Trắc nghiệm Bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn Toán 9Đề bài
Câu 1 :
Giá trị của biểu thức \(\sqrt {{{\left( {4 - \sqrt 5 } \right)}^2}} - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } \) là:
Câu 2 :
Giá trị của biểu thức \(\sqrt {32} + \sqrt {50} - 3\sqrt 8 - \sqrt {18} \) là
Câu 3 :
Rút gọn biểu thức \(5\sqrt a + 2\sqrt {\dfrac{a}{4}} - a\sqrt {\dfrac{4}{a}} - \sqrt {25a} \) với \(a > 0\) ta được
Câu 4 :
Giá trị biểu thức \(\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)\sqrt {7 - 2\sqrt {10} } \) là
Câu 5 :
Rút gọn biểu thức \(2\sqrt a - \sqrt {9{a^3}} + {a^2}\sqrt {\dfrac{{16}}{a}} + \dfrac{2}{{{a^2}}}\sqrt {36{a^5}} \) với $a > 0$ ta được
Câu 6 :
Đẳng thức nào dưới đây là đúng?
Câu 7 :
Chọn khẳng định đúng?
Câu 8 :
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{2x}}{{\sqrt x + 1}}\). Giá trị của $P$ khi $x = 9$ là
Câu 9 :
Cho biểu thức \(P = \dfrac{x}{{\sqrt x + 1}}\). Giá trị của $P$ khi $x = \dfrac{2}{{2 - \sqrt 3 }}$ là
Câu 10 :
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}}\). Giá trị của $P$ khi $x = 3 + 2\sqrt 2 $ là:
Câu 11 :
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{x + 2\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}\)với $x > 0$. So sánh $P$ với $4$.
Câu 12 :
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{3\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\)với $x \ge 0$. Tìm $x$ biết $P = \sqrt x $ .
Câu 13 :
Cho $P = \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}}$. Có bao nhiêu giá trị $x \in \mathbb{Z}$ để $P \in \mathbb{Z}$ ?
Câu 14 :
Cho \(A = \dfrac{1}{{\sqrt 3 - 1}} - \sqrt {27} + \dfrac{3}{{\sqrt 3 }};\)\(B = \dfrac{{5 + \sqrt 5 }}{{\sqrt 5 + 2}} + \dfrac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 - 1}} - \dfrac{{3\sqrt 5 }}{{3 + \sqrt 5 }}\). Chọn câu đúng.
Câu 15 :
Cho \(A = \dfrac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}}\) với \(x \ge 0.\) Có bao nhiêu giá trị của \(x\) để \(A\) có giá trị nguyên.
Câu 16 :
Cho biểu thức $A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{2 + 5\sqrt x }}{{4 - x}}$ với $x \ge 0;x \ne 4$ Câu 16.1
Tìm $x$ để $A = 2$.
Câu 16.2
Rút gọn biểu thức $A$ ta được
Câu 17 :
Cho biểu thức $B = \left( {\dfrac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right).\dfrac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}$ với $x \ge 0;x \ne 1$ Câu 17.1
Tìm giá trị lớn nhất của $B$
Câu 17.2
Tìm $x$ để $B > 0$
Câu 17.3
Rút gọn biểu thức $B$ ta được
Câu 18 :
Cho biểu thức $C = \dfrac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} - \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{3 - \sqrt x }}$ với $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9$. Câu 18.1
Tìm $x$ để $C < 1$
Câu 18.2
Rút gọn biểu thức $C$ ta được
Câu 19 :
Cho biểu thức \(P = \left( {\dfrac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^3}} - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\left( {1 - \dfrac{{x + 4}}{{x + \sqrt x + 1}}} \right)\) Câu 19.1
Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên dương.
Câu 19.2
Rút gọn P.
Câu 20 :
Tính giá trị của \(A =\dfrac{1}{{2\sqrt 1 + 1\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + ... + \dfrac{1}{{2018\sqrt {2017} + 2017\sqrt {2018} }}\)
Câu 21 :
Rút gọn biểu thức: \(T = \dfrac{{\left( {\sqrt {2a} - 2\sqrt 2 } \right)\left( {a - 1} \right)}}{{a - \sqrt a - 2}}\left( {a > 0;a \ne 4} \right)\)
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Giá trị của biểu thức \(\sqrt {{{\left( {4 - \sqrt 5 } \right)}^2}} - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } \) là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
-Đưa biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức \({a^2} + 2ab + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2};{a^2} - 2ab + {b^2} = {\left( {a - b} \right)^2}\) -Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.\) -Cộng trừ các căn thức bậc hai. Lời giải chi tiết :
\(\sqrt {{{\left( {4 - \sqrt 5 } \right)}^2}} - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } \)\( = \sqrt {{{\left( {4 - \sqrt 5 } \right)}^2}} - \sqrt {5 - 2\sqrt 5 + 1} = \sqrt {{{\left( {4 - \sqrt 5 } \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} \) \(= \left| {4 - \sqrt 5 } \right| - \left| {\sqrt 5 - 1} \right| \) \(= 4 - \sqrt 5 - \sqrt 5 + 1 =5-2\sqrt 5 \)
Câu 2 :
Giá trị của biểu thức \(\sqrt {32} + \sqrt {50} - 3\sqrt 8 - \sqrt {18} \) là
Đáp án : B Phương pháp giải :
-Sử dụng công thức khai phương một tích \(\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B ,\,\,\left( {A,B \ge 0} \right)\) đưa biểu thức về các căn thức cùng loại (cùng biểu thức dưới dấu căn). -Cộng trừ các căn thức Lời giải chi tiết :
\(\sqrt {32} + \sqrt {50} - 3\sqrt 8 - \sqrt {18} \)\( = \sqrt {16.2} + \sqrt {25.2} - 3\sqrt {4.2} - \sqrt {9.2} \) \(= 4\sqrt 2 + 5\sqrt 2 - 6\sqrt 2 - 3\sqrt 2 = 0\)
Câu 3 :
Rút gọn biểu thức \(5\sqrt a + 2\sqrt {\dfrac{a}{4}} - a\sqrt {\dfrac{4}{a}} - \sqrt {25a} \) với \(a > 0\) ta được
Đáp án : D Phương pháp giải :
-Khử mẫu biểu thức lấy căn theo công thức \(\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{B}\,\left( {A \ge 0,B > 0} \right)\) -Sử dụng công thức khai phương một thương \(\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\) với \(A \ge 0,B > 0\) và công thức khai phương một tích \(\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B ,\,\,\left( {A,B \ge 0} \right)\) -Cộng trừ các căn thức bậc hai. Lời giải chi tiết :
\(5\sqrt a + 2\sqrt {\dfrac{a}{4}} - a\sqrt {\dfrac{4}{a}} - \sqrt {25a} \)\( = 5\sqrt a + 2.\dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt 4 }} - a\dfrac{{\sqrt {4a} }}{a} - 5\sqrt a \)\( = 5\sqrt a + \sqrt a - 2\sqrt a - 5\sqrt a \) \( = - \sqrt a \)
Câu 4 :
Giá trị biểu thức \(\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)\sqrt {7 - 2\sqrt {10} } \) là
Đáp án : D Phương pháp giải :
-Đưa biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức \({a^2} + 2ab + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2};{a^2} - 2ab + {b^2} = {\left( {a - b} \right)^2}\) -Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.\) Lời giải chi tiết :
\(\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)\sqrt {7 - 2\sqrt {10} } \) \(=\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)\sqrt {5 - 2\sqrt 5 .\sqrt 2 + 2} = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - \sqrt 2 } \right)}^2}} = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)\left| {\sqrt 5 - \sqrt 2 } \right|\) \( = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 5 - \sqrt 2 } \right) = 5 - 2 = 3\)
Câu 5 :
Rút gọn biểu thức \(2\sqrt a - \sqrt {9{a^3}} + {a^2}\sqrt {\dfrac{{16}}{a}} + \dfrac{2}{{{a^2}}}\sqrt {36{a^5}} \) với $a > 0$ ta được
Đáp án : A Phương pháp giải :
-Sử dụng công thức khai phương một thương \(\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\) với \(A \ge 0,B > 0\) và công thức khai phương một tích \(\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B ,\,\,\left( {A,B \ge 0} \right)\) -Khử mẫu biểu thức lấy căn theo công thức \(\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{B}\,\left( {A \ge 0,B > 0} \right)\) -Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\) -Cộng trừ các căn thức bậc hai. Lời giải chi tiết :
Với $a>0$ ta có \(2\sqrt a - \sqrt {9{a^3}} + {a^2}\sqrt {\dfrac{{16}}{a}} + \dfrac{2}{{{a^2}}}\sqrt {36{a^5}} \)$ = 2\sqrt a - \sqrt {9{a^2}.a} + {a^2}\dfrac{{\sqrt {16a} }}{a} + \dfrac{2}{{{a^2}}}.\sqrt {36{a^4}.a} $ $ = 2\sqrt a - 3a\sqrt a + 4a\sqrt a + \dfrac{2}{{{a^2}}}.6{a^2}\sqrt a $$ = 2\sqrt a - 3a\sqrt a + 4a\sqrt a + 12\sqrt a = 14\sqrt a + a\sqrt a $
Câu 6 :
Đẳng thức nào dưới đây là đúng?
Đáp án : B Phương pháp giải :
-Sử dụng công thức khai phương một thương \(\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\) với \(A \ge 0,B > 0\) -Đưa biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức \({a^2} - 2ab + {b^2} = {\left( {a - b} \right)^2}\) -Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\) Lời giải chi tiết :
Ta có $\dfrac{{a - b}}{{{b^2}}}\sqrt {\dfrac{{{a^2}{b^4}}}{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}} = \dfrac{{a - b}}{{{b^2}}}.\dfrac{{\sqrt {{a^2}{b^4}} }}{{\sqrt {{{\left( {a - b} \right)}^2}} }} = \dfrac{{\left( {a - b} \right)}}{{{b^2}}}.\dfrac{{\left| a \right|{b^2}}}{{\left| {a - b} \right|}} = \dfrac{{\left( {a - b} \right)}}{{{b^2}}}.\dfrac{{\left| a \right|{b^2}}}{{\left( {a - b} \right)}} = \left| a \right|$
Câu 7 :
Chọn khẳng định đúng?
Đáp án : B Phương pháp giải :
- Sử dụng đưa thừa số ra ngoài dấu căn theo công thức $\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|.B\,\,\left( {B \ge 0} \right)$, công thức khai phương một tích $\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B \,\,\,\left( {A \ge 0,B \ge 0} \right)$ và nhóm nhân tử chung để có thể rút gọn phân số trước khi quy đồng. -Quy đồng mẫu số và cộng trừ các căn thức Lời giải chi tiết :
Ta có $\left( {\dfrac{{2\sqrt 3 - \sqrt 6 }}{{\sqrt 8 - 2}} - \dfrac{{\sqrt {216} }}{3}} \right).\left( {\dfrac{{ - a}}{{\sqrt 6 }}} \right)$ $ = \left( {\dfrac{{2\sqrt 3 - \sqrt 2 .\sqrt 3 }}{{\sqrt {4.2} - 2}} - \dfrac{{\sqrt {36.6} }}{3}} \right).\left( {\dfrac{{ - a}}{{\sqrt 6 }}} \right)$ $ = \left[ {\dfrac{{\sqrt 3 \left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{{2\sqrt 2 - 2}} - \dfrac{{6\sqrt 6 }}{3}} \right].\left( { - \dfrac{a}{{\sqrt 6 }}} \right)$ $ = \left[ {\dfrac{{\sqrt 6 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{{2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}} - 2\sqrt 6 } \right].\left( { - \dfrac{a}{{\sqrt 6 }}} \right)$ $ = \left( {\dfrac{{\sqrt 6 }}{2} - 2\sqrt 6 } \right).\left( {\dfrac{{ - a}}{{\sqrt 6 }}} \right) $ $= \left( { - \dfrac{{3\sqrt 6 }}{2}} \right).\left( {\dfrac{{ - a}}{{\sqrt 6 }}} \right)$ $= \dfrac{{3a}}{2}$
Câu 8 :
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{2x}}{{\sqrt x + 1}}\). Giá trị của $P$ khi $x = 9$ là
Đáp án : A Phương pháp giải :
-Thay giá trị của biến (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức và thực hiện phép tính Lời giải chi tiết :
Ta có $P = \dfrac{{2.9}}{{\sqrt 9 + 1}}$= $\dfrac{{18}}{3+1}$$= \dfrac{{18}}{4} = \dfrac{9}{2}.$
Câu 9 :
Cho biểu thức \(P = \dfrac{x}{{\sqrt x + 1}}\). Giá trị của $P$ khi $x = \dfrac{2}{{2 - \sqrt 3 }}$ là
Đáp án : B Phương pháp giải :
-Sử dụng các phép biến đổi như trục căn thức ở mẫu và đưa về hằng đẳng thức để rút gọn biến số trước khi thay vào biểu thức -Thay giá trị của biến (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức và thực hiện phép tính Lời giải chi tiết :
Ta có $x = \dfrac{2}{{2 - \sqrt 3 }} = \dfrac{{2\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}} = \dfrac{{4 + 2\sqrt 3 }}{{4 - 3}} = 4 + 2\sqrt 3 = {\left( {\sqrt 3 + 1} \right)^2}$.$ \Rightarrow \sqrt x = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}} = \sqrt 3 + 1$ Khi đó ta có $P = \dfrac{{4 + 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 + 1 + 1}} = \dfrac{{4 + 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 + 2}} = \dfrac{{2\left( {\sqrt 3 + 2} \right)}}{{\sqrt 3 + 2}} = 2$.
Câu 10 :
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}}\). Giá trị của $P$ khi $x = 3 + 2\sqrt 2 $ là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
- Sử dụng hằng đẳng thức ${a^2} + 2ab + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2};\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ để rút gọn biến số trước khi thay vào biểu thức. - Thay giá trị của biến (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức và thực hiện phép tính. Lời giải chi tiết :
Ta có $x = 3 + 2\sqrt 2 $$ = {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^2}$ $\Rightarrow \sqrt x = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^2}} = \sqrt 2 + 1$ Thay $\sqrt x = \sqrt 2 + 1$ vào biểu thức $P$ ta được $P = \dfrac{{\sqrt 2 + 1 + 1}}{{\sqrt 2 + 1 - 2}} = \dfrac{{\sqrt 2 + 2}}{{\sqrt 2 - 1}}$ $ = \dfrac{{\left( {\sqrt 2 + 2} \right)\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}} $ $= 4 + 3\sqrt 2 $
Câu 11 :
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{x + 2\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}\)với $x > 0$. So sánh $P$ với $4$.
Đáp án : A Phương pháp giải :
- Muốn so sánh hai biểu thức $A$ và $B$ ta so sánh hiệu $A - B$ với số $0$. Nếu $A - B > 0 $ thì $ A > B$, nếu $A - B < 0 $ thì $ A < B$ -Khi so sánh với số $0$ ta thường đưa về hằng đẳng thức để so sánh. Lời giải chi tiết :
Ta xét $P - 4 = \dfrac{{x + 2\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }} - 4 = \dfrac{{x + 2\sqrt x + 2 - 4\sqrt x }}{{\sqrt x }} = \dfrac{{x - 2\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}$$ = \dfrac{{\left( {x - 2\sqrt x + 1} \right) + 1}}{{\sqrt x }} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2} + 1}}{{\sqrt x }}$ Vì ${\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} + 1 \ge 1 > 0,\,\forall x > 0$ và $\sqrt x > 0,\,\forall x > 0$ nên $P - 4 > 0 $ hay $ P > 4$ với $x > 0$.
Câu 12 :
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{3\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\)với $x \ge 0$. Tìm $x$ biết $P = \sqrt x $ .
Đáp án : A Phương pháp giải :
Giải phương trình chứa căn bằng cách quy đồng mẫu số, đưa phương trình về dạng chứa căn cơ bản đã biết Lời giải chi tiết :
Với $x \ge 0$ ta có $P = \sqrt x $ $ \dfrac{{3\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} = \sqrt x $ $ \dfrac{{3\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x + 1}}$ Suy ra $ 3\sqrt x - 1 = x + \sqrt x $ $ x - 2\sqrt x + 1 = 0 $ $ {\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} = 0 $ $ \sqrt x = 1 $ $ x = 1\,\left( {TM} \right)$
Câu 13 :
Cho $P = \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}}$. Có bao nhiêu giá trị $x \in \mathbb{Z}$ để $P \in \mathbb{Z}$ ?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng: với $P = \dfrac{a}{b}$ với $a,b \in \mathbb{Z}$ thì $P \in \mathbb{Z}$ khi $ a \vdots b$ Lời giải chi tiết :
Ta có để $P = \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}}$ thì $2 \vdots \left( {\sqrt x + 1} \right)$ Mà $\sqrt x + 1 > 0$ với $x \ge 0$ nên $\sqrt x + 1 \in \left\{ {1;2} \right\}$ +) $\sqrt x + 1 = 1 $ hay $ x = 0$ (TM ) +) $\sqrt x + 1 = 2 $ hay $ x = 1$ (TM ) Vậy có hai giá trị của $x$ thỏa mãn điều kiện.
Câu 14 :
Cho \(A = \dfrac{1}{{\sqrt 3 - 1}} - \sqrt {27} + \dfrac{3}{{\sqrt 3 }};\)\(B = \dfrac{{5 + \sqrt 5 }}{{\sqrt 5 + 2}} + \dfrac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 - 1}} - \dfrac{{3\sqrt 5 }}{{3 + \sqrt 5 }}\). Chọn câu đúng.
Đáp án : C Phương pháp giải :
- Tính giá trị \(A\) và \(B\) rồi so sánh. - Sử dụng \(\sqrt {A.B} = \sqrt A .\sqrt B \left( {A,B \ge 0} \right);\)\(\dfrac{1}{{\sqrt A - B}} = \dfrac{{\sqrt A + B}}{{A - {B^2}}}\,\left( {A \ge 0;A \ne {B^2}} \right)\) Lời giải chi tiết :
Ta có: \(A = \dfrac{1}{{\sqrt 3 - 1}} - \sqrt {27} + \dfrac{3}{{\sqrt 3 }} \)\(= \dfrac{{\sqrt 3 + 1}}{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}} - \sqrt {9.3} + \dfrac{{\sqrt 3 .\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }}\) \( = \dfrac{{\sqrt 3 + 1}}{2} - 3\sqrt 3 + \sqrt 3 \)\( = \dfrac{{\sqrt 3 + 1 - 4\sqrt 3 }}{2}\)\( = \dfrac{{1 - 3\sqrt 3 }}{2}\) Và \(B = \dfrac{{5 + \sqrt 5 }}{{\sqrt 5 + 2}} + \dfrac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 - 1}} - \dfrac{{3\sqrt 5 }}{{3 + \sqrt 5 }} \)\(= \dfrac{{\left( {5 + \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt 5 + 2} \right)\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}} + \dfrac{{\sqrt 5 \left( {\sqrt 5 + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}} - \dfrac{{3\sqrt 5 \left( {3 - \sqrt 5 } \right)}}{{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}}\) \( = \dfrac{{3\sqrt 5 - 5}}{1} + \dfrac{{5 + \sqrt 5 }}{4} - \dfrac{{9\sqrt 5 - 15}}{4} \)\(= \dfrac{{12\sqrt 5 - 20 + 5 + \sqrt 5 - 9\sqrt 5 + 15}}{4} = \sqrt 5 \) Ta thấy \(A = \dfrac{{1 - 3\sqrt 3 }}{2} < 0\,\left( {do\,1 - 3\sqrt 3 < 0} \right)\) và \(B = \sqrt 5 > 0\) nên \(A < 0 < B\).
Câu 15 :
Cho \(A = \dfrac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}}\) với \(x \ge 0.\) Có bao nhiêu giá trị của \(x\) để \(A\) có giá trị nguyên.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Ta đánh giá giá trị của \(A\) sau đó chọn ra các giá trị nguyên \(A\) có thể đạt được, từ đó tìm \(x.\) Lời giải chi tiết :
Ta có: \(A = \dfrac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} = \dfrac{{\left( {2\sqrt x + 4} \right) - 5}}{{\sqrt x + 2}} = \dfrac{{2\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{5}{{\sqrt x + 2}} = 2 - \dfrac{5}{{\sqrt x + 2}}\) Ta có: \(x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x \ge 0 \) hay \(\sqrt x + 2 \ge 2 > 0 \Rightarrow \dfrac{5}{{\sqrt x + 2}} > 0\) suy ra \(2 - \dfrac{5}{{\sqrt x + 2}} < 2\) hay \(A < 2\) (1) Lại có: \(\sqrt x + 2 \ge 2 \Rightarrow \dfrac{5}{{\sqrt x + 2}} \le \dfrac{5}{2}\) suy ra \(2 - \dfrac{5}{{\sqrt x + 2}} \ge 2 - \dfrac{5}{2} \) hay \( A \ge - \dfrac{1}{2}\) (2) Từ (1) và (2) ta có: \( - \dfrac{1}{2} \le A < 2\) mà \(A \in \mathbb{Z} \Rightarrow A \in \left\{ {0;1} \right\}\) + Với \(A = 0 \) hay \( \dfrac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} = 0 \) \(\Rightarrow 2\sqrt x - 1 = 0 \\ \sqrt x = \dfrac{1}{2} \\ x = \dfrac{1}{4}\left( {tm} \right)\) + Với \(A = 1 \) hay \(\dfrac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} = 1 \) \(\Rightarrow 2\sqrt x - 1 = \sqrt x + 2 \\ \sqrt x = 3 \\ x = 9\left( {tm} \right)\) Vậy với \(x = \dfrac{1}{4};x = 9\) thì \(A\) đạt giá trị nguyên. Hay có 2 giá trị của \(x\) thỏa mãn đề bài.
Câu 16 :
Cho biểu thức $A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{2 + 5\sqrt x }}{{4 - x}}$ với $x \ge 0;x \ne 4$ Câu 16.1
Tìm $x$ để $A = 2$.
Đáp án : C Phương pháp giải :
- Sử dụng kết quả câu trước $A = \dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$ với $x \ge 0;x \ne 4$ - Cho $A=2$ rồi quy đồng mẫu số hoặc nhân chéo để đưa phương trình về dạng cơ bản đã biết Lời giải chi tiết :
Với $x \ge 0;x \ne 4$ ta có $A = \dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$ Xét $A = 2$ $ \dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = 2 \\\Rightarrow 3\sqrt x = 2\left( {\sqrt x + 2} \right)\\ \sqrt x = 4 $ $ x = 16\,\,\left( {TM} \right)$ Vậy $x = 16$. Câu 16.2
Rút gọn biểu thức $A$ ta được
Đáp án : A Phương pháp giải :
- Xác định mẫu thức chung - Quy đồng mẫu thức các phân thức - Cộng trừ các phân thức đã quy đồng Chú ý sử dụng linh hoạt các hằng đẳng thức và các phép biến đổi đơn giản đã biết Lời giải chi tiết :
Ta có $A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{2 + 5\sqrt x }}{{4 - x}}$$ = \dfrac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right) + 2\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \dfrac{{2 + 5\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}$ $ = \dfrac{{x + 3\sqrt x + 2 + 2x - 4\sqrt x - 2 - 5\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}$$ = \dfrac{{3x - 6\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}$$ = \dfrac{{3\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$ Vậy $A = \dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$ với $x \ge 0;x \ne 4$
Câu 17 :
Cho biểu thức $B = \left( {\dfrac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right).\dfrac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}$ với $x \ge 0;x \ne 1$ Câu 17.1
Tìm giá trị lớn nhất của $B$
Đáp án : D Phương pháp giải :
Thêm bớt hạng tử để đưa biểu thức về hằng đẳng thức để đánh giá. Lời giải chi tiết :
Ta có $B = \sqrt x - x$ với $x \ge 0;x \ne 1$ Khi đó $B = \sqrt x - x = - \left( {x - \sqrt x } \right) = \dfrac{1}{4} - \left( {x - \sqrt x + \dfrac{1}{4}} \right) = \dfrac{1}{4} - {\left( {\sqrt x - \dfrac{1}{2}} \right)^2}$ Nhận thây $\dfrac{1}{4} - {\left( {\sqrt x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \le \dfrac{1}{4}$ với $x \ge 0;x \ne 1$ Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt x - \dfrac{1}{2} = 0 $ $ \sqrt x = \dfrac{1}{2} \\x = \dfrac{1}{4}\,\,\left( {TM} \right)$ Vậy giá trị lớn nhất của $B$ là $\dfrac{1}{4}$ khi và chỉ khi $x = \dfrac{1}{4}$. Câu 17.2
Tìm $x$ để $B > 0$
Đáp án : C Phương pháp giải :
-Đưa về phương trình tích rồi xét các trường hợp -So sánh với điều kiện rồi kết luận nghiệm Lời giải chi tiết :
Theo câu trước ta có $B = \sqrt x - x$. Xét $B > 0$ hay $\sqrt x - x > 0 \\ \sqrt x \left( {1 - \sqrt x } \right) > 0$ Với $x \ge 0$, $x \ne 1$ ta có $\sqrt x \ge 0$ nên $\sqrt x \left( {1 - \sqrt x } \right) > 0 \\ \left\{ \begin{array}{l}1 - \sqrt x > 0\\x \ne 0\end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x < 1\\x \ne 0\end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l}x < 1\\x \ne 0\end{array} \right.$ Kết hợp điều kiện ta có $0 < x < 1$. Câu 17.3
Rút gọn biểu thức $B$ ta được
Đáp án : B Phương pháp giải :
- Xác định mẫu thức chung - Quy đồng mẫu thức các phân thức -Cộng trừ các phân thức đã quy đồng Chú ý sử dụng linh hoạt các hằng đẳng thức và các phép biến đổi đơn giản đã biết Lời giải chi tiết :
Ta có $B = \left( {\dfrac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right).\dfrac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}$$ = \left( {\dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}} \right).\dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{2}$ $ = \left( {\dfrac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}} - \dfrac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}} \right).\dfrac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{2}$ $ = \dfrac{{x - \sqrt x - 2 - x - \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}.\dfrac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}.{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{2}$$ = \dfrac{{ - 2\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{2} = \sqrt x - x$ Vậy $B = \sqrt x - x$.
Câu 18 :
Cho biểu thức $C = \dfrac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} - \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{3 - \sqrt x }}$ với $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9$. Câu 18.1
Tìm $x$ để $C < 1$
Đáp án : B Phương pháp giải :
- Chuyển vế, quy đồng các phân thức sau đó xét các trường hợp xảy ra của bất phương trình -So sánh điều kiện rồi kết luận nghiệm. Lời giải chi tiết :
Theo câu trước ta có $C = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}$ với $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9$ Để $C < 1$ $\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} < 1 \\ \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} - \dfrac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 3}} < 0 \\ \dfrac{4}{{\sqrt x - 3}} < 0$ Mà $4 > 0$ nên $\sqrt x - 3 < 0 $ hay $\sqrt x < 3 \Rightarrow x < 9$ Kết hợp điều kiện $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9$ suy ra $0 \le x < 9;x \ne 4$. Câu 18.2
Rút gọn biểu thức $C$ ta được
Đáp án : C Phương pháp giải :
-Tìm mẫu thức chung bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử -Quy đồng mẫu thức các phân thức. -Cộng trừ các phân thức đã quy đồng và rút gọn. Lời giải chi tiết :
Ta có $x - 5\sqrt x + 6 = x - 2\sqrt x - 3\sqrt x + 6 = \sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right) - 3\left( {\sqrt x - 2} \right) = \left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)$ nên $C = \dfrac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} - \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{3 - \sqrt x }}$$ = \dfrac{{2\sqrt x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}$ $ = \dfrac{{2\sqrt x - 9 - \left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right) + \left( {2\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$$ = \dfrac{{2\sqrt x - 9 - x + 9 + 2x - 3\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$ $ = \dfrac{{x - \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \dfrac{{x - 2\sqrt x + \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right) + \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \dfrac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}$ Vậy $C = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}$với $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9$
Câu 19 :
Cho biểu thức \(P = \left( {\dfrac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^3}} - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\left( {1 - \dfrac{{x + 4}}{{x + \sqrt x + 1}}} \right)\) Câu 19.1
Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên dương.
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng kết quả câu trước \(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1;x \ne 9\) Đưa P về dạng \(P = a + \dfrac{m}{{\sqrt x - 3}}\left( {a;m \in \mathbb{Z}} \right)\), khi đó để \(P\) nhận giá trị là số nguyên dương thì \(\left\{ \begin{array}{l}P \in \mathbb{Z}\\P > 0\end{array} \right. \) hay \( \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{m}{{\sqrt x - 3}} \in \mathbb{Z}\\a + \dfrac{m}{{\sqrt x - 3}} > 0\end{array} \right.\) Lời giải chi tiết :
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\\x \ne 9\end{array} \right.\) Ta có: \(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} = \dfrac{{\sqrt x - 3 + 3}}{{\sqrt x - 3}} = 1 + \dfrac{3}{{\sqrt x - 3}}.\) Để \(P\) nhận giá trị là số nguyên dương thì \(\left\{ \begin{array}{l}P \in \mathbb{Z}\\P > 0\end{array} \right. \) hay \( \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{{\sqrt x - 3}} \in \mathbb{Z}\\1 + \dfrac{3}{{\sqrt x - 3}} > 0\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{{\sqrt x - 3}} \in Z\\\dfrac{3}{{\sqrt x - 3}} > - 1\end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{{\sqrt x - 3}} \in Z\\\dfrac{{3 + \sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 3}} > 0\end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l}\left( {\sqrt x - 3} \right) \in Ư\left( 3 \right)(1)\\\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} > 0\,(2)\end{array} \right.\end{array}\) Từ (1) suy ra \( \begin{array}{l}\left( {\sqrt x - 3} \right) \in \left\{ {1;\,\,3} \right\}\\ \left[ \begin{array}{l}\sqrt x - 3 = 1\\\sqrt x - 3 = 3\end{array} \right. \\\left[ \begin{array}{l}\sqrt x = 4\\\sqrt x = 6\end{array} \right. \\ \left[ \begin{array}{l}x = 16\,\,\left( {tm} \right)\\x = 36\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\) Nhận thấy với \(x=16;x=36\) vẫn thỏa mãn (2). Nên \(x = 16\) hoặc \(x = 36\) thì P nguyên dương. Câu 19.2
Rút gọn P.
Đáp án : A Phương pháp giải :
- Tìm mẫu thức chung bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử. - Quy đồng mẫu thức các phân thức. - Cộng trừ các phân thức đã quy đồng và rút gọn. Lời giải chi tiết :
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l}P = \left( {\dfrac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^3}} - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\left( {1 - \dfrac{{x + 4}}{{x + \sqrt x + 1}}} \right)\\ = \left( {\dfrac{{2x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\left( {\dfrac{{x + \sqrt x + 1 - x - 4}}{{x + \sqrt x + 1}}} \right)\\ = \dfrac{{2x + 1 - x - \sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}:\dfrac{{\sqrt x - 3}}{{x + \sqrt x + 1}}\\ = \dfrac{{x - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}\,\,\,\,\left( {x \ne 9} \right)\\ = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}.\end{array}\) Vậy \(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1;x \ne 9\)
Câu 20 :
Tính giá trị của \(A =\dfrac{1}{{2\sqrt 1 + 1\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + ... + \dfrac{1}{{2018\sqrt {2017} + 2017\sqrt {2018} }}\)
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng: \(\dfrac{1}{{k\sqrt {k - 1} + \left( {k - 1} \right)\sqrt k }} \)\(= \dfrac{1}{{\sqrt {k - 1} }} - \dfrac{1}{{\sqrt k }}\) Lời giải chi tiết :
Ta có: \(k\sqrt {k - 1} + \left( {k - 1} \right)\sqrt k \, = \sqrt {k\left( {k - 1} \right)} \left( {\sqrt k + \sqrt {k - 1} } \right)\) với \(k \ge 1\). \(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{{k\sqrt {k - 1} + \left( {k - 1} \right)\sqrt k }} \\= \dfrac{1}{{\sqrt {k\left( {k - 1} \right)} \left( {\sqrt k + \sqrt {k - 1} } \right)}} \\= \dfrac{{\left( {\sqrt k - \sqrt {k - 1} } \right)}}{{\sqrt {k\left( {k - 1} \right)} \left( {\sqrt k + \sqrt {k - 1} } \right)\left( {\sqrt k - \sqrt {k - 1} } \right)}}\\ = \dfrac{{\sqrt k - \sqrt {k - 1} }}{{\sqrt {k\left( {k - 1} \right)} }} \\= \dfrac{{\sqrt k - \sqrt {k - 1} }}{{\sqrt k .\sqrt {k - 1} }} \\= \dfrac{1}{{\sqrt {k - 1} }} - \dfrac{1}{{\sqrt k }}\end{array}\) Thay lại vào A ta được: \(A = \dfrac{1}{{2\sqrt 1 + 1\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }}\)\( + ... + \dfrac{1}{{2018\sqrt {2017} + 2017\sqrt {2018} }}\)\(= \,\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 1 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) \)\(+ ..... + \left( {\dfrac{1}{{\sqrt {2017} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {2018} }}} \right)\)\(= 1 - \dfrac{1}{{\sqrt {2018} }}\)
Câu 21 :
Rút gọn biểu thức: \(T = \dfrac{{\left( {\sqrt {2a} - 2\sqrt 2 } \right)\left( {a - 1} \right)}}{{a - \sqrt a - 2}}\left( {a > 0;a \ne 4} \right)\)
Đáp án : D Phương pháp giải :
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi rút gọn. Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}T = \dfrac{{\left( {\sqrt {2a} - 2\sqrt 2 } \right)\left( {a - 1} \right)}}{{a - \sqrt a - 2}}\,\,\,\,\left( {a > 0;a \ne 4} \right)\\ = \dfrac{{\sqrt 2 \left( {\sqrt a - 2} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a - 2} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}\\ = \sqrt 2 \left( {\sqrt a - 1} \right)\end{array}\) Vậy \(T = \sqrt 2 \left( {\sqrt a - 1} \right)\).
|
