Trắc nghiệm Đề thi khảo sát chất lượng đầu năm - Đề số 1Đề bài
Câu 1 :
Cho hình vẽ, biết \(DE// BC\). Khẳng định nào sau đây là đúng? 
Câu 2 :
Khi \(x \ge 3\), kết quả rút gọn của biểu thức \(2{\rm{x}} + \left| {x - 3} \right| - 1\) là:
Câu 3 :
Diện tích toàn phần của hình lập phương có độ dài cạnh đáy bằng 5cm là:
Câu 4 :
Cho \(\Delta MNP \backsim \Delta HGK\) có tỉ số chu vi: \(\dfrac{{{P_{\Delta MNP}}}}{{{P_{\Delta HGK}}}} = \dfrac{2}{7}.\) Chọn câu đúng.
Câu 5 :
Giá trị \(x = 2\) là nghiệm của bất phương trình nào dưới đây?
Câu 6 :
Rút gọn biểu thức \({\left( {x + y} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {x - y} \right)^2}\), ta được kết quả là:
Câu 7 :
Phân tích đa thức \(5{x^2}{y^3} - 25{x^3}{y^4} + 10{x^3}{y^3}\) thành nhân tử ta được:
Câu 8 :
Phương trình \(7x + 4\; = 3x-{\rm{ }}1\) có tập nghiệm là:
Câu 9 :
Phương trình \({x^3} - 9x = 0\) có bao nhiêu nghiệm?
Câu 10 :
Phương trình \(\left| {x - 4} \right| + 3x = 5\) có tổng các nghiệm là:
Câu 11 :
Giải phương trình \(\dfrac{{x + 5}}{{x - 5}} - \dfrac{{x - 5}}{{x + 5}} = \dfrac{{20}}{{{x^2} - 25}}\) ta được nghiệm là:
Câu 12 :
Cho biểu thức: \(Q = \left( {\dfrac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} + \dfrac{{{x^3} - 1}}{{1 - {x^2}}}} \right):\dfrac{{2{x^2} - 4x + 2}}{{{x^2} - 1}}\quad \left( {x \ne \pm {\rm{ }}1} \right)\). Câu 12.1
Rút gọn Q ta được:
Câu 12.2
Tìm \(x\) biết \(Q = 3.\)
Câu 12.3
Tìm \(x\) sao cho \(\left| {\rm{Q}} \right| > {\rm{Q}}\).
Câu 13 :
Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km/giờ. Khi đi được 1 giờ thì xe bị hỏng, người đó phải dừng lại để sửa xe mất 10 phút. Sau khi sửa xong người đó đi tiếp tới B, để đến B đúng giờ đã định người đó phải tăng vận tốc thêm 6km/h. Tính độ dài quãng đường AB.
Câu 14 :
Cho \(\Delta ABC\) kẻ các đường cao \(BD\) và \(CE\) (\(D \in AC{\rm{ ; E}} \in {\rm{AB}}\)). \(BD\) và \(CE\) cắt nhau tại \(H.\) Câu 14.1
Trên các đoạn thẳng BD và CE lấy lần lượt hai điểm I và K sao cho \(\widehat {{\rm{AIC}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{AKB }}}{\rm{ = 9}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}}.\) Khi đó tam giác \(AIK\) là:
Câu 14.2
Cho \(\widehat {{\rm{AED}}} = {40^0}\). Tính số đo \(\widehat {{\rm{HBC}}}\).
Câu 14.3
Hệ thức nào dưới đây đúng?
Câu 14.4
Tích \(AE{\rm{ }}.{\rm{ }}AB\;\) bằng:
Câu 15 :
Cho \(a,b,c > 0\) thỏa mãn: \(6a + 2b + 3c = 11.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = \dfrac{{2b + 3c + 16}}{{1 + 6a}} + \dfrac{{6a + 3c + 16}}{{1 + 2b}} + \dfrac{{6a + 2b + 16}}{{1 + 3c}}\).
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Cho hình vẽ, biết \(DE// BC\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Đáp án : A Phương pháp giải :
Áp dụng định lý Talet để tìm ra tỉ lệ thức phù hợp, từ đó thực hiện yêu cầu của bài toán. Lời giải chi tiết :
Áp dụng định lý Ta lét, ta có: \(\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{AE}}{{AC}} = \dfrac{{DE}}{{BC}}\) \( \Rightarrow \) Đáp án A đúng. Vì \(\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{AE}}{{AC}}\) nên \(AD.AC = AB.AE\) \( \Rightarrow \) Đáp án B sai. Ta có: \(\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{DE}}{{BC}}\) \( \Rightarrow \)\(\dfrac{{AD}}{{AB - AD}} = \dfrac{{DE}}{{BC}} \Leftrightarrow \dfrac{{AD}}{{DB}} = \dfrac{{DE}}{{BC - DE}}\) \( \Rightarrow \) Đáp án C sai. Ta có: \(\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{DE}}{{BC}}\) \( \Rightarrow AD.BC = AB.DE\) \( \Rightarrow \) Đáp án D sai.
Câu 2 :
Khi \(x \ge 3\), kết quả rút gọn của biểu thức \(2{\rm{x}} + \left| {x - 3} \right| - 1\) là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ để rút gọn biểu thức: \(\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,khi\,\,x \ge 0\\ - x\,\,khi\,\,x < 0\end{array} \right.\) Lời giải chi tiết :
Khi \(x \ge 3\) thì \(\left| {x - 3} \right| = x - 3,\) ta có biểu thức: \(2x + \left| {x - 3} \right| - 1 = 2x + x - 3 - 1 = 3x - 4.\)
Câu 3 :
Diện tích toàn phần của hình lập phương có độ dài cạnh đáy bằng 5cm là:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Công thức tính diện tích toàn phần của hình lập phương cạnh \(a\) là: \(6{a^2}.\) Lời giải chi tiết :
Diện tích toàn phần của hình lập phương có độ dài cạnh đáy bằng 5cm là: \({S_{tp}} = {6. 5^2} = 150\,c{m^2}.\)
Câu 4 :
Cho \(\Delta MNP \backsim \Delta HGK\) có tỉ số chu vi: \(\dfrac{{{P_{\Delta MNP}}}}{{{P_{\Delta HGK}}}} = \dfrac{2}{7}.\) Chọn câu đúng.
Đáp án : A Phương pháp giải :
+) Áp dụng lý thuyết về mối quan hệ giữa tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng và tỉ số đồng dạng của 2 tam giác, kết hợp với dữ kiện đề bài cho để thực hiện yêu cầu của bài toán. Lưu ý: Tỉ số đồng dạng bằng tỉ số chu vi và tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng. Lời giải chi tiết :
Gọi k là tỉ số đồng dạng của 2 tam giác MNP và HGK. Theo bài ta có: \(\Delta MNP \backsim \Delta HGK\) và \(\dfrac{{{P_{\Delta MNP}}}}{{{P_{\Delta HGK}}}} = \dfrac{2}{7}\) \( \Rightarrow \dfrac{{MN}}{{HG}} = \dfrac{{NP}}{{GK}} = \dfrac{{MP}}{{HK}} \)\(=\dfrac{MN+NP+MP}{HG+GK+HK}= \dfrac{{{P_{\Delta MNP}}}}{{{P_{\Delta HGK}}}} = \dfrac{2}{7} = k\) Do đó: \( \dfrac{{HG}}{{MN}} = \dfrac{7}{2}\) Và \( \dfrac{{{S_{\Delta MNP}}}}{{{S_{\Delta HGK}}}} = {k^2} = {\left( {\dfrac{2}{7}} \right)^2} = \dfrac{4}{{49}}.\)
Câu 5 :
Giá trị \(x = 2\) là nghiệm của bất phương trình nào dưới đây?
Đáp án : D Phương pháp giải :
Giải các bất phương trình ở các đáp án sau đó xem \(x = 2\) có thuộc tập nghiệm của bất phương trình nào thì chọn đáp án đó. Lời giải chi tiết :
Ta có: +) Đáp án A: \(2x + 5 > 11 \Leftrightarrow 2x > 6 \)\(\Leftrightarrow x > 3 \Rightarrow x = 2\) không thuộc tập nghiệm của bất phương trình. +) Đáp án B: \(4 - x > 3x - 1 \Leftrightarrow 4 + 1 > 3x + x \Leftrightarrow 4x < 5\)\( \Leftrightarrow x < \dfrac{5}{4} \Rightarrow x = 2\) không thuộc tập nghiệm của bất phương trình. +) Đáp án C: \( - 4x + 7 > x - 1 \Leftrightarrow 7 + 1 > x + 4x \Leftrightarrow 5x < 8\)\( \Leftrightarrow x < \dfrac{8}{5} \Rightarrow x = 2\) không thuộc tập nghiệm của bất phương trình. +) Đáp án D: \({x^2} + 3 > 6x - 7 \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 10 > 0\) Thay \(x = 2\) vào vế trái của bất phương trình ta có: \({2^2} - 6.2 + 10 = 2 > 0\) (luôn đúng) \( \Rightarrow x = 2\) là nghiệm của bất phương trình.
Câu 6 :
Rút gọn biểu thức \({\left( {x + y} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {x - y} \right)^2}\), ta được kết quả là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng các hằng đẳng thức \({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2};\,{\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\). Lời giải chi tiết :
Ta có: \({\left( {x + y} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {x - y} \right)^2}\)\( = {x^2} + 2xy + {y^2} + {x^2} - 2xy + {y^2}\)\( = 2{x^2} + 2{y^2} = 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\).
Câu 7 :
Phân tích đa thức \(5{x^2}{y^3} - 25{x^3}{y^4} + 10{x^3}{y^3}\) thành nhân tử ta được:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung để phân tích đa thức thành nhân tử. Lời giải chi tiết :
Ta có: \(5{x^2}{y^3} - 25{x^3}{y^4} + 10{x^3}{y^3}\)\( = 5{x^2}{y^3}. 1 - 5{x^2}{y^3}. 5xy + 5{x^2}{y^3}. 2x\)\( = 5{x^2}{y^3}\left( {1 - 5xy + 2x} \right)\).
Câu 8 :
Phương trình \(7x + 4\; = 3x-{\rm{ }}1\) có tập nghiệm là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng quy tắc chuyển vế để biến đổi đưa phương trình về dạng phương trình bậc nhất một ẩn \(ax + b = 0 \Leftrightarrow x = - \dfrac{b}{a}\,\left( {a \ne 0} \right)\). Lời giải chi tiết :
Ta có: \(7x + 4\; = 3x-{\rm{ }}1\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 7x - 3x = - 1 - 4\\ \Leftrightarrow 4x = - 5\\ \Leftrightarrow x = - \dfrac{5}{4}\end{array}\). Vậy phương trình có tập nghiệm là \(S = \left\{ {\dfrac{{ - 5}}{4}} \right\}\).
Câu 9 :
Phương trình \({x^3} - 9x = 0\) có bao nhiêu nghiệm?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Phân tích vế trái thành nhân tử đưa phương trình về dạng \(A\left( x \right).B\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( x \right) = 0\\B\left( x \right) = 0\end{array} \right.\) Lời giải chi tiết :
Ta có: \({x^3} - 9x = 0\)\( \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 9} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 9 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\\x = - 3\end{array} \right.\) Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ { - 3;0;3} \right\}\). Hay phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt.
Câu 10 :
Phương trình \(\left| {x - 4} \right| + 3x = 5\) có tổng các nghiệm là:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng \(\left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.\) để đưa về phương trình bậc nhất một ẩn. Lời giải chi tiết :
Xét phương trình \(\left| {x - 4} \right| + 3x = 5\). TH1: \(\left| {x - 4} \right| = x - 4\) với \(x - 4 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 4\) Khi đó ta có phương trình: \(x - 4 + 3x = 5 \Leftrightarrow 4x = 9 \Leftrightarrow x = \dfrac{9}{4}\) (loại vì \(x \ge 4\)) TH2: \(\left| {x - 4} \right| = - x + 4\) với \(x - 4 < 0 \Leftrightarrow x < 4\) Khi đó ta có phương trình \( - x + 4 + 3x = 5\)\( \Leftrightarrow 2x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\) (nhận) Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là \(x = \dfrac{1}{2}.\)
Câu 11 :
Giải phương trình \(\dfrac{{x + 5}}{{x - 5}} - \dfrac{{x - 5}}{{x + 5}} = \dfrac{{20}}{{{x^2} - 25}}\) ta được nghiệm là:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức: + Tìm ĐKXĐ + Quy đồng mẫu rồi khử mẫu. + Giải phương trình vừa nhận được. + Đối chiếu điều kiện rồi kết luận nghiệm. Lời giải chi tiết :
ĐKXĐ: \(x \ne \pm 5\) Ta có: \(\dfrac{{x + 5}}{{x - 5}} - \dfrac{{x - 5}}{{x + 5}} = \dfrac{{20}}{{{x^2} - 25}}\). \( \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {x + 5} \right)}^2} - {{\left( {x - 5} \right)}^2}}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)}} = \dfrac{{20}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)}}\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {x + 5} \right)^2} - {\left( {x - 5} \right)^2} = 20\\ \Leftrightarrow {x^2} + 10x + 25 - {x^2} + 10x - 25 = 20\\ \Leftrightarrow 20x = 20\\ \Leftrightarrow x = 1\left( {tm} \right)\end{array}\) Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm \(S = \left\{ 1 \right\}\).
Câu 12 :
Cho biểu thức: \(Q = \left( {\dfrac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} + \dfrac{{{x^3} - 1}}{{1 - {x^2}}}} \right):\dfrac{{2{x^2} - 4x + 2}}{{{x^2} - 1}}\quad \left( {x \ne \pm {\rm{ }}1} \right)\). Câu 12.1
Rút gọn Q ta được:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Ta sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức và các hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức. Lời giải chi tiết :
\(Q = \left( {\dfrac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} + \dfrac{{{x^3} - 1}}{{1 - {x^2}}}} \right):\dfrac{{2{x^2} - 4x + 2}}{{{x^2} - 1}}\quad \left( {x \ne \pm 1} \right)\) \(Q = \left( {\dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x - 1}} - \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right):\dfrac{{2{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{x^2} - 1}}\) \(Q = \left( {\dfrac{{x + 1}}{1} - \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}} \right):\dfrac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{x + 1}}\) \(Q = \dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {x^2} - x - 1}}{{x + 1}}.\dfrac{{x + 1}}{{2\left( {x - 1} \right)}}\) \(\begin{array}{l}Q = \dfrac{{{x^2} + 2x + 1 - {x^2} - x - 1}}{{x + 1}}.\dfrac{{x + 1}}{{2\left( {x - 1} \right)}}\\Q = \dfrac{x}{{2\left( {x - 1} \right)}}\end{array}\) Vậy \(Q = \dfrac{x}{{2\left( {x - 1} \right)}}\) với mọi \(x \ne \pm 1\). Câu 12.2
Tìm \(x\) biết \(Q = 3.\)
Đáp án : C Phương pháp giải :
Ta sử dụng kết quả câu trước \(Q = \dfrac{x}{{2\left( {x - 1} \right)}}\) với mọi \(x \ne \pm 1\) Thay \(Q = 3\) rồi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thu được để tìm \(x.\) Lời giải chi tiết :
Theo kết quả câu trước \(Q = \dfrac{x}{{2\left( {x - 1} \right)}}\) với mọi \(x \ne \pm 1\). Để \(Q = 3\) thì \(\dfrac{x}{{2\left( {x - 1} \right)}} = 3 \Rightarrow x = 3. 2\left( {x - 1} \right)\) \( \Leftrightarrow x = 6x - 6 \Leftrightarrow 6x - x = 6 \Leftrightarrow 5x = 6\)\( \Leftrightarrow x = \dfrac{6}{5}\;\left( {tm} \right)\) Vậy \(x = \dfrac{6}{5}\) thì \(Q = 3.\) Câu 12.3
Tìm \(x\) sao cho \(\left| {\rm{Q}} \right| > {\rm{Q}}\).
Đáp án : A Phương pháp giải :
Ta sử dụng kết quả câu trước \(Q = \dfrac{x}{{2\left( {x - 1} \right)}}\) với mọi \(x \ne \pm 1\). Từ đó dựa vào định nghĩa dấu giá trị tuyệt đối: Sử dụng \(\left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.\) Lời giải chi tiết :
Ta có \(\left| {\rm{Q}} \right|{\rm{ }} > {\rm{ Q }} \Leftrightarrow {\rm{ Q < 0}}\) Khi đó ta được: \(\dfrac{x}{{2\left( {x - 1} \right)}}\) < 0 \(\forall x \ne \pm 1\) TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\x - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 0\\x > 1\end{array} \right.\) không xảy ra. TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x - 1 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {\rm{ 0 < x < 1}}\). Vậy với \({\rm{ 0 < x < 1}}\) thì \(\left| {\rm{Q}} \right|{\rm{ }} > {\rm{ Q}}\).
Câu 13 :
Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km/giờ. Khi đi được 1 giờ thì xe bị hỏng, người đó phải dừng lại để sửa xe mất 10 phút. Sau khi sửa xong người đó đi tiếp tới B, để đến B đúng giờ đã định người đó phải tăng vận tốc thêm 6km/h. Tính độ dài quãng đường AB.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Giải theo các bước sau: + Lập phương trình: Chọn ẩn và đặt điều kiện; biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn và đại lượng đã biết; lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng + Giải phương trình + Đối chiếu điều kiện rồi kết luận Lời giải chi tiết :
Đổi 10 phút = \(\dfrac{1}{6}\) giờ. Gọi quãng đường AB dài là \(x\left( {km} \right)\left( {x > 30{\rm{ }}} \right)\). Suy ra quãng đường từ khi dừng lại sửa xe đến B là \(x- 30{\rm{ }}\left( {km} \right)\). Thời gian dự định đi từ A đến B là \(\dfrac{x}{{30}}\)(h). Thời gian thực tế đi từ A đến B là \(1 + \dfrac{1}{6} + \dfrac{{x - 30}}{{36}}\) (h). Ta có phương trình: \(1 + \dfrac{1}{6} + \dfrac{{x - 30}}{{36}} = \dfrac{x}{{30}}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{36 + 6 + x - 30}}{{36}} = \dfrac{x}{{30}}\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{12 + x}}{{36}} = \dfrac{x}{{30}}\\ \Rightarrow 30\left( {12 + x} \right) = 36.x\\ \Leftrightarrow 360 + 30x = 36x\\ \Leftrightarrow 6x = 360\\ \Leftrightarrow x = 60\left( {tm} \right)\end{array}\) Vậy quãng đường \(AB\) dài \(60\) km.
Câu 14 :
Cho \(\Delta ABC\) kẻ các đường cao \(BD\) và \(CE\) (\(D \in AC{\rm{ ; E}} \in {\rm{AB}}\)). \(BD\) và \(CE\) cắt nhau tại \(H.\) Câu 14.1
Trên các đoạn thẳng BD và CE lấy lần lượt hai điểm I và K sao cho \(\widehat {{\rm{AIC}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{AKB }}}{\rm{ = 9}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}}.\) Khi đó tam giác \(AIK\) là:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng \(\Delta AID \backsim \Delta ACI\) và \(\Delta AEK \backsim \Delta AKB\). Từ đó suy ra các cặp cạnh tương ứng để lập luận. Lời giải chi tiết :
 Xét \(\Delta AID\) và \(\Delta ACI\) có: \(\widehat {IAD}\) chung và \(\widehat {AIC} = \widehat {ADB} = {90^0}\) nên \(\Delta AID \backsim \Delta ACI\left( {g - g} \right)\) Suy ra: \(\dfrac{{AI}}{{AC}} = \dfrac{{AD}}{{AI}} \Leftrightarrow A{I^2} = AC.AD\) (1) Xét \(\Delta AEK\) và \(\Delta AKB\) có: \(\widehat {EAK}\) chung và \(\widehat {AIC} = \widehat {ADB} = {90^0}\) nên \(\Delta AEK \backsim \Delta AKB\left( {g - g} \right)\) Suy ra: \(\dfrac{{AE}}{{AK}} = \dfrac{{AK}}{{AB}} \Leftrightarrow A{K^2} = AE.AB\) (2) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACE\) có: \(\widehat {\rm{A}}\) là góc chung, \(\widehat {ADB} = \widehat {AEC} = {90^0}\) \( \Rightarrow \) \(\Delta ABD \backsim \Delta ACE\left( {g - g} \right)\) \( \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{AE}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}\) \( \Rightarrow AE.{\rm{ }}AB = AC.{\rm{ }}AD\) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(A{I^2} = A{K^2} \Rightarrow AI = AK\) nên tam giác \(AIK\) cân tại \(A.\) Câu 14.2
Cho \(\widehat {{\rm{AED}}} = {40^0}\). Tính số đo \(\widehat {{\rm{HBC}}}\).
Đáp án : B Phương pháp giải :
Chứng minh \(\Delta ADE \backsim \Delta ABC\), sau đó suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau. Từ đó sử dụng: Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau. Lời giải chi tiết :
 +) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACE\) có: \(\widehat {\rm{A}}\) là góc chung, \(\widehat {ADB} = \widehat {AEC} = {90^0}\) \( \Rightarrow \) \(\Delta ABD \backsim \Delta ACE\) (g-g) \( \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{AE}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}\) Xét \(\Delta AED\) và \(\Delta ACB\) có: \(\widehat A\) chung và \(\dfrac{{AD}}{{AE}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}\left( {cmt} \right)\) nên \(\Delta AED \backsim \Delta ACB\left( {c - g - c} \right)\) Từ đó: \(\widehat {AED} = \widehat {ACB}\) (hai góc tương ứng) Nên \(\widehat {ACB} = {40^0}\). Lại có: \(\Delta DBC\) vuông tại \(D\) nên \(\widehat {DCB} + \widehat {DBC} = {90^0}\)\( \Rightarrow \widehat {DBC} = {90^0} - {40^0} = {50^0}\) Hay \(\widehat {HBC} = {50^0}\). Câu 14.3
Hệ thức nào dưới đây đúng?
Đáp án : D Phương pháp giải :
Kẻ \(AH\) cắt \(BC\) tại \(N.\) Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng \(\Delta BHN \backsim \Delta BCD;\,\Delta CHN \backsim \Delta CBE\) để suy ra các hệ thức đúng về cạnh. Lời giải chi tiết :
 Kẻ \(AH\) cắt \(BC\) tại \(N.\) Vì \(H\) là giao điểm hai đường cao \(BD,CE\) nên \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC.\) Suy ra: \(AH \bot BC\) hay \(AN \bot BC.\) Xét \(\Delta BHN\) và \(\Delta BCD\) có: \(\widehat B\) chung và \(\widehat {HNB} = \widehat {BDC} = {90^0}\) nên \(\Delta BHN \backsim \Delta BCD \left( {g - g} \right)\) Suy ra: \(\dfrac{{BH}}{{BC}} = \dfrac{{BN}}{{BD}} \Rightarrow BH.BD = BN.BC\) (1) Xét \(\Delta CHN\) và \(\Delta CBE\) có: \(\widehat C\) chung và \(\widehat {HNC} = \widehat {BEC} = {90^0}\) nên \(\Delta CHN \backsim \Delta CBE \left( {g - g} \right)\) Suy ra: \(\dfrac{{CH}}{{CB}} = \dfrac{{CN}}{{CE}} \Rightarrow CH.CE = CN.BC\) (2) Từ (1) và (2) suy ra \(BH.BD + CH.CE = BN.BC + CN.BC\)\( = BC\left( {CN + BN} \right) = BC.BC = B{C^2}\). Vậy \(BH.BD + CH.CE = B{C^2}.\) Câu 14.4
Tích \(AE{\rm{ }}.{\rm{ }}AB\;\) bằng:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ ba góc - góc rồi suy ra hệ thức tương ứng về cạnh. Lời giải chi tiết :
 Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACE\) có: \(\widehat {\rm{A}}\) là góc chung, \(\widehat {ADB} = \widehat {AEC} = {90^0}\) \( \Rightarrow \) \(\Delta ABD \backsim \Delta ACE\) (g-g) \( \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{AE}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}\)\( \Rightarrow AE.{\rm{ }}AB = AC. {\rm{ }}AD\).
Câu 15 :
Cho \(a,b,c > 0\) thỏa mãn: \(6a + 2b + 3c = 11.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = \dfrac{{2b + 3c + 16}}{{1 + 6a}} + \dfrac{{6a + 3c + 16}}{{1 + 2b}} + \dfrac{{6a + 2b + 16}}{{1 + 3c}}\).
Đáp án : C Phương pháp giải :
Biến đổi để sử dụng bất đẳng thức \(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \ge 2\) với \(a,b > 0\). Dấu “=” xảy ra khi \(a = b.\) Lời giải chi tiết :
Đặt \(x = 1 + 6a; y = 1 + 2b; z = 1 + 3c\,\,\left( {x,y,z > 0} \right)\) \( \Rightarrow x + y + z = 1 + 6a + 1 + 2b + 1 + 3c\)\( = 3 + \left( {6a + 2b + 3c} \right) = 3 + 11 = 14\) Ta có: \(2b + 3c + 16 = y - 1 + z - 1 + 16 = y + z + 14\) \(6a + 3c + 16 = x + z + 14\) \(6a + 2b + 16 = x + y + 14\) Từ đó: \(M = \dfrac{{z + y + 14}}{x} + \dfrac{{x + z + 14}}{y} + \dfrac{{x + y + 14}}{z}\) \( = \dfrac{z}{x} + \dfrac{y}{x} + \dfrac{{14}}{x} + \dfrac{x}{y} + \dfrac{z}{y} + \dfrac{{14}}{y} + \dfrac{x}{z} + \dfrac{y}{z} + \dfrac{{14}}{z}\) \( = \left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right) + \left( {\dfrac{y}{z} + \dfrac{z}{x}} \right) + \left( {\dfrac{z}{x} + \dfrac{x}{z}} \right) + 14\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)\) \( = \left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right) + \left( {\dfrac{y}{z} + \dfrac{z}{x}} \right) + \left( {\dfrac{z}{x} + \dfrac{x}{z}} \right) + \left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)\) \( = 2\left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right) + 2\left( {\dfrac{y}{z} + \dfrac{z}{x}} \right) + 2\left( {\dfrac{z}{x} + \dfrac{x}{z}} \right) + 3\) Mặt khác: \(\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \ge 2\) dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi \(x = y\) \(\dfrac{x}{z} + \dfrac{z}{x} \ge 2.\) Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi \(x = z\) \(\dfrac{z}{y} + \dfrac{y}{z} \ge 2.\) Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi \(z = y\) Khi đó: \(M \ge 2. 2 + 2. 2 + 2. 2 + 3 \Rightarrow M \ge 15.\) Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = z = 1\) Suy ra: \(a = \dfrac{{11}}{{18}};b = \dfrac{{11}}{6};c = \dfrac{{11}}{9}.\) Vậy \({M_{min}} = 15\) khi \(a = \dfrac{{11}}{{18}};b = \dfrac{{11}}{6};c = \dfrac{{11}}{9}.\)
|
