Trắc nghiệm Bài 1,2: Hàm số bậc hai một ẩn và đồ thị hàm số y=ax^2 Toán 9Đề bài
Câu 1 :
Cho hàm số $y = a{x^2}\,\,$ với $a \ne 0$. Kết luận nào sau đây là đúng?
Câu 2 :
Kết luận nào sau đây là sai khi nói về đồ thị của hàm số $y = a{x^2}\,\,$ với $a \ne 0$.
Câu 3 :
Giá trị của hàm số $y = f\left( x \right) = - 7{x^2}$ tại ${x_0} = - 2$ là
Câu 4 :
Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \left( { - 2m + 1} \right){x^2}.$ Tìm giá trị của $m$ để đồ thị đi qua điểm $A\left( { - 2;4} \right).$
Câu 5 :
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = - 2{x^2}\) . Tổng các giá trị của $a$ thỏa mãn $f\left( a \right) = - 8 + 4\sqrt 3 $ là
Câu 6 :
Cho hàm số \(y = \left( {5m + 2} \right){x^2}\) với $m \ne - \dfrac{2}{5}$. Tìm $m$ để hàm số nghịch biến với mọi \(x > 0.\)
Câu 7 :
Cho hàm số \(y = \left( {4 - 3m} \right){x^2}\) với $m \ne \dfrac{4}{3}$. Tìm $m$ để hàm số đồng biến với mọi \(x > 0\)
Câu 8 :
Trong các điểm $A(1;2);B( - 1; - 1);C(10; - 200);D\left( {\sqrt {10} ; - 10} \right)$ có bao nhiêu điểm thuộc đồ thị hàm số $\left( P \right): y = - {x^2}$
Câu 9 :
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = 3{x^2}\). Tìm $b$ biết \(f\left( b \right) \ge 6b + 9\).
Câu 10 :
Cho hàm số \(y = \left( {2m + 2} \right){x^2}\). Tìm $m$ để đồ thị hàm số đi qua điểm $A\left( {x;y} \right)$ với $\left( {x;y} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 1\\2x - y = 3\end{array} \right.\)
Câu 11 :
Cho hàm số \(y = \left( { - {m^2} + 4m - 5} \right){x^2}\) . Kết luận nào sau đây là đúng
Câu 12 :
Hình vẽ dưới đây là của đồ thị hàm số nào? 
Câu 13 :
Cho hàm số $y = \sqrt 3 {x^2}\,\,$có đồ thị là $(P)$. Có bao nhiêu điểm trên $\left( P \right)$ có tung độ gấp đôi hoành độ.
Câu 14 :
Cho $(P):y = \dfrac{1}{2}{x^2};(d):y = x - \dfrac{1}{2}$. Tìm toạ độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$.
Câu 15 :
Cho parabol \(y = \dfrac{1}{4}{x^2}\). Xác định \(m\) để điểm \(A\left( {\sqrt 2 ;m} \right)\) nằm trên parabol.
Câu 16 :
Cho parabol$(P):y = 2{x^2}$ và đường thẳng $(d):y = x + 1$. Số giao điểm của đường thẳng $d$ và parabol $\left( P \right)$ là:
Câu 17 :
Cho parabol $(P):y = \left( {m - 1} \right){x^2}$ và đường thẳng $(d):y = 3 - 2x$. Tìm $m$ để đường thẳng $d$ cắt $\left( P \right)$ tại điểm có tung độ $y = 5$.
Câu 18 :
Cho parabol $(P):y = \left( {\dfrac{{1 - 2m}}{2}} \right){x^2}$ và đường thẳng $(d):y = 2x + 2$. Biết đường thẳng $d$ cắt $\left( P \right)$ tại một điểm có tung độ $y = 4$. Tìm hoành độ giao điểm còn lại của $d$ và parabol $\left( P \right)$.
Câu 19 :
Cho đồ thị hàm số $y = 2{x^2}$$\left( P \right)$ như hình vẽ. Dựa vào đồ thị, tìm $m$ để phương trình $2{x^2} - m - 5 = 0$ có hai nghiệm phân biệt. 
Câu 20 :
Lực \(F\) của gió thổi vuông góc vào cánh buồm tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc \(v\) của gió tức là: \(F = a{v^2}\) với \(a\) là hằng số. Biết rằng khi vận tốc của gió là \(2,5m/s\) thì lực tác động lên cánh buồm là \(150N.\) Biết thuyền buồm vẫn có thể đi được nếu vận tốc gió lớn nhất là \(90km/h.\) Tính áp lực lớn nhất mà cánh buồm có thể chịu được.
Câu 21 :
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = - 2{x^2}\) khi \(x \in \left[ { - 3;\,\,5} \right]\) là:
Câu 22 :
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \(y = x + 3 - m\) cắt parabol \(y = {x^2}\) tại hai điểm phân biệt.
Câu 23 :
Cổng vào một ngôi biệt thự có hình dạng là một parabol được biểu diễn bởi đồ thị hàm số \(y = - {x^2}.\) Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là \(4\,m.\) Một chiếc ô tô tải có thùng xe là một hình hộp chữ nhật có chiều rộng là \(2,4\,m.\) Hỏi chiều cao lớn nhất có thể của ô tô là bao nhiêu để ô tô có thể đi qua cổng?
Câu 24 :
Cho parabol \(y=-{{x}^{2}}\). Vẽ đường thẳng song song với trục hoành cắt trục tung tại điểm \(-5\) và cắt parabol tại \(M\) và \(N\). Diện tích tam giác \(OMN\) là
Câu 25 :
Cho parabol \(\left( P \right):y=f\left( x \right)={{x}^{2}}\) . Đường thẳng \(d:y=m\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm \(A\) và \(B\) sao cho tam giác \(OAB\) đều.
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Cho hàm số $y = a{x^2}\,\,$ với $a \ne 0$. Kết luận nào sau đây là đúng?
Đáp án : C Lời giải chi tiết :
Cho hàm số $y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2}\,\,(a \ne 0)$. a) Nếu $a > 0$ thì hàm số nghịch biến khi $x < 0$ và đồng biến khi $x > 0$. b) Nếu $a < 0$ thì hàm số đồng biến khi $x < 0$ và nghịch biến khi $x > 0$.
Câu 2 :
Kết luận nào sau đây là sai khi nói về đồ thị của hàm số $y = a{x^2}\,\,$ với $a \ne 0$.
Đáp án : B Lời giải chi tiết :
Đồ thị của hàm số \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\) là một parabol đi qua gốc tọa độ $O,$ nhận $Oy$ là trục đối xứng ($O$ là đỉnh của parabol). - Nếu \(a > 0\) thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, $O$ là điểm thấp nhất của đồ thị. - Nếu \(a < 0\) thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, $O$ là điểm cao nhất của đồ thị.
Câu 3 :
Giá trị của hàm số $y = f\left( x \right) = - 7{x^2}$ tại ${x_0} = - 2$ là
Đáp án : D Phương pháp giải :
Giá trị của hàm số \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\) tại điểm \(x = {x_0}\) là \({y_0} = a{x_o}^2\). Lời giải chi tiết :
Thay ${x_0} = - 2$ vào hàm số $y = f\left( x \right) = - 7{x^2}$ ta được $f\left( { - 2} \right) = - 7.{\left( { - 2} \right)^2} = - 28$
Câu 4 :
Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \left( { - 2m + 1} \right){x^2}.$ Tìm giá trị của $m$ để đồ thị đi qua điểm $A\left( { - 2;4} \right).$
Đáp án : A Phương pháp giải :
Đồ thị hàm số \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\) đi qua điểm \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) khi \({y_0} = a{x_o}^2\). Lời giải chi tiết :
Thay tọa độ điểm $A\left( { - 2;4} \right)$ vào hàm số $y = f\left( x \right) = \left( { - 2m + 1} \right){x^2}$ ta được $\left( { - 2m + 1} \right).{\left( { - 2} \right)^2} = 4 \\ - 2m + 1 = 1 \\ m = 0$ Vậy $m = 0$ là giá trị cần tìm.
Câu 5 :
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = - 2{x^2}\) . Tổng các giá trị của $a$ thỏa mãn $f\left( a \right) = - 8 + 4\sqrt 3 $ là
Đáp án : B Phương pháp giải :
Giá trị của hàm số \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\) tại điểm \(x = {x_0}\) là \({y_0} = a{x_o}^2\). Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu để tính. Lời giải chi tiết :
Ta có $f\left( a \right) = - 8 + 4\sqrt 3 $ hay $- 2{a^2} = - 8 + 4\sqrt 3 $ ${a^2} = 4 - 2\sqrt 3 $ ${a^2} = 3 - 2\sqrt 3 + 1 $ ${a^2} = {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^2}$ Suy ra $a = \sqrt 3 - 1$ hoặc $a = 1 - \sqrt 3$ Vậy tổng các giá trị của $a$ là $\left( {\sqrt 3 - 1} \right) + \left( {1 - \sqrt 3 } \right) = 0$
Câu 6 :
Cho hàm số \(y = \left( {5m + 2} \right){x^2}\) với $m \ne - \dfrac{2}{5}$. Tìm $m$ để hàm số nghịch biến với mọi \(x > 0.\)
Đáp án : A Phương pháp giải :
Xét hàm số \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right).\) Ta có: +) Nếu \(a > 0\) thì hàm số nghịch biến khi \(x < 0\) và đồng biến khi \(x > 0\). +) Nếu \(a < 0\) thì hàm số đồng biến khi \(x < 0\) và nghịch biến khi \(x > 0\). Lời giải chi tiết :
Để hàm số nghịch biến với mọi \(x > 0\) thì $a < 0$ nên $5m + 2 < 0 \Leftrightarrow m < - \dfrac{2}{5}$. Vậy $m < - \dfrac{2}{5}$ thỏa mãn điều kiện đề bài.
Câu 7 :
Cho hàm số \(y = \left( {4 - 3m} \right){x^2}\) với $m \ne \dfrac{4}{3}$. Tìm $m$ để hàm số đồng biến với mọi \(x > 0\)
Đáp án : C Phương pháp giải :
Xét hàm số \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right).\) Ta có: +) Nếu \(a > 0\) thì hàm số nghịch biến khi \(x < 0\) và đồng biến khi \(x > 0\). +) Nếu \(a < 0\) thì hàm số đồng biến khi \(x < 0\) và nghịch biến khi \(x > 0\). Lời giải chi tiết :
Để hàm số đồng biến với mọi \(x > 0\) thì $a > 0$ nên $4 - 3m > 0 \Leftrightarrow 4>3m$$ \Leftrightarrow 3m<4\Leftrightarrow m < \dfrac{4}{3}$. Vậy $m < \dfrac{4}{3}$ thỏa mãn điều kiện đề bài
Câu 8 :
Trong các điểm $A(1;2);B( - 1; - 1);C(10; - 200);D\left( {\sqrt {10} ; - 10} \right)$ có bao nhiêu điểm thuộc đồ thị hàm số $\left( P \right): y = - {x^2}$
Đáp án : D Phương pháp giải :
Điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y = a{x^2}\,\left( {a \ne 0} \right)$ khi ${y_0} = ax_0^2\,$ Lời giải chi tiết :
+) Thay tọa độ điểm $A\left( {1;2} \right)$ vào hàm số $y = - {x^2}$ ta được $2 = - {1^2}$( vô lý) nên $A \notin \left( P \right)$ +) Thay tọa độ điểm $C\left( {10; - 200} \right)$ vào hàm số $y = - {x^2}$ ta được $ - 200 = - {\left( {10} \right)^2}$ hay $ - 200 = - 100$( vô lý) nên loại $C \notin \left( P \right)$ +) Thay tọa độ điểm $D\left( {\sqrt {10} ; - 10} \right)$ vào hàm số $y = - {x^2}$ ta được $ - 10 = - {\left( {\sqrt {10} } \right)^2} $ hay $ - 10 = - 10$( luôn đúng) nên $D \in \left( P \right)$ +) Thay tọa độ điểm $B\left( { - 1; - 1} \right)$ vào hàm số $y = - {x^2}$ ta được $ - 1 = - {\left( { - 1} \right)^2} \Leftrightarrow - 1 = - 1$ (luôn đúng) $B \in \left( P \right)$.
Câu 9 :
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = 3{x^2}\). Tìm $b$ biết \(f\left( b \right) \ge 6b + 9\).
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng : Giá trị của hàm số \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\) tại điểm \(x = {x_0}\) là \({y_0} = a{x_o}^2\) Sau đó giải bất bất phương trình thu được Lời giải chi tiết :
Ta có \(f\left( b \right) \ge 6b + 9\) $ \Leftrightarrow 3{b^2} \ge 6b + 9 \Leftrightarrow {b^2} - 2b - 3 \ge 0$$ \Leftrightarrow \left( {b + 1} \right)\left( {b - 3} \right) \ge 0 $ \(\begin{array}{l} Vậy $\left[ \begin{array}{l}b \le - 1\\b \ge 3\end{array} \right.$ là giá trị cần tìm.
Câu 10 :
Cho hàm số \(y = \left( {2m + 2} \right){x^2}\). Tìm $m$ để đồ thị hàm số đi qua điểm $A\left( {x;y} \right)$ với $\left( {x;y} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 1\\2x - y = 3\end{array} \right.\)
Đáp án : D Phương pháp giải :
Bước 1: Giải hệ phương trình cho trước bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số ta tìm được $\left( {x;y} \right)$ Bước 2: Đồ thị hàm số \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\) đi qua điểm \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) khi \({y_0} = a{x_o}^2\) từ đó tìm được $m$ Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 1 (1)\\2x - y = 3 (2)\end{array} \right.\) Từ phương trình (1) suy ra $x = y + 1$. Thay vào phương trình (2), ta được: $2\left( {y + 1} \right) - y = 3$ suy ra $y = 1$ Thay vào $x = y + 1$ ta được $x = 1 + 1 = 2$. Ta được điểm $A\left( {2;1} \right)$ thuộc đồ thị hàm số. Thay $x = 2;y = 1$ vào hàm số \(y = \left( {2m + 2} \right){x^2}\) ta được $1 = \left( {2m + 2} \right){.2^2} \\ 2m + 2 = \dfrac{1}{4} \\ 2m = \dfrac{{ - 7}}{4} \\ m = \dfrac{{ - 7}}{8}$ Vậy $m = - \dfrac{7}{8}$ là giá trị cần tìm.
Câu 11 :
Cho hàm số \(y = \left( { - {m^2} + 4m - 5} \right){x^2}\) . Kết luận nào sau đây là đúng
Đáp án : B Phương pháp giải :
Bước 1: Đánh giá hệ số $a$ của ${x^2}$ Bước 2: Ta sử dụng các kiến thức sau để kết luận * Xét hàm số \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right).\) Ta có: - Nếu \(a > 0\) thì hàm số nghịch biến khi \(x < 0\) và đồng biến khi \(x > 0\). - Nếu \(a < 0\) thì hàm số đồng biến khi \(x < 0\) và nghịch biến khi \(x > 0\). * Đồ thị của hàm số $y = a{x^2}\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ là một đường cong (parabol) đi qua gốc tọa độ $O$. - Nếu \(a > 0\) thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị. - Nếu \(a < 0\) thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị. Lời giải chi tiết :
Ta thấy hàm số \(y = \left( { - {m^2} + 4m - 5} \right){x^2}\) có $a = - {m^2} + 4m - 5 = - \left( {{m^2} - 4m + 4} \right) - 1 = - {\left( {m - 2} \right)^2} - 1$ Vì \((m-2)^2\ge 0\) với mọi \(m\) nên \(-(m-2)^2\le 0\) với mọi m Suy ra \(-(m-2)^2-1\le 0-1\Rightarrow -(m-2)^2-1\le -1<0\) với mọi m Hay \(a<0\) với mọi m Nên hàm số đồng biến khi \(x < 0\) và nghịch biến khi \(x > 0\). Suy ra C,D sai. Và đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị. Suy ra A sai.
Câu 12 :
Hình vẽ dưới đây là của đồ thị hàm số nào?
Đáp án : A Phương pháp giải :
Ta sử dụng các kiến thức sau: * Đồ thị của hàm số $y = a{x^2}\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ là một đường cong (parabol) đi qua gốc tọa độ $O$. - Nếu \(a > 0\) thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị. - Nếu \(a < 0\) thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị. * Đồ thị hàm số \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\) đi qua điểm \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) khi \({y_0} = a{x_o}^2\) Lời giải chi tiết :
Từ hình vẽ suy ra $a < 0$ nên loại B,C Vì đồ thị đi qua điểm có tọa độ $\left( {1; - 1} \right)$ nên loại D.
Câu 13 :
Cho hàm số $y = \sqrt 3 {x^2}\,\,$có đồ thị là $(P)$. Có bao nhiêu điểm trên $\left( P \right)$ có tung độ gấp đôi hoành độ.
Đáp án : D Phương pháp giải :
Bước 1: Gọi điểm $M$$\left( {x;y} \right)$ thỏa mãn điều kiện đề bài. Biểu diễn $x$ theo $y$ hoặc $y$ theo $x$ . Bước 2: Thay tọa độ điểm $M$ vào hàm số ta tìm được $x$ từ đó suy ra $M$ . Lời giải chi tiết :
Gọi điểm $M$$\left( {x;y} \right)$ là điểm cần tìm. Vì $M$ có tung độ gấp đôi hoành độ nên $M\left( {x;2x} \right)$. Thay tọa độ điểm $M$ vào hàm số ta được $2x = \sqrt 3 {x^2} \\ \sqrt 3 {x^2} - 2x = 0 \\ x. \left(\sqrt 3 x - 2 \right) = 0$ Suy ra $x = 0$ hoặc $\sqrt 3 x - 2 = 0$ hay $x = 0$ hoặc $x = \frac{2\sqrt 3}{3}$ + Với $x = 0$ thì $y = 0$ là điểm $O\left( {0;0} \right)$. + Với $x = \frac{2\sqrt 3}{3}$ thì $y = 2\frac{2\sqrt 3}{3} = \frac{4\sqrt 3}{3}$ Vậy có hai điểm thỏa mãn điều kiện là $O\left( {0;0} \right),M\left( {\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3};\dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}} \right)$.
Câu 14 :
Cho $(P):y = \dfrac{1}{2}{x^2};(d):y = x - \dfrac{1}{2}$. Tìm toạ độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Cho parabol $(P):y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2}(a \ne 0)$ và đường thẳng $d:y = mx + n$. Để tìm tọa độ giao điểm (nếu có) của $(d)$ và $(P)$, ta làm như sau: Bước 1. Xét phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$: ${\rm{a}}{{\rm{x}}^2} = mx + n$ Bước 2. Giải phương trình (*) ta tìm được nghiệm (nếu có). Từ đó ta tìm được tọa độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ Lời giải chi tiết :
Xét phương trình hoành độ giao điểm của parabol $\left( P \right)$ và đường thẳng $d$ $\dfrac{1}{2}{x^2} = x - \dfrac{1}{2} \\ {x^2} - 2x + 1 = 0 \\ {\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \\ x - 1 = 0 \\ x = 1$ Thay \(x=1\) vào hàm số \(y=\dfrac{1}{2}x^2\) ta được \( y = \dfrac{1}{2}.1^2=\dfrac{1}{2}\) Nên tọa độ giao điểm cần tìm là $\left( {1;\dfrac{1}{2}} \right)$.
Câu 15 :
Cho parabol \(y = \dfrac{1}{4}{x^2}\). Xác định \(m\) để điểm \(A\left( {\sqrt 2 ;m} \right)\) nằm trên parabol.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Đồ thị hàm số \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\) đi qua điểm \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) khi \({y_0} = a{x_o}^2\) từ đó tìm được \(m\) Lời giải chi tiết :
Thay \(x = \sqrt 2 ;y = m\) vào hàm số \(y = \dfrac{1}{4}{x^2}\) ta được \(m = \dfrac{1}{4}.{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = \dfrac{1}{2}.\) Vậy \(m = \dfrac{1}{2}.\)
Câu 16 :
Cho parabol$(P):y = 2{x^2}$ và đường thẳng $(d):y = x + 1$. Số giao điểm của đường thẳng $d$ và parabol $\left( P \right)$ là:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Cho parabol $(P):y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2}(a \ne 0)$ và đường thẳng $d:y = mx + n$. Để tìm tọa độ giao điểm (nếu có) của $(d)$ và $(P)$, ta làm như sau: Bước 1. Xét phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$: $ax^2 = mx + n$ Bước 2. Giải phương trình (*) ta tìm được nghiệm (nếu có). Từ đó suy ra số giao điểm của parabol và đường thẳng. Lời giải chi tiết :
Xét phương trình hoành độ giao điểm của parabol $\left( P \right)$ và đường thẳng $d$ $2{x^2} = x + 1 \\ 2{x^2} - x - 1 = 0 \\2{x^2} - 2x + x - 1 = 0 \\ 2x\left( {x - 1} \right) + \left( {x - 1} \right) = 0\\\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 0$ Suy ra $x = - \dfrac{1}{2}$ hoặc $x = 1$ Vậy có hai giao điểm của đường thẳng $d$ và parabol $\left( P \right)$.
Câu 17 :
Cho parabol $(P):y = \left( {m - 1} \right){x^2}$ và đường thẳng $(d):y = 3 - 2x$. Tìm $m$ để đường thẳng $d$ cắt $\left( P \right)$ tại điểm có tung độ $y = 5$.
Đáp án : C Phương pháp giải :
Bước 1: Thay tung độ giao điểm vào phương trình đường thẳng $d$ để tìm hoành độ giao điểm. Bước 2: Thay tọa độ giao điểm vào phương trình parabol ta tìm được $m$. Lời giải chi tiết :
Thay $y = 5$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $5 = 3 - 2x $ suy ra $ x = - 1$ Nên tọa độ giao điểm của đường thẳng $d$ và parabol $\left( P \right)$ là $\left( { - 1;5} \right)$ Thay $x = - 1;y = 5$ vào hàm số $y = \left( {m - 1} \right){x^2}$ ta được $\left( {m - 1} \right).{\left( { - 1} \right)^2} = 5 \\ m - 1 = 5 \\ m = 6$ Vậy $m = 6$ là giá trị cần tìm.
Câu 18 :
Cho parabol $(P):y = \left( {\dfrac{{1 - 2m}}{2}} \right){x^2}$ và đường thẳng $(d):y = 2x + 2$. Biết đường thẳng $d$ cắt $\left( P \right)$ tại một điểm có tung độ $y = 4$. Tìm hoành độ giao điểm còn lại của $d$ và parabol $\left( P \right)$.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Bước 1: Thay tung độ giao điểm vào phương trình đường thẳng $d$ để tìm hoành độ giao điểm. Bước 2: Thay tọa độ giao điểm vào phương trình parabol ta tìm được $m$. Bước 3: Giải phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và parabol $\left( P \right)$ ta tìm được hoành độ giao điểm còn lại. Lời giải chi tiết :
Thay $y = 4$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $2x + 2 = 4 $ suy ra $ x = 1$ Nên tọa độ giao điểm của đường thẳng $d$ và parabol $\left( P \right)$ là $\left( {1;4} \right)$ Thay $x = 1;y = 4$ vào hàm số $y = \left( {\dfrac{{1 - 2m}}{2}} \right){x^2}$ ta được $\dfrac{{1 - 2m}}{2}{.1^2} = 4 \\ 1 - 2m = 8 \\m = - \dfrac{7}{2}$$ \\ \left( P \right):y = 4{x^2}$ Xét phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $\left( P \right)$ : $4{x^2} = 2x + 2 \\ 2{x^2} - x - 1 = 0 \\ \left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 0 $ Suy ra $x = - \dfrac{1}{2}$ hoặc $x = 1$. Vậy hoành độ giao điểm còn lại là $x = - \dfrac{1}{2}$.
Câu 19 :
Cho đồ thị hàm số $y = 2{x^2}$$\left( P \right)$ như hình vẽ. Dựa vào đồ thị, tìm $m$ để phương trình $2{x^2} - m - 5 = 0$ có hai nghiệm phân biệt.
Đáp án : D Phương pháp giải :
Đưa phương trình về dạng ${\rm{a}}{{\rm{x}}^2} = mx + n$ (*) Gọi parabol $\left( P \right):y = a{x^2}$ và đường thẳng $d:y = mx + n$ Số nghiệm của (*) bằng đúng số giao điểm của . - Nếu $(d)$ không cắt $(P)$ thì (*) vô nghiệm - Nếu $(d)$ tiếp xúc với $(P)$ thì (*) có nghiệm kép - Nếu $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt thì (*) có 2 nghiệm phân biệt . Lời giải chi tiết :
Ta có $2{x^2} - m - 5 = 0$ (*) $ \Leftrightarrow 2{x^2} = m + 5$ Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của parabol $\left( P \right):y = 2{x^2}$ và đường thẳng $d:y = m + 5$. Để (*) có hai nghiệm phân biệt thì $d$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt. Từ đồ thị hàm số ta thấy Với $m + 5 > 0 \Leftrightarrow m > - 5$ thì $d$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt hay phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khi $m > - 5$.
Câu 20 :
Lực \(F\) của gió thổi vuông góc vào cánh buồm tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc \(v\) của gió tức là: \(F = a{v^2}\) với \(a\) là hằng số. Biết rằng khi vận tốc của gió là \(2,5m/s\) thì lực tác động lên cánh buồm là \(150N.\) Biết thuyền buồm vẫn có thể đi được nếu vận tốc gió lớn nhất là \(90km/h.\) Tính áp lực lớn nhất mà cánh buồm có thể chịu được.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Tính hằng số \(a.\) Khi đó ta có biểu thức \(F = a{v^2}\) và có vận tốc gió lớn nhất mà thuyền buồm có thể chịu được thì \({F_{\max }} = a.v_{\max }^2.\) Chú ý đổi đơn vị vận tốc của gió. Lời giải chi tiết :
Theo đề bài ta có: vận tốc của gió là \(2,5m/s\) thì lực tác động lên cánh buồm là \(150N\) Suy ra \( 150 = a.2,{5^2}\) hay \( a = 24\,\,\left( {N{s^2}/{m^2}} \right).\) Khi đó ta có: \(F = 24{v^2}.\) Đổi: \({v_{\max }} = 90km/h = \dfrac{{90.1000}}{{3600}} = 25\,\,m/s.\) Như vậy áp lực lớn nhất mà thuyền buồm có thể chịu được là: \({F_{\max }} = 24v_{\max }^2 = {24.25^2} = 15000\,\,N.\)
Câu 21 :
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = - 2{x^2}\) khi \(x \in \left[ { - 3;\,\,5} \right]\) là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Xét hàm số: \(y = a{x^2}\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) ta có: +) TH1: \(a > 0\) thì hàm số đồng biến khi \(x > 0\) và nghịch biến khi \(x < 0.\) +) TH2: \(a < 0\) thì hàm số đồng biến khi \(x < 0\) và nghịch biến khi \(x > 0.\) Lời giải chi tiết :
Ta có: \(y = - 2{x^2}\) có \(a = - 2 < 0 \Rightarrow \) đồ thị hàm số có bề lõm hướng xuống dưới. Và hàm số đồng biến khi \(x > 0,\) hàm số nghịch biến khi \(x < 0.\) +) Với \( - 3 \le x < 0\) ta có: \(y\left( { - 3} \right) \le y\left( x \right) < y\left( 0 \right) \Leftrightarrow - 18 \le y\left( x \right) < 0.\) +) Với \(0 \le x \le 5\) ta có: \(y\left( 0 \right) \ge y\left( x \right) \ge y\left( 5 \right) \Leftrightarrow 0 \ge y\left( x \right) \ge - 50\) \( \Rightarrow \) Với mọi \(x \in \left[ { - 3;\,\,5} \right]\) ta có: \( - 50 \le y\left( x \right) \le 0\) Vậy \(\mathop {Min}\limits_{\left[ { - 3;\,\,5} \right]} y = y\left( { - 5} \right) = - 50.\)
Câu 22 :
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \(y = x + 3 - m\) cắt parabol \(y = {x^2}\) tại hai điểm phân biệt.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Xét phương trình hoành độ giao điểm (*) của hai đồ thị hàm số. Đường thẳng \(d\) cắt parabol \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt thì phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt hay \(\Delta > 0.\) Lời giải chi tiết :
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(d:\,\,\,y = x + 3 - m\) và parabol \(\left( P \right):\,\,y = {x^2}\) ta có: \({x^2} = x + 3 - m\) \({x^2} - x + m - 3 = 0\,\,\,\,\left( * \right)\) Đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt thì phương trình \( \left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt hay \(\Delta > 0\) Ta có: \( \Delta = 1 - 4\left( {m - 3} \right) > 0\) hay \(1 - 4m + 12 > 0\) \(4m < 13 \\ m < \dfrac{{13}}{4}\) Vậy \(m < \dfrac{{13}}{4}\) thỏa mãn bài toán.
Câu 23 :
Cổng vào một ngôi biệt thự có hình dạng là một parabol được biểu diễn bởi đồ thị hàm số \(y = - {x^2}.\) Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là \(4\,m.\) Một chiếc ô tô tải có thùng xe là một hình hộp chữ nhật có chiều rộng là \(2,4\,m.\) Hỏi chiều cao lớn nhất có thể của ô tô là bao nhiêu để ô tô có thể đi qua cổng?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng phương pháp tọa độ hóa tức gắn vào hệ trục tọa độ để tính toán. Lời giải chi tiết :
Ta có đồ thị hàm số của cổng biệt thự như hình vẽ. Khi đó cổng biệt thự có chiều cao \(h = 4\,m.\) Chiều rộng của thùng xe ô tô tải là \(2,4\,m \Rightarrow {x_0} = \dfrac{1}{2}.2,4 = 1,2m.\) \( \Rightarrow \) Chiều cao lớn nhất của ô tô tải là: \({h_0} = 1,{2^2} = 1,44m.\)
Câu 24 :
Cho parabol \(y=-{{x}^{2}}\). Vẽ đường thẳng song song với trục hoành cắt trục tung tại điểm \(-5\) và cắt parabol tại \(M\) và \(N\). Diện tích tam giác \(OMN\) là
Đáp án : B Phương pháp giải :
Hoành độ giao điểm hai đồ thị \(y={{f}_{1}}\left( x \right)\) và \(y={{f}_{2}}\left( x \right)\) là nghiệm của phương trình \({{f}_{1}}\left( x \right)-{{f}_{2}}\left( x \right)=0\) Công thức tính diện tích tam giác: \(S=\frac{1}{2}a.h\) (\(a\) là độ dài đáy, \(h\) là chiều cao tương ứng) Lời giải chi tiết :
Đường thẳng song song với \(Ox\) cắt \(Oy\) tại \(-5\) là đường thẳng \(f:y=-5\). Hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(f\) là nghiệm của phương trình \(-{{x}^{2}}=-5\) suy ra \(x=\sqrt{5} \) hoặc \( x=-\sqrt{5}\). Vậy \(M(-\sqrt{5};-5);N(\sqrt{5};-5)\). Ta có: \(MN=AM+AN=\left| -\sqrt{5} \right|+\left| \sqrt{5} \right|=2\sqrt{5}\) \(OA=\left| -5 \right|=5\) Vậy \({{S}_{OMN}}=\dfrac{1}{2}MN.OA=\dfrac{1}{2}.2\sqrt{5}.5=5\sqrt{5}\).
Câu 25 :
Cho parabol \(\left( P \right):y=f\left( x \right)={{x}^{2}}\) . Đường thẳng \(d:y=m\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm \(A\) và \(B\) sao cho tam giác \(OAB\) đều.
Đáp án : B Phương pháp giải :
Hoành độ giao điểm hai đồ thị \(y={{f}_{1}}\left( x \right)\) và \(y={{f}_{2}}\left( x \right)\) là nghiệm của phương trình \({{f}_{1}}\left( x \right)-\text{ }{{f}_{2}}\left( x \right)=0\) Hai đồ thị hàm số cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm có \(2\) nghiệm phân biệt. Lời giải chi tiết :
\(\left( P \right)\) cắt \(d\) tại \(2\) điểm phân biệt thì phương trình hoành độ giao điểm \({{x}^{2}}-m=0\) phải có hai nghiệm phân biệt suy ra \(m>0\). Ta có hoành độ của \(A\) và \(B\) là nghiệm của phương trình \({{x}^{2}}=m\) suy ra \(x=\sqrt{m} \) hoặc\( x=-\sqrt{m}\). Vậy \(A\left( -\sqrt{m};m \right),B\left( \sqrt{m},m \right)\). Để \(OAB\) là tam giác đều thì \(OA=OB=AB\) Mà \(OA=\sqrt{{{\left( -\sqrt{m} \right)}^{2}}+{{m}^{2}}}\), \(OB=\sqrt{{{\left( \sqrt{m} \right)}^{2}}+{{m}^{2}}}\), \(AB=\left| -\sqrt{m} \right|+\left| \sqrt{m} \right|=2\sqrt{m}\) Nên ta có \(\sqrt{{{\left( \sqrt{m} \right)}^{2}}+{{m}^{2}}}=2\sqrt{m}\) hay \( m+{{m}^{2}}=4m\). Suy ra \( {{m}^{2}}-3m=0\) hay \(m(m - 3) = 0\) Suy ra \(m=0 \) hoặc \(m=3\) Kết hợp điều kiện \(m>0\) ta được \(m=3\).
|
