}{{\sqrt {x + } 2}} = \sqrt {{x^2}}  = \left| x \right|$ mà $x > 0$ nên $\left| x \right| = x$

Từ đó $\dfrac{{\sqrt {{x^3} + 2{x^2}} }}{{\sqrt {x + 2} }} = x$.

Câu 15 :

Với $x > 5$, cho biểu thức  $A = \dfrac{{\sqrt {{x^2} - 5x} }}{{\sqrt {x - 5} }}$ và $B = x$.

Có bao nhiêu giá trị của $x$ để $A = B$.

  • A

    $1$

  • B

    $2$

  • C

    $0$

  • D

    Vô số.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

-Rút gọn biểu thức $A$ ta sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt {ab}  = \sqrt a .\sqrt b $

-Giải phương trình dạng $\sqrt A  = m\,\left( {m > 0} \right) \Leftrightarrow A = {m^2}$

Lời giải chi tiết :

Ta có $A = \dfrac{{\sqrt {{x^2} - 5x} }}{{\sqrt {x - 5} }}$$ = \dfrac{{\sqrt {x\left( {x - 5} \right)} }}{{\sqrt {x - 5} }} = \dfrac{{\sqrt x \sqrt {x - 5} }}{{\sqrt {x - 5} }} = \sqrt x $

Để $A = B$$ \Leftrightarrow \sqrt x  = x \Leftrightarrow x - \sqrt x  = 0 \Leftrightarrow \sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  = 0\\\sqrt x  - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\\sqrt x  = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.$(loại vì $x > 5$ ).

Vậy không có giá trị nào của $x$ thỏa mãn điều kiện đề bài.

Câu 16 :

Với $x,y \ge 0;x \ne y$, rút gọn biểu thức  $A = \dfrac{{x - \sqrt {xy} }}{{x - y}}$  ta được

  • A

    $\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - \sqrt y }}$

  • B

    \(\dfrac{1}{{\sqrt x - \sqrt y }}\)

  • C

    $\dfrac{{\sqrt y }}{{\sqrt x  - \sqrt y }}$

  • D

    $\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + \sqrt y }}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Để phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử ta

-Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt {ab}  = \sqrt a .\sqrt b $

-Sử dụng ${\left( {\sqrt A } \right)^2} = A$ với $A \ge 0$.

-Sử dụng hằng đẳng thức ${a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)$

Lời giải chi tiết :

Ta có $A = \dfrac{{x - \sqrt {xy} }}{{x - y}} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - \sqrt x .\sqrt y }}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt y } \right)}^2}}} = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)}}{{\left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)}} = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + \sqrt y }}$

Câu 17 :

Giá trị của biểu thức  \((\sqrt {12}  + 2\sqrt {27} )\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} - \sqrt {150} \)  là:

  • A

    $12 - 5\sqrt 6 $

  • B

    $12 + 5\sqrt 6 $

  • C

    $12 + \sqrt 6 $

  • D

    $12 - \sqrt 6 $

Đáp án : A

Phương pháp giải :

-Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt {ab}  = \sqrt a .\sqrt b $

Lời giải chi tiết :

Ta có \((\sqrt {12}  + 2\sqrt {27} )\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} - \sqrt {150} \)$ = \dfrac{{\sqrt {12} .\sqrt 3  + 2\sqrt {27} .\sqrt 3 }}{2} - \sqrt {25.6} $$ = \dfrac{{\sqrt {12.3}  + 2\sqrt {27.3} }}{2} - \sqrt {25} .\sqrt 6  = \dfrac{{\sqrt {36}  + 2\sqrt {81} }}{2} - 5\sqrt 6  = \dfrac{{6 + 2.9}}{2} - 5\sqrt 6  = 12 - 5\sqrt 6 $

Câu 18 :

Với \(a \ge 0,b \ge 0,a \ne b\), rút gọn biểu thức  \(\dfrac{{a - b}}{{\sqrt a  - \sqrt b }} - \dfrac{{\sqrt {{a^3}}  + \sqrt {{b^3}} }}{{a - b}}\)  ta được:

  • A

    $\dfrac{{\sqrt {ab} }}{{\sqrt a  - \sqrt b }}$

  • B

    $\dfrac{{\sqrt {ab}  - 2b}}{{\sqrt a  - \sqrt b }}$

  • C

    $\dfrac{{2b}}{{\sqrt a  - \sqrt b }}$

  • D

    $\dfrac{{\sqrt {ab}  - 2a}}{{\sqrt a  - \sqrt b }}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Để phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử ta

-Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt {ab}  = \sqrt a .\sqrt b $

-Sử dụng ${\left( {\sqrt A } \right)^2} = A$ với $A \ge 0$.

-Sử dụng hằng đẳng thức ${a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)$, ${a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)$

Lời giải chi tiết :

Ta có \(\dfrac{{a - b}}{{\sqrt a  - \sqrt b }} - \dfrac{{\sqrt {{a^3}}  + \sqrt {{b^3}} }}{{a - b}}\)$ = \dfrac{{a - b}}{{\sqrt a  - \sqrt b }} - \dfrac{{\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)\left[ {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} - \sqrt a .\sqrt b  + {{\left( {\sqrt b } \right)}^2}} \right]}}{{{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt b } \right)}^2}}}$

$ = \dfrac{{a - b}}{{\sqrt a  - \sqrt b }} - \dfrac{{\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)\left( {a - \sqrt {ab}  + b} \right)}}{{\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)}}$$ = \dfrac{{a - b}}{{\sqrt a  - \sqrt b }} - \dfrac{{a - \sqrt {ab}  + b}}{{\sqrt a  - \sqrt b }} = \dfrac{{a - b - a + \sqrt {ab}  - b}}{{\sqrt a  - \sqrt b }} = \dfrac{{\sqrt {ab}  - 2b}}{{\sqrt a  - \sqrt b }}$

Câu 19 :

Khẳng định nào sau đây đúng  về nghiệm ${x_0}$ của phương trình  \(\dfrac{{9x - 7}}{{\sqrt {7x + 5} }} = \sqrt {7x + 5} \)

  • A

    ${x_0} < 5$

  • B

    ${x_0} > 8$

  • C

    ${x_0} > 9$

  • D

    $5 < {x_0} < 7$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

-Tìm điều kiện xác định

-Sử dụng hằng đẳng thức ${\left( {\sqrt A } \right)^2} = A$ khi $A > 0$ để đưa phương trình về dạng đã biết.

-So sánh điều kiện rồi kết luận nghiệm.

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $7x + 5 > 0 \Leftrightarrow x >  - \dfrac{5}{7}$

Với điều kiện trên ta có \(\dfrac{{9x - 7}}{{\sqrt {7x + 5} }} = \sqrt {7x + 5} \)$ \Rightarrow 9x - 7 = {\left( {\sqrt {7x + 5} } \right)^2} $

$\Leftrightarrow 9x - 7 = 7x + 5 $

$\Leftrightarrow 2x = 12 \Leftrightarrow x = 6\,\left( {TM} \right)$

Vậy nghiệm của phương trình là ${x_0} = 6 \Leftrightarrow 5 < {x_0} < 7$

Câu 20 :

Nghiệm của phương trình  \(\sqrt {4x - 20}  + \sqrt {x - 5}  - \dfrac{1}{3}\sqrt {9x - 45}  = 4\) là

  • A

    $x =  - 9$

  • B

    $x =  5$

  • C

    $x =  8$

  • D

    $x =  9$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

-Tìm điều kiện xác định

-Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt {ab}  = \sqrt a .\sqrt b $

và nhóm nhân tử chung để đưa phương trình về dạng đã biết.

-So sánh điều kiện rồi kết luận nghiệm.

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}4x - 20 \ge 0\\x - 5 \ge 0\\9x - 45 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 5 \ge 0\\4\left( {x - 5} \right) \ge 0\\9\left( {x - 5} \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x - 5 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 5$

Với điều kiện trên ta có \(\sqrt {4x - 20}  + \sqrt {x - 5}  - \dfrac{1}{3}\sqrt {9x - 45}  = 4.\)$ \Leftrightarrow \sqrt {4\left( {x - 5} \right)}  + \sqrt {x - 5}  - \dfrac{1}{3}\sqrt {9\left( {x - 5} \right)}  = 4$

$ \Leftrightarrow \sqrt 4 .\sqrt {x - 5}  + \sqrt {x - 5}  - \dfrac{1}{3}\sqrt 9 \sqrt {x - 5}  = 4 \Leftrightarrow 2\sqrt {x - 5}  + \sqrt {x - 5}  - \dfrac{1}{3}.3.\sqrt {x - 5}  = 4 \Leftrightarrow 2\sqrt {x - 5}  = 4 \Leftrightarrow \sqrt {x - 5}  = 2$

$ \Leftrightarrow x - 5 = {2^2} \Leftrightarrow x - 5 = 4 \Leftrightarrow x = 9\,\left( {TM} \right)$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 9$.

Câu 21 :

Tính : \(P = 2\sqrt 2 \left( {\sqrt 3  - 2} \right) + {\left( {1 + 2\sqrt 2 } \right)^2} - 2\sqrt 6  - \sqrt {9 - \sqrt {17} } .\sqrt {9 + \sqrt {17} } \)

  • A
    \(P = 1\)
  • B
    \(P =  - 1\)
  • C
    \(P =  - \sqrt 3 \)
  • D
    \(P = \sqrt 3 \)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng phép khai phương một tích nhân các căn bậc hai.

Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để xử lý bài toán: \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\)

Lời giải chi tiết :

\(P = 2\sqrt 2 \left( {\sqrt 3  - 2} \right) + {\left( {1 + 2\sqrt 2 } \right)^2} - 2\sqrt 6  - \sqrt {9 - \sqrt {17} } .\sqrt {9 + \sqrt {17} } \)\( = 2\sqrt 6  - 4\sqrt 2  + 1 + 4\sqrt 2  + 8 - 2\sqrt 6  - \sqrt {\left( {9 - \sqrt {17} } \right)\left( {9 + \sqrt {17} } \right)}\)\(= 9 - \sqrt {{9^2} - {{\left( {\sqrt {17} } \right)}^2}}\)\( = 9 - \sqrt {81 - 17} \)\( = 9 - \sqrt {64} \)\( = 9 - 8 = 1\)

Câu 22 :

Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt {1 + \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} \) với \(\left( {a > 0} \right)\)

  • A

    \(A = \dfrac{{{a^2} + a + 1}}{{a\left( {a - 1} \right)}}\)

  • B

    \(A = \dfrac{{{a^2} + a + 1}}{{a\left( {a + 1} \right)}}\)

  • C

    \(A = \dfrac{{{a^2} - a + 1}}{{a\left( {a - 1} \right)}}\)

  • D

    \(A = \dfrac{{{a^2} - a - 1}}{{a\left( {a - 1} \right)}}\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng phương pháp bình phương hai vế của biểu thức \({A^2} = {\left( {\sqrt {1 + \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} } \right)^2}\)

Lời giải chi tiết :

\(\begin{array}{l}A = \sqrt {1 + \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} \\ \Rightarrow {A^2} = {\left( {\sqrt {1 + \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} } \right)^2}\\ = 1 + \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{{a^2}{{\left( {a + 1} \right)}^2} + {{\left( {a + 1} \right)}^2} + {a^2}}}{{{a^2}{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{{a^2}\left( {{a^2} + 2a + 1 + 1} \right) + {{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{{{a^2}{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{{a^4} + 2{a^2}\left( {a + 1} \right) + {{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{{{a^2}{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{{{\left( {{a^2} + a + 1} \right)}^2}}}{{{a^2}{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} = {\left[ {\dfrac{{{a^2} + a + 1}}{{a\left( {a + 1} \right)}}} \right]^2}.\end{array}\)

Do \(a > 0\) nên \(A > 0\) và \(A = \dfrac{{{a^2} + a + 1}}{{a\left( {a + 1} \right)}}.\)

Câu 23 :

Cho \(Q = \dfrac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\). Tìm \(x\) để \(Q = 3\)

  • A
    \(x =  \pm 1\)  
  • B
    \(x = 1\)         
  • C
    \(x =  - 1\)
  • D
    Kết quả khác

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Tìm điều kiện của \(x\) để biểu thức \(Q\) xác định.

- Giải phương trình \(\dfrac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }} = 3\), bằng cách:

+ Nhân chéo với điều kiện \(x > 0\)

+ Phân tích đa thức thu được thành nhân tử.

+ Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận giá trị cần tìm của \(x.\)

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: \(x > 0.\)

\(\begin{array}{l}\dfrac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }} = 3\\ \Rightarrow x + \sqrt x  + 1 = 3\sqrt x \\ \Leftrightarrow x - 2\sqrt x  + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x  - 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt x  = 1\\ \Leftrightarrow x = 1\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy \(x=1\).

Câu 24 :

Tính giá trị biểu thức \(A = \dfrac{1}{{1 + \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3  + \sqrt 5 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 5  + \sqrt 7 }} \)\(+ ... + \dfrac{1}{{\sqrt {2019}  + \sqrt {2021} }}\)

  • A
    \(1 - \sqrt {2021} \)
  • B
    \(\sqrt {2021}  - 1\)
  • C

    \(\dfrac{{\sqrt {2021}  - 1}}{2}\)

  • D

    \(\dfrac{{\sqrt {2019}  - 1}}{2}\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

-  Áp dụng: \(\dfrac{1}{{\sqrt a  + \sqrt b }} = \dfrac{{\sqrt a  - \sqrt b }}{{a - b}}\) với \(a , b>0\)

Lời giải chi tiết :

Ta có:

\(A = \dfrac{1}{{1 + \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3  + \sqrt 5 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 5  + \sqrt 7 }} \)\(+ ... + \dfrac{1}{{\sqrt {2019}  + \sqrt {2021} }}\)\(= \dfrac{{\sqrt 3  - 1}}{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}} \)\(+ \dfrac{{\sqrt 5  - \sqrt 3 }}{{\left( {\sqrt 3  + \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 5  - \sqrt 3 } \right)}} \)\(+ ....... + \dfrac{{\sqrt {2021}  - \sqrt {2019} }}{{\left( {\sqrt {2019}  + \sqrt {2021} } \right)\left( {\sqrt {2021}  - \sqrt {2019} } \right)}}\)\( = \dfrac{{\sqrt 3  - 1}}{{3 - 1}} + \dfrac{{\sqrt 5  - \sqrt 3 }}{{5 - 3}} \)\(+ ....... + \dfrac{{\sqrt {2021}  - \sqrt {2019} }}{{2021 - 2019}}\)\( = \dfrac{{\sqrt 3  - 1}}{2} + \dfrac{{\sqrt 5  - \sqrt 3 }}{2} \)\(+ ...... + \dfrac{{\sqrt {2021}  - \sqrt {2019} }}{2}\)\( = \dfrac{{\sqrt 3  - 1 + \sqrt 5  - \sqrt 3  + ....... + \sqrt {2021}  - \sqrt {2019} }}{2}\)\( = \dfrac{{\sqrt {2021}  - 1}}{2}\)

Câu 25 :

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = \dfrac{{x + \sqrt x  + 4}}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0\)

  • A
    \(5\)
  • B
    \(9\)
  • C
    \(4\)
  • D
    \(0\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Chia tử thức cho mẫu thức được \(A = \sqrt x  + \dfrac{4}{{\sqrt x }} + 1\)

- Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\sqrt x \) và \(\dfrac{4}{{\sqrt x }}\)

Lời giải chi tiết :

Với \(x > 0\) ta có:  \(A = \dfrac{{x + \sqrt x  + 4}}{{\sqrt x }}\)\( = \dfrac{x}{{\sqrt x }} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x }} + \dfrac{4}{{\sqrt x }}\)\( = \sqrt x  + \dfrac{4}{{\sqrt x }} + 1\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\sqrt x \) và \(\dfrac{4}{{\sqrt x }}\) ta được:

\(\sqrt x  + \dfrac{4}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\dfrac{4}{{\sqrt x }}}  = 2.2 = 4\)\( \Rightarrow \sqrt x  + \dfrac{4}{{\sqrt x }} + 1 \ge 5\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\sqrt x  = \dfrac{4}{{\sqrt x }} \Leftrightarrow x = 4\,\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy GTNN của \(A\) là \(5\) khi \(x = 4\)

close