Trắc nghiệm Đề thi khảo sát chất lượng đầu năm - Đề số 5Đề bài
Câu 1 :
Phân tích đa thức \({x^3} + x{}^2 - 4x - 4\) thành nhân tử ta được:
Câu 2 :
Căn bậc hai số học của 4 là:
Câu 3 :
So sánh 5 với \(2\sqrt 6 \) ta có kết luận sau:
Câu 4 :
\(\sqrt {{{\rm{x}}^2}} = 5\) thì \(x\) bằng:
Câu 5 :
Thực hiện phép tính sau \(\dfrac{{x - 3}}{{2x + 6}}:\left( {{x^2} - 6x + 9} \right)\), ta được kết quả là:
Câu 6 :
Nếu \(\Delta ABC\) vuông tại A có \(BH = 9,HC = 25\) thì đường cao \(AH\) có độ dài là: 
Câu 7 :
Nghiệm của phương trình \(2x - 5 = 0\) là:
Câu 8 :
Có bao nhiêu giá trị của \(x\) thỏa mãn phương trình \(\left| {x - 3} \right| = 1 - 3x\).
Câu 9 :
Tập nghiệm của bất phương trình \(5x + 1 < - 3\) là:
Câu 10 :
Chọn câu đúng. Giá trị của phân thức \(\dfrac{{{x^2} - x}}{{2(x - 1)}}\) tại \(x = 4\) là:
Câu 11 :
Với điều kiện nào của \(x\) thì \(\dfrac{{x - 2}}{{3 + 2x}} \le 0\).
Câu 12 :
Cho \(\Delta ABC\), đường phân giác góc \(B\) cắt \(AC\) tại \(D\) và cho biết \(AB = 10{\rm{ }}cm,{\rm{ }}BC = 15{\rm{ }}cm,\)\(AD = 6{\rm{ }}cm.\) Tính \(AC.\) 
Câu 13 :
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = AC;{\rm{ }}BC = 8{\rm{ }}cm;\) \(BH\) và \(CK\) là hai đường trung tuyến kẻ từ \(B\) và \(C.\) Tính độ dài đoạn \(HK.\) 
Câu 14 :
Giải phương trình \(\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} - \dfrac{{1 - x}}{{2 - x}} = \dfrac{{2({x^2} + 2)}}{{{x^2} - 4}}\) ta được tập nghiệm là:
Câu 15 :
Để chuẩn bị cho năm học mới, bạn Nam đã mua tất cả \(26\) quyển vở gồm loại \(200\) trang và loại \(120\) trang. Mỗi quyển vở loại \(200\) trang có giá \(13500\) đồng, mỗi quyển vở loại \(120\) trang có giá \(9500\) đồng. Bạn Nam đã trả số tiền là \(263000\) đồng. Câu 15.1
Tính số vở loại \(120\) trang mà bạn Nam đã mua?
Câu 15.2
Nhân dịp đầu năm học mới, nhà sách thực hiện chương trình giảm giá cho học sinh học sinh giỏi như sau: mỗi quyển loại 200 trang được giảm 5% còn mỗi quyển loại 120 trang được giảm 10%. Nếu năm học trước bạn Nam đạt danh hiệu học sinh giỏi thì bạn chỉ phải trả bao nhiêu tiền cho số vở trên.
Câu 16 :
Cho \(\Delta ABC\) có \(\widehat A\, = \,{90^0}\), \(AB = 2cm,AC = 6cm.\) Trên cạnh \(AC\) lấy điểm \(E,{\rm{ }}K\) sao cho \(AE = 2cm\) và \(K\) là trung điểm của đoạn thẳng \(EC.\)  Câu 16.1
Tính \(BE\) và các tỉ số \(\dfrac{{BE}}{{EK}};\) \(\dfrac{{CE}}{{EB}}\).
Câu 16.2
Chọn câu đúng.
Câu 16.3
Tính \(\widehat {BKE} + \widehat {BCE}\).
Câu 17 :
Cho các số thực dương \(x,{\rm{ }}y,{\rm{ }}z\) thỏa mãn: \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 4\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \dfrac{1}{{2x + y + z}} + \dfrac{1}{{2y + x + z}} + \dfrac{1}{{2z + x + y}}\).
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Phân tích đa thức \({x^3} + x{}^2 - 4x - 4\) thành nhân tử ta được:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Phân tích đa thức thành nhân tử dựa vào các biện pháp: đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức,… Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\,\,{x^3} + x{}^2 - 4x - 4\\ = {x^2}(x + 1) - 4(x + 1)\\ = ({x^2} - 4)(x + 1)\\ = (x - 2)(x + 2)(x + 1)\end{array}\)
Câu 2 :
Căn bậc hai số học của 4 là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Căn bậc hai số học của số \(a\) không âm là số \(x\) không âm sao cho \({x^2} = a.\) Kí hiệu: \(x = \sqrt a .\) Lời giải chi tiết :
Vì \({2^2} = 4\) và \(2 > 0\) nên \(\sqrt 4 = 2.\)
Câu 3 :
So sánh 5 với \(2\sqrt 6 \) ta có kết luận sau:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Với \(0 < a < b \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b \) Và với \(a,b > 0\) thì \({a^2} < {b^2} \Leftrightarrow a < b\). Lời giải chi tiết :
Ta có: \({5^2} = 25;\,{\left( {2\sqrt 6 } \right)^2} = {2^2}.{\left( {\sqrt 6 } \right)^2} = 4.6 = 24\) Vì \(25 > 24\) nên \(5 > 2\sqrt 6 .\)
Câu 4 :
\(\sqrt {{{\rm{x}}^2}} = 5\) thì \(x\) bằng:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\) và \(\left| x \right| = m\left( {m \ge 0} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\x = - m\end{array} \right.\) Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\sqrt {{{\rm{x}}^2}} = 5 \Leftrightarrow \left| x \right| = 5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = - 5\end{array} \right.\)
Câu 5 :
Thực hiện phép tính sau \(\dfrac{{x - 3}}{{2x + 6}}:\left( {{x^2} - 6x + 9} \right)\), ta được kết quả là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng kiến thức: +) Áp dụng công thức của các hằng đẳng thức đáng nhớ. +) Phân tích đa thức thành nhân tử. +) Rút gọn phân thức. Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\dfrac{{x - 3}}{{2x + 6}}:\left( {{x^2} - 6x + 9} \right) = \dfrac{{x - 3}}{{2(x + 3)}}.\dfrac{1}{{{{(x - 3)}^2}}} = \dfrac{1}{{2(x - 3)(x + 3)}} = \dfrac{1}{{2({x^2} - 9)}}\).
Câu 6 :
Nếu \(\Delta ABC\) vuông tại A có \(BH = 9,HC = 25\) thì đường cao \(AH\) có độ dài là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: “Bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền”. Lời giải chi tiết :
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có chiều cao \(AH.\) Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: \(A{H^2} = HB.HC \Leftrightarrow A{H^2} = 9.25\) \( \Leftrightarrow A{H^2} = 225 \Rightarrow AH = 15\) Vậy \(AH = 15\,cm.\)
Câu 7 :
Nghiệm của phương trình \(2x - 5 = 0\) là:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Biến đổi phương trình về dạng phương trình bậc nhất một ẩn, giải phương trình bậc nhất một ẩn. \(ax + b = 0 \Leftrightarrow ax = - b \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - b}}{a}\;\left( {a \ne 0} \right)\). Lời giải chi tiết :
Ta có: \(2x - 5 = 0 \Leftrightarrow 2x = 5\, \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{2}\).
Câu 8 :
Có bao nhiêu giá trị của \(x\) thỏa mãn phương trình \(\left| {x - 3} \right| = 1 - 3x\).
Đáp án : C Phương pháp giải :
Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ để tìm \(x:\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x\;\;khi\;\;\;x \ge 0\\ - x\;\;\;khi\;\;x < 0\end{array} \right.\) Sau đó biến đổi phương trình, giải phương trình bậc nhất một ẩn. Lời giải chi tiết :
\(\left| {x - 3} \right| = 1 - 3x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0\\x - 3 = 1 - 3x\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 3 < 0\\x - 3 = 3x - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\x + 3x = 1 + 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 3\\x - 3x = 3 - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\x = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 3\\x = - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - 1\). Vậy có 1 giá trị \(x\) thỏa mãn là \(x = - 1.\)
Câu 9 :
Tập nghiệm của bất phương trình \(5x + 1 < - 3\) là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Biến đổi bất phương trình về dạng bất phương trình một ẩn và giải bất phương trình. Lời giải chi tiết :
\(5x + 1 < - 3 \Leftrightarrow 5x < - 3 - 1\) \( \Leftrightarrow x < \dfrac{{ - 4}}{5}\). Tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left\{ {x|x < - \dfrac{4}{5}} \right\}\).
Câu 10 :
Chọn câu đúng. Giá trị của phân thức \(\dfrac{{{x^2} - x}}{{2(x - 1)}}\) tại \(x = 4\) là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Phân tích các mẫu thức thành nhân tử. Rút gọn biểu thức và tính giá trị biểu thức. Lời giải chi tiết :
Đk: \(x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1.\) \(A = \dfrac{{{x^2} - x}}{{2(x - 1)}} = \dfrac{{x(x - 1)}}{{2(x - 1)}} = \dfrac{x}{2} (x \ne 1)\). Với \(x = 4\) (tmđk) ta thay \(x = 4\) vào A ta được: \(A = \dfrac{4}{2} = 2.\)
Câu 11 :
Với điều kiện nào của \(x\) thì \(\dfrac{{x - 2}}{{3 + 2x}} \le 0\).
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng: \(\dfrac{A}{B} \le 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}A \le 0\\B > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}A \ge 0\\B < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\) Rồi giải từng bất phương trình bậc nhất một ẩn thu được. Lời giải chi tiết :
\(\dfrac{{x - 2}}{{3 + 2x}} \le 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\3 + 2x < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \le 0\\3 + 2x > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\3 + 2x < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \le 0\\3 + 2x > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x < \dfrac{{ - 3}}{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\x > \dfrac{{ - 3}}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \dfrac{{ - 3}}{2} < x \le 2\). Vậy \( - \dfrac{3}{2} < x \le 2.\)
Câu 12 :
Cho \(\Delta ABC\), đường phân giác góc \(B\) cắt \(AC\) tại \(D\) và cho biết \(AB = 10{\rm{ }}cm,{\rm{ }}BC = 15{\rm{ }}cm,\)\(AD = 6{\rm{ }}cm.\) Tính \(AC.\)
Đáp án : D Phương pháp giải :
Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác để tính \(AC.\) Lời giải chi tiết :
Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ABC, ta có: \(\dfrac{{BA}}{{AD}} = \dfrac{{BC}}{{CD}}\) \( \Rightarrow \dfrac{{10}}{6} = \dfrac{{15}}{{CD}} \Leftrightarrow CD = \dfrac{{6.15}}{{10}} = 9\;cm\) \( \Rightarrow AC = AD + DC = 6 + 9 = 15\;cm\).
Câu 13 :
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = AC;{\rm{ }}BC = 8{\rm{ }}cm;\) \(BH\) và \(CK\) là hai đường trung tuyến kẻ từ \(B\) và \(C.\) Tính độ dài đoạn \(HK.\)
Đáp án : B Phương pháp giải :
Áp dụng lý thuyết đã học và cách chứng minh tam giác đồng dạng để thực hiện yêu cầu của bài toán. Lời giải chi tiết :
Theo bài ra ta có: \(AB = AC\) (1) Ta lại có $BH$ và $CK$ là hai đường trung tuyến kẻ từ $B$ và $C$ của tam giác $ABC,$ suy ra $H$ và $K$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $AB.$ Khi đó, ta có: \(AK = KB = \dfrac{1}{2}AB\;(2)\) \(AH = HC = \dfrac{1}{2}AC\;(3)\) Từ (1), (2) và (3) ta có: \(AK = AH\) Vì $AK = AH$ và $AB = AC$ nên: \(\dfrac{{AK}}{{AB}} = \dfrac{{AH}}{{AC}}\) Xét \(\Delta AKH\) và \(\Delta ABC\) ta có: +) \(\dfrac{{AK}}{{AB}} = \dfrac{{AH}}{{AC}}\) +) \(\widehat A\) chung \( \Rightarrow \Delta AKH \backsim \Delta ABC\; (c - g - c)\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{AK}}{{AB}} = \dfrac{{KH}}{{BC}} = \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow \dfrac{{KH}}{8} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow KH = \dfrac{8}{2} = 4\;cm\end{array}\).
Câu 14 :
Giải phương trình \(\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} - \dfrac{{1 - x}}{{2 - x}} = \dfrac{{2({x^2} + 2)}}{{{x^2} - 4}}\) ta được tập nghiệm là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu: Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình. Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu. Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được. Bước 4: (Kết luận) Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho. Lời giải chi tiết :
ĐKXĐ: \(x \ne 2;\,\,x \ne - 2\) \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} - \dfrac{{1 - x}}{{2 - x}} = \dfrac{{2({x^2} + 2)}}{{{x^2} - 4}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} + \dfrac{{1 - x}}{{x - 2}} = \dfrac{{2({x^2} + 2)}}{{(x - 2)(x + 2)}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{(x - 1)(x - 2)}}{{(x - 2)(x + 2)}} + \dfrac{{(1 - x)(x + 2)}}{{(x - 2)(x + 2)}} = \dfrac{{2({x^2} + 2)}}{{(x - 2)(x + 2)}}\\ \Rightarrow (x - 1)(x - 2) + (1 - x)(x + 2) = 2({x^2} + 2)\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x - x + 2 + x + 2 - {x^2} - 2x = 2{x^2} + 4\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 4x = 0\\ \Leftrightarrow 2x(x + 2) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 0\\x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\,\,(TM)\\x = - 2\,\,\,\,\,(KTM)\end{array} \right.\end{array}\) Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ 0 \right\}.\)
Câu 15 :
Để chuẩn bị cho năm học mới, bạn Nam đã mua tất cả \(26\) quyển vở gồm loại \(200\) trang và loại \(120\) trang. Mỗi quyển vở loại \(200\) trang có giá \(13500\) đồng, mỗi quyển vở loại \(120\) trang có giá \(9500\) đồng. Bạn Nam đã trả số tiền là \(263000\) đồng. Câu 15.1
Tính số vở loại \(120\) trang mà bạn Nam đã mua?
Đáp án : D Phương pháp giải :
Bước 1. Lập phương trình: Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số; Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết; Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2. Giải phương trình. Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận. Lời giải chi tiết :
Gọi số quyển vở loại 200 trang bạn Nam mua là x (quyển, điều kiện \(x \in {\mathbb{N}^*},{\rm{ }}x < 26\) ) thì số quyển vở loại 120 trang là: \(26-x\) ( quyển) Số tiền mua vở loại 200 trang là: \(13500x\) (đồng) Số tiền mua vở loại 120 trang là: \(9500\left( {26 - x} \right)\) (đồng) Vì bạn Nam đã trả tổng số tiền là \(263000\) đồng nên ta có phương trình \(13500x + 9500(26 - x) = 263000\) \( \Leftrightarrow 13500x - 9500x = 263000 - 9500. 26\). \( \Leftrightarrow 4000x = 16000\)\( \Leftrightarrow x = 4\) (thỏa mãn) Vậy bạn Nam mua 4 quyển vở loại 200 trang, 22 quyển vở loại 120 trang. Câu 15.2
Nhân dịp đầu năm học mới, nhà sách thực hiện chương trình giảm giá cho học sinh học sinh giỏi như sau: mỗi quyển loại 200 trang được giảm 5% còn mỗi quyển loại 120 trang được giảm 10%. Nếu năm học trước bạn Nam đạt danh hiệu học sinh giỏi thì bạn chỉ phải trả bao nhiêu tiền cho số vở trên.
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng kết quả câu trước bạn Nam mua 4 quyển vở loại 200 trang, 22 quyển vở loại 120 trang. Từ đó tính số tiền Nam phải trả sau khi được giảm giá. Lời giải chi tiết :
Số tiền Nam được giảm khi mua 4 quyển vở loại 200 trang, 22 quyển vở loại 120 trang là: \(13500. 4. 5\% {\rm{ }} + {\rm{ }}9500. 22. 10\% = 23600\) đồng. Số tiền bạn phải trả nếu được giảm giá là: \(263000--23600 = 239400\) (đồng).
Câu 16 :
Cho \(\Delta ABC\) có \(\widehat A\, = \,{90^0}\), \(AB = 2cm,AC = 6cm.\) Trên cạnh \(AC\) lấy điểm \(E,{\rm{ }}K\) sao cho \(AE = 2cm\) và \(K\) là trung điểm của đoạn thẳng \(EC.\) Câu 16.1
Tính \(BE\) và các tỉ số \(\dfrac{{BE}}{{EK}};\) \(\dfrac{{CE}}{{EB}}\).
Đáp án : C Phương pháp giải :
Áp dụng định lí Pitago để tính độ dài cạnh \(BE\). Từ đó tính các tỉ số. Lời giải chi tiết :
Vì \(AE = 2cm;AC = 6cm \Rightarrow EC = 4cm\) Lại có \(K\) là trung điểm \(EC\) nên \(EK = KC = \dfrac{{EC}}{2} = 2cm\) Ta có: \(AE = EK = KC = {\rm{ }}2cm\) Xét tam giác \(ABE\) vuông tại \(A.\) Theo định lý Pytago ta có \(B{E^2} = A{B^2} + A{E^2}\)\( = {2^2} + {2^2} = 8\). Suy ra: \(BE = 2\sqrt 2 \,cm\). Từ đó suy ra: \(\dfrac{{BE}}{{EK}} = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{2} = \sqrt 2 \) và \(\dfrac{{CE}}{{EB}} = \dfrac{4}{{2\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \). Câu 16.2
Chọn câu đúng.
Đáp án : C Phương pháp giải :
Chứng minh 2 tam giác đồng dạng theo trường hợp cạnh - góc – cạnh. Lời giải chi tiết :
Từ câu trước ta có: \(\dfrac{{BE}}{{EK}} = \sqrt 2 ;\dfrac{{CE}}{{EB}} = \sqrt 2 \) suy ra: \(\dfrac{{BE}}{{EK}} = \dfrac{{CE}}{{EB}}\) Xét tam giác \(\Delta BEK\)và \(\Delta CEB\) có: +) \(\dfrac{{BE}}{{EK}} = \dfrac{{CE}}{{EB}}\) +) \(\widehat {CEB}\) chung Suy ra: \(\Delta BEK \backsim \Delta CEB\) (c – g - c) Câu 16.3
Tính \(\widehat {BKE} + \widehat {BCE}\).
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng kết quả câu trước \(\Delta BEK \backsim \Delta CEB\). Sử dụng: Góc ngoài của tam giác tại một đỉnh bằng tổng hai góc trong không kề với đỉnh đó. Lời giải chi tiết :
Tam giác \(EBA\) vuông cân tại \(A\) nên \(\widehat {BEA} = {45^0}.\) Từ câu trước ta có: \(\Delta BEK \backsim \Delta CEB\) Suy ra: \(\widehat {BKE} = \widehat {CBE}\) Do đó: \(\widehat {BKE} + \widehat {BCE} = \widehat {CBE} + \widehat {BCE}\) Ta lại có: \(\widehat {BEA}\)là góc ngoài của tam giác \(EBC\) nên \(\widehat {CBE} + \widehat {BCE} = \widehat {BEA} = {45^0}\) Nên \(\widehat {BKE} + \widehat {BCE} = {45^0}.\)
Câu 17 :
Cho các số thực dương \(x,{\rm{ }}y,{\rm{ }}z\) thỏa mãn: \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 4\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \dfrac{1}{{2x + y + z}} + \dfrac{1}{{2y + x + z}} + \dfrac{1}{{2z + x + y}}\).
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng bổ đề: Với \(x,y\) dương là hai số bất kỳ thì: \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}}\). Lời giải chi tiết :
Bổ đề: Với x,y dương là hai số bất kỳ thì: \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}}\). Chứng minh: Vì x, y dương nên \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow {(x + y)^2} \ge 4xy\) \( \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\) với mọi x, y thỏa mãn yêu cầu. Áp dụng bổ đề trên ta có: \(\dfrac{4}{{2x + y + z}} = \dfrac{4}{{\left( {x + y} \right) + \left( {x + z} \right)}} \le \dfrac{1}{{x + y}} + \dfrac{1}{{x + z}}\). Cũng có: \(\dfrac{1}{{x + y}} + \dfrac{1}{{x + z}} \le \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{z}} \right) = \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)\). Do đó: \(\dfrac{1}{{2x + y + z}} \le \dfrac{1}{{16}}\left( {\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)\). Tương tự ta có: \(\dfrac{1}{{x + 2y + z}} \le \dfrac{1}{{16}}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)\) \(\) \(\dfrac{1}{{x + y + 2z}} \le \dfrac{1}{{16}}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{2}{z}} \right)\). Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên kết hợp với điều kiện \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 4\) ta có: \(P = \dfrac{1}{{2x + y + z}} + \dfrac{1}{{2y + x + z}} + \dfrac{1}{{2z + x + y}}\)\( \le \dfrac{1}{{16}}\left( {\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{y} + \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{2}{z}} \right)\) \(P \le \dfrac{1}{{16}}\left( {\dfrac{4}{x} + \dfrac{4}{y} + \dfrac{4}{z}} \right) = \dfrac{1}{{16}}.4\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)\)\( = \dfrac{1}{4}.4 = 1\). Hay \(\dfrac{1}{{2x + y + z}} + \dfrac{1}{{2y + x + z}} + \dfrac{1}{{2z + x + y}} \le 1\). Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = x + z\\x + y = y + z\\x + z = y + z\\\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x = y = z = \dfrac{3}{4}\). Vậy giá trị lớn nhất của \(P = \dfrac{1}{{2x + y + z}} + \dfrac{1}{{2y + x + z}} + \dfrac{1}{{2z + x + y}}\) là \(1.\)
|
