Trắc nghiệm Bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn Toán 9

Đề bài

Câu 1 :

Giá trị của biểu thức \(\sqrt {{{\left( {4 - \sqrt 5 } \right)}^2}}  - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } \)   là:

  • A

    $5-2\sqrt 5$

  • B

    $4$

  • C

    $2+2\sqrt 5$

  • D

    $1$

Câu 2 :

Giá trị của biểu thức \(\sqrt {32}  + \sqrt {50}  - 3\sqrt 8  - \sqrt {18} \) là

  • A

    $1$

  • B

    $0$

  • C

    $2$

  • D

    $3$

Câu 3 :

Rút gọn biểu thức \(5\sqrt a  + 2\sqrt {\dfrac{a}{4}}  - a\sqrt {\dfrac{4}{a}}  - \sqrt {25a} \)  với \(a > 0\) ta được

  • A

    $\sqrt a $

  • B

    $4\sqrt a $

  • C

    $2\sqrt a $

  • D

    $ - \sqrt a $

Câu 4 :

Giá trị biểu thức \(\left( {\sqrt 5  + \sqrt 2 } \right)\sqrt {7 - 2\sqrt {10} } \) là

  • A

    $4$

  • B

    $5$

  • C

    $2$

  • D

    $3$

Câu 5 :

Rút gọn biểu thức \(2\sqrt a  - \sqrt {9{a^3}}  + {a^2}\sqrt {\dfrac{{16}}{a}}  + \dfrac{2}{{{a^2}}}\sqrt {36{a^5}} \) với $a > 0$ ta được 

  • A

    $14\sqrt a  + a\sqrt a $

  • B

    $14\sqrt a  - a\sqrt a $

  • C

    $14\sqrt a  + 2a\sqrt a $

  • D

    $20\sqrt a  - 2a\sqrt a $

Câu 6 :

Đẳng thức nào dưới đây là đúng?

  • A

    $\dfrac{{a - b}}{{{b^2}}}\sqrt {\dfrac{{{a^2}{b^4}}}{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}}  = a$ với $a - b > 0,b \ne 0$

  • B

    $\dfrac{{a - b}}{{{b^2}}}\sqrt {\dfrac{{{a^2}{b^4}}}{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}}  = \left| a \right|$ với $a - b > 0,b \ne 0$

  • C

    $\dfrac{{a - b}}{{{b^2}}}\sqrt {\dfrac{{{a^2}{b^4}}}{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}}  = ab$ với $a - b > 0,b \ne 0$

  • D

    $\dfrac{{a - b}}{{{b^2}}}\sqrt {\dfrac{{{a^2}{b^4}}}{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}}  = a - b$ với $a - b > 0,b \ne 0$

Câu 7 :

Chọn khẳng định đúng?

  • A

    $\left( {\dfrac{{2\sqrt 3  - \sqrt 6 }}{{\sqrt 8  - 2}} - \dfrac{{\sqrt {216} }}{3}} \right).\left( {\dfrac{{ - a}}{{\sqrt 6 }}} \right) = \dfrac{{ - 3a}}{2}$

  • B

    $\left( {\dfrac{{2\sqrt 3  - \sqrt 6 }}{{\sqrt 8  - 2}} - \dfrac{{\sqrt {216} }}{3}} \right).\left( {\dfrac{{ - a}}{{\sqrt 6 }}} \right) = \dfrac{{3a}}{2}$

  • C

    $\left( {\dfrac{{2\sqrt 3  - \sqrt 6 }}{{\sqrt 8  - 2}} - \dfrac{{\sqrt {216} }}{3}} \right).\left( {\dfrac{{ - a}}{{\sqrt 6 }}} \right) = \dfrac{{ - a}}{2}$

  • D

    $\left( {\dfrac{{2\sqrt 3  - \sqrt 6 }}{{\sqrt 8  - 2}} - \dfrac{{\sqrt {216} }}{3}} \right).\left( {\dfrac{{ - a}}{{\sqrt 6 }}} \right) = \dfrac{a}{2}$

Câu 8 :

Cho biểu thức \(P = \dfrac{{2x}}{{\sqrt x  + 1}}\). Giá trị của $P$ khi $x = 9$ là

  • A

    $\dfrac{9}{2}$

  • B

    $\dfrac{9}{4}$

  • C

    $9$

  • D

    $18$

Câu 9 :

Cho biểu thức \(P = \dfrac{x}{{\sqrt x  + 1}}\). Giá trị của $P$ khi $x = \dfrac{2}{{2 - \sqrt 3 }}$ là

  • A

    $4$

  • B

    $2$

  • C

    $3$

  • D

    $1$

Câu 10 :

Cho biểu thức \(P = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 2}}\).

Giá trị của $P$ khi $x = 3 + 2\sqrt 2 $ là:

  • A

    $4 + 3\sqrt 2 $

  • B

    $4 - 3\sqrt 2 $

  • C

    $3$

  • D

    $3\sqrt 2 $

Câu 11 :

Cho biểu thức \(P = \dfrac{{x + 2\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x }}\)với $x > 0$. So sánh $P$ với $4$.

  • A

    $P > 4$

  • B

    $P < 4$

  • C

    $P = 4$

  • D

    $P \le 4$

Câu 12 :

Cho biểu thức \(P = \dfrac{{3\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}\)với $x \ge 0$. Tìm $x$ biết $P = \sqrt x $ .

  • A

    $1$

  • B

    $2$

  • C

    $3$

  • D

    $4$

Câu 13 :

Cho $P = \dfrac{2}{{\sqrt x  + 1}}$.

Có bao nhiêu giá trị $x \in \mathbb{Z}$ để $P \in \mathbb{Z}$ ?

  • A

    $1$

  • B

    $2$

  • C

    $0$

  • D

    $4$

Câu 14 :

Cho \(A = \dfrac{1}{{\sqrt 3  - 1}} - \sqrt {27}  + \dfrac{3}{{\sqrt 3 }};\)\(B = \dfrac{{5 + \sqrt 5 }}{{\sqrt 5  + 2}} + \dfrac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 5  - 1}} - \dfrac{{3\sqrt 5 }}{{3 + \sqrt 5 }}\). Chọn câu đúng.

  • A

    \(B > A > 0\)

  • B

    \(A < B < 0\)

  • C

    \(A < 0 < B\)

  • D

    \(B < 0 < A\)

Câu 15 :

Cho \(A = \dfrac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 2}}\) với \(x \ge 0.\) Có bao nhiêu giá trị của \(x\) để \(A\) có giá trị nguyên.

  • A

    \(2\)     

  • B

    \(1\)     

  • C

    \(0\)     

  • D

    \(3\)     

Câu 16 :

Cho biểu thức $A = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 2}} + \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} + \dfrac{{2 + 5\sqrt x }}{{4 - x}}$ với $x \ge 0;x \ne 4$

Câu 16.1

Tìm $x$ để $A = 2$.

  • A.

    $12$

  • B.

    $4$

  • C.

    $16$

  • D.

    $25$

Câu 16.2

Rút gọn biểu thức $A$ ta được

  • A.

    $A = \dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}$

  • B.

    $A = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}$

  • C.

    $A = \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}$

  • D.

    $A = \dfrac{3}{{\sqrt x  + 2}}$

Câu 17 :

Cho biểu thức

$B = \left( {\dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{x + 2\sqrt x  + 1}}} \right).\dfrac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}$ với $x \ge 0;x \ne 1$

Câu 17.1

Tìm giá trị lớn nhất của $B$

  • A.

    $1$

  • B.

    $2$

  • C.

    $3$

  • D.

    $\dfrac{1}{4}$

Câu 17.2

Tìm $x$ để $B > 0$

  • A.

    $x > 1$

  • B.

    $x < 2$

  • C.

    $0 < x < 1$

  • D.

    $x \le 1$

Câu 17.3

Rút gọn biểu thức $B$ ta được 

  • A.

    $B = x - \sqrt x $

  • B.

    $B = \sqrt x  - x$

  • C.

    $B = \sqrt x  + x$

  • D.

    $B = x + 2\sqrt x $

Câu 18 :

Cho biểu thức $C = \dfrac{{2\sqrt x  - 9}}{{x - 5\sqrt x  + 6}} - \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}} - \dfrac{{2\sqrt x  + 1}}{{3 - \sqrt x }}$

với $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9$.

Câu 18.1

Tìm $x$ để $C < 1$

  • A.

    $0 \le x < 9$

  • B.

    $0 \le x < 9;x \ne 4$

  • C.

    $4 < x < 9$

  • D.

    $0 < x < 4$

Câu 18.2

Rút gọn biểu thức $C$ ta được

  • A.

    $C = \dfrac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  - 3}}$

  • B.

    $C = \dfrac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 3}}$

  • C.

    $C = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}}$

  • D.

    $C = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 3}}$

Câu 19 :

Cho biểu thức \(P = \left( {\dfrac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^3}}  - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x  - 1}}} \right):\left( {1 - \dfrac{{x + 4}}{{x + \sqrt x  + 1}}} \right)\)

Câu 19.1

Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên dương.

  • A.

    \(x = 1;x = 36\)

  • B.

    \(x = 16\)

  • C.

    \(x = 4;x = 6\)

  • D.

    \(x = 16; x = 36\)

Câu 19.2

Rút gọn P.

  • A.

    \(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}}\)

  • B.

    \(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}}\)

  • C.

    \(P = \dfrac{{3 + \sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}}\)

  • D.

    \(P = \dfrac{{ - \sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}}\)  

Câu 20 :

Tính giá trị của \(A =\dfrac{1}{{2\sqrt 1  + 1\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2  + 2\sqrt 3 }} + ... + \dfrac{1}{{2018\sqrt {2017}  + 2017\sqrt {2018} }}\)

  • A

    \(A=1-\dfrac{2}{\sqrt{2018}}\)

  • B

    \(A=1-\dfrac{1}{\sqrt{2028}}\)

  • C

    \(A=1-\dfrac{1}{\sqrt{2015}}\)

  • D

    \(A=1-\dfrac{1}{\sqrt{2018}}\)

Câu 21 :

Rút gọn biểu thức: \(T = \dfrac{{\left( {\sqrt {2a}  - 2\sqrt 2 } \right)\left( {a - 1} \right)}}{{a - \sqrt a  - 2}}\left( {a > 0;a \ne 4} \right)\)

  • A
    \(T = \left( {\sqrt a  + 1} \right)\).
  • B
    \(T = \left( {\sqrt a  - 1} \right)\).
  • C
    \(T = \sqrt 2 \left( {\sqrt a  + 1} \right)\).
  • D
    \(T = \sqrt 2 \left( {\sqrt a  - 1} \right)\).

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Giá trị của biểu thức \(\sqrt {{{\left( {4 - \sqrt 5 } \right)}^2}}  - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } \)   là:

  • A

    $5-2\sqrt 5$

  • B

    $4$

  • C

    $2+2\sqrt 5$

  • D

    $1$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

-Đưa biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức \({a^2} + 2ab + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2};{a^2} - 2ab + {b^2} = {\left( {a - b} \right)^2}\)

-Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.\)

-Cộng trừ các căn thức bậc hai.

Lời giải chi tiết :

\(\sqrt {{{\left( {4 - \sqrt 5 } \right)}^2}}  - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } \)\( = \sqrt {{{\left( {4 - \sqrt 5 } \right)}^2}}  - \sqrt {5 - 2\sqrt 5  + 1}  = \sqrt {{{\left( {4 - \sqrt 5 } \right)}^2}}  - \sqrt {{{\left( {\sqrt 5  - 1} \right)}^2}}  \)

\(= \left| {4 - \sqrt 5 } \right| - \left| {\sqrt 5  - 1} \right| \)

\(= 4 - \sqrt 5  - \sqrt 5  + 1 =5-2\sqrt 5 \)

Câu 2 :

Giá trị của biểu thức \(\sqrt {32}  + \sqrt {50}  - 3\sqrt 8  - \sqrt {18} \) là

  • A

    $1$

  • B

    $0$

  • C

    $2$

  • D

    $3$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

-Sử dụng công thức khai phương một tích  \(\sqrt {AB}  = \sqrt A .\sqrt B ,\,\,\left( {A,B \ge 0} \right)\) đưa biểu thức về các căn thức cùng loại (cùng biểu thức dưới dấu căn).

-Cộng trừ các căn thức

Lời giải chi tiết :

\(\sqrt {32}  + \sqrt {50}  - 3\sqrt 8  - \sqrt {18} \)\( = \sqrt {16.2}  + \sqrt {25.2}  - 3\sqrt {4.2}  - \sqrt {9.2} \)

\(= 4\sqrt 2  + 5\sqrt 2  - 6\sqrt 2  - 3\sqrt 2  = 0\)

Câu 3 :

Rút gọn biểu thức \(5\sqrt a  + 2\sqrt {\dfrac{a}{4}}  - a\sqrt {\dfrac{4}{a}}  - \sqrt {25a} \)  với \(a > 0\) ta được

  • A

    $\sqrt a $

  • B

    $4\sqrt a $

  • C

    $2\sqrt a $

  • D

    $ - \sqrt a $

Đáp án : D

Phương pháp giải :

-Khử mẫu biểu thức lấy căn theo công thức \(\sqrt {\dfrac{A}{B}}  = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{B}\,\left( {A \ge 0,B > 0} \right)\)

-Sử dụng công thức khai phương một thương \(\sqrt {\dfrac{A}{B}}  = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\) với \(A \ge 0,B > 0\) và công thức khai phương một tích  \(\sqrt {AB}  = \sqrt A .\sqrt B ,\,\,\left( {A,B \ge 0} \right)\)

-Cộng trừ các căn thức bậc hai.

Lời giải chi tiết :

\(5\sqrt a  + 2\sqrt {\dfrac{a}{4}}  - a\sqrt {\dfrac{4}{a}}  - \sqrt {25a} \)\( = 5\sqrt a  + 2.\dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt 4 }} - a\dfrac{{\sqrt {4a} }}{a} - 5\sqrt a \)\( = 5\sqrt a  + \sqrt a  - 2\sqrt a  - 5\sqrt a \)

\( =  - \sqrt a \)

Câu 4 :

Giá trị biểu thức \(\left( {\sqrt 5  + \sqrt 2 } \right)\sqrt {7 - 2\sqrt {10} } \) là

  • A

    $4$

  • B

    $5$

  • C

    $2$

  • D

    $3$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

-Đưa biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức \({a^2} + 2ab + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2};{a^2} - 2ab + {b^2} = {\left( {a - b} \right)^2}\)

-Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết :

\(\left( {\sqrt 5  + \sqrt 2 } \right)\sqrt {7 - 2\sqrt {10} } \)

\(=\left( {\sqrt 5  + \sqrt 2 } \right)\sqrt {5 - 2\sqrt 5 .\sqrt 2  + 2}  = \left( {\sqrt 5  + \sqrt 2 } \right)\sqrt {{{\left( {\sqrt 5  - \sqrt 2 } \right)}^2}}  = \left( {\sqrt 5  + \sqrt 2 } \right)\left| {\sqrt 5  - \sqrt 2 } \right|\)

\( = \left( {\sqrt 5  + \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 5  - \sqrt 2 } \right) = 5 - 2 = 3\)

Câu 5 :

Rút gọn biểu thức \(2\sqrt a  - \sqrt {9{a^3}}  + {a^2}\sqrt {\dfrac{{16}}{a}}  + \dfrac{2}{{{a^2}}}\sqrt {36{a^5}} \) với $a > 0$ ta được 

  • A

    $14\sqrt a  + a\sqrt a $

  • B

    $14\sqrt a  - a\sqrt a $

  • C

    $14\sqrt a  + 2a\sqrt a $

  • D

    $20\sqrt a  - 2a\sqrt a $

Đáp án : A

Phương pháp giải :

-Sử dụng công thức khai phương một thương \(\sqrt {\dfrac{A}{B}}  = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\) với \(A \ge 0,B > 0\) và công thức khai phương một tích  \(\sqrt {AB}  = \sqrt A .\sqrt B ,\,\,\left( {A,B \ge 0} \right)\)

-Khử mẫu biểu thức lấy căn theo công thức \(\sqrt {\dfrac{A}{B}}  = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{B}\,\left( {A \ge 0,B > 0} \right)\)

-Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|\)

-Cộng trừ các căn thức bậc hai.

Lời giải chi tiết :

Với $a>0$ ta có \(2\sqrt a  - \sqrt {9{a^3}}  + {a^2}\sqrt {\dfrac{{16}}{a}}  + \dfrac{2}{{{a^2}}}\sqrt {36{a^5}} \)$ = 2\sqrt a  - \sqrt {9{a^2}.a}  + {a^2}\dfrac{{\sqrt {16a} }}{a} + \dfrac{2}{{{a^2}}}.\sqrt {36{a^4}.a} $

$ = 2\sqrt a  - 3a\sqrt a  + 4a\sqrt a  + \dfrac{2}{{{a^2}}}.6{a^2}\sqrt a $$ = 2\sqrt a  - 3a\sqrt a  + 4a\sqrt a  + 12\sqrt a  = 14\sqrt a  + a\sqrt a $

Câu 6 :

Đẳng thức nào dưới đây là đúng?

  • A

    $\dfrac{{a - b}}{{{b^2}}}\sqrt {\dfrac{{{a^2}{b^4}}}{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}}  = a$ với $a - b > 0,b \ne 0$

  • B

    $\dfrac{{a - b}}{{{b^2}}}\sqrt {\dfrac{{{a^2}{b^4}}}{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}}  = \left| a \right|$ với $a - b > 0,b \ne 0$

  • C

    $\dfrac{{a - b}}{{{b^2}}}\sqrt {\dfrac{{{a^2}{b^4}}}{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}}  = ab$ với $a - b > 0,b \ne 0$

  • D

    $\dfrac{{a - b}}{{{b^2}}}\sqrt {\dfrac{{{a^2}{b^4}}}{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}}  = a - b$ với $a - b > 0,b \ne 0$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

-Sử dụng công thức khai phương một thương \(\sqrt {\dfrac{A}{B}}  = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\) với \(A \ge 0,B > 0\)

-Đưa biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức \({a^2} - 2ab + {b^2} = {\left( {a - b} \right)^2}\)

-Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|\)

Lời giải chi tiết :

Ta có $\dfrac{{a - b}}{{{b^2}}}\sqrt {\dfrac{{{a^2}{b^4}}}{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}}  = \dfrac{{a - b}}{{{b^2}}}.\dfrac{{\sqrt {{a^2}{b^4}} }}{{\sqrt {{{\left( {a - b} \right)}^2}} }} = \dfrac{{\left( {a - b} \right)}}{{{b^2}}}.\dfrac{{\left| a \right|{b^2}}}{{\left| {a - b} \right|}} = \dfrac{{\left( {a - b} \right)}}{{{b^2}}}.\dfrac{{\left| a \right|{b^2}}}{{\left( {a - b} \right)}} = \left| a \right|$

 

Câu 7 :

Chọn khẳng định đúng?

  • A

    $\left( {\dfrac{{2\sqrt 3  - \sqrt 6 }}{{\sqrt 8  - 2}} - \dfrac{{\sqrt {216} }}{3}} \right).\left( {\dfrac{{ - a}}{{\sqrt 6 }}} \right) = \dfrac{{ - 3a}}{2}$

  • B

    $\left( {\dfrac{{2\sqrt 3  - \sqrt 6 }}{{\sqrt 8  - 2}} - \dfrac{{\sqrt {216} }}{3}} \right).\left( {\dfrac{{ - a}}{{\sqrt 6 }}} \right) = \dfrac{{3a}}{2}$

  • C

    $\left( {\dfrac{{2\sqrt 3  - \sqrt 6 }}{{\sqrt 8  - 2}} - \dfrac{{\sqrt {216} }}{3}} \right).\left( {\dfrac{{ - a}}{{\sqrt 6 }}} \right) = \dfrac{{ - a}}{2}$

  • D

    $\left( {\dfrac{{2\sqrt 3  - \sqrt 6 }}{{\sqrt 8  - 2}} - \dfrac{{\sqrt {216} }}{3}} \right).\left( {\dfrac{{ - a}}{{\sqrt 6 }}} \right) = \dfrac{a}{2}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Sử dụng đưa thừa số ra ngoài dấu căn theo công thức  $\sqrt {{A^2}B}  = \left| A \right|.B\,\,\left( {B \ge 0} \right)$, công thức khai phương một tích $\sqrt {AB}  = \sqrt A .\sqrt B \,\,\,\left( {A \ge 0,B \ge 0} \right)$ và nhóm nhân tử chung để có thể rút gọn phân số trước khi quy đồng.

-Quy đồng mẫu số và cộng trừ các căn thức

Lời giải chi tiết :

Ta có $\left( {\dfrac{{2\sqrt 3  - \sqrt 6 }}{{\sqrt 8  - 2}} - \dfrac{{\sqrt {216} }}{3}} \right).\left( {\dfrac{{ - a}}{{\sqrt 6 }}} \right)$

$ = \left( {\dfrac{{2\sqrt 3  - \sqrt 2 .\sqrt 3 }}{{\sqrt {4.2}  - 2}} - \dfrac{{\sqrt {36.6} }}{3}} \right).\left( {\dfrac{{ - a}}{{\sqrt 6 }}} \right)$

$ = \left[ {\dfrac{{\sqrt 3 \left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{{2\sqrt 2  - 2}} - \dfrac{{6\sqrt 6 }}{3}} \right].\left( { - \dfrac{a}{{\sqrt 6 }}} \right)$

$ = \left[ {\dfrac{{\sqrt 6 \left( {\sqrt 2  - 1} \right)}}{{2\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}} - 2\sqrt 6 } \right].\left( { - \dfrac{a}{{\sqrt 6 }}} \right)$

$ = \left( {\dfrac{{\sqrt 6 }}{2} - 2\sqrt 6 } \right).\left( {\dfrac{{ - a}}{{\sqrt 6 }}} \right) $

$= \left( { - \dfrac{{3\sqrt 6 }}{2}} \right).\left( {\dfrac{{ - a}}{{\sqrt 6 }}} \right)$

$= \dfrac{{3a}}{2}$

Câu 8 :

Cho biểu thức \(P = \dfrac{{2x}}{{\sqrt x  + 1}}\). Giá trị của $P$ khi $x = 9$ là

  • A

    $\dfrac{9}{2}$

  • B

    $\dfrac{9}{4}$

  • C

    $9$

  • D

    $18$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

-Thay giá trị của biến (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức và thực hiện phép tính

Lời giải chi tiết :

Ta có $P = \dfrac{{2.9}}{{\sqrt 9  + 1}}$= $\dfrac{{18}}{3+1}$$= \dfrac{{18}}{4} = \dfrac{9}{2}.$

Câu 9 :

Cho biểu thức \(P = \dfrac{x}{{\sqrt x  + 1}}\). Giá trị của $P$ khi $x = \dfrac{2}{{2 - \sqrt 3 }}$ là

  • A

    $4$

  • B

    $2$

  • C

    $3$

  • D

    $1$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

-Sử dụng các phép biến đổi như trục căn thức ở mẫu và đưa về hằng đẳng thức để rút gọn biến số trước khi thay vào biểu thức

-Thay giá trị của biến (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức và thực hiện phép tính

Lời giải chi tiết :

Ta có $x = \dfrac{2}{{2 - \sqrt 3 }} = \dfrac{{2\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}} = \dfrac{{4 + 2\sqrt 3 }}{{4 - 3}} = 4 + 2\sqrt 3  = {\left( {\sqrt 3  + 1} \right)^2}$.$ \Rightarrow \sqrt x  = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}^2}}  = \sqrt 3  + 1$

Khi đó ta có $P = \dfrac{{4 + 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 3  + 1 + 1}} = \dfrac{{4 + 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 3  + 2}} = \dfrac{{2\left( {\sqrt 3  + 2} \right)}}{{\sqrt 3  + 2}} = 2$.

Câu 10 :

Cho biểu thức \(P = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 2}}\).

Giá trị của $P$ khi $x = 3 + 2\sqrt 2 $ là:

  • A

    $4 + 3\sqrt 2 $

  • B

    $4 - 3\sqrt 2 $

  • C

    $3$

  • D

    $3\sqrt 2 $

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Sử dụng  hằng đẳng thức ${a^2} + 2ab + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2};\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|$ để rút gọn biến số trước khi thay vào biểu thức.

- Thay giá trị của biến (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức và thực hiện phép tính.

Lời giải chi tiết :

Ta có $x = 3 + 2\sqrt 2 $$ = {\left( {\sqrt 2  + 1} \right)^2}$

$\Rightarrow \sqrt x  = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  + 1} \right)}^2}}  = \sqrt 2  + 1$

Thay $\sqrt x  = \sqrt 2  + 1$ vào biểu thức $P$ ta được

$P = \dfrac{{\sqrt 2  + 1 + 1}}{{\sqrt 2  + 1 - 2}} = \dfrac{{\sqrt 2  + 2}}{{\sqrt 2  - 1}}$

$ = \dfrac{{\left( {\sqrt 2  + 2} \right)\left( {\sqrt 2  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 2  - 1} \right)\left( {\sqrt 2  + 1} \right)}} $

$= 4 + 3\sqrt 2 $

Câu 11 :

Cho biểu thức \(P = \dfrac{{x + 2\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x }}\)với $x > 0$. So sánh $P$ với $4$.

  • A

    $P > 4$

  • B

    $P < 4$

  • C

    $P = 4$

  • D

    $P \le 4$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Muốn so sánh hai biểu thức $A$ và $B$ ta so sánh hiệu $A - B$ với số $0$.

Nếu $A - B > 0 $ thì $ A > B$, nếu $A - B < 0 $ thì $ A < B$

-Khi so sánh với số $0$ ta thường đưa về hằng đẳng thức để so sánh.

Lời giải chi tiết :

Ta xét $P - 4 = \dfrac{{x + 2\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x }} - 4 = \dfrac{{x + 2\sqrt x  + 2 - 4\sqrt x }}{{\sqrt x }} = \dfrac{{x - 2\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x }}$$ = \dfrac{{\left( {x - 2\sqrt x  + 1} \right) + 1}}{{\sqrt x }} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2} + 1}}{{\sqrt x }}$

Vì ${\left( {\sqrt x  - 1} \right)^2} + 1 \ge 1 > 0,\,\forall x > 0$ và $\sqrt x  > 0,\,\forall x > 0$ nên $P - 4 > 0 $ hay $ P > 4$ với $x > 0$.

Câu 12 :

Cho biểu thức \(P = \dfrac{{3\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}\)với $x \ge 0$. Tìm $x$ biết $P = \sqrt x $ .

  • A

    $1$

  • B

    $2$

  • C

    $3$

  • D

    $4$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Giải phương trình chứa căn bằng cách quy đồng mẫu số, đưa phương trình về dạng chứa căn cơ bản đã biết

Lời giải chi tiết :

Với $x \ge 0$ ta có $P = \sqrt x  $

$ \dfrac{{3\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} = \sqrt x  $

$ \dfrac{{3\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\sqrt x  + 1}}$

Suy ra $ 3\sqrt x  - 1 = x + \sqrt x  $

$ x - 2\sqrt x  + 1 = 0 $

$ {\left( {\sqrt x  - 1} \right)^2} = 0 $

$ \sqrt x  = 1 $

$ x = 1\,\left( {TM} \right)$

Câu 13 :

Cho $P = \dfrac{2}{{\sqrt x  + 1}}$.

Có bao nhiêu giá trị $x \in \mathbb{Z}$ để $P \in \mathbb{Z}$ ?

  • A

    $1$

  • B

    $2$

  • C

    $0$

  • D

    $4$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng: với $P = \dfrac{a}{b}$ với $a,b \in \mathbb{Z}$ thì $P \in \mathbb{Z}$ khi $ a \vdots b$

Lời giải chi tiết :

Ta có để $P = \dfrac{2}{{\sqrt x  + 1}}$ thì $2 \vdots \left( {\sqrt x  + 1} \right)$
$ \left( {\sqrt x  + 1} \right) \in $Ư$\left( 2 \right) = \left\{ {1; - 1;2; - 2} \right\}$

Mà $\sqrt x  + 1 > 0$ với $x \ge 0$ nên $\sqrt x  + 1 \in \left\{ {1;2} \right\}$

+) $\sqrt x  + 1 = 1 $ hay $ x = 0$ (TM )

+) $\sqrt x  + 1 = 2 $ hay $ x = 1$ (TM )

Vậy có hai giá trị của $x$ thỏa mãn điều kiện.

Câu 14 :

Cho \(A = \dfrac{1}{{\sqrt 3  - 1}} - \sqrt {27}  + \dfrac{3}{{\sqrt 3 }};\)\(B = \dfrac{{5 + \sqrt 5 }}{{\sqrt 5  + 2}} + \dfrac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 5  - 1}} - \dfrac{{3\sqrt 5 }}{{3 + \sqrt 5 }}\). Chọn câu đúng.

  • A

    \(B > A > 0\)

  • B

    \(A < B < 0\)

  • C

    \(A < 0 < B\)

  • D

    \(B < 0 < A\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Tính giá trị \(A\) và \(B\) rồi so sánh.

- Sử dụng \(\sqrt {A.B}  = \sqrt A .\sqrt B \left( {A,B \ge 0} \right);\)\(\dfrac{1}{{\sqrt A  - B}} = \dfrac{{\sqrt A  + B}}{{A - {B^2}}}\,\left( {A \ge 0;A \ne {B^2}} \right)\)

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(A = \dfrac{1}{{\sqrt 3  - 1}} - \sqrt {27}  + \dfrac{3}{{\sqrt 3 }} \)\(= \dfrac{{\sqrt 3  + 1}}{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}} - \sqrt {9.3}  + \dfrac{{\sqrt 3 .\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }}\)

\( = \dfrac{{\sqrt 3  + 1}}{2} - 3\sqrt 3  + \sqrt 3 \)\( = \dfrac{{\sqrt 3  + 1 - 4\sqrt 3 }}{2}\)\( = \dfrac{{1 - 3\sqrt 3 }}{2}\)

Và \(B = \dfrac{{5 + \sqrt 5 }}{{\sqrt 5  + 2}} + \dfrac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 5  - 1}} - \dfrac{{3\sqrt 5 }}{{3 + \sqrt 5 }} \)\(= \dfrac{{\left( {5 + \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 5  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt 5  + 2} \right)\left( {\sqrt 5  - 2} \right)}} + \dfrac{{\sqrt 5 \left( {\sqrt 5  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 5  - 1} \right)\left( {\sqrt 5  + 1} \right)}} - \dfrac{{3\sqrt 5 \left( {3 - \sqrt 5 } \right)}}{{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}}\)

\( = \dfrac{{3\sqrt 5  - 5}}{1} + \dfrac{{5 + \sqrt 5 }}{4} - \dfrac{{9\sqrt 5  - 15}}{4} \)\(= \dfrac{{12\sqrt 5  - 20 + 5 + \sqrt 5  - 9\sqrt 5  + 15}}{4} = \sqrt 5 \)

Ta thấy \(A = \dfrac{{1 - 3\sqrt 3 }}{2} < 0\,\left( {do\,1 - 3\sqrt 3  < 0} \right)\) và \(B = \sqrt 5  > 0\) nên \(A < 0 < B\).

Câu 15 :

Cho \(A = \dfrac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 2}}\) với \(x \ge 0.\) Có bao nhiêu giá trị của \(x\) để \(A\) có giá trị nguyên.

  • A

    \(2\)     

  • B

    \(1\)     

  • C

    \(0\)     

  • D

    \(3\)     

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Ta đánh giá giá trị của \(A\) sau đó chọn ra các giá trị nguyên \(A\) có thể đạt được, từ đó tìm \(x.\)

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(A = \dfrac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 2}} = \dfrac{{\left( {2\sqrt x  + 4} \right) - 5}}{{\sqrt x  + 2}} = \dfrac{{2\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\sqrt x  + 2}} - \dfrac{5}{{\sqrt x  + 2}} = 2 - \dfrac{5}{{\sqrt x  + 2}}\)

Ta có: \(x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x  \ge 0 \) hay \(\sqrt x  + 2 \ge 2 > 0 \Rightarrow \dfrac{5}{{\sqrt x  + 2}} > 0\)

suy ra \(2 - \dfrac{5}{{\sqrt x  + 2}} < 2\) hay \(A < 2\)  (1)

Lại có: \(\sqrt x  + 2 \ge 2 \Rightarrow \dfrac{5}{{\sqrt x  + 2}} \le \dfrac{5}{2}\) suy ra \(2 - \dfrac{5}{{\sqrt x  + 2}} \ge 2 - \dfrac{5}{2} \) hay \( A \ge  - \dfrac{1}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có: \( - \dfrac{1}{2} \le A < 2\) mà \(A \in \mathbb{Z} \Rightarrow A \in \left\{ {0;1} \right\}\)

+ Với \(A = 0 \) hay \( \dfrac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 2}} = 0 \)

\(\Rightarrow 2\sqrt x  - 1 = 0 \\ \sqrt x  = \dfrac{1}{2} \\ x = \dfrac{1}{4}\left( {tm} \right)\)

+ Với \(A = 1 \) hay \(\dfrac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 2}} = 1 \)

\(\Rightarrow 2\sqrt x  - 1 = \sqrt x  + 2 \\ \sqrt x  = 3 \\ x = 9\left( {tm} \right)\)

Vậy với \(x = \dfrac{1}{4};x = 9\) thì \(A\) đạt giá trị nguyên. Hay có 2 giá trị của \(x\) thỏa mãn đề bài.

Câu 16 :

Cho biểu thức $A = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 2}} + \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} + \dfrac{{2 + 5\sqrt x }}{{4 - x}}$ với $x \ge 0;x \ne 4$

Câu 16.1

Tìm $x$ để $A = 2$.

  • A.

    $12$

  • B.

    $4$

  • C.

    $16$

  • D.

    $25$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Sử dụng kết quả câu trước $A = \dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}$ với $x \ge 0;x \ne 4$

- Cho $A=2$ rồi quy đồng mẫu số hoặc nhân chéo để đưa phương trình về dạng cơ bản đã biết

Lời giải chi tiết :

Với $x \ge 0;x \ne 4$ ta có $A = \dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}$

Xét $A = 2$

$  \dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} = 2 \\\Rightarrow 3\sqrt x  = 2\left( {\sqrt x  + 2} \right)\\ \sqrt x  = 4 $

$ x = 16\,\,\left( {TM} \right)$

Vậy $x = 16$.

Câu 16.2

Rút gọn biểu thức $A$ ta được

  • A.

    $A = \dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}$

  • B.

    $A = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}$

  • C.

    $A = \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}$

  • D.

    $A = \dfrac{3}{{\sqrt x  + 2}}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Xác định mẫu thức chung

- Quy đồng mẫu thức các phân thức

- Cộng trừ các phân thức đã quy đồng

Chú ý sử dụng linh hoạt các hằng đẳng thức và các phép biến đổi đơn giản đã biết

Lời giải chi tiết :

Ta có $A = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 2}} + \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} + \dfrac{{2 + 5\sqrt x }}{{4 - x}}$$ = \dfrac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right) + 2\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} - \dfrac{{2 + 5\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}$

$ = \dfrac{{x + 3\sqrt x  + 2 + 2x - 4\sqrt x  - 2 - 5\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}$$ = \dfrac{{3x - 6\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}$$ = \dfrac{{3\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} = \dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}$

Vậy $A = \dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}$ với $x \ge 0;x \ne 4$

Câu 17 :

Cho biểu thức

$B = \left( {\dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{x + 2\sqrt x  + 1}}} \right).\dfrac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}$ với $x \ge 0;x \ne 1$

Câu 17.1

Tìm giá trị lớn nhất của $B$

  • A.

    $1$

  • B.

    $2$

  • C.

    $3$

  • D.

    $\dfrac{1}{4}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Thêm bớt hạng tử để đưa biểu thức về hằng đẳng thức để đánh giá.

Lời giải chi tiết :

Ta có $B = \sqrt x  - x$ với $x \ge 0;x \ne 1$

Khi đó $B = \sqrt x  - x =  - \left( {x - \sqrt x } \right) = \dfrac{1}{4} - \left( {x - \sqrt x  + \dfrac{1}{4}} \right) = \dfrac{1}{4} - {\left( {\sqrt x  - \dfrac{1}{2}} \right)^2}$

Nhận thây $\dfrac{1}{4} - {\left( {\sqrt x  - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \le \dfrac{1}{4}$ với $x \ge 0;x \ne 1$

Dấu “=” xảy ra khi

$\sqrt x  - \dfrac{1}{2} = 0 $

$ \sqrt x  = \dfrac{1}{2} \\x = \dfrac{1}{4}\,\,\left( {TM} \right)$

Vậy giá trị lớn nhất của $B$ là $\dfrac{1}{4}$ khi và chỉ khi $x = \dfrac{1}{4}$.

Câu 17.2

Tìm $x$ để $B > 0$

  • A.

    $x > 1$

  • B.

    $x < 2$

  • C.

    $0 < x < 1$

  • D.

    $x \le 1$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

-Đưa về phương trình tích rồi xét các trường hợp

-So sánh với điều kiện rồi kết luận nghiệm

Lời giải chi tiết :

Theo câu trước ta có  $B = \sqrt x  - x$.

Xét $B > 0$ hay

$\sqrt x  - x > 0 \\ \sqrt x \left( {1 - \sqrt x } \right) > 0$

Với $x \ge 0$, $x \ne 1$ ta có $\sqrt x  \ge 0$ nên

$\sqrt x \left( {1 - \sqrt x } \right) > 0 \\ \left\{ \begin{array}{l}1 - \sqrt x  > 0\\x \ne 0\end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x  < 1\\x \ne 0\end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l}x < 1\\x \ne 0\end{array} \right.$

Kết hợp điều  kiện ta có $0 < x < 1$.

Câu 17.3

Rút gọn biểu thức $B$ ta được 

  • A.

    $B = x - \sqrt x $

  • B.

    $B = \sqrt x  - x$

  • C.

    $B = \sqrt x  + x$

  • D.

    $B = x + 2\sqrt x $

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Xác định mẫu thức chung

- Quy đồng mẫu thức các phân thức

-Cộng trừ các phân thức đã quy đồng

Chú ý sử dụng linh hoạt các hằng đẳng thức và các phép biến đổi đơn giản đã biết

Lời giải chi tiết :

Ta có $B = \left( {\dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{x + 2\sqrt x  + 1}}} \right).\dfrac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}$$ = \left( {\dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}} \right).\dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{2}$

$ = \left( {\dfrac{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right){{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}} - \dfrac{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right){{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}} \right).\dfrac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}{2}$

$ = \dfrac{{x - \sqrt x  - 2 - x - \sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right){{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}.\dfrac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}.{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}{2}$$ = \dfrac{{ - 2\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{2} = \sqrt x  - x$

Vậy $B = \sqrt x  - x$.

Câu 18 :

Cho biểu thức $C = \dfrac{{2\sqrt x  - 9}}{{x - 5\sqrt x  + 6}} - \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}} - \dfrac{{2\sqrt x  + 1}}{{3 - \sqrt x }}$

với $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9$.

Câu 18.1

Tìm $x$ để $C < 1$

  • A.

    $0 \le x < 9$

  • B.

    $0 \le x < 9;x \ne 4$

  • C.

    $4 < x < 9$

  • D.

    $0 < x < 4$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Chuyển vế, quy đồng các phân thức sau đó xét các trường hợp xảy ra của bất phương trình

-So sánh điều kiện rồi kết luận nghiệm.

Lời giải chi tiết :

Theo câu trước ta có $C = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}}$ với $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9$

Để $C < 1$

$\dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}} < 1 \\ \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}} - \dfrac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  - 3}} < 0 \\ \dfrac{4}{{\sqrt x  - 3}} < 0$

Mà $4 > 0$ nên $\sqrt x  - 3 < 0 $ hay $\sqrt x  < 3 \Rightarrow x < 9$

Kết hợp điều kiện $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9$ suy ra $0 \le x < 9;x \ne 4$.

Câu 18.2

Rút gọn biểu thức $C$ ta được

  • A.

    $C = \dfrac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  - 3}}$

  • B.

    $C = \dfrac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 3}}$

  • C.

    $C = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}}$

  • D.

    $C = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 3}}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

-Tìm mẫu thức chung bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử

-Quy đồng mẫu thức các phân thức.

-Cộng trừ các phân thức đã quy đồng và rút gọn.

Lời giải chi tiết :

Ta có $x - 5\sqrt x  + 6 = x - 2\sqrt x  - 3\sqrt x  + 6 = \sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right) - 3\left( {\sqrt x  - 2} \right) = \left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)$ nên

$C = \dfrac{{2\sqrt x  - 9}}{{x - 5\sqrt x  + 6}} - \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}} - \dfrac{{2\sqrt x  + 1}}{{3 - \sqrt x }}$$ = \dfrac{{2\sqrt x  - 9}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}} + \dfrac{{2\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}}$

$ = \dfrac{{2\sqrt x  - 9 - \left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right) + \left( {2\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}$$ = \dfrac{{2\sqrt x  - 9 - x + 9 + 2x - 3\sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}$

$ = \dfrac{{x - \sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} = \dfrac{{x - 2\sqrt x  + \sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right) + \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} = \dfrac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}}$

Vậy $C = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}}$với $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9$

Câu 19 :

Cho biểu thức \(P = \left( {\dfrac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^3}}  - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x  - 1}}} \right):\left( {1 - \dfrac{{x + 4}}{{x + \sqrt x  + 1}}} \right)\)

Câu 19.1

Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên dương.

  • A.

    \(x = 1;x = 36\)

  • B.

    \(x = 16\)

  • C.

    \(x = 4;x = 6\)

  • D.

    \(x = 16; x = 36\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng kết quả câu trước \(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1;x \ne 9\)

Đưa P về dạng \(P = a + \dfrac{m}{{\sqrt x  - 3}}\left( {a;m \in \mathbb{Z}} \right)\), khi đó để \(P\) nhận giá trị là số nguyên dương thì \(\left\{ \begin{array}{l}P \in \mathbb{Z}\\P > 0\end{array} \right. \) hay \( \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{m}{{\sqrt x  - 3}} \in \mathbb{Z}\\a + \dfrac{m}{{\sqrt x  - 3}} > 0\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết :

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\\x \ne 9\end{array} \right.\)

Ta có: \(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} = \dfrac{{\sqrt x  - 3 + 3}}{{\sqrt x  - 3}} = 1 + \dfrac{3}{{\sqrt x  - 3}}.\)

Để \(P\) nhận giá trị là số nguyên dương thì \(\left\{ \begin{array}{l}P \in \mathbb{Z}\\P > 0\end{array} \right. \) hay \( \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{{\sqrt x  - 3}} \in \mathbb{Z}\\1 + \dfrac{3}{{\sqrt x  - 3}} > 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{{\sqrt x  - 3}} \in Z\\\dfrac{3}{{\sqrt x  - 3}} >  - 1\end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{{\sqrt x  - 3}} \in Z\\\dfrac{{3 + \sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  - 3}} > 0\end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l}\left( {\sqrt x  - 3} \right) \in Ư\left( 3 \right)(1)\\\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} > 0\,(2)\end{array} \right.\end{array}\)

Từ (1) suy ra

\( \begin{array}{l}\left( {\sqrt x  - 3} \right) \in \left\{ {1;\,\,3} \right\}\\  \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  - 3 = 1\\\sqrt x  - 3 = 3\end{array} \right. \\\left[ \begin{array}{l}\sqrt x  = 4\\\sqrt x  = 6\end{array} \right. \\ \left[ \begin{array}{l}x = 16\,\,\left( {tm} \right)\\x = 36\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Nhận thấy với \(x=16;x=36\) vẫn thỏa mãn (2).

Nên \(x = 16\) hoặc \(x = 36\) thì P nguyên dương.

Câu 19.2

Rút gọn P.

  • A.

    \(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}}\)

  • B.

    \(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}}\)

  • C.

    \(P = \dfrac{{3 + \sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}}\)

  • D.

    \(P = \dfrac{{ - \sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}}\)  

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Tìm mẫu thức chung bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử.

- Quy đồng mẫu thức các phân thức.

- Cộng trừ các phân thức đã quy đồng và rút gọn.

Lời giải chi tiết :

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}P = \left( {\dfrac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^3}}  - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x  - 1}}} \right):\left( {1 - \dfrac{{x + 4}}{{x + \sqrt x  + 1}}} \right)\\ = \left( {\dfrac{{2x + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}} - \dfrac{1}{{\sqrt x  - 1}}} \right):\left( {\dfrac{{x + \sqrt x  + 1 - x - 4}}{{x + \sqrt x  + 1}}} \right)\\ = \dfrac{{2x + 1 - x - \sqrt x  - 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}:\dfrac{{\sqrt x  - 3}}{{x + \sqrt x  + 1}}\\ = \dfrac{{x - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}.\dfrac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}}\,\,\,\,\left( {x \ne 9} \right)\\ = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}}.\end{array}\)    

Vậy \(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1;x \ne 9\)

Câu 20 :

Tính giá trị của \(A =\dfrac{1}{{2\sqrt 1  + 1\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2  + 2\sqrt 3 }} + ... + \dfrac{1}{{2018\sqrt {2017}  + 2017\sqrt {2018} }}\)

  • A

    \(A=1-\dfrac{2}{\sqrt{2018}}\)

  • B

    \(A=1-\dfrac{1}{\sqrt{2028}}\)

  • C

    \(A=1-\dfrac{1}{\sqrt{2015}}\)

  • D

    \(A=1-\dfrac{1}{\sqrt{2018}}\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng: \(\dfrac{1}{{k\sqrt {k - 1}  + \left( {k - 1} \right)\sqrt k }} \)\(= \dfrac{1}{{\sqrt {k - 1} }} - \dfrac{1}{{\sqrt k }}\)

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(k\sqrt {k - 1}  + \left( {k - 1} \right)\sqrt k \, = \sqrt {k\left( {k - 1} \right)} \left( {\sqrt k  + \sqrt {k - 1} } \right)\) với \(k \ge 1\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{{k\sqrt {k - 1}  + \left( {k - 1} \right)\sqrt k }} \\= \dfrac{1}{{\sqrt {k\left( {k - 1} \right)} \left( {\sqrt k  + \sqrt {k - 1} } \right)}} \\= \dfrac{{\left( {\sqrt k  - \sqrt {k - 1} } \right)}}{{\sqrt {k\left( {k - 1} \right)} \left( {\sqrt k  + \sqrt {k - 1} } \right)\left( {\sqrt k  - \sqrt {k - 1} } \right)}}\\ = \dfrac{{\sqrt k  - \sqrt {k - 1} }}{{\sqrt {k\left( {k - 1} \right)} }} \\= \dfrac{{\sqrt k  - \sqrt {k - 1} }}{{\sqrt k .\sqrt {k - 1} }} \\= \dfrac{1}{{\sqrt {k - 1} }} - \dfrac{1}{{\sqrt k }}\end{array}\)  

Thay lại vào A ta được:

\(A = \dfrac{1}{{2\sqrt 1  + 1\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2  + 2\sqrt 3 }}\)\( + ... + \dfrac{1}{{2018\sqrt {2017}  + 2017\sqrt {2018} }}\)\(= \,\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 1 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) \)\(+ ..... + \left( {\dfrac{1}{{\sqrt {2017} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {2018} }}} \right)\)\(= 1 - \dfrac{1}{{\sqrt {2018} }}\)

Câu 21 :

Rút gọn biểu thức: \(T = \dfrac{{\left( {\sqrt {2a}  - 2\sqrt 2 } \right)\left( {a - 1} \right)}}{{a - \sqrt a  - 2}}\left( {a > 0;a \ne 4} \right)\)

  • A
    \(T = \left( {\sqrt a  + 1} \right)\).
  • B
    \(T = \left( {\sqrt a  - 1} \right)\).
  • C
    \(T = \sqrt 2 \left( {\sqrt a  + 1} \right)\).
  • D
    \(T = \sqrt 2 \left( {\sqrt a  - 1} \right)\).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi rút gọn.

Lời giải chi tiết :

\(\begin{array}{l}T = \dfrac{{\left( {\sqrt {2a}  - 2\sqrt 2 } \right)\left( {a - 1} \right)}}{{a - \sqrt a  - 2}}\,\,\,\,\left( {a > 0;a \ne 4} \right)\\ = \dfrac{{\sqrt 2 \left( {\sqrt a  - 2} \right)\left( {\sqrt a  - 1} \right)\left( {\sqrt a  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a  - 2} \right)\left( {\sqrt a  + 1} \right)}}\\ = \sqrt 2 \left( {\sqrt a  - 1} \right)\end{array}\)

Vậy \(T = \sqrt 2 \left( {\sqrt a  - 1} \right)\).

close