Trắc nghiệm Bài tập hay và khó chương hệ thức lượng trong tam giác vuông Toán 9Đề bài Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 6cm,{\rm{ }}BC = 10cm,$ đường cao $AH.$ Gọi $E,{\rm{ }}F$ là hình chiếu của $H$ lần lượt lên $AB,{\rm{ }}AC.$ Câu 1
Tính \(EF.\)
Câu 2
Chọn câu đúng.
Câu 3
Tính: \(A = {\sin ^2}B + {\sin ^2}C - \tan B.\tan C\).
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH.$ Qua $B$ vẽ đường thẳng vuông góc với $BC$ cắt đường thẳng $AC$ tại $D.$ Tia phân giác của góc $C$ cắt $AB$ tại $N$ và $BD$ tại $M.$ Câu 4
Chọn câu đúng.
Câu 5
Chọn câu đúng.
Cho tam giác cân \(ABC\) có đáy \(BC = 2a\), cạnh bên bằng \(b\left( {b > a} \right)\). Câu 6
Tính diện tích tam giác $ABC$
Câu 7
Kẻ \(BK \bot AC\). Tính tỷ số $\dfrac{{AK}}{{AC}}$.
Câu 8 :
Cho hình thang \(ABCD\) có \(\widehat A = \widehat D = {90^0},\widehat B = {60^0},CD = 30cm,CA \bot CB\). Tính diện tích của hình thang.
Câu 9 :
Cho tam giác nhọn \(ABC\) hai đường cao \(AD\) và \(BE\) cắt nhau tại \(H\). Biết \(HD:HA = 1:2\). Tính \(\tan B.\tan C\)
Câu 10 :
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\),\(AB < AC,\widehat C = \alpha < {45^0}\), đường trung tuyến \(AM\), đường cao \(AH\), \(MA = MB = MC = a.\) Chọn câu đúng.
Câu 11 :
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $C,$ đường cao $CK.$ Gọi \(H\) và $I$ theo thứ tự là hình chiếu của K trên $BC$ và $AC.$ Gọi $M$ là chân đường vuông kẻ từ $K$ xuống $IH.$ Chọn câu đúng.
Câu 12 :
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A,$ đường cao $AH.$ Gọi $D$ và $E$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $AB,{\rm{ }}AC.$ Chọn câu đúng.
Câu 13 :
Tính diện tích một tam giác vuông có chu vi \(72\,cm\), hiệu giữa đường trung tuyến và đường cao ứng với cạnh huyền bằng \(7\,cm.\)
Câu 14 :
Cho hình vuông \(ABCD\). Tính \(\cos \,\widehat {MAN}\) biết rằng \(M,N\) theo thứ tự là trung điểm của \(BC;CD.\)
Lời giải và đáp án Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 6cm,{\rm{ }}BC = 10cm,$ đường cao $AH.$ Gọi $E,{\rm{ }}F$ là hình chiếu của $H$ lần lượt lên $AB,{\rm{ }}AC.$ Câu 1
Tính \(EF.\)
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng định lý Pytago và hệ thức lượng trong tam giác vuông Lời giải chi tiết :
 Ta có tam giác $ABC$ vuông tại $A$ \(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{10}^2} - {6^2}} = 8\)(cm) Lại có: $AH$ là đường cao của tam giác vuông $ABC$ nên \(AH.BC = AB.AC\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông) \( = > AH = \dfrac{{AB.AC}}{{BC}} = \dfrac{{6.8}}{{10}} = 4,8\left( {cm} \right)\) Dễ thấy tứ giác $AFHE$ là hình chữ nhật (có 3 góc vuông) Nên $EF = AH = 4,8\left( {cm} \right)$ Câu 2
Chọn câu đúng.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông \(AHB;AHC.\) Lời giải chi tiết :
 Xét tam giác vuông $AHB$ có đường cao $HE$ , ta có: \(A{H^2} = AE.AB\) Tương tự với tam giác vuông $AHC,$ ta có: \(A{H^2} = AF.AC\) Do đó: $AE.AB = AF.AC$ Câu 3
Tính: \(A = {\sin ^2}B + {\sin ^2}C - \tan B.\tan C\).
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác và định lý Pytago Lời giải chi tiết :
 Xét tam giác vuông \(ABC\) có Ta có: \(\sin B = \dfrac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow {\sin ^2}B = \dfrac{{A{C^2}}}{{B{C^2}}}\) \(\sin C = \dfrac{{AB}}{{BC}} \Rightarrow {\sin ^2}C = \dfrac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}}\;\;\) \(\tan B = \dfrac{{AC}}{{AB}} \Rightarrow \tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}}\) Vậy \(A = {\sin ^2}B + {\sin ^2}C - \tan B.\tan C\;\) \( = \dfrac{{A{C^2}}}{{B{C^2}}} + \dfrac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}} - \dfrac{{AC}}{{AB}}.\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{A{C^2} + A{B^2}}}{{B{C^2}}} - 1\) mà theo Pytago ta có \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) nên \(A = \dfrac{{B{C^2}}}{{B{C^2}}} - 1 = 0\) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH.$ Qua $B$ vẽ đường thẳng vuông góc với $BC$ cắt đường thẳng $AC$ tại $D.$ Tia phân giác của góc $C$ cắt $AB$ tại $N$ và $BD$ tại $M.$ Câu 4
Chọn câu đúng.
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng tính chất hai tam giác đồng dạng để tìm hệ thức đúng. Lời giải chi tiết :
 Ta có: \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\) (gt) \( \Rightarrow \Delta C{\rm A}{\rm N}\) đồng dạng với $\Delta CBM$ (g-g) Suy ra \(\dfrac{{CN}}{{CM}} = \dfrac{{CA}}{{CB}}\,\,\left( 1 \right)\) Lại có \(\Delta CAB\) đồng dạng với \(\Delta CBD\) (g-g) Suy ra \(\dfrac{{CA}}{{CB}} = \dfrac{{CB}}{{CD}}\;\left( 2 \right)\) Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \dfrac{{CN}}{{CM}} = \dfrac{{CB}}{{CD}} \Rightarrow CN.CD = CM.CB\) Câu 5
Chọn câu đúng.
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng tính chất hai tam giác đồng dạng và tính chất đường phân giác để tìm hệ thức đúng. Lời giải chi tiết :
 Ta có \(\Delta C{\rm A}{\rm N}\) đồng dạng với $\Delta CBM$ (g-g) (theo câu trước) nên \(\dfrac{{NA}}{{CA}} = \dfrac{{MB}}{{CB}}\;\left( 3 \right)\) Tia $CM$ là phân giác của góc $BCD$ nên \(\dfrac{{MB}}{{MD}} = \dfrac{{CB}}{{CD}} \Rightarrow \dfrac{{MB}}{{CB}} = \dfrac{{MD}}{{CD}}\) (4) Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \dfrac{{NA}}{{CA}} = \dfrac{{MD}}{{CD}} \Rightarrow \dfrac{{NA}}{{MD}} = \dfrac{{CA}}{{CD}}\). Cho tam giác cân \(ABC\) có đáy \(BC = 2a\), cạnh bên bằng \(b\left( {b > a} \right)\). Câu 6
Tính diện tích tam giác $ABC$
Đáp án : A Phương pháp giải :
Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\). Tính \(AH\) theo định lý Pytago từ đó tính diện tích tam giác \(ABC.\) Lời giải chi tiết :
 Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\). Theo định lý Pitago ta có: \(A{H^2} = A{C^2} - H{C^2} = {b^2} - {a^2}\)\( \Rightarrow AH = \sqrt {{b^2} - {a^2}} \) Suy ra \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}BC.AH = \dfrac{1}{2}.2a\sqrt {{b^2} - {a^2}}= a\sqrt {{b^2} - {a^2}}\) Câu 7
Kẻ \(BK \bot AC\). Tính tỷ số $\dfrac{{AK}}{{AC}}$.
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng diện tích tam giác \(ABC\) đã tính ở câu trước và định lý Pytago để tính \(AK\) , từ đó suy ra tỉ số \(\dfrac{{AK}}{{AC}}.\) Lời giải chi tiết :
 Ta có \(\dfrac{1}{2}BC.AH = \dfrac{1}{2}BK.AC = {S_{ABC}}\) Suy ra \(BK = \dfrac{{BC.AH}}{{AC}} = \dfrac{{2a}}{b}\sqrt {{b^2} - {a^2}} \). Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông \(AKB\) ta có: \(A{K^2} = A{B^2} - B{K^2} = {b^2} - \dfrac{{4{a^2}}}{{{b^2}}}\left( {{b^2} - {a^2}} \right) = \dfrac{{{{\left( {{b^2} - 2{a^2}} \right)}^2}}}{{{b^2}}}\). Suy ra \(AK = \dfrac{{\left| {{b^2} - 2{a^2}} \right|}}{b}\) do đó $\dfrac{{AK}}{{AC}} = \dfrac{{\left| {{b^2} - 2{a^2}} \right|}}{{{b^2}}}$.
Câu 8 :
Cho hình thang \(ABCD\) có \(\widehat A = \widehat D = {90^0},\widehat B = {60^0},CD = 30cm,CA \bot CB\). Tính diện tích của hình thang.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Kẻ \(CH \bot AB\). Sử dụng định lý Pytago và hệ thức lượng trong tam giác vuông Lời giải chi tiết :
 Ta có $\tan \widehat{CAD}=\dfrac{DC}{AD}\Leftrightarrow AD=DC:\tan 60^0=AD = 10\sqrt 3$ \(\left( {cm} \right)\). Kẻ \(CH \bot AB\). Tứ giác \(AHCD\) là hình chữ nhật vì có \(\widehat A = \widehat D = \widehat H = {90^0}\), suy ra \(AH = CD = 30cm;CH = AD = 10\sqrt 3 \left( {cm} \right)\). Tam giác \(ACB\) vuông tại \(C\), ta có: \(C{H^2} = HA.HB\), suy ra \(HB = \dfrac{{C{H^2}}}{{HA}} = \dfrac{{{{\left( {10\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{30}} = \dfrac{{300}}{{30}} = 10\left( {cm} \right)\), do đó \(AB = AH + HB = 30 + 10 = 40\left( {cm} \right).\) \({S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}CH\left( {AB + CD} \right)=\dfrac{1}{2}.10\sqrt 3 .\left( {40 + 30} \right) = 350\sqrt 3 \left( {c{m^2}} \right).\) Vậy diện tích hình thang \(ABCD\) bằng \(350\sqrt 3 c{m^2}\)
Câu 9 :
Cho tam giác nhọn \(ABC\) hai đường cao \(AD\) và \(BE\) cắt nhau tại \(H\). Biết \(HD:HA = 1:2\). Tính \(\tan B.\tan C\)
Đáp án : D Phương pháp giải :
+ Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn + Tam giác đồng dạng + Tính chất dãy tỉ số bằng nhau Lời giải chi tiết :
 Ta có: \(\tan B = \dfrac{{AD}}{{BD}};\tan C = \dfrac{{AD}}{{CD}}\). Suy ra \(\tan B.\tan C = \dfrac{{A{D^2}}}{{BD.CD}}\) (1) \(\widehat {HBD} = \widehat {CAD}\) (cùng phụ với \(\widehat {ACB}\)); \(\widehat {HDB} = \widehat {ADC} = {90^0}\). Do đó \(\Delta BDH \backsim \Delta ADC\) (g.g), suy ra \(\dfrac{{DH}}{{DC}} = \dfrac{{BD}}{{AD}}\), do đó \(BD.DC = DH.AD\) (2). Từ (1) và (2) suy ra \(\tan B.\tan C = \dfrac{{A{D^2}}}{{DH.AD}} = \dfrac{{AD}}{{DH}}\) (3). Theo giả thiết \(\dfrac{{HD}}{{AH}} = \dfrac{1}{2}\) suy ra \(\dfrac{{HD}}{{AH + HD}} = \dfrac{1}{{2 + 1}}\) hay \(\dfrac{{HD}}{{AD}} = \dfrac{1}{3}\), suy ra \(AD = 3HD\). Thay vào (3) ta được: \(\tan B.\tan C = \dfrac{{3HD}}{{DH}} = 3\).
Câu 10 :
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\),\(AB < AC,\widehat C = \alpha < {45^0}\), đường trung tuyến \(AM\), đường cao \(AH\), \(MA = MB = MC = a.\) Chọn câu đúng.
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn trong các tam giác thích hợp. Lời giải chi tiết :
 Góc \(2\alpha \) là góc \(AMH\). + Ta có \(BC = 2AM;\,AH.BC = AB.AC \Rightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{BC}}\) nên \(\sin 2\alpha = \sin \widehat {AMH} = \dfrac{{AH}}{{AM}} = \dfrac{{2AH}}{{BC}}\)\( = 2.\dfrac{{AB.AC}}{{B{C^2}}} = 2.\dfrac{{AB}}{{BC}}.\dfrac{{AC}}{{BC}}\) Mà theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có \(\sin \alpha = \dfrac{{AB}}{{BC}};\cos \alpha = \dfrac{{AC}}{{BC}}\) nên \(\sin 2\alpha = 2.\sin \alpha .\cos \alpha \) hay A đúng. +) Ta có \(\cos 2\alpha = \cos \widehat {AMH} = \dfrac{{HM}}{{AM}}\) (trong tam giác vuông \(AMH\) ) ; \(A{C^2} = HC.BC \Rightarrow HC = \dfrac{{A{C^2}}}{{BC}}\) và \(\cos \alpha = \dfrac{{AC}}{{BC}}\) nên \(1 + \cos 2\alpha = 1 + \dfrac{{HM}}{{AM}} = \dfrac{{AM + HM}}{{AM}} = \dfrac{{HM + MC}}{{AM}} = \dfrac{{HC}}{{AM}}\) \( = 2\dfrac{{HC}}{{BC}} = 2\dfrac{{A{C^2}}}{{B{C^2}}} = 2{\cos ^2}\alpha ;\) Do đó B đúng. +) \(1 - \cos 2\alpha = 1 - \dfrac{{HM}}{{AM}} = \dfrac{{AM - HM}}{{AM}} = \dfrac{{HB}}{{AM}}\)\( = 2\dfrac{{HB}}{{BC}} = 2\dfrac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}} = 2{\sin ^2}\alpha \) Do đó C đúng. Vậy cả A, B, C đều đúng.
Câu 11 :
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $C,$ đường cao $CK.$ Gọi \(H\) và $I$ theo thứ tự là hình chiếu của K trên $BC$ và $AC.$ Gọi $M$ là chân đường vuông kẻ từ $K$ xuống $IH.$ Chọn câu đúng.
Đáp án : D Phương pháp giải :
Chứng minh tứ giác \(HKIC\) là hình chữ nhật Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông thích hợp để biến đổi. Lời giải chi tiết :
 +) Xét tứ giác \(HKIC\) có \(\widehat C = \widehat I = \widehat H = 90^\circ \) nên tứ giác \(HKIC\) là hình chữ nhật suy ra \(HK = CI;HC = IK;KC = HI\) . +) Xét tam giác vuông \(KHI\) có \(KM\) là chiều cao nên theo hệ thức lượng ta có\(\dfrac{1}{{K{M^2}}} = \dfrac{1}{{K{H^2}}} + \dfrac{1}{{K{I^2}}} = \dfrac{1}{{C{I^2}}} + \dfrac{1}{{H{C^2}}}\) (vì \(HK = CI;HC = IK\)) nên A đúng. +) Xét tam giác vuông \(KAC\) , theo hệ thức lượng ta có \(K{A^2} = AI.AC \Rightarrow AI = \dfrac{{K{A^2}}}{{AC}}\) Xét tam giác vuông \(KBC\) , theo hệ thức lượng ta có \(K{B^2} = BH.BC \Rightarrow BH = \dfrac{{K{B^2}}}{{BC}}\) Lại có theo hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ABC\) thì \(A{C^2} = AK.AB \Rightarrow KA = \dfrac{{A{C^2}}}{{AB}}\) ; \(B{C^2} = KB.AB \Rightarrow KB = \dfrac{{B{C^2}}}{{AB}}\) . Từ đó ta có \(\dfrac{{AI}}{{BH}} = \dfrac{{K{A^2}}}{{AC}}:\dfrac{{K{B^2}}}{{BC}}\) $ = \left( {\dfrac{{A{C^2}}}{{AB}}:\dfrac{{B{C^2}}}{{AB}}} \right)^2.\dfrac{{BC}}{{AC}}$ \( = {\left( {\dfrac{{AC}}{{BC}}} \right)^4}.\dfrac{{BC}}{{AC}} = {\left( {\dfrac{{AC}}{{BC}}} \right)^3}\) Do đó B đúng. Hay cả A, B đều đúng.
Câu 12 :
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A,$ đường cao $AH.$ Gọi $D$ và $E$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $AB,{\rm{ }}AC.$ Chọn câu đúng.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Chứng minh tứ giác \(DHEA\) là hình chữ nhật Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông thích hợp để biến đổi. Lời giải chi tiết :
 Tứ giác \(DAEH\) có \(\widehat D = \widehat A = \widehat E = 90^\circ \) nên nó là hình chữ nhật suy ra \(AH = DE.\) Theo hệ thức lượng trong các tam giác vuông \(AHB;\,AHC\) ta có \(H{B^2} = BD.AB \Rightarrow BD = \dfrac{{H{B^2}}}{{AB}}\) ; \(H{C^2} = CE.CA \Rightarrow CE = \dfrac{{H{C^2}}}{{AC}}\) nên ta có \(BD.CE.BC = \dfrac{{H{B^2}}}{{AB}}.\dfrac{{H{C^2}}}{{AC}}.BC\) \( = {\left( {HB.HC} \right)^2}.\dfrac{{BC}}{{AB.AC}}\) mà \(HB.HC = A{H^2}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ABC\) ) \( = A{H^4}.\dfrac{1}{{AH}} = A{H^3} = D{E^3}\) (vì \(AH = DE\) (cmt)) Vậy $D{E^3} = BD.CE.BC$.
Câu 13 :
Tính diện tích một tam giác vuông có chu vi \(72\,cm\), hiệu giữa đường trung tuyến và đường cao ứng với cạnh huyền bằng \(7\,cm.\)
Đáp án : C Phương pháp giải :
Đặt \(AM = x\,\left( {x > 0} \right)\) rồi dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông để tìm ra phương trình ẩn \(x.\) Giải phương trình ta tìm được \(x.\) Từ đó tính \(AH,BC \Rightarrow {S_{ABC}}.\) Lời giải chi tiết :
 Đặt \(AM = x\,\left( {x > 0;cm} \right) \Rightarrow BC = 2x\,\left( {cm} \right);AH = x - 7\,\left( {cm} \right)\) Vì chu vi tam giác \(ABC\) là \(72cm\) nên \(AB + AC + BC = 72 \Rightarrow AB + AC = 72 - 2x\,\left( {cm} \right)\) Theo các hệ thức trong tam giác vuông: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} = 4{x^2}\,\,\left( 1 \right)\) ; \(AB.AC = BC.AH = 2x\left( {x - 7} \right)\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\) Từ \(\left( 1 \right);\left( 2 \right)\) suy ra \(A{B^2} + A{C^2} + 2AB.AC = 4{x^2} + 4x\left( {x - 7} \right)\) \( \Leftrightarrow {\left( {AB + AC} \right)^2} = 8{x^2} - 28x \Leftrightarrow {\left( {72 - 2x} \right)^2} = 8{x^2} - 28x\) Đưa về phương trình \({x^2} + 65x - 1296 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 16} \right)\left( {x + 81} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 16\,\,\left( N \right)\\x = - 81\,\,\left( L \right)\end{array} \right.\) Từ đó \(BC = 32\,cm;\,AH = 9\,cm.\) Khi đó \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.32.9 = 144\,\,\left( {c{m^2}} \right)\)
Câu 14 :
Cho hình vuông \(ABCD\). Tính \(\cos \,\widehat {MAN}\) biết rằng \(M,N\) theo thứ tự là trung điểm của \(BC;CD.\)
Đáp án : D Phương pháp giải :
Chứng minh \(AN \bot DM\) . Gọi \(H\) là giao điểm của \(AN\) và \(DM\). Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn để tính \(\cos \,\widehat {MAN}.\) Lời giải chi tiết :
 Gọi \(H\) là giao điểm của \(AN\) và \(DM\). Vì \(ABCD\) là hình vuông và \(M,N\) theo thứ tự là trung điểm của \(BC;CD.\) Nên \(AD = DC;\,DN = CM\) Từ đó $\Delta ADN = \Delta DCM\,\left( {c.g.c} \right)$ nên \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{D_1}} \Rightarrow AH \bot DM\) (do $\widehat {{A_1}} + \widehat {AND} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {{D_1}} + \widehat {HND} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {DHN} = 90^\circ $ ) Suy ra \(\cos \widehat {MAN} = \dfrac{{AH}}{{AM}}\) Đặt \(AB = AD = 2a\) ta tính được \(AM = AN = a\sqrt 5 \) Từ \(A{D^2} = AH.AN\) ta có \(AH = \dfrac{{4a}}{{\sqrt 5 }}\) . Do đó \(\cos \widehat {MAN} = \dfrac{{AH}}{{AM}} = \dfrac{{4a}}{{\sqrt 5 }}:\left( {a\sqrt 5 } \right) = \dfrac{4}{5}.\)
|
