Trắc nghiệm Bài 3,4: Liên hệ phép nhân, phép chia với phép khai phương Toán 9Đề bài
Câu 1 :
Kết quả của phép tính $\sqrt {2,5} .\sqrt {14,4} $ là?
Câu 2 :
Kết quả của phép tính $\sqrt {\dfrac{{81}}{{169}}} $ là?
Câu 3 :
Phép tính $\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}{{.7}^2}} $ có kết quả là?
Câu 4 :
Cho $a,b$ là hai số không âm. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Câu 5 :
Kết quả của phép tính $\sqrt {\dfrac{{ - 999}}{{111}}} $ là?
Câu 6 :
Cho $a$ là số không âm, $b$ là số dương. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Câu 7 :
Rút gọn biểu thức $\sqrt {{a^4}.{{\left( {2a - 1} \right)}^2}} $ với $a \ge \dfrac{1}{2}$ ta được
Câu 8 :
Rút gọn biểu thức $\sqrt {{a^2}.{{\left( {2a - 3} \right)}^2}} $ với $ 0 \le a < \dfrac{3}{2}$ ta được
Câu 9 :
Rút gọn biểu thức $\sqrt {\dfrac{{{a^4}}}{{{b^2}}}} $ với $b \ne 0$ ta được
Câu 10 :
Rút gọn biểu thức $\sqrt {0,9.0,1.{{\left( {3 - x} \right)}^2}} $ với $x > 3$ ta được
Câu 11 :
Giá trị biểu thức $\sqrt {x - 2} .\sqrt {x + 2} $ khi $x = \sqrt {29} $ là
Câu 12 :
Rút gọn biểu thức $E = \dfrac{{a - b}}{{2\sqrt a }}\sqrt {\dfrac{{ab}}{{{{(a - b)}^2}}}} $ với $0 < a < b$ ta được
Câu 13 :
Rút gọn biểu thức $4{a^4}{b^2}.\sqrt {\dfrac{9}{{{a^8}{b^4}}}} $ với $ab \ne 0$ ta được
Câu 14 :
Rút gọn biểu thức $\dfrac{{\sqrt {{x^3} + 2{x^2}} }}{{\sqrt {x + 2} }}$ với $x > 0$ ta được
Câu 15 :
Với $x > 5$, cho biểu thức $A = \dfrac{{\sqrt {{x^2} - 5x} }}{{\sqrt {x - 5} }}$ và $B = x$. Có bao nhiêu giá trị của $x$ để $A = B$.
Câu 16 :
Với $x,y \ge 0;x \ne y$, rút gọn biểu thức $A = \dfrac{{x - \sqrt {xy} }}{{x - y}}$ ta được
Câu 17 :
Giá trị của biểu thức \((\sqrt {12} + 2\sqrt {27} )\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} - \sqrt {150} \) là:
Câu 18 :
Với \(a \ge 0,b \ge 0,a \ne b\), rút gọn biểu thức \(\dfrac{{a - b}}{{\sqrt a - \sqrt b }} - \dfrac{{\sqrt {{a^3}} + \sqrt {{b^3}} }}{{a - b}}\) ta được:
Câu 19 :
Khẳng định nào sau đây đúng về nghiệm ${x_0}$ của phương trình \(\dfrac{{9x - 7}}{{\sqrt {7x + 5} }} = \sqrt {7x + 5} \)
Câu 20 :
Nghiệm của phương trình \(\sqrt {4x - 20} + \sqrt {x - 5} - \dfrac{1}{3}\sqrt {9x - 45} = 4\) là
Câu 21 :
Tính : \(P = 2\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 - 2} \right) + {\left( {1 + 2\sqrt 2 } \right)^2} - 2\sqrt 6 - \sqrt {9 - \sqrt {17} } .\sqrt {9 + \sqrt {17} } \)
Câu 22 :
Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt {1 + \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} \) với \(\left( {a > 0} \right)\)
Câu 23 :
Cho \(Q = \dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\). Tìm \(x\) để \(Q = 3\)
Câu 24 :
Tính giá trị biểu thức \(A = \dfrac{1}{{1 + \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 5 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 5 + \sqrt 7 }} \)\(+ ... + \dfrac{1}{{\sqrt {2019} + \sqrt {2021} }}\)
Câu 25 :
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = \dfrac{{x + \sqrt x + 4}}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0\)
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Kết quả của phép tính $\sqrt {2,5} .\sqrt {14,4} $ là?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số \(a,b\) không âm, ta có \(\sqrt a .\sqrt b = \sqrt {ab} \) Lời giải chi tiết :
$\sqrt {2,5} .\sqrt {14,4} = \sqrt {2,5.14,4} = \sqrt {36} = \sqrt {{6^2}} = 6$
Câu 2 :
Kết quả của phép tính $\sqrt {\dfrac{{81}}{{169}}} $ là?
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng công thức khai phương một thương: Với số $a$ không âm và số $b$ dương , ta có $\sqrt {\dfrac{a}{b}} = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$. Lời giải chi tiết :
$\sqrt {\dfrac{{81}}{{169}}} = \dfrac{{\sqrt {81} }}{{\sqrt {169} }} = \dfrac{{\sqrt {{9^2}} }}{{\sqrt {{{13}^2}} }} = \dfrac{9}{{13}}$
Câu 3 :
Phép tính $\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}{{.7}^2}} $ có kết quả là?
Đáp án : A Phương pháp giải :
-Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt a .\sqrt b = \sqrt {ab} $ -Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ Lời giải chi tiết :
Cách giải: $\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}{{.7}^2}} = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}} .\sqrt {{7^2}} = \left| { - 5} \right|.\left| 7 \right| = 5.7 = 35$.
Câu 4 :
Cho $a,b$ là hai số không âm. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng kiến thức căn thức bậc hai của một tích. Lời giải chi tiết :
Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt {ab} = \sqrt a .\sqrt b $.
Câu 5 :
Kết quả của phép tính $\sqrt {\dfrac{{ - 999}}{{111}}} $ là?
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng công thức khai phương một thương: Với số $a$ không âm và số $b$ dương , ta có $\sqrt {\dfrac{a}{b}} = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$. Lời giải chi tiết :
Vì $ - 999 < 0;111 > 0 \Rightarrow \dfrac{{ - 999}}{{111}} < 0$ nên không tồn tại căn bậc hai của số âm
Câu 6 :
Cho $a$ là số không âm, $b$ là số dương. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng kiến thức căn thức bậc hai của một thương. Lời giải chi tiết :
Với số $a$ không âm và số $b$ dương , ta có $\sqrt {\dfrac{a}{b}} = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$.
Câu 7 :
Rút gọn biểu thức $\sqrt {{a^4}.{{\left( {2a - 1} \right)}^2}} $ với $a \ge \dfrac{1}{2}$ ta được
Đáp án : C Phương pháp giải :
-Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt a .\sqrt b = \sqrt {ab} $ -Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ Lời giải chi tiết :
$\sqrt {{a^4}.{{\left( {2a - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{a^4}} .\sqrt {{{\left( {2a - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {{a^2}} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {2a - 1} \right)}^2}} $ $= \left| {{a^2}} \right|.\left| {2a - 1} \right| = {a^2}.\left( {2a - 1} \right)$ (vì $a \ge \dfrac{1}{2} \Rightarrow 2a - 1 \ge 0 $ $\Rightarrow \left| {2a - 1} \right| = 2a - 1$)
Câu 8 :
Rút gọn biểu thức $\sqrt {{a^2}.{{\left( {2a - 3} \right)}^2}} $ với $ 0 \le a < \dfrac{3}{2}$ ta được
Đáp án : D Phương pháp giải :
-Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt a .\sqrt b = \sqrt {ab} $ -Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ Lời giải chi tiết :
$\sqrt {{a^2}.{{\left( {2a - 3} \right)}^2}} = \sqrt {{a^2}} .\sqrt {{{\left( {2a - 3} \right)}^2}} = \left| {{a}} \right|.\left| {2a - 3} \right| $$= {a}.\left( {3-2a } \right)$ (vì $0 \le a <\dfrac{3}{2} \Rightarrow 2a - 3< 0$$ \Rightarrow \left| {2a - 3} \right| = 3-2a ) $
Câu 9 :
Rút gọn biểu thức $\sqrt {\dfrac{{{a^4}}}{{{b^2}}}} $ với $b \ne 0$ ta được
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng công thức khai phương một thương: Với số $a$ không âm và số $b$ dương , ta có $\sqrt {\dfrac{a}{b}} = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$. Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ Lời giải chi tiết :
Ta có $\sqrt {\dfrac{{{a^4}}}{{{b^2}}}} $$ = \dfrac{{\sqrt {{a^4}} }}{{\sqrt {{b^2}} }} = \dfrac{{\sqrt {{{\left( {{a^2}} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{b^2}} }} = \dfrac{{\left| {{a^2}} \right|}}{{\left| b \right|}} = \dfrac{{{a^2}}}{{\left| b \right|}}$.
Câu 10 :
Rút gọn biểu thức $\sqrt {0,9.0,1.{{\left( {3 - x} \right)}^2}} $ với $x > 3$ ta được
Đáp án : A Phương pháp giải :
-Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt {ab} = \sqrt a .\sqrt b $ -Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ Lời giải chi tiết :
Ta có $\sqrt {0,9.0,1.{{\left( {3 - x} \right)}^2}} = \sqrt {0,09.{{\left( {3 - x} \right)}^2}} $ $= \sqrt {0,09} .\sqrt {{{\left( {3 - x} \right)}^2}} = 0,3.\left| {3 - x} \right|$ Mà $x > 3 \Rightarrow 3 - x < 0 $ hay $ \left| {3 - x} \right| = x - 3$ Nên $\sqrt {0,9.0,1.{{\left( {3 - x} \right)}^2}} = 0,3.\left( {x - 3} \right)$.
Câu 11 :
Giá trị biểu thức $\sqrt {x - 2} .\sqrt {x + 2} $ khi $x = \sqrt {29} $ là
Đáp án : B Phương pháp giải :
-Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt a .\sqrt b = \sqrt {ab} $ Lời giải chi tiết :
Ta có $\sqrt { {x - 2} }.\sqrt{ {x + 2} } = \sqrt {{x^2} - 4} $ với \(x \ge 2\). Thay $x = \sqrt {29} $ ( TMĐK \( x \ge 2\) ) vào biểu thức ta được $\sqrt {{x^2} - 4} = \sqrt {{{\left( {\sqrt {29} } \right)}^2} - 4} $ $= \sqrt {25} = 5$.
Câu 12 :
Rút gọn biểu thức $E = \dfrac{{a - b}}{{2\sqrt a }}\sqrt {\dfrac{{ab}}{{{{(a - b)}^2}}}} $ với $0 < a < b$ ta được
Đáp án : C Phương pháp giải :
-Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt {ab} = \sqrt a .\sqrt b $ -Sử dụng công thức khai phương một thương: Với số $a$ không âm và số $b$ dương , ta có $\sqrt {\dfrac{a}{b}} = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$. -Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ Lời giải chi tiết :
$E = \dfrac{{a - b}}{{2\sqrt a }}\sqrt {\dfrac{{ab}}{{{{(a - b)}^2}}}} $$ = \dfrac{{a - b}}{{2\sqrt a }}.\dfrac{{\sqrt {ab} }}{{\sqrt {{{\left( {a - b} \right)}^2}} }} = \dfrac{{a - b}}{{2\sqrt a }}.\dfrac{{\sqrt a .\sqrt b }}{{\left| {a - b} \right|}} = \dfrac{{\left( {a - b} \right)\sqrt b }}{{2\left| {a - b} \right|}}$ Mà $0 < a < b$ nên $a - b < 0 \Rightarrow \left| {a - b} \right| = - \left( {a - b} \right)$. Khi đó $E = \dfrac{{\left( {a - b} \right)\sqrt b }}{{ - 2\left( {a - b} \right)}} = \dfrac{{ - \sqrt b }}{2}$.
Câu 13 :
Rút gọn biểu thức $4{a^4}{b^2}.\sqrt {\dfrac{9}{{{a^8}{b^4}}}} $ với $ab \ne 0$ ta được
Đáp án : B Phương pháp giải :
+ Sử dụng công thức khai phương một thương: Với số $a$ không âm và số $b$ dương, ta có $\sqrt {\dfrac{a}{b}} = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$. + Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ Lời giải chi tiết :
Ta có $4{a^4}{b^2}.\sqrt {\dfrac{9}{{{a^8}{b^4}}}} $$ = 4{a^4}{b^2}.\dfrac{{\sqrt 9 }}{{\sqrt {{a^8}{b^4}} }} = 4{a^4}{b^2}.\dfrac{3}{{\sqrt {{a^8}} .\sqrt {{b^4}} }}$$ = \dfrac{{12{a^4}{b^2}}}{{\sqrt {{{\left( {{a^4}} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {{b^2}} \right)}^2}} }} = \dfrac{{12{a^4}{b^2}}}{{{a^4}.{b^2}}} = 12$.
Câu 14 :
Rút gọn biểu thức $\dfrac{{\sqrt {{x^3} + 2{x^2}} }}{{\sqrt {x + 2} }}$ với $x > 0$ ta được
Đáp án : A Phương pháp giải :
-Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt {ab} = \sqrt a .\sqrt b $ -Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ Lời giải chi tiết :
Ta có $\dfrac{{\sqrt {{x^3} + 2{x^2}} }}{{\sqrt {x + 2} }}$$ = \dfrac{{\sqrt {{x^2}\left( {x + 2} \right)} }}{{\sqrt {x + 2} }} = \dfrac{{\sqrt {{x^2}} .\sqrt {x + 2} }}{{\sqrt {x + } 2}} = \sqrt {{x^2}} = \left| x \right|$ mà $x > 0$ nên $\left| x \right| = x$ Từ đó $\dfrac{{\sqrt {{x^3} + 2{x^2}} }}{{\sqrt {x + 2} }} = x$.
Câu 15 :
Với $x > 5$, cho biểu thức $A = \dfrac{{\sqrt {{x^2} - 5x} }}{{\sqrt {x - 5} }}$ và $B = x$. Có bao nhiêu giá trị của $x$ để $A = B$.
Đáp án : C Phương pháp giải :
-Rút gọn biểu thức $A$ ta sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt {ab} = \sqrt a .\sqrt b $ -Giải phương trình dạng $\sqrt A = m\,\left( {m > 0} \right) \Leftrightarrow A = {m^2}$ Lời giải chi tiết :
Ta có $A = \dfrac{{\sqrt {{x^2} - 5x} }}{{\sqrt {x - 5} }}$$ = \dfrac{{\sqrt {x\left( {x - 5} \right)} }}{{\sqrt {x - 5} }} = \dfrac{{\sqrt x \sqrt {x - 5} }}{{\sqrt {x - 5} }} = \sqrt x $ Để $A = B$$ \Leftrightarrow \sqrt x = x \Leftrightarrow x - \sqrt x = 0 \Leftrightarrow \sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = 0\\\sqrt x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\\sqrt x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.$(loại vì $x > 5$ ). Vậy không có giá trị nào của $x$ thỏa mãn điều kiện đề bài.
Câu 16 :
Với $x,y \ge 0;x \ne y$, rút gọn biểu thức $A = \dfrac{{x - \sqrt {xy} }}{{x - y}}$ ta được
Đáp án : D Phương pháp giải :
Để phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử ta -Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt {ab} = \sqrt a .\sqrt b $ -Sử dụng ${\left( {\sqrt A } \right)^2} = A$ với $A \ge 0$. -Sử dụng hằng đẳng thức ${a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)$ Lời giải chi tiết :
Ta có $A = \dfrac{{x - \sqrt {xy} }}{{x - y}} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - \sqrt x .\sqrt y }}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt y } \right)}^2}}} = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}}{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}} = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + \sqrt y }}$
Câu 17 :
Giá trị của biểu thức \((\sqrt {12} + 2\sqrt {27} )\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} - \sqrt {150} \) là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
-Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt {ab} = \sqrt a .\sqrt b $ Lời giải chi tiết :
Ta có \((\sqrt {12} + 2\sqrt {27} )\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} - \sqrt {150} \)$ = \dfrac{{\sqrt {12} .\sqrt 3 + 2\sqrt {27} .\sqrt 3 }}{2} - \sqrt {25.6} $$ = \dfrac{{\sqrt {12.3} + 2\sqrt {27.3} }}{2} - \sqrt {25} .\sqrt 6 = \dfrac{{\sqrt {36} + 2\sqrt {81} }}{2} - 5\sqrt 6 = \dfrac{{6 + 2.9}}{2} - 5\sqrt 6 = 12 - 5\sqrt 6 $
Câu 18 :
Với \(a \ge 0,b \ge 0,a \ne b\), rút gọn biểu thức \(\dfrac{{a - b}}{{\sqrt a - \sqrt b }} - \dfrac{{\sqrt {{a^3}} + \sqrt {{b^3}} }}{{a - b}}\) ta được:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Để phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử ta -Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt {ab} = \sqrt a .\sqrt b $ -Sử dụng ${\left( {\sqrt A } \right)^2} = A$ với $A \ge 0$. -Sử dụng hằng đẳng thức ${a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)$, ${a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)$ Lời giải chi tiết :
Ta có \(\dfrac{{a - b}}{{\sqrt a - \sqrt b }} - \dfrac{{\sqrt {{a^3}} + \sqrt {{b^3}} }}{{a - b}}\)$ = \dfrac{{a - b}}{{\sqrt a - \sqrt b }} - \dfrac{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left[ {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} - \sqrt a .\sqrt b + {{\left( {\sqrt b } \right)}^2}} \right]}}{{{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt b } \right)}^2}}}$ $ = \dfrac{{a - b}}{{\sqrt a - \sqrt b }} - \dfrac{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {a - \sqrt {ab} + b} \right)}}{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}}$$ = \dfrac{{a - b}}{{\sqrt a - \sqrt b }} - \dfrac{{a - \sqrt {ab} + b}}{{\sqrt a - \sqrt b }} = \dfrac{{a - b - a + \sqrt {ab} - b}}{{\sqrt a - \sqrt b }} = \dfrac{{\sqrt {ab} - 2b}}{{\sqrt a - \sqrt b }}$
Câu 19 :
Khẳng định nào sau đây đúng về nghiệm ${x_0}$ của phương trình \(\dfrac{{9x - 7}}{{\sqrt {7x + 5} }} = \sqrt {7x + 5} \)
Đáp án : D Phương pháp giải :
-Tìm điều kiện xác định -Sử dụng hằng đẳng thức ${\left( {\sqrt A } \right)^2} = A$ khi $A > 0$ để đưa phương trình về dạng đã biết. -So sánh điều kiện rồi kết luận nghiệm. Lời giải chi tiết :
Điều kiện: $7x + 5 > 0 \Leftrightarrow x > - \dfrac{5}{7}$ Với điều kiện trên ta có \(\dfrac{{9x - 7}}{{\sqrt {7x + 5} }} = \sqrt {7x + 5} \)$ \Rightarrow 9x - 7 = {\left( {\sqrt {7x + 5} } \right)^2} $ $\Leftrightarrow 9x - 7 = 7x + 5 $ $\Leftrightarrow 2x = 12 \Leftrightarrow x = 6\,\left( {TM} \right)$ Vậy nghiệm của phương trình là ${x_0} = 6 \Leftrightarrow 5 < {x_0} < 7$
Câu 20 :
Nghiệm của phương trình \(\sqrt {4x - 20} + \sqrt {x - 5} - \dfrac{1}{3}\sqrt {9x - 45} = 4\) là
Đáp án : D Phương pháp giải :
-Tìm điều kiện xác định -Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt {ab} = \sqrt a .\sqrt b $ và nhóm nhân tử chung để đưa phương trình về dạng đã biết. -So sánh điều kiện rồi kết luận nghiệm. Lời giải chi tiết :
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}4x - 20 \ge 0\\x - 5 \ge 0\\9x - 45 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 5 \ge 0\\4\left( {x - 5} \right) \ge 0\\9\left( {x - 5} \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x - 5 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 5$ Với điều kiện trên ta có \(\sqrt {4x - 20} + \sqrt {x - 5} - \dfrac{1}{3}\sqrt {9x - 45} = 4.\)$ \Leftrightarrow \sqrt {4\left( {x - 5} \right)} + \sqrt {x - 5} - \dfrac{1}{3}\sqrt {9\left( {x - 5} \right)} = 4$ $ \Leftrightarrow \sqrt 4 .\sqrt {x - 5} + \sqrt {x - 5} - \dfrac{1}{3}\sqrt 9 \sqrt {x - 5} = 4 \Leftrightarrow 2\sqrt {x - 5} + \sqrt {x - 5} - \dfrac{1}{3}.3.\sqrt {x - 5} = 4 \Leftrightarrow 2\sqrt {x - 5} = 4 \Leftrightarrow \sqrt {x - 5} = 2$ $ \Leftrightarrow x - 5 = {2^2} \Leftrightarrow x - 5 = 4 \Leftrightarrow x = 9\,\left( {TM} \right)$ Vậy nghiệm của phương trình là $x = 9$.
Câu 21 :
Tính : \(P = 2\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 - 2} \right) + {\left( {1 + 2\sqrt 2 } \right)^2} - 2\sqrt 6 - \sqrt {9 - \sqrt {17} } .\sqrt {9 + \sqrt {17} } \)
Đáp án : A Phương pháp giải :
Áp dụng phép khai phương một tích nhân các căn bậc hai. Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để xử lý bài toán: \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\) Lời giải chi tiết :
\(P = 2\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 - 2} \right) + {\left( {1 + 2\sqrt 2 } \right)^2} - 2\sqrt 6 - \sqrt {9 - \sqrt {17} } .\sqrt {9 + \sqrt {17} } \)\( = 2\sqrt 6 - 4\sqrt 2 + 1 + 4\sqrt 2 + 8 - 2\sqrt 6 - \sqrt {\left( {9 - \sqrt {17} } \right)\left( {9 + \sqrt {17} } \right)}\)\(= 9 - \sqrt {{9^2} - {{\left( {\sqrt {17} } \right)}^2}}\)\( = 9 - \sqrt {81 - 17} \)\( = 9 - \sqrt {64} \)\( = 9 - 8 = 1\)
Câu 22 :
Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt {1 + \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} \) với \(\left( {a > 0} \right)\)
Đáp án : B Phương pháp giải :
Áp dụng phương pháp bình phương hai vế của biểu thức \({A^2} = {\left( {\sqrt {1 + \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} } \right)^2}\) Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}A = \sqrt {1 + \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} \\ \Rightarrow {A^2} = {\left( {\sqrt {1 + \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} } \right)^2}\\ = 1 + \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{{a^2}{{\left( {a + 1} \right)}^2} + {{\left( {a + 1} \right)}^2} + {a^2}}}{{{a^2}{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{{a^2}\left( {{a^2} + 2a + 1 + 1} \right) + {{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{{{a^2}{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{{a^4} + 2{a^2}\left( {a + 1} \right) + {{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{{{a^2}{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{{{\left( {{a^2} + a + 1} \right)}^2}}}{{{a^2}{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} = {\left[ {\dfrac{{{a^2} + a + 1}}{{a\left( {a + 1} \right)}}} \right]^2}.\end{array}\) Do \(a > 0\) nên \(A > 0\) và \(A = \dfrac{{{a^2} + a + 1}}{{a\left( {a + 1} \right)}}.\)
Câu 23 :
Cho \(Q = \dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\). Tìm \(x\) để \(Q = 3\)
Đáp án : B Phương pháp giải :
- Tìm điều kiện của \(x\) để biểu thức \(Q\) xác định. - Giải phương trình \(\dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }} = 3\), bằng cách: + Nhân chéo với điều kiện \(x > 0\) + Phân tích đa thức thu được thành nhân tử. + Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận giá trị cần tìm của \(x.\) Lời giải chi tiết :
Điều kiện: \(x > 0.\) \(\begin{array}{l}\dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }} = 3\\ \Rightarrow x + \sqrt x + 1 = 3\sqrt x \\ \Leftrightarrow x - 2\sqrt x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt x = 1\\ \Leftrightarrow x = 1\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\) Vậy \(x=1\).
Câu 24 :
Tính giá trị biểu thức \(A = \dfrac{1}{{1 + \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 5 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 5 + \sqrt 7 }} \)\(+ ... + \dfrac{1}{{\sqrt {2019} + \sqrt {2021} }}\)
Đáp án : C Phương pháp giải :
- Áp dụng: \(\dfrac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }} = \dfrac{{\sqrt a - \sqrt b }}{{a - b}}\) với \(a , b>0\) Lời giải chi tiết :
Ta có: \(A = \dfrac{1}{{1 + \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 5 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 5 + \sqrt 7 }} \)\(+ ... + \dfrac{1}{{\sqrt {2019} + \sqrt {2021} }}\)\(= \dfrac{{\sqrt 3 - 1}}{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}} \)\(+ \dfrac{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }}{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)}} \)\(+ ....... + \dfrac{{\sqrt {2021} - \sqrt {2019} }}{{\left( {\sqrt {2019} + \sqrt {2021} } \right)\left( {\sqrt {2021} - \sqrt {2019} } \right)}}\)\( = \dfrac{{\sqrt 3 - 1}}{{3 - 1}} + \dfrac{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }}{{5 - 3}} \)\(+ ....... + \dfrac{{\sqrt {2021} - \sqrt {2019} }}{{2021 - 2019}}\)\( = \dfrac{{\sqrt 3 - 1}}{2} + \dfrac{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }}{2} \)\(+ ...... + \dfrac{{\sqrt {2021} - \sqrt {2019} }}{2}\)\( = \dfrac{{\sqrt 3 - 1 + \sqrt 5 - \sqrt 3 + ....... + \sqrt {2021} - \sqrt {2019} }}{2}\)\( = \dfrac{{\sqrt {2021} - 1}}{2}\)
Câu 25 :
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = \dfrac{{x + \sqrt x + 4}}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0\)
Đáp án : A Phương pháp giải :
- Chia tử thức cho mẫu thức được \(A = \sqrt x + \dfrac{4}{{\sqrt x }} + 1\) - Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\sqrt x \) và \(\dfrac{4}{{\sqrt x }}\) Lời giải chi tiết :
Với \(x > 0\) ta có: \(A = \dfrac{{x + \sqrt x + 4}}{{\sqrt x }}\)\( = \dfrac{x}{{\sqrt x }} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x }} + \dfrac{4}{{\sqrt x }}\)\( = \sqrt x + \dfrac{4}{{\sqrt x }} + 1\) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\sqrt x \) và \(\dfrac{4}{{\sqrt x }}\) ta được: \(\sqrt x + \dfrac{4}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\dfrac{4}{{\sqrt x }}} = 2.2 = 4\)\( \Rightarrow \sqrt x + \dfrac{4}{{\sqrt x }} + 1 \ge 5\) Dấu “=” xảy ra khi \(\sqrt x = \dfrac{4}{{\sqrt x }} \Leftrightarrow x = 4\,\,\,\left( {tm} \right)\) Vậy GTNN của \(A\) là \(5\) khi \(x = 4\)
|
