Trắc nghiệm Bài tập ôn tập chương 3 Toán 9Đề bài
Câu 1 :
Cặp số \((x;y) = (1;3)\) là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nào trong các hệ phương trình sau:
Câu 2 :
Với \(m = 1\) thì hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = m + 1\\x + 2y = 2m + 3\end{array} \right.\) có cặp nghiệm \((x;y)\) là:
Câu 3 :
Cặp số \(\left( {x;y} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 4y = - 2\\2x + y = 6\end{array} \right.\) là:
Câu 4 :
Với giá trị nào của m thì hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{4}{5}x + \dfrac{1}{2}y = m + 1\\x - y = 2\end{array} \right.\) nhận \((3;1)\) là nghiệm:
Câu 5 :
Tìm cặp giá trị \((a;b)\) để hai hệ phương trình sau tương đương: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 1\\x + y = 4\end{array} \right.(I)\) và $\left\{ \begin{array}{l}{\rm{ax}} - y = 2\\2ax + by = 7\end{array} \right.(II)$
Câu 6 :
Hệ phương trình nào trong các phương trình sau là hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn?
Câu 7 :
Tìm \(m \ne 2\) để hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{m^2}x + 4my = 1\\x - 2y = \dfrac{1}{{2 - m}}\end{array} \right.\) có vô số nghiệm.
Câu 8 :
Nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}
Câu 9 :
Số nghiệm của hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| x \right| + 4\left| y \right| = 18\\3\left| x \right| + \left| y \right| = 10\end{array} \right.\) là:
Câu 10 :
Hai bạn A và B đi xe máy khởi hành từ $2$ địa điểm cách nhau $150{\rm{ }}km,$ đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau $2h.$ Tìm vận tốc của mỗi người biết nếu $A$ tăng vận tốc thêm $5{\rm{ }}km/h$ và B giảm vận tốc $5km/h$ thì vận tốc của $A$ gấp đôi vận tốc của $B.$
Câu 11 :
Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + my = 1\\mx - y = - m\end{array} \right.\) Hệ thức liên hệ giữa $x$ và $y$ không phụ thuộc vào giá trị của $m$ là:
Câu 12 :
Tìm giá trị của m để hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\mx - y = m\end{array} \right.\) có nghiệm nguyên duy nhất
Câu 13 :
Giá trị của $a$ để hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + ay = 1\\{\rm{ - ax}} + y = a\end{array} \right.\) có nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}x < 1\\y < 1\end{array} \right.\) là:
Câu 14 :
Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + (m + 1)y = 1\\4x - y = - 2\end{array} \right.\). Tìm m để hệ phương trình có nghiệm \((x;y)\) thỏa mãn: \({x^2} + {y^2} = \dfrac{1}{4}\).
Câu 15 :
Một ca nô đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự định. Nếu ca nô tăng vận tốc thêm $3$ km/h thì thời gian rút ngắn được $2h.$ Nếu ca nô giảm vận tốc đi $3$ km/h thì thời gian tăng $3h.$ Tính vận tốc và thời gian dự định của ca nô.
Câu 16 :
Một xe máy đi từ A đến B trong thời gian đã định. Nếu đi với vận tốc $45$ km/h sẽ tới B chậm nửa giờ. Nếu đi với vận tốc $60$ km/h sẽ tới B sớm $45$ phút. Tính quãng đường $AB.$
Câu 17 :
Tháng thứ nhất, 2 tổ sản xuất được $1200$ sản phẩm. Tháng thứ hai, tổ I vượt mức $30\% $ và tổ II bị giảm năng suất $22\% $ so với tháng thứ nhất. Vì vậy 2 tổ đã sản xuất được $1300$ sản phẩm. Hỏi tháng thứ hai tổ 2 sản xuất được bao nhiêu sản phẩm?
Câu 18 :
Hai trường có tất cả $300$ học sinh tham gia một cuộc thi. Biết trường A có $75\% $ học sinh đạt, trường 2 có $60\% $ đạt nên cả 2 trường có $207$ học sinh đạt. Số học sinh dự thi của trường A và trường B lần lượt là:
Câu 19 :
Có 2 loại quặng chứa 75% sắt và 50% sắt. Tính khối lượng quặng chứa 75% sắt đem trộn với quặng chứa 50% sắt để được $25$ tấn quặng chứa 66% sắt.
Câu 20 :
Hai đội xe được điều đi chở đất. Nếu cả 2 đội cùng làm thì trong 12 ngày xong việc. Nhưng 2 đội chỉ cùng làm trong 8 ngày thì đội 2 phải đi làm việc khác nên đội 1 phải tiếp tục làm 1 mình trong 7 ngày thì xong việc. Hỏi mỗi đội làm 1 mình thì trong bao lâu xong việc.
Câu 21 :
Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bể không có nước thì sau $1,5h$ sẽ đầy bể. Nếu mở vòi 1 chảy trong $0,25h$ rồi khóa lại và mở vòi 2 chảy trong $1/3$ h thì được $1/5$ bể. Hỏi nếu vòi 2 chảy riêng thì bao lâu đầy bể?
Câu 22 :
Hai công nhân cùng làm 1 công việc. Công nhân thứ nhất làm được $1,5$ ngày thì công nhân thứ 2 đến làm cùng và sau $5,5$ ngày nữa là xong công việc. Biết rằng người thứ 2 hoàn thành công việc đó một mình nhanh hơn người thứ nhất là $3$ ngày. Hỏi nếu làm một mình thì thời gian làm xong công việc của người thứ nhất và người thứ hai lần lượt là:
Câu 23 :
Một hình chữ nhật có chu vi $300cm$. Nếu tăng chiều rộng thêm $5cm$ và giảm chiều dài $5cm$ thì diện tích tăng $275c{m^2}$. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu.
Câu 24 :
Một thửa ruộng hình tam giác có diện tích $180{m^2}$. Tính cạnh đáy của thửa ruộng đó biết nếu tăng cạnh đáy thêm $4m$ và giảm chiều cao tương ứng đi $1m$ thì diện tích thửa ruộng không đổi.
Câu 25 :
Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + my = 1\\mx + 2y = 1\end{array} \right..\) Gọi \(M({x_0};{y_0})\) trong đó \(({x_0};{y_0})\) là nghiệm duy nhất của hệ. Phương trình đường thẳng cố định mà \(M\) chạy trên đường thẳng đó là:
Câu 26 :
Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1 + y(y + x) = 4y\\({x^2} + 1)(y + x - 2) = y\end{array} \right.\) có nghiệm \((x;y)\) là:
Câu 27 :
Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}4{x^2} + 4x - {y^2} = - 1\\4{x^2} - 3xy + {y^2} = 1\end{array} \right.\).
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Cặp số \((x;y) = (1;3)\) là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nào trong các hệ phương trình sau:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Loại các đáp án hệ phương trình có chứa phương trình bậc hai. Các đáp án còn lại ta thay $x=1;y=3$ vào rồi tính toán xem có thỏa mãn hệ phương trình hay không? Lời giải chi tiết :
Hệ phương trình có chứa phương trình bậc hai là hệ phương trình ở đáp án D nên loại D. + Với hệ phương trình A: \(\left\{ \begin{array}{l} + Với hệ phương trình B: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 0\\{x} + y = 4\end{array} \right.\) Thay $x=1;y=3$ ta được \(\left\{ \begin{array}{l}2.1- 3 = 0\\{1} + 3 = 4\end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l}-1 = 0\\{1} + 3 = 4\end{array} \right.\) (vô lý) nên loại B. + Với hệ phương trình C: \(\left\{ \begin{array}{l}{x} + y = 4\\2x + y = 4\end{array} \right.\) Thay $x=1;y=3$ ta được \(\left\{ \begin{array}{l}1+3 = 4\\2.{1} + 3 = 4\end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l}4 = 4\\5 = 4\end{array} \right.\) (vô lý) nên loại C.
Câu 2 :
Với \(m = 1\) thì hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = m + 1\\x + 2y = 2m + 3\end{array} \right.\) có cặp nghiệm \((x;y)\) là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Thay \(m = 1\) vào hệ phương trình đã cho rồi giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số. Lời giải chi tiết :
Thay \(m = 1\) vào hệ phương trình đã cho ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 2\\x + 2y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 2y = 4\\x + 2y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 9\\x + 2y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.\)
Câu 3 :
Cặp số \(\left( {x;y} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 4y = - 2\\2x + y = 6\end{array} \right.\) là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số. Lời giải chi tiết :
\(\left\{ \begin{array}{l}3x - 4y = - 2\\2x + y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 4y = - 2\\8x + 4y = 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 4y = - 2\\11x = 22\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = \dfrac{{3x + 2}}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2\end{array} \right.\)
Câu 4 :
Với giá trị nào của m thì hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{4}{5}x + \dfrac{1}{2}y = m + 1\\x - y = 2\end{array} \right.\) nhận \((3;1)\) là nghiệm:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Thay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.\) vào từng phương trình của hệ phương trình để tìm \(m.\) Lời giải chi tiết :
Nhận thấy: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.\) thỏa mãn: \(x - y = 2\) nên ta thay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.\) vào phương trình $\dfrac{4}{5}x + \dfrac{1}{2}y = m + 1$ ta được: \(\dfrac{{12}}{5} + \dfrac{1}{2} = m + 1 \Leftrightarrow m = \dfrac{{19}}{{10}}\).
Câu 5 :
Tìm cặp giá trị \((a;b)\) để hai hệ phương trình sau tương đương: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 1\\x + y = 4\end{array} \right.(I)\) và $\left\{ \begin{array}{l}{\rm{ax}} - y = 2\\2ax + by = 7\end{array} \right.(II)$
Đáp án : D Phương pháp giải :
Giải hệ phương trình (I) sau đó thay nghiệm tìm được vào hệ phương trình (II) để tìm \(a;b.\) Lời giải chi tiết :
Giải hệ phương trình (I) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2y\\1 + 2y + y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2y\\3y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.\) Hai phương trình tương đương \( \Leftrightarrow \) hai phương trình có cùng tập nghiệm hay (3; 1) cũng là nghiệm của phương trình (2). Thay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.\) vào hệ phương trình (II) ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}3a - 1 = 2\\6a + b = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\end{array} \right.\)
Câu 6 :
Hệ phương trình nào trong các phương trình sau là hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn?
Đáp án : C Lời giải chi tiết :
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a^{'}x + b^{'}y = c^{'}\end{array} \right.\) Đáp án A: Bậc x là bậc 2 nên loại Đáp án B: Xuất hiện 3 ẩn là x, y, z nên loại Đáp án C: Chuyển thành hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 5\\x - y = 0\end{array} \right.\) là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Đáp án D: Xuất hiện 3 phương trình với 3 ẩn x, y, z nên loại.
Câu 7 :
Tìm \(m \ne 2\) để hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{m^2}x + 4my = 1\\x - 2y = \dfrac{1}{{2 - m}}\end{array} \right.\) có vô số nghiệm.
Đáp án : B Phương pháp giải :
Hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\) có vô số nghiệm $ \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}}$ với \(a';b';c'\) khác \(0.\) Lời giải chi tiết :
Hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm \( \Leftrightarrow \dfrac{{{m^2}}}{1} = \dfrac{{4m}}{{ - 2}} = \dfrac{1}{{\dfrac{1}{{2 - m}}}} \Leftrightarrow {m^2} = - 2m = 2 - m\). (với \(m \ne 2\))\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} = - 2m\\ - 2m = 2 - m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = - 2\end{array} \right.\\m = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 2\).
Câu 8 :
Nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}
Đáp án : C Phương pháp giải :
+ Đặt: \(\dfrac{1}{{x + 2y}} = u;\,\,\dfrac{1}{{2x + y}} = v\,\,\,\,\left( {u;\,\,v \ne 0}\right).\) + Giải hệ phương trình ẩn \(u;v\) bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số. + Thay trở lại cách đặt ta tìm được \(x;y.\) Lời giải chi tiết :
ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y \ne 0\\y + 2x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 2y\\y \ne - 2x\end{array} \right.\) Đặt: \(\dfrac{1}{{x + 2y}} = u;\,\,\dfrac{1}{{2x + y}} = v\,\,\,\,\left( {u;\,\,v \ne 0} \right).\) Khi đó, ta có hệ phương trình \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2u + v = 3\\4u + 3v = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = 3 - 2u\\4u + 3\left( {3 - 2u} \right) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = 3 - 2u\\u = 4\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 4\\v = - 5\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{x + 2y}} = 4\\\dfrac{1}{{2x + y}} = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 8y = 1\\ - 10x - 5y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \dfrac{{13}}{{60}}\,\left( {tm} \right)\\y = \dfrac{7}{{30}}\left( {tm} \right)\end{array}\right.\)
Câu 9 :
Số nghiệm của hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| x \right| + 4\left| y \right| = 18\\3\left| x \right| + \left| y \right| = 10\end{array} \right.\) là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
+ Đặt: \(\left| x \right| = a \ge 0;\,\,\,\left| y \right| = b \ge 0\). + Giải hệ phương trình ẩn \(a;b\) bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số. + Thay trở lại cách đặt ta tìm được \(x;y.\) Lời giải chi tiết :
Đặt: \(\left| x \right| = a \ge 0;\,\,\left| y \right| = b \ge 0\). Khi đó, ta có hệ phương trình: \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 4b = 18\\3a + b = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 18 - 4b\\3\left( {18 - 4b} \right) + b = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 18 - 4b\\b = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 4\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\). \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| x \right| = 2\\\left| y \right| = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm 2\\y = \pm 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = - 4\end{array} \right.\end{array} \right.\)
Câu 10 :
Hai bạn A và B đi xe máy khởi hành từ $2$ địa điểm cách nhau $150{\rm{ }}km,$ đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau $2h.$ Tìm vận tốc của mỗi người biết nếu $A$ tăng vận tốc thêm $5{\rm{ }}km/h$ và B giảm vận tốc $5km/h$ thì vận tốc của $A$ gấp đôi vận tốc của $B.$
Đáp án : D Phương pháp giải :
Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Bước 1: Lập hệ phương trình. 1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm). 2) Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. 3) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2: Giải hệ phương trình. Sử dụng các phương pháp thế, cộng đại số, đặt ẩn phụ… Bước 3: Kết luận. Lời giải chi tiết :
Gọi vận tốc của $A$ và $B$ lần lượt là $x,{\rm{ }}y{\rm{ }}\left( {km/h;{\rm{ }}x,{\rm{ }}y > 0} \right)$ Hai người đi ngược chiều và gặp nhau sau $2h$ nên ta có phương trình: $2x + 2y = 150\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}(1)$. Nếu A tăng vận tốc thêm $5{\rm{ }}km/h$ và $B$ giảm vận tốc $5km/h$ thì vận tốc của $A$ gấp đôi vận tốc của $B$ nên ta có: $x + 5 = 2(y - 5)\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}(2)$. Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}2x + 2y = 150\\x + 5 = 2(y - 5)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 2y = 150\\x - 2y = - 15\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 2y = 150\\2x - 4y = - 30\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 45\\y = 30\end{array} \right.(tmdk)$ Vậy vận tốc của A và B lần lượt là $45km/h$ và $30km/h.$
Câu 11 :
Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + my = 1\\mx - y = - m\end{array} \right.\) Hệ thức liên hệ giữa $x$ và $y$ không phụ thuộc vào giá trị của $m$ là:
Đáp án : D Phương pháp giải :
+ Rút \(x\) theo \(y\) ở phương trình đầu tiên rồi thế xuống phương trình dưới ta được phương trình bậc nhất ẩn \(y.\) + Từ phương trình ẩn \(y\) ta biểu diễn \(y\) theo \(m.\) Từ đó biểu diễn \(x\) theo \(m.\) + Biến đổi để có biểu thức giữa \(x;y\) không chứa \(m.\) Lời giải chi tiết :
\(\left\{ \begin{array}{l}x + my = 1\\mx - y = - m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - my\\m(1 - my) - y = - m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - my\\m - {m^2}y - y = - m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - my\\y({m^2} + 1) = 2m\end{array} \right.\) Do: \({m^2} + 1 \ge 1 \Rightarrow y = \dfrac{{2m}}{{{m^2} + 1}} \Rightarrow x = 1 - my = 1 - \dfrac{{2{m^2}}}{{{m^2} + 1}} = \dfrac{{1 - {m^2}}}{{{m^2} + 1}}\) Xét: \({x^2} + {y^2} = \dfrac{{4{m^2}}}{{{{(1 + {m^2})}^2}}} + \dfrac{{{{(1 - {m^2})}^2}}}{{{{(1 + {m^2})}^2}}} = \dfrac{{4{m^2} + 1 - 2{m^2} + {m^4}}}{{{{(1 + {m^2})}^2}}} = \dfrac{{{m^4} + 2{m^2} + 1}}{{{{(1 + {m^2})}^2}}} = \dfrac{{{{(1 + {m^2})}^2}}}{{{{(1 + {m^2})}^2}}} = 1\) Vậy \({x^2} + {y^2} = 1\) không phụ thuộc vào giá trị của $m$.
Câu 12 :
Tìm giá trị của m để hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\mx - y = m\end{array} \right.\) có nghiệm nguyên duy nhất
Đáp án : C Phương pháp giải :
+ Dùng phương pháp cộng đại số để biểu diễn \(x\) theo \(m\) + Biến đổi đưa phương trình về dạng \(ax + b = 0\), phương trình này có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \(a \ne 0.\) + Tìm điều kiện để nghiệm thu được là số nguyên. Lời giải chi tiết :
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\mx - y = m\end{array} \right. \Rightarrow x + mx = 2 + m \Rightarrow x(m + 1) = m + 2\) Nếu \(m = - 1 \Rightarrow 0x = 1\) (vô lí). Nếu \(m \ne - 1 \Rightarrow x = \dfrac{{m + 2}}{{m + 1}} = 1 + \dfrac{1}{{m + 1}}\) Để hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên duy nhất \( \Rightarrow x\) nguyên \( \Rightarrow m + 1 = \pm 1\) \( \Rightarrow m = 0;m = - 2\). Với \(m = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\end{array} \right.\) (thỏa mãn). Với \(m = - 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 2\end{array} \right.\) (thỏa mãn).
Câu 13 :
Giá trị của $a$ để hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + ay = 1\\{\rm{ - ax}} + y = a\end{array} \right.\) có nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}x < 1\\y < 1\end{array} \right.\) là:
Đáp án : D Phương pháp giải :
+ Rút \(x\) theo \(y\) ở phương trình đầu tiên rồi thế xuống phương trình dưới ta được phương trình bậc nhất ẩn \(y.\) + Biểu diễn \(y\) theo \(a\) và \(x\) theo \(a\) sau đó biến đổi điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x < 1\\y < 1\end{array} \right.\) để tìm \(a\). Lời giải chi tiết :
\(\left\{ \begin{array}{l}x + ay = 1\\ - ax + y = a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - ay\\ - a(1 - ay) + y = a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - ay\\y({a^2} + 1) = 2a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - ay\\y = \dfrac{{2a}}{{{a^2} + 1}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{1 - {a^2}}}{{{a^2} + 1}}\\y = \dfrac{{2a}}{{{a^2} + 1}}\end{array} \right.\) Để hệ phương trình đã cho có nghiệm thỏa mãn: \(x < 1;y < 1\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{1 - {a^2}}}{{{a^2} + 1}} < 1\\\dfrac{{2a}}{{{a^2} + 1}} < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - {a^2} < {a^2} + 1\\2a < {a^2} + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{a^2} > 0\\(a - 1){}^2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\a \ne 1\end{array} \right.\)
Câu 14 :
Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + (m + 1)y = 1\\4x - y = - 2\end{array} \right.\). Tìm m để hệ phương trình có nghiệm \((x;y)\) thỏa mãn: \({x^2} + {y^2} = \dfrac{1}{4}\).
Đáp án : A Phương pháp giải :
+ Rút \(y\) theo \(x\) ở phương trình dưới rồi thế vào phương trình trên ta được phương trình bậc nhất ẩn \(x.\) + Tìm điều kiện để phương trình thu được có nghiệm duy nhất. + Biểu diễn \(y\) theo \(m\) và \(x\) theo \(m\) sau đó biến đổi điều kiện \({x^2} + {y^2} = \dfrac{1}{4}\) để tìm \(m.\) Lời giải chi tiết :
$\left\{ \begin{array}{l}x + (m + 1)y = 1\\4x - y = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4x + 2\\x + (m + 1)(4x + 2) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4x + 2\\x + 4x(m + 1) + 2(m + 1) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4x + 2\\x(4m + 5) = - (2m + 1)\end{array} \right.$ Nếu \(m = - \dfrac{5}{4} \Rightarrow 0x = \dfrac{3}{2}\) (vô lí). Nếu \(m \ne - \dfrac{5}{4} \Rightarrow x = \dfrac{{ - 2m - 1}}{{4m + 5}} \Rightarrow y = 4x + 2 = \dfrac{6}{{4m + 5}}\). Theo bài ra: \({x^2} + {y^2} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow {\left( {\dfrac{{ - 2m - 1}}{{4m + 5}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{6}{{4m + 5}}} \right)^2} = \dfrac{1}{4}\) \(\) \( \Leftrightarrow 4\left( {4{m^2} + 4m + 1 + 36} \right) = 16{m^2} + 40m + 25\) \( \Leftrightarrow 24m = 123 \Leftrightarrow m = \dfrac{{41}}{8}\).
Câu 15 :
Một ca nô đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự định. Nếu ca nô tăng vận tốc thêm $3$ km/h thì thời gian rút ngắn được $2h.$ Nếu ca nô giảm vận tốc đi $3$ km/h thì thời gian tăng $3h.$ Tính vận tốc và thời gian dự định của ca nô.
Đáp án : B Phương pháp giải :
Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Bước 1: Lập hệ phương trình. 1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm). 2) Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. 3) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2: Giải hệ phương trình. Sử dụng các phương pháp thế, cộng đại số, đặt ẩn phụ… Bước 3: Kết luận. Lời giải chi tiết :
Gọi vận tốc dự định của ca nô là $x$ (km/h, $x > 3$). Thời gian dự định đi từ A đến B là $y$ $(h, y > 0).$ Quãng đường AB là: $xy$ (km) Nếu ca nô tăng vận tốc thêm $3$ km/h thì thời gian rút ngắn được $2h$ nên ta có phương trình: $(x + 3)(y - 2) = xy\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}(1)$ Nếu ca nô giảm vận tốc đi 3 km/h thì thời gian tăng 3h nên ta có phương trình: $(x - 3)(y + 3) = xy\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}(2)$ Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}(x + 3)(y - 2) = xy\\(x - 3)(y + 3) = xy\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2x + 3y = 6\\3x - 3y = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 15(tmdk)\\y = 12(tmdk)\end{array} \right.$ Vậy vận tốc dự định của ca nô là $15$ km/h và thời gian dự định đi từ A đến B là $12h.$
Câu 16 :
Một xe máy đi từ A đến B trong thời gian đã định. Nếu đi với vận tốc $45$ km/h sẽ tới B chậm nửa giờ. Nếu đi với vận tốc $60$ km/h sẽ tới B sớm $45$ phút. Tính quãng đường $AB.$
Đáp án : A Phương pháp giải :
Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Bước 1: Lập hệ phương trình 1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm) 2) Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết 3) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2: Giải hệ phương trình Sử dụng các phương pháp thế, cộng đại số, đặt ẩn phụ… Bước 3: Kết luận Lời giải chi tiết :
Ta có: 45’ $ = \dfrac{{45}}{{60}} = \dfrac{3}{4}h$. Gọi quãng đường AB là $x \,\,(km, x > 0) $và thời gian dự định là $y $ \(\left( {h;\,\,y > \dfrac{1}{2}} \right).\) Nếu đi với vận tốc 45 km/h sẽ tới B chậm nửa giờ nên ta có phương trình: $x = 45\left( {y + \dfrac{1}{2}} \right)\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}(1)$ Nếu đi với vận tốc $60$ km/h sẽ tới B sớm $45’$ nên ta có: $x = 60\left( {y - \dfrac{3}{4}} \right)\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}(2)$ Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x = 45\left( {y + \dfrac{1}{2}} \right)\\x = 60\left( {y - \dfrac{3}{4}} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 45y = \dfrac{{45}}{2}\\x - 60y = - 45\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 225(tmdk)\\y = 4,5(tmdk)\end{array} \right.$ Vậy quãng đường AB là $225km.$
Câu 17 :
Tháng thứ nhất, 2 tổ sản xuất được $1200$ sản phẩm. Tháng thứ hai, tổ I vượt mức $30\% $ và tổ II bị giảm năng suất $22\% $ so với tháng thứ nhất. Vì vậy 2 tổ đã sản xuất được $1300$ sản phẩm. Hỏi tháng thứ hai tổ 2 sản xuất được bao nhiêu sản phẩm?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Bước 1: Lập hệ phương trình 1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm) 2) Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết 3) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2: Giải hệ phương trình Sử dụng các phương pháp thế, cộng đại số, đặt ẩn phụ… Bước 3: Kết luận Lời giải chi tiết :
Gọi số sản phẩm của tổ I sản xuất được trong tháng thứ nhất là $x$ (sản phẩm); số sản phẩm của tổ II sản xuất được trong tháng thứ nhất là $y$ (sản phẩm) $\left( {x,y \in {N^*}} ;\,x;y<1200\right)$. Tháng thứ nhất, 2 tổ sản xuất được $900$ sản phẩm nên ta có phương trình: $x + y = 1200\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(1)}\end{array}$ Tháng thứ 2 tổ I vượt mức 30% nên tổ I sản xuất được \((x+x.30\)%) sản phầm và tổ II giảm mức đi 22% so với tháng thứ nhất nên tổ 2 sản xuất được \((y-y.22\)%) sản phẩm, Do đó 2 tổ đã sản xuất được $1300$ sản phẩm, nên ta có phương trình: $x + \dfrac{{30}}{{100}}x + y - \dfrac{{22}}{{100}}y = 1300 $$\Leftrightarrow \dfrac{{130}}{{100}}x + \dfrac{{78}}{{100}}y = 1300\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(2)}\end{array}$ Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1200\\\dfrac{{130}}{{100}}x + \dfrac{{78}}{{100}}y = 1300\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{78}}{{100}}x + \dfrac{{78}}{{100}}y = 936\\\dfrac{{130}}{{100}}x + \dfrac{{78}}{{100}}y = 1300\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{52}}{{100}}x = 364\\x + y = 1200\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 700\\x + y = 1200\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 700\\y = 500\end{array} \right.$(tmdk) Vậy trong tháng thứ hai tổ II sản xuất được \(500.78:100 = 390\) sản phẩm.
Câu 18 :
Hai trường có tất cả $300$ học sinh tham gia một cuộc thi. Biết trường A có $75\% $ học sinh đạt, trường 2 có $60\% $ đạt nên cả 2 trường có $207$ học sinh đạt. Số học sinh dự thi của trường A và trường B lần lượt là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Bước 1: Lập hệ phương trình 1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm) 2) Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết 3) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2: Giải hệ phương trình Sử dụng các phương pháp thế, cộng đại số, đặt ẩn phụ… Bước 3: Kết luận Lời giải chi tiết :
Gọi số học sinh của trường thứ nhất dự thi là $x$ (học sinh) $(x \in N^*,x < 300)$; số học sinh của trường thứ 2 dự thi là $y $ (học sinh) $(y \in N^*;\,\,y < 300)$. Hai trường có tất cả $300$ học sinh tham gia 1 cuộc thi nên ta có phương trình: $x + y = 300\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(1)}\end{array}$ Trường A có $75$% học sinh đạt, trường 2 có $60$% đạt nên cả 2 trường có $207$ học sinh đạt, ta có: $\dfrac{{75}}{{100}}x + \dfrac{{60}}{{100}}y = 207\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(2)}\end{array}$ Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 300\\\dfrac{{75}}{{100}}x + \dfrac{{60}}{{100}}y = 207\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{60}}{{100}}x + \dfrac{{60}}{{100}}y = 180\\\dfrac{{75}}{{100}}x + \dfrac{{60}}{{100}}y = 207\end{array} \right.\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{15}}{{100}}x = 27\\x + y = 300\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 180\\y = 120\end{array} \right.$(tmdk). Vậy số học sinh của trường thứ nhất dự thi là $180$ học sinh; số học sinh của trường thứ 2 dự thi là $120$ học sinh.
Câu 19 :
Có 2 loại quặng chứa 75% sắt và 50% sắt. Tính khối lượng quặng chứa 75% sắt đem trộn với quặng chứa 50% sắt để được $25$ tấn quặng chứa 66% sắt.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Bước 1: Lập hệ phương trình 1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm) 2) Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết 3) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2: Giải hệ phương trình Sử dụng các phương pháp thế, cộng đại số, đặt ẩn phụ… Bước 3: Kết luận Lời giải chi tiết :
Gọi khối lượng quặng chứa 75% sắt đem trộn là $x$ tấn, Gọi khối lượng quặng chứa 50% sắt đem trộn là $y$ tấn $(x,y > 0)$. Theo đề bài ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 25\\75\% x + 50\% y = 66\% .25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 25\\0,75x + 0,5y = 16,5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0,5x + 0,5y = 12,5\\0,75x + 0,5y = 16,5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0,25x = 4\\x + y = 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 16\\y = 9\end{array} \right.$(tmdk). Vậy khối lượng quặng chứa 75% sắt đem trộn là $16$ tấn.
Câu 20 :
Hai đội xe được điều đi chở đất. Nếu cả 2 đội cùng làm thì trong 12 ngày xong việc. Nhưng 2 đội chỉ cùng làm trong 8 ngày thì đội 2 phải đi làm việc khác nên đội 1 phải tiếp tục làm 1 mình trong 7 ngày thì xong việc. Hỏi mỗi đội làm 1 mình thì trong bao lâu xong việc.
Đáp án : B Phương pháp giải :
Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Bước 1: Lập hệ phương trình 1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm) 2) Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết 3) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2: Giải hệ phương trình Sử dụng các phương pháp thế, cộng đại số, đặt ẩn phụ… Bước 3: Kết luận Lời giải chi tiết :
Gọi thời gian đội thứ nhất làm 1 mình xong việc là x ngày, thời gian đội thứ hai làm một mình xong việc là y ngày ($x,y > 12$). Trong 1 ngày đội thứ nhất làm được $\dfrac{1}{x}$ (công việc); đội thứ 2 làm được $\dfrac{1}{y}$ (công việc). Vì 2 đội cùng làm thì trong 12 ngày xong việc nên trong 1 ngày cả 2 đội làm được $\dfrac{1}{{12}}$ công việc nên ta có phương trình: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{12}}\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(1)}\end{array}$ Nhưng 2 đội chỉ cùng làm trong 8 ngày thì đội 2 phải đi làm việc khác nên đội 1 phải làm 1 mình trong 7 ngày thì xong việc nên ta có phương trình: $8\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) + 7.\dfrac{1}{x} = 1\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(2)}\end{array}$ Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{12}}\\8\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) + \dfrac{7}{x} = 1\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{12}}\\8.\dfrac{1}{{12}} + \dfrac{7}{x} = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{12}}\\\dfrac{7}{x} = \dfrac{1}{3}\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{12}}\\x = 21\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 21\\y = 28\end{array}(tmđk) \right.$. Vậy thời gian đội thứ nhất làm 1 mình xong việc là 21 ngày.
Câu 21 :
Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bể không có nước thì sau $1,5h$ sẽ đầy bể. Nếu mở vòi 1 chảy trong $0,25h$ rồi khóa lại và mở vòi 2 chảy trong $1/3$ h thì được $1/5$ bể. Hỏi nếu vòi 2 chảy riêng thì bao lâu đầy bể?
Đáp án : A Phương pháp giải :
Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Bước 1: Lập hệ phương trình 1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm) 2) Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết 3) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2: Giải hệ phương trình Sử dụng các phương pháp thế, cộng đại số, đặt ẩn phụ… Bước 3: Kết luận. Lời giải chi tiết :
Gọi thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là x (h), thời gian vòi 2 chảy 1 mình đầy bể là y (h) (x; y > 1,5). Hai vòi cùng chảy thì sau 1,5h sẽ đầy bể nên ta có phương trình: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{3}\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(1)}\end{array}$ Nếu mở vòi 1 chảy trong 0,25h rồi khóa lại và mở vòi 2 chảy trong 1/3 h thì được 1/5 bể nên ta có: $\dfrac{{0,25}}{x} + \dfrac{1}{{3y}} = \dfrac{1}{5}\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(2)}\end{array}$ Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{3}\\\dfrac{1}{{4x}} + \dfrac{1}{{3y}} = \dfrac{1}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{3x}} + \dfrac{1}{{3y}} = \dfrac{2}{9}\\\dfrac{1}{{4x}} + \dfrac{1}{{3y}} = \dfrac{1}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{12x}} = \dfrac{1}{{45}}\\\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}12x = 45\\\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{15}}{4} = 3,75\\y = \dfrac{5}{2} = 2,5\end{array} \right.$(tmdk). Vậy thời gian vòi 2 chảy 1 mình đầy bể là 2,5 h.
Câu 22 :
Hai công nhân cùng làm 1 công việc. Công nhân thứ nhất làm được $1,5$ ngày thì công nhân thứ 2 đến làm cùng và sau $5,5$ ngày nữa là xong công việc. Biết rằng người thứ 2 hoàn thành công việc đó một mình nhanh hơn người thứ nhất là $3$ ngày. Hỏi nếu làm một mình thì thời gian làm xong công việc của người thứ nhất và người thứ hai lần lượt là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Bước 1: Lập hệ phương trình 1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm) 2) Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết 3) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2: Giải hệ phương trình Sử dụng các phương pháp thế, cộng đại số, đặt ẩn phụ… Bước 3: Kết luận Lời giải chi tiết :
Gọi thời gian người thứ 1 làm một mình xong công việc là: $x$ (ngày); ($x > 5,5$) Gọi thời gian người thứ 2 làm một mình xong công việc là: $y$ (ngày); ($y > 5,5$) 1 ngày người thứ nhất làm là \(\dfrac{1}{x}\) công việc. 1 ngày người thứ hai làm là \(\dfrac{1}{y}\) công việc. Theo bài ra: người thứ nhất làm trong $7$ ngày, người thứ 2 làm trong $5,5$ ngày thì xong công việc nên ta có: \(\dfrac{7}{x} + \dfrac{{5,5}}{y} = 1\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(1)}\end{array}\). Vì làm một mình người thứ nhất lâu hơn người thứ hai là 3 ngày nên ta có: x – y =3 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ: $\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{7}{x} + \dfrac{{5,5}}{y} = 1\\x - y = 3\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + 3\\\dfrac{7}{{y + 3}} + \dfrac{{5,5}}{y} = 1\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + 3\\7y + 5,5y + 16,5 = {y^2} + 3y\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + 3\\{y^2} - 9,5y - 16,5 = 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + 3\\\left[ \begin{array}{l}y = 11\,\,(tmdk)\\y = - 1,5\,\,(ktmdk)\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 11\\x = 14\end{array} \right.\end{array}$ Vậy người thứ hai làm xong công việc một mình trong $11$ (ngày); người thứ nhất làm xong công việc một mình trong $14$ (ngày).
Câu 23 :
Một hình chữ nhật có chu vi $300cm$. Nếu tăng chiều rộng thêm $5cm$ và giảm chiều dài $5cm$ thì diện tích tăng $275c{m^2}$. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu.
Đáp án : B Phương pháp giải :
Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình: Bước 1: Lập phương trình. 1) Chọn ẩn, đơn vị và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm). 2) Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. 3) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2: Giải phương trình. Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, giải phương trình bậc nhất, bậc hai… Bước 3: Kết luận. Lời giải chi tiết :
Gọi: $x{\rm{ }}\left( {cm} \right)$ là chiều rộng của hình chữ nhật $\left( {0 < x < 150} \right)$. Nữa chu vi hình chữ nhật là: $300:2 = 150cm$. Chiều dài của hình chữ nhật là: $150-x{\rm{ }}\left( {cm} \right)$. Diện tích hình chữ nhật ban đầu là: $x\left( {150-x} \right) = 150x-{x^2}$. Chiều rộng sau khi thêm $5cm$ là: $x + 5$. Chiều dài sau khi giảm $5cm$ là: $150-x-5 = 145-x$. Diện tích hình chữ nhật sau khi thay đổi kích thước là: $\left( {x + 5} \right)\left( {145-x} \right) = 725 + 140x-{x^2}$. Diện tích hình chữ nhật tăng $275c{m^2}$ nên ta có phương trình : $\begin{array}{l}\left( {725 + 140x-{x^2}} \right)-\left( {150x-{x^2}} \right) = 275\\ \Leftrightarrow 725 + 140x-{x^2}\;-150x + {x^2}\; = 275\\ \Leftrightarrow 10x = 450\end{array}$. $ \Leftrightarrow x = 45$ (tmdk). Chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu là: $45cm$. Chiều dài của hình chữ nhật ban đầu là: $150-45 = 105cm$.
Câu 24 :
Một thửa ruộng hình tam giác có diện tích $180{m^2}$. Tính cạnh đáy của thửa ruộng đó biết nếu tăng cạnh đáy thêm $4m$ và giảm chiều cao tương ứng đi $1m$ thì diện tích thửa ruộng không đổi.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình: Bước 1: Lập phương trình. 1) Chọn ẩn, đơn vị và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm). 2) Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. 3) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2: Giải phương trình. Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, giải phương trình bậc nhất, bậc hai… Bước 3: Kết luận. Lời giải chi tiết :
Gọi: cạnh đáy của thửa ruộng là $x{\rm{ }}\left( {x > 0} \right)$. Suy ra: chiều cao của thửa ruộng là $\dfrac{{2.180}}{x} = \dfrac{{360}}{x}$ (m). Vì khi tăng cạnh đáy thêm $4m$ và chiều cao giảm đi $1m$ thì diện tích thửa ruộng không thay đổi nên ta có phương trình: $\begin{array}{l}\dfrac{1}{2}.(\dfrac{{360}}{x} - 1)(x + 4) = 180\\ \Leftrightarrow \left( {360 - x} \right)\left( {x + 4} \right) = 360x\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x -1440= 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 36x + 40x - 1440 = 0 \\ \Leftrightarrow x\left( {x - 36} \right) + 40\left( {x - 36} \right) = 0 \\ \Leftrightarrow \left( {x - 36} \right)\left( {x + 40} \right) = 0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 36 (tmdk)\\x = - 40 (ktmdk)\end{array} \right.\end{array}$. Vậy cạnh đáy của thửa ruộng là $36m$.
Câu 25 :
Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + my = 1\\mx + 2y = 1\end{array} \right..\) Gọi \(M({x_0};{y_0})\) trong đó \(({x_0};{y_0})\) là nghiệm duy nhất của hệ. Phương trình đường thẳng cố định mà \(M\) chạy trên đường thẳng đó là:
Đáp án : C Phương pháp giải :
+ Tìm điều kiện của tham số \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất + Biểu diễn nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) theo tham số \(m.\) + Nhận xét mối quan hệ của \(x;y\) để tìm phương trình đường thẳng. Lời giải chi tiết :
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + my = 1\\mx + 2y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{1 - mx}}{2}\\2x + \dfrac{{m(1 - mx)}}{2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{1 - mx}}{2}\\(4 - {m^2})x = 2 - m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{1 - mx}}{2}\\(2 - m)(2 + m)x = 2 - m\end{array} \right.\) Nếu \(m = 2 \Rightarrow 0x = 0\) hệ phương trình có vô số nghiệm. Nếu \(m = - 2 \Rightarrow 0x = 4\) hệ phương trình vô nghiệm. Nếu \(m \ne \pm 2 \Rightarrow (2 + m)x = 1 \Rightarrow x = \dfrac{1}{{2 + m}} = > y = \dfrac{1}{{2 + m}} \Rightarrow M\left( {\dfrac{1}{{2 + m}};\dfrac{1}{{2 + m}}} \right)\). Nhận thấy: \(M\) có tọa độ thỏa mãn tung độ $ = $ hoành độ. \( \Rightarrow M\) nằm trên đường thẳng \((d):x = y\).
Câu 26 :
Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1 + y(y + x) = 4y\\({x^2} + 1)(y + x - 2) = y\end{array} \right.\) có nghiệm \((x;y)\) là:
Đáp án : D Phương pháp giải :
+) Xét: \(y = 0\) +) Xét \(y \ne 0\) chia các vế của từng phương trình cho $y$ rồi giải hệ thu được. Lời giải chi tiết :
+) Xét \(y = 0\) hệ phương trình đã cho trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1 = 0\\({x^2} + 1)(x - 2) = 0\end{array} \right.\) (vô lí). +) Xét \(y \ne 0\) chia các vế của từng phương trình cho y, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} + 1}}{y} + y + x = 4\\\dfrac{{{x^2} + 1}}{y}(y + x - 2) = 1\end{array} \right.\) Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} + 1}}{y} = a\\y + x - 2 = b\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 2\\ab = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2 - a\\a(2 - a) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2 - a\\{a^2} - 2a + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2 - a\\{(a - 1)^2} = 0\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow a = b = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} + 1}}{y} = 1\\y + x - 2 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = {x^2} + 1\\x + y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = {x^2} + 1\\x + {x^2} + 1 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = {x^2} + 1\\{x^2} + x - 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = {x^2} + 1\\(x - 1)(x + 2) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = {x^2} + 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 5\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\).
Câu 27 :
Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}4{x^2} + 4x - {y^2} = - 1\\4{x^2} - 3xy + {y^2} = 1\end{array} \right.\).
Đáp án : B Phương pháp giải :
Biến đổi phương trình thứ nhất về dạng phương trình tích để giải phương trình. Xét các TH rồi thế vào phương trình thứ hai để giải hệ phương trình. Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\left( {2x + 1} \right)^2} - {y^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {2x + 1 + y} \right)\left( {2x + 1 - y} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 1 + y = 0\\2x + 1 - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = - 2x - 1\\y = 2x + 1\end{array} \right..\) TH1: Với \(y = - 2x - 1\) thay vào (2) ta được: \(\begin{array}{l}\left( 2 \right) \Leftrightarrow 4{x^2} + 3x\left( {2x + 1} \right) + {\left( {2x + 1} \right)^2} = - 1\\ \Leftrightarrow 4{x^2} + 6{x^2} + 3x + 4{x^2} + 4x + 1 = - 1\\ \Leftrightarrow 14{x^2} + 7x = 0\\ \Leftrightarrow 7x\left( {2x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\2x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = - 1\\x = - \frac{1}{2} \Rightarrow y = 0\end{array} \right..\end{array}\) TH2: Với \(y = 2x + 1\) thay vào (2) ta được: \(\begin{array}{l}\left( 2 \right) \Leftrightarrow 4{x^2} - 3x\left( {2x + 1} \right) + {\left( {2x + 1} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 6{x^2} - 3x + 4{x^2} + 4x + 1 = 1\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + x = 0 \Leftrightarrow x\left( {2x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\2x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 1\\x = - \frac{1}{2} \Rightarrow y = 0\end{array} \right..\end{array}\) Vậy hệ phương trình có ba nghiệm: \(\left( {0;1} \right);\left( {0; - 1} \right);\left( { - \dfrac{1}{2};0} \right)\).
|
