Trắc nghiệm Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng Toán 9Đề bài
Câu 1 :
Chọn phát biểu đúng. Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$. Khi đó
Câu 2 :
Chọn phát biểu đúng. Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có $a - b + c = 0$. Khi đó
Câu 3 :
Cho hai số có tổng là $S$ và tích là $P$ với ${S^2} \ge 4P$. Khi đó hai số đó là hai nghiệm của phương trình nào dưới đây?
Câu 4 :
Không giải phương trình, tính tổng hai nghiệm (nếu có) của phương trình ${x^2} - 6x + 7 = 0$
Câu 5 :
Gọi ${x_1};{x_2}$ là nghiệm của phương trình ${x^2} - 5x + 2 = 0$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $A = x_1^2 + x_2^2$
Câu 6 :
Gọi ${x_1};{x_2}$ là nghiệm của phương trình ${x^2} - 20x - 17 = 0$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $C = x_1^3 + x_2^3$
Câu 7 :
Gọi ${x_1};{x_2}$ là nghiệm của phương trình $ - 2{x^2} - 6x - 1 = 0$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $N = \dfrac{1}{{{x_1} + 3}} + \dfrac{1}{{{x_2} + 3}}$
Câu 8 :
Biết rằng phương trình $\left( {m - 2} \right){x^2} - \left( {2m + 5} \right)x + m + 7 = 0\,\left( {m \ne 2} \right)$ luôn có nghiệm ${x_1};{x_2}$ với mọi $m$. Tìm ${x_1};{x_2}$ theo $m$.
Câu 9 :
Tìm hai nghiệm của phương trình $18{x^2} + 23x + 5 = 0$ sau đó phân tích đa thức $A = 18{x^2} + 23x + 5$ sau thành nhân tử.
Câu 10 :
Tìm $u - v$ biết rằng $u + v = 15,uv = 36$ và $u > v$
Câu 11 :
Lập phương trình nhận hai số $3 - \sqrt 5 $ và $3 + \sqrt 5 $ làm nghiệm.
Câu 12 :
Biết rằng phương trình \({x^2} - \left( {2a - 1} \right)x - 4a - 3 = 0\) luôn có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$ với mọi $a$. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào \(a\).
Câu 13 :
Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - m + 2 = 0\) có hai nghiệm trái dấu.
Câu 14 :
Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + 8 - 4m = 0\) có hai nghiệm âm phân biệt.
Câu 15 :
Tìm các giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \({x^2} - 6x + 2m + 1 = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt
Câu 16 :
Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + 3\left( {m - 2} \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
Câu 17 :
Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \({x^2} - mx - m - 1 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn: \(x_1^3 + x_2^3 = - 1\).
Câu 18 :
Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \({x^2} - 5x + m + 4 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn: \(x_1^2 + x_2^2 = 23\).
Câu 19 :
Giá trị nào dưới đây gần nhất với giá trị của \(m\)để phương trình \({x^2} + 3x - m = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn: \(2{x_1} + 3{x_2} = 13\).
Câu 20 :
Tìm giá trị của \(m\) để phương trình \({x^2} + (4m + 1)x + 2(m - 4) = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) và biểu thức \(A = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 21 :
Tìm giá trị của \(m\) để phương trình \({x^2} - 2(m - 2)x + 2m - 5 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1}(1 - {x_2}) + {x_2}(1 - {x_1}) < 4\)
Câu 22 :
Cho phương trình \({x^2} + mx + n - 3 = 0\). Tìm m và n để hai nghiệm \({x_1}\,\,;\,\,{x_2}\) của phương trình thỏa mãn hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} - {x_2} = 1\\x_1^2 - x_2^2 = 7\end{array} \right.\)
Câu 23 :
Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 3m - 1 = 0\), (\(m\) là tham số). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 10\).
Câu 24 :
Tìm \(a, b\) để đường thẳng \(y = ax + b\) song song với đường thẳng \(y = 4x + 5\) và cắt đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) tại hai điểm \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right)\), \(B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) phân biệt thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 10\).
Câu 25 :
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 6 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) sao cho \(x_1^2 + 4{x_1} + 2{x_2} - 2m{x_1} = - 3\).
Câu 26 :
Cho phương trình \({x^2} + 4x + 3m - 2 = 0\), với \(m\) là tham số. Câu 26.1
Giải phương trình với \(m = - 1\).
Câu 26.2
Tìm giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có một nghiệm \(x = 2\).
Câu 26.3
Tìm giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) sao cho \({x_1} + 2{x_2} = 1\).
Câu 27 :
Cho phương trình \({x^2} - 2mx - 4m - 5 = 0\) (1) (\(m\) là tham số). Câu 27.1
Giải phương trình (1) khi \(m = - 2\).
Câu 27.2
Tìm \(m\) để phương trình (1) có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn: \(\dfrac{1}{2}x_1^2 - \left( {m - 1} \right){x_1}{\kern 1pt} + {x_2} - 2m + \dfrac{{33}}{2} = 4059\)
Câu 28 :
Cho phương trình bậc hai \({x^2} - 2x + m - 1 = 0\) (*), với \(m\) là tham số Câu 28.1
Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình (*) có nghiệm
Câu 28.2
Tính theo \(m\) giá trị của biểu thức \(A = x_1^3 + x_2^3\) với \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình (*). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(A.\)
Câu 29 :
Cho phương trình ẩn x: \({x^2} - 5x + \left( {m - 2} \right) = 0\,\,\,\left( 1 \right)\). Câu 29.1
Giải phương trình (1) với \(m = 6\).
Câu 29.2
Tìm \(m\) để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn hệ thức \(\dfrac{1}{{\sqrt {{x_1}} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x_2}} }} = \dfrac{3}{2}\).
Câu 30 :
Cho phương trình: \({x^2} - 2020x + 2021 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,{x_2}\). Không giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức sau: Câu 30.1
\(\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}}\)
Câu 30.2
\(x_1^2 + x_2^2\)
Câu 31 :
Cho phương trình \({x^2} + 5x + m - 2 = 0\) (\(m\) là tham số). Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,{x_2}\) thỏa mãn hệ thức \(\dfrac{1}{{{{\left( {{x_1} - 1} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {{x_2} - 1} \right)}^2}}} = 1\)
Câu 32 :
Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 5 = 0\) (\(m\) là tham số). Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình trên có 2 nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(\left( {x_1^2 - 2m{x_1} + 2m - 1} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) \le 0.\)
Câu 33 :
Cho parabol \(\left( P \right):y = - {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = x + m - 2.\) Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 < 3\).
Câu 34 :
Cho phương trình \({x^2} + 4x - m = 0\,\,\,\left( 1 \right)\) (\(m\)là tham số). Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn: \(\left( {\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}}} \right)\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) = 4\left( {m + 2} \right).\)
Câu 35 :
Tìm \(b,\,\,c\) để phương trình \({x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm là \({x_1} = - 2;\,\,{x_2} = 3.\)
Câu 36 :
Cho phương trình \({x^2} - (2m - 3)x + {m^2} - 3m = 0\). Xác định m để phương trình có hai nghiệm \({x_1}\,\,;\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(1 < {x_1} < {x_2} < 6\).
Câu 37 :
Tìm \(m\) để phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4m = 0\) (\(x\) là ẩn, \(m\) là tham số) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^3 - x_1^2 = x_2^3 - x_2^2\).
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Chọn phát biểu đúng. Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$. Khi đó
Đáp án : A Phương pháp giải :
Dựa vào kiến thức về hệ thức Viète Lời giải chi tiết :
Cho phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0\,(a \ne 0).$ Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..\)
Câu 2 :
Chọn phát biểu đúng. Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có $a - b + c = 0$. Khi đó
Đáp án : C Phương pháp giải :
+) Nếu phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có $a + b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm ${x_1} = 1$, nghiệm kia là ${x_2} = \dfrac{c}{a}.$ + ) Nếu phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có $a - b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm ${x_1} = - 1$, nghiệm kia là ${x_2} = - \dfrac{c}{a}.$ Lời giải chi tiết :
Chọn phát biểu đúng. Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có $a - b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm ${x_1} = - 1$, nghiệm kia là ${x_2} = - \dfrac{c}{a}.$
Câu 3 :
Cho hai số có tổng là $S$ và tích là $P$ với ${S^2} \ge 4P$. Khi đó hai số đó là hai nghiệm của phương trình nào dưới đây?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Dựa vào kiến thức về tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng. Lời giải chi tiết :
Nếu hai số có tổng bằng $S$ và tích bằng $P$ thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình ${x^2} - Sx + P = 0$ (Điều kiện để có hai số đó là ${S^2} - 4P \ge 0$)
Câu 4 :
Không giải phương trình, tính tổng hai nghiệm (nếu có) của phương trình ${x^2} - 6x + 7 = 0$
Đáp án : C Phương pháp giải :
Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..\) Lời giải chi tiết :
Phương trình ${x^2} - 6x + 7 = 0$ có $\Delta = {\left( { - 6} \right)^2} - 4.1.7 = 8 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$ Theo định lí Viète, ta có ${x_1} + {x_2} = - \dfrac{{ - 6}}{1} = 6$
Câu 5 :
Gọi ${x_1};{x_2}$ là nghiệm của phương trình ${x^2} - 5x + 2 = 0$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $A = x_1^2 + x_2^2$
Đáp án : B Phương pháp giải :
Bước 1: Sử dụng định lí Viète Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..\) Bước 2: Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng để biến đổi $A = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}$ Lời giải chi tiết :
Phương trình ${x^2} - 5x + 2 = 0$ có $\Delta = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.1.2 = 17 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$ Theo định lí Vi-et ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{-(-5)}{1} = 5\\{x_1}.{x_2} = \frac{2}{1} = 2\end{array} \right.\). Ta có $A = x_1^2 + x_2^2 = \left(x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2\right) - 2{x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {5^2} - 2.2 = 21$
Câu 6 :
Gọi ${x_1};{x_2}$ là nghiệm của phương trình ${x^2} - 20x - 17 = 0$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $C = x_1^3 + x_2^3$
Đáp án : D Phương pháp giải :
Bước 1: Sử dụng định lí Viète: Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..\) Bước 2: Biến đổi biểu thức $C$ để sử dụng được định lí Viète. Lời giải chi tiết :
Phương trình ${x^2} - 20x - 17 = 0$ có $\Delta = 468 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$ Theo định lí Viète ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 20\\{x_1}.{x_2} = - 17\end{array} \right.\). Ta có: \(C=x_1^3+x_2^3\) $= x_1^3 + 3x_1^2{x_2} + 3{x_1}x_2^2 + x_2^3 - 3x_1^2{x_2} - 3{x_1}x_2^2$ $=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)$ $= {20^3} - 3.\left( { - 17} \right).20 = 9020$
Câu 7 :
Gọi ${x_1};{x_2}$ là nghiệm của phương trình $ - 2{x^2} - 6x - 1 = 0$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $N = \dfrac{1}{{{x_1} + 3}} + \dfrac{1}{{{x_2} + 3}}$
Đáp án : A Phương pháp giải :
Bước 1: Sử dụng định lí Viète Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..\) Bước 2: Biến đổi biểu thức $N$ để sử dụng được định lí Viète. Lời giải chi tiết :
Phương trình $ - 2{x^2} - 6x - 1 = 0$ có $\Delta = {\left( { - 6} \right)^2} - 4.\left( { - 2} \right).\left( { - 1} \right) = 28 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$ Theo định lí Viète ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 3\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\). Ta có: $N = \dfrac{1}{{{x_1} + 3}} + \dfrac{1}{{{x_2} + 3}} \\= \dfrac{{{x_1} + {x_2} + 6}}{{{x_1}{x_2} + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 9}} \\= \dfrac{{ - 3 + 6}}{{\dfrac{1}{2} + 3.\left( { - 3} \right) + 9}}$$ = 6$
Câu 8 :
Biết rằng phương trình $\left( {m - 2} \right){x^2} - \left( {2m + 5} \right)x + m + 7 = 0\,\left( {m \ne 2} \right)$ luôn có nghiệm ${x_1};{x_2}$ với mọi $m$. Tìm ${x_1};{x_2}$ theo $m$.
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng cách nhẩm nghiệm: Xét phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)$. +) Nếu phương trình có $a + b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm ${x_1} = 1$, nghiệm kia là ${x_2} = \dfrac{c}{a}.$ + ) Nếu phương trình có $a - b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm ${x_1} = - 1$, nghiệm kia là ${x_2} = - \dfrac{c}{a}.$ Lời giải chi tiết :
Phương trình $\left( {m - 2} \right){x^2} - \left( {2m + 5} \right)x + m + 7 = 0$ có $a = m - 2;b = - 2m - 5;c = m + 7$ Vì $a + b + c = m - 2 - 2m - 5 + m + 7 = 0$ nên phương trình có hai nghiệm ${x_1} = 1;{x_2} = \dfrac{{m + 7}}{{m - 2}}$.
Câu 9 :
Tìm hai nghiệm của phương trình $18{x^2} + 23x + 5 = 0$ sau đó phân tích đa thức $A = 18{x^2} + 23x + 5$ sau thành nhân tử.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Bước 1 : Tìm hai nghiệm của phương trình đã cho Bước 2 : Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng Nếu tam thức bậc hai $a{x^2} + bx + c{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)$ có hai nghiệm ${x_1}$ và ${x_2}$ thì nó được phân tích thành nhân tử: $a{x^2} + bx + c = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)$ Lời giải chi tiết :
Phương trình $18{x^2} + 23x + 5 = 0$ có $a - b + c = 18 - 23 + 5 = 0$ nê phương trình có hai nghiệm phân biệt là ${x_1} = - 1;{x_2} = - \dfrac{5}{{18}}$. Khi đó $A = 18.\left( {x + 1} \right)\left( {x + \dfrac{5}{{18}}} \right)$.
Câu 10 :
Tìm $u - v$ biết rằng $u + v = 15,uv = 36$ và $u > v$
Đáp án : C Phương pháp giải :
Để tìm hai số $u,v$ khi biết tổng $S = u + v$ và tích $P = uv$, ta làm như sau: + Xét điều kiện ${S^2} - 4P \ge 0$. Giải phương trình ${x^2} - Sx + P = 0$ để tìm các nghiệm ${x_1},{x_2}$. + Khi đó các số cần tìm $u,v$ là $u = {x_1},v = {x_2}$ hoặc $u = {x_2},v = {x_1}$. Lời giải chi tiết :
Ta có $S = u + v = 15,P = uv = 36$ . Vì ${S^2} - 4P = 225 - 144 = 81> 0$ nên $u,v$ là hai nghiệm của phương trình ${x^2} - 15x + 36 = 0$ $\left( {x - 12} \right)\left( {x - 3} \right) = 0$ $x - 12 = 0$ hoặc $x - 3 = 0$ $x = 12$ hoặc $x = 3$ Vậy $u = 12;v = 3$ (vì $u > v$) nên $u - v = 12 - 3 = 9$.
Câu 11 :
Lập phương trình nhận hai số $3 - \sqrt 5 $ và $3 + \sqrt 5 $ làm nghiệm.
Đáp án : B Phương pháp giải :
Bước 1: Tìm tổng $S$ và tích $P$ của hai nghiệm. Bước 2: Hai số đó là hai nghiệm của phương trình ${x^2} - Sx + P = 0$ (ĐK: ${S^2} - 4P \ge 0$) Lời giải chi tiết :
Ta có $S = 3 - \sqrt 5 + 3 + \sqrt 5 = 6$ và $P = \left( {3 - \sqrt 5 } \right)\left( {3 + \sqrt 5 } \right) = 4$ Vì ${S^2} - 4P = 36 - 16 = 20 > 0$ nên hai số $3 - \sqrt 5 $ và $3 + \sqrt 5 $ là nghiệm của phương trình ${x^2} - 6x + 4 = 0$.
Câu 12 :
Biết rằng phương trình \({x^2} - \left( {2a - 1} \right)x - 4a - 3 = 0\) luôn có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$ với mọi $a$. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào \(a\).
Đáp án : D Phương pháp giải :
- Sử dụng định lí Viète: Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,(a \ne 0)$ thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..\) -Biến đổi hệ thức thu được (dùng phương pháp cộng đại số, phương pháp thế…) để triệt tiêu tham số. Lời giải chi tiết :
Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2a - 1\\{x_1} \cdot {x_2} = - 4a - 3\end{array} \right.\) $\left\{ \begin{array}{l}2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 4a - 2\\{x_1}.{x_2} = - 4a - 3\end{array} \right.$ Cộng từng vế của hai phương trình trong hệ với nhau, ta được: $2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2} = - 5$ Vậy hệ thức cần tìm là $2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2} = - 5$.
Câu 13 :
Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - m + 2 = 0\) có hai nghiệm trái dấu.
Đáp án : B Phương pháp giải :
Xét phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\). Khi đó phương trình có hai nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow ac < 0\). Lời giải chi tiết :
Phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - m + 2 = 0\)$\left( {a = 1;b = - 2\left( {m - 1} \right);c = - m + 2} \right)$ Nên phương trình có hai nghiệm trái dấu khi $ac < 0 \Leftrightarrow 1.\left( { - m + 2} \right) < 0 \Leftrightarrow m > 2$ Vậy $m > 2$ là giá trị cần tìm.
Câu 14 :
Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + 8 - 4m = 0\) có hai nghiệm âm phân biệt.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Xét phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm âm phân biệt khi \(\Delta > 0\) (\(\Delta ' > 0\)), \(P > 0\) và \(S < 0\). Lời giải chi tiết :
Phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + 8 - 4m = 0\) có $ {a = 1;b' = - \left( {m - 3} \right);c = 8 - 4m} $ Ta có $\Delta ' = {\left( {m - 3} \right)^2} - \left( {8 - 4m} \right) $$= {m^2} - 2m + 1 = {\left( {m - 1} \right)^2}$; Áp dụng định lí Viète, ta có: $S = {x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 3} \right);$$P = {x_1}.{x_2} = 8 - 4m$ Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi: +) \(\Delta ' > 0\) hay \({\left( {m - 1} \right)^2} > 0\) suy ra \(m \ne 1\) +) $S = {x_1} + {x_2} < 0$ hay $2\left( {m - 3} \right) < 0$ suy ra $m < 3$ +) $P = {x_1}.{x_2} > 0$ hay $8 - 4m > 0$ suy ra \(m < 2\) Kết hợp 3 điều kiện trên, ta được \(m \ne 1\) và \(m < 2\) Vậy $m < 2$ và $m \ne 1$ là giá trị cần tìm.
Câu 15 :
Tìm các giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \({x^2} - 6x + 2m + 1 = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt
Đáp án : D Phương pháp giải :
Xét phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\). Khi đó phương trình có hai nghiệm dương phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\\S > 0\end{array} \right.\). Lời giải chi tiết :
Phương trình \({x^2} - 6x + 2m + 1 = 0\)$\left( {a = 1;b' = - 3;c = 2m + 1} \right)$ Ta có $\Delta ' = 9 - 2m - 1 = 8 - 2m$; $S = {x_1} + {x_2} = 6;P = {x_1}.{x_2} = 2m + 1$ Vì $a = 1 \ne 0$nên phương trình có hai nghiệm dương phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\P > 0\\S > 0\end{array} \right.\)$\left\{ \begin{array}{l}8 - 2m > 0\\6 > 0\\2m + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 4\\m > - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} < m < 4$ mà $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}$ Vậy $m \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}$.
Câu 16 :
Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + 3\left( {m - 2} \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
Đáp án : C Phương pháp giải :
Xét phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\). Khi đó phương trình có hai nghiệm cùng dấu \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\end{array} \right.\). Lời giải chi tiết :
Phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + 3\left( {m - 2} \right) = 0\)$\left( {a = m;b = - 2\left( {m - 2} \right);c = 3\left( {m - 2} \right)} \right)$ Ta có $\Delta ' = {\left( {m - 2} \right)^2} - 3m\left( {m - 2} \right) = - 2{m^2} + 2m + 4 = \left( {4 - 2m} \right)\left( {m + 1} \right)$; $P = {x_1}.{x_2} = \dfrac{{3\left( {m - 2} \right)}}{m}$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta > 0\\P > 0\end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\left( {4 - 2m} \right)\left( {m + 1} \right) > 0\\\dfrac{{3\left( {m - 2} \right)}}{m} > 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\ - 1 < m < 2\\\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow - 1 < m < 0$ Vậy $ - 1 < m < 0$ là giá trị cần tìm.
Câu 17 :
Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \({x^2} - mx - m - 1 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn: \(x_1^3 + x_2^3 = - 1\).
Đáp án : B Phương pháp giải :
Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta \ge 0\end{array} \right.\). Bước 2. Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét, tìm được điều kiện của tham số. Bước 3. Kiểm tra điều kiện của tham số xem có thỏa mãn điều kiện ở bước 1 hay không rồi kết luận. Lời giải chi tiết :
Phương trình \({x^2} - mx - m - 1 = 0\) có $a = 1 \ne 0$ và $\Delta = {m^2} - 4\left( {m - 1} \right) = {\left( {m - 2} \right)^2}$$ \ge 0;\forall m$ nên phương trình luôn có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) Theo hệ thức Vi-ét ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}.{x_2} = - m - 1\end{array} \right.$ Xét \(x_1^3 + x_2^3 = - 1\)$ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = - 1 \Leftrightarrow {m^3} - 3m\left( { - m - 1} \right) = - 1 \Leftrightarrow {m^3} + 3{m^2} + 3m + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^3} = 0 \Leftrightarrow m = - 1$ Vậy $m = - 1$ là giá trị cần tìm.
Câu 18 :
Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \({x^2} - 5x + m + 4 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn: \(x_1^2 + x_2^2 = 23\).
Đáp án : C Phương pháp giải :
Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta \ge 0\end{array} \right.\). Bước 2. Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét, tìm được điều kiện của tham số. Bước 3. Kiểm tra điều kiện của tham số xem có thỏa mãn điều kiện ở bước 1 hay không rồi kết luận. Lời giải chi tiết :
Phương trình \({x^2} - 5x + m + 4 = 0\) có $a = 1 \ne 0$ và $\Delta = 25 - 4\left( {m + 4} \right) = 9 - 4m$ Phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) khi $\Delta \ge 0 \Leftrightarrow 9 - 4m \ge 0 \Leftrightarrow m \le \dfrac{9}{4}$. Theo hệ thức Vi-ét ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 5\\{x_1}.{x_2} = m + 4\end{array} \right.$ Xét \(x_1^2 + x_2^2 = 23\)$ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 23 \Leftrightarrow 25 - 2m - 8 = 23 \Leftrightarrow m = - 3\,\,\left( {TM} \right)$ Vậy $m = - 3$ là giá trị cần tìm.
Câu 19 :
Giá trị nào dưới đây gần nhất với giá trị của \(m\)để phương trình \({x^2} + 3x - m = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn: \(2{x_1} + 3{x_2} = 13\).
Đáp án : D Phương pháp giải :
Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta \ge 0\end{array} \right.\). Bước 2. Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét, tìm được điều kiện của tham số. Bước 3. Kiểm tra điều kiện của tham số xem có thỏa mãn điều kiện ở bước 1 hay không rồi kết luận. Lời giải chi tiết :
Phương trình \({x^2} + 3x - m = 0\) có $a = 1 \ne 0$ và $\Delta = 9 + 4m$ Phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) khi $\Delta \ge 0 \Leftrightarrow 9 + 4m \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - \dfrac{9}{4}$. Theo hệ thức Vi-ét ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 3\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_1}.{x_2} = - m\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$ Xét \(2{x_1} + 3{x_2} = 13\)$ \Leftrightarrow {x_1} = \dfrac{{13 - 3{x_2}}}{2}$ thế vào phương trình $\left( 1 \right)$ ta được $\dfrac{{13 - 3{x_2}}}{2} + {x_2} = - 3 \Leftrightarrow {x_2} = 19 \Rightarrow {x_1} = - 22$ Từ đó phương trình $\left( 2 \right)$ trở thành $ - 19.22 = - m \Leftrightarrow m = 418$ (nhận) Vậy $m = 418$ là giá trị cần tìm.
Câu 20 :
Tìm giá trị của \(m\) để phương trình \({x^2} + (4m + 1)x + 2(m - 4) = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) và biểu thức \(A = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Đáp án : B Phương pháp giải :
Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta \ge 0\end{array} \right.\). Bước 2. Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét, tìm được điều kiện của tham số. Bước 3. Kiểm tra điều kiện của tham số xem có thỏa mãn điều kiện ở bước 1 hay không rồi kết luận. Lời giải chi tiết :
Phương trình \({x^2} + (4m + 1)x + 2(m - 4) = 0\) có $a = 1 \ne 0$ và $\Delta = {\left( {4m + 1} \right)^2} - 8\left( {m - 4} \right) = 16{m^2} + 33 > 0;\forall m$ Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\). Theo hệ thức Vi-ét ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 4m - 1\\{x_1}.{x_2} = 2m - 8\end{array} \right.$ Xét \(A = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 16{m^2} + 33 \ge 33\) Dấu “=” xảy ra khi $m = 0$ Vậy $m = 0$ là giá trị cần tìm.
Câu 21 :
Tìm giá trị của \(m\) để phương trình \({x^2} - 2(m - 2)x + 2m - 5 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1}(1 - {x_2}) + {x_2}(1 - {x_1}) < 4\)
Đáp án : A Phương pháp giải :
Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta \ge 0\end{array} \right.\). Bước 2. Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét, tìm được điều kiện của tham số. Bước 3. Kiểm tra điều kiện của tham số xem có thỏa mãn điều kiện ở bước 1 hay không rồi kết luận. Lời giải chi tiết :
Phương trình \({x^2} - 2(m - 2)x + 2m - 5 = 0\) có $a = 1 \ne 0$ và $\Delta ' = {\left( {m - 2} \right)^2} - 2m + 5 = {m^2} - 6m + 9 = {\left( {m - 3} \right)^2} \ge 0;\forall m$ Nên phương trình luôn có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\). Theo hệ thức Vi-ét ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - 4\\{x_1}.{x_2} = 2m - 5\end{array} \right.$ Xét \({x_1}(1 - {x_2}) + {x_2}(1 - {x_1}) < 4\)$ \Leftrightarrow \left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2{x_1}{x_2} - 4 < 0 \Leftrightarrow 2m - 4 - 2\left( {2m - 5} \right) - 4 < 0$ $ \Leftrightarrow - 2m + 2 < 0 \Leftrightarrow m > 1$ Vậy $m > 1$ là giá trị cần tìm.
Câu 22 :
Cho phương trình \({x^2} + mx + n - 3 = 0\). Tìm m và n để hai nghiệm \({x_1}\,\,;\,\,{x_2}\) của phương trình thỏa mãn hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} - {x_2} = 1\\x_1^2 - x_2^2 = 7\end{array} \right.\)
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng biểu thức \(\Delta \) để tìm điều kiện phương trình có 2 nghiệm, sử dụng định lý Vi – ét biến đổi biểu thức theo \({x_1} + {x_2}\,\,;\,\,{x_1}{x_2}\). Từ đó tìm điều kiện của m và n. Lời giải chi tiết :
\(\Delta = {m^2} - 4(n - 3) = {m^2} - 4n + 12\). Phương trình có hai nghiệm \({x_1}\,\,;\,\,{x_2}\)\( \Leftrightarrow \Delta \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4n + 12 \ge 0\) Áp dụng định lý Vi – ét ta có: \({x_1} + {x_2} = - m\,\,\,;\,\,{x_1}{x_2} = n - 3\,\,\,.\) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} Thử lại ta có: \(\Delta = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.15 + 12 = 1 > 0\,\,\,\left( {tm} \right)\) Vậy \(m = - 7;\,\,n = 15.\)
Câu 23 :
Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 3m - 1 = 0\), (\(m\) là tham số). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 10\).
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng hệ thức Vi-ét. Lời giải chi tiết :
Để phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 3m - 1 = 0\) (*) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thì: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\Delta ' > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - {m^2} - 3m + 1 > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 - {m^2} - 3m + 1 > 0\\ \Leftrightarrow - m + 2 > 0\\ \Leftrightarrow m < 2\end{array}\) Khi đó, áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right) = 2m + 2\\{x_1}{x_2} = {m^2} + 3m - 1\end{array} \right.\). Theo bài ra ta có: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,x_1^2 + x_2^2 = 10\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10\\ \Leftrightarrow {\left( {2m + 2} \right)^2} - 2\left( {{m^2} + 3m - 1} \right) = 10\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 8m + 4 - 2{m^2} - 6m + 2 = 10\\ \Leftrightarrow 2{m^2} + 2m - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - m + 2m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {m - 1} \right) + 2\left( {m - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 1 = 0\\m + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 2\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\) Vậy \(m = 1\) hoặc \(m = - 2\).
Câu 24 :
Tìm \(a, b\) để đường thẳng \(y = ax + b\) song song với đường thẳng \(y = 4x + 5\) và cắt đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) tại hai điểm \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right)\), \(B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) phân biệt thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 10\).
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng hệ thức Vi-ét Lời giải chi tiết :
Vì đường thẳng \(y = ax + b\) song song với đường thẳng \(y = 4x + 5\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b \ne 5\end{array} \right.\). Khi đó phương trình đường thẳng cần tìm có dạng \(y = 4x + b\,\,\left( {b \ne 5} \right)\). Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(y = 4x + b\,\,\left( {b \ne 5} \right)\) và parabol \(y = {x^2}\): \({x^2} = 4x + b \Leftrightarrow {x^2} - 4x - b = 0\,\,\left( * \right)\) Để đường thẳng \(y = 4x + b\,\,\left( {b \ne 5} \right)\) cắt parabol \(y = {x^2}\) tại 2 điểm phân biệt \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right)\), \(B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\). \( \Rightarrow \Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} + b = 4 + b > 0 \Leftrightarrow b > - 4\). Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 4\\{x_1}{x_2} = - b\end{array} \right.\). Theo bài ra ta có: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,x_1^2 + x_2^2 = 10\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10\\ \Leftrightarrow {4^2} + 2b = 10\\ \Leftrightarrow 16 + 2b = 10\\ \Leftrightarrow 2b = - 6\\ \Leftrightarrow b = - 3\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\) Vậy \(a = 4,\,\,b = - 3\).
Câu 25 :
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 6 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) sao cho \(x_1^2 + 4{x_1} + 2{x_2} - 2m{x_1} = - 3\).
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng hệ thức Vi-ét Lời giải chi tiết :
Để phương trình đã cho có 2 nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) thì: \(\begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {{m^2} - 6} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 - {m^2} + 6 \ge 0\\ \Leftrightarrow - 2m + 7 \ge 0\\ \Leftrightarrow 2m \le 7\\ \Leftrightarrow m \le \dfrac{7}{2}\end{array}\) Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right) = 2m - 2\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 6\end{array} \right.\). Theo bài ra ta có: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,x_1^2 + 4{x_1} + 2{x_2} - 2m{x_1} = - 3\\ \Leftrightarrow x_1^2 - 2\left( {m - 1} \right){x_1} + {m^2} - 6 + 2{x_1} + 2{x_2} = {m^2} - 6 - 3\\ \Leftrightarrow x_1^2 - 2\left( {m - 1} \right){x_1} + {m^2} - 6 + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = {m^2} - 9\,\,\left( * \right)\end{array}\) Vì \({x_1}\) là nghiệm của phương trình đã cho nên \(x_1^2 - 2\left( {m - 1} \right){x_1} + {m^2} - 6 = 0\), do đó \(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = {m^2} - 9\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2.\left( {2m - 2} \right) = {m^2} - 9\\\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 4m - 4 = {m^2} - 9\\\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {m^2} - 4m - 5 = 0\\\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {m^2} + m - 5m - 5 = 0\\\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow m\left( {m + 1} \right) - 5\left( {m + 1} \right) = 0\\\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {m - 5} \right) = 0\\\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 1 = 0\\m - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\,\,\left( {tm} \right)\\m = 5\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\) Vậy \(m = - 1\).
Câu 26 :
Cho phương trình \({x^2} + 4x + 3m - 2 = 0\), với \(m\) là tham số. Câu 26.1
Giải phương trình với \(m = - 1\).
Đáp án : D Phương pháp giải :
Thay m=-1 vào rồi giải phương trình thu được. Lời giải chi tiết :
Thay \(m = - 1\) vào phương trình đã cho ta có: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^2} + 4x - 5 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - x + 5x - 5 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) + 5\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 5\end{array} \right.\end{array}\) Vậy khi \(m = - 1\) thì tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {1; - 5} \right\}\). Câu 26.2
Tìm giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có một nghiệm \(x = 2\).
Đáp án : B Phương pháp giải :
Thay x=2 vào phương trình để tìm m. Lời giải chi tiết :
Vì \(x = 2\) là một nghiệm của phương trình nên thay \(x = 2\) vào phương trình ta có: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{2^2} + 4.2 + 3m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 3m + 10 = 0\\ \Leftrightarrow m = - \dfrac{{10}}{3}\end{array}\) Vậy khi \(m = - \dfrac{{10}}{3}\) thì phương trình đã cho có một nghiệm \(x = 2\). Câu 26.3
Tìm giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) sao cho \({x_1} + 2{x_2} = 1\).
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng định lý Vi-ét. Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - \left( {3m - 2} \right) = 4 - 3m + 2 = 6 - 3m\). Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thì \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow 6 - 3m > 0 \Leftrightarrow m < 2\). Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 4\\{x_1}{x_2} = 3m - 2\end{array} \right.\,\,\left( * \right)\). Theo bài ra ta có: \({x_1} + 2{x_2} = 1 \Leftrightarrow {x_1} = 1 - 2{x_2}\). Thế vào hệ (*) ta có: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}1 - 2{x_2} + {x_2} = - 4\\\left( {1 - 2{x_2}} \right).{x_2} = 3m - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 5\\\left( {1 - 2.5} \right).5 = 3m - 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 5\\3m - 2 = - 45\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 5\\m = - \dfrac{{43}}{3}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\) Vậy \(m = - \dfrac{{43}}{3}\).
Câu 27 :
Cho phương trình \({x^2} - 2mx - 4m - 5 = 0\) (1) (\(m\) là tham số). Câu 27.1
Giải phương trình (1) khi \(m = - 2\).
Đáp án : B Phương pháp giải :
Thay m=-2 vào phương trình đã cho rồi giải phương trình thu được. Lời giải chi tiết :
Thay \(m = - 2\) vào phương trình (1) ta có: \({x^2} + 4x + 3 = 0\). Nhận xét thấy \(a - b + 3 = 1 - 4 + 3 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = - 1\\{x_2} = - \dfrac{c}{a} = - 3\end{array} \right.\). Vậy khi \(m = - 2\) thì tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 1; - 3} \right\}\). Câu 27.2
Tìm \(m\) để phương trình (1) có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn: \(\dfrac{1}{2}x_1^2 - \left( {m - 1} \right){x_1}{\kern 1pt} + {x_2} - 2m + \dfrac{{33}}{2} = 4059\)
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng hệ thức Vi-ét Lời giải chi tiết :
\(\dfrac{1}{2}x_1^2 - \left( {m - 1} \right){x_1}{\kern 1pt} + {x_2} - 2m + \dfrac{{33}}{2} = 4059\). Phương trình (1) có \(\Delta ' = {m^2} - \left( {4m - 5} \right) = {m^2} + 4m + 5 = {\left( {m + 2} \right)^2} + 1 > 0\,\,\forall m\). Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m\). Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = - 4m - 5\end{array} \right.\). Theo bài ra ta có: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\dfrac{1}{2}x_1^2 - \left( {m - 1} \right){x_1}{\kern 1pt} + {x_2} - 2m + \dfrac{{33}}{2} = 4059\\ \Leftrightarrow x_1^2 - 2\left( {m - 1} \right){x_1}{\kern 1pt} + 2{x_2} - 4m + 33 = 8118\\ \Leftrightarrow x_1^2 - 2m{x_1} + 2{x_1}{\kern 1pt} + 2{x_2} - 4m = 8085\\ \Leftrightarrow x_1^2 - 2m{x_1} - 4m - 5 + 2{x_1}{\kern 1pt} + 2{x_2} = 8085 - 5\\ \Leftrightarrow \left( {x_1^2 - 2m{x_1} - 4m - 5} \right) + 2\left( {{x_1}{\kern 1pt} + {x_2}} \right) = 8080\,\,\,\left( * \right)\end{array}\) Vì \({x_1}\) là nghiệm của phương trình (1) nên ta có: \(x_1^2 - 2m{x_1} - 4m - 5 = 0\). Do đó: \(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 8080\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = 4040\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2m = 4040\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow m = 2020\end{array}\) Vậy \(m = 2020\).
Câu 28 :
Cho phương trình bậc hai \({x^2} - 2x + m - 1 = 0\) (*), với \(m\) là tham số Câu 28.1
Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình (*) có nghiệm
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn. Lời giải chi tiết :
Xét phương trình \({x^2} - 2x + m - 1 = 0\) (*) có: \(\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - 1.\left( {m - 1} \right) = 2 - m\) Để phương trình (*) có nghiệm thì \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \ne 0\left( {ld} \right)\\2 - m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 2\) Vậy với \(m \le 2\) thì phương trình (*) có nghiệm. Câu 28.2
Tính theo \(m\) giá trị của biểu thức \(A = x_1^3 + x_2^3\) với \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình (*). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(A.\)
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng hệ thức Vi-ét Lời giải chi tiết :
Theo câu trước với \(m \le 2\) thì phương trình (*) có nghiệm \({x_1},{x_2}\) Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = m - 1\end{array} \right.\) Xét \(A = x_1^3 + x_2^3\) \(\begin{array}{l} = x_1^3 + 3x_1^2{x_2} + 3{x_1}x_2^2 + x_2^3 - \left( {3x_1^2{x_2} + 3{x_1}x_2^2} \right)\\ = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\\ = {2^3} - 3\left( {m - 1} \right).2\\ = 8 - 6\left( {m - 1} \right)\\ = 8 - 6m + 6\\ = 14 - 6m\end{array}\) Vậy \(A = 14 - 6m\) Vì \(m \le 2\) nên ta có: \(6m \le 12 \Leftrightarrow 14 - 6m \ge 14 - 12 \Leftrightarrow 14 - 6m \ge 2\) Dấu “=” xảy ra khi \(m = 2\) Vậy giá trị nhỏ nhất của A là \(2 \Leftrightarrow m = 2\).
Câu 29 :
Cho phương trình ẩn x: \({x^2} - 5x + \left( {m - 2} \right) = 0\,\,\,\left( 1 \right)\). Câu 29.1
Giải phương trình (1) với \(m = 6\).
Đáp án : B Phương pháp giải :
Thay m=6 vào phương trình rồi giải. Lời giải chi tiết :
Với \(m = 6\) thì phương trình (1) trở thành: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x^2} - 5x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - x - 4x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - x} \right) - \left( {4x - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) - 4\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right.\end{array}\) Vậy với \(m = 6\) thì tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {1;4} \right\}\). Câu 29.2
Tìm \(m\) để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn hệ thức \(\dfrac{1}{{\sqrt {{x_1}} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x_2}} }} = \dfrac{3}{2}\).
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng hệ thức Vi-ét Lời giải chi tiết :
Để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( { - 5} \right)^2} - 4\left( {m - 2} \right) > 0\\5 > 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\\m - 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}25 - 4m + 8 > 0\\m > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}33 - 4m > 0\\m > 2\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{{33}}{4}\\m > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 < m < \dfrac{{33}}{4}\). Khi đó áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 5\\{x_1}{x_2} = m - 2\end{array} \right.\). Theo bài ra ta có: \(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{\sqrt {{x_1}} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x_2}} }} = \dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} }}{{\sqrt {{x_1}{x_2}} }} = \dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow 2\left( {\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} } \right) = 3\sqrt {{x_1}{x_2}} \\ \Leftrightarrow 4\left( {{x_1} + {x_2} + 2\sqrt {{x_1}{x_2}} } \right) = 9{x_1}{x_2}\\ \Leftrightarrow 4\left( {5 + 2\sqrt {m - 2} } \right) = 9\left( {m - 2} \right)\\ \Leftrightarrow 9\left( {m - 2} \right) - 8\sqrt {m - 2} - 20 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\) Đặt \(t = \sqrt {m - 2} \,\,\left( {t \ge 0} \right)\), phương trình (*) trở thành: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,9{t^2} - 8t - 20 = 0\\ \Leftrightarrow 9{t^2} - 18t + 10t - 20 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {9{t^2} - 18t} \right) + \left( {10t - 20} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 9t\left( {t - 2} \right) + 10\left( {t - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left( {9t + 10} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 2 = 0\\9t + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = - \dfrac{{10}}{9}\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\) Với \(t = 2\) \( \Rightarrow \sqrt {m - 2} = 2 \Leftrightarrow m - 2 = 4 \Leftrightarrow m = 6\,\,\left( {tm} \right)\). Vậy \(m = 6\).
Câu 30 :
Cho phương trình: \({x^2} - 2020x + 2021 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,{x_2}\). Không giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức sau: Câu 30.1
\(\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}}\)
Đáp án : A Phương pháp giải :
Tính \(\Delta ' = {b^{'2}} - ac > 0\) chứng minh phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}.\) Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2020\\{x_1}{x_2} = 2021\end{array} \right.\) Từ đó biến đổi và tính giá trị của các biểu thức bài cho. Lời giải chi tiết :
Xét phương trình: \({x^2} - 2020x + 2021 = 0\,\,\,\left( * \right)\) Ta có: \(\Delta ' = {1010^2} - 2021 = 1018079 > 0\) \( \Rightarrow \) Phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2020\\{x_1}{x_2} = 2021\end{array} \right.\) Ta có: \(\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} = \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \dfrac{{2020}}{{2021}}.\) Câu 30.2
\(x_1^2 + x_2^2\)
Đáp án : C Phương pháp giải :
Tính \(\Delta ' = {b^{'2}} - ac > 0\) chứng minh phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}.\) Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2020\\{x_1}{x_2} = 2021\end{array} \right.\) Từ đó biến đổi và tính giá trị của các biểu thức bài cho. Lời giải chi tiết :
Xét phương trình: \({x^2} - 2020x + 2021 = 0\,\,\,\left( * \right)\) Ta có: \(\Delta ' = {1010^2} - 2021 = 1018079 > 0\) \( \Rightarrow \) Phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2020\\{x_1}{x_2} = 2021\end{array} \right.\) Ta có: \(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\) \( = {2020^2} - 2.2021 = 4076358\)
Câu 31 :
Cho phương trình \({x^2} + 5x + m - 2 = 0\) (\(m\) là tham số). Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,{x_2}\) thỏa mãn hệ thức \(\dfrac{1}{{{{\left( {{x_1} - 1} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {{x_2} - 1} \right)}^2}}} = 1\)
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng hệ thức Vi-ét Lời giải chi tiết :
Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} \ne 1,\,\,{x_2} \ne 1\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\1 + 5 + m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{5^2} - 4\left( {m - 2} \right) > 0\\m + 4 \ne 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}25 - 4m + 8 > 0\\m \ne - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m < 33\\m \ne - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{{33}}{4}\\m \ne - 4\end{array} \right.\). Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 5\\{x_1}{x_2} = m - 2\end{array} \right.\). Theo bài ra ta có: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\dfrac{1}{{{{\left( {{x_1} - 1} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {{x_2} - 1} \right)}^2}}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {{x_1} - 1} \right)}^2} + {{\left( {{x_2} - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x_1} - 1} \right)}^2}.{{\left( {{x_2} - 1} \right)}^2}}} = 1\\ \Leftrightarrow x_1^2 - 2{x_1} + 1 + x_2^2 - 2{x_2} + 1 = {\left[ {{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1} \right]^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2 = {\left[ {{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1} \right]^2}\\ \Rightarrow 25 - 2\left( {m - 2} \right) - 2.\left( { - 5} \right) + 2 = {\left( {m - 2 + 5 + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 25 - 2m + 4 + 10 + 2 = {\left( {m + 4} \right)^2}\\ \Leftrightarrow - 2m + 41 = {m^2} + 8m + 16\\ \Leftrightarrow {m^2} + 10m - 25 = 0\,\,\left( * \right)\end{array}\) Ta có: \({\Delta _m} = {\left( { - 5} \right)^2} - \left( { - 25} \right) = 50 > 0\), do đó phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{m_1} = \dfrac{{ - 10 + \sqrt {50} }}{2} = - 5 + 5\sqrt 2 \\{m_1} = \dfrac{{ - 10 - \sqrt {50} }}{2} = - 5 - 5\sqrt 2 \end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\). Vậy có hai giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(m = - 5 \pm 5\sqrt 2 \).
Câu 32 :
Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 5 = 0\) (\(m\) là tham số). Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình trên có 2 nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(\left( {x_1^2 - 2m{x_1} + 2m - 1} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) \le 0.\)
Đáp án : A Phương pháp giải :
Tìm điều kiện của \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm. Áp dụng hệ thức Vi-et và hệ thức bài cho để tìm \(m.\) Lời giải chi tiết :
Xét phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 5 = 0\) ta có: \(\begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - 2m + 5\\\,\,\,\,\,\,\, = {m^2} - 2m + 1 - 2m + 5\\\,\,\,\,\,\,\, = {m^2} - 4m + 4 + 2\\\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {m - 2} \right)^2} + 2 > 0\,\,\,\forall m\end{array}\) \( \Rightarrow \) Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m.\) Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right) = 2m - 2\\{x_1}{x_2} = 2m - 5\end{array} \right..\) Vì \({x_1}\) là nghiệm của phương trình đã cho nên ta có: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,x_1^2 - 2\left( {m - 1} \right){x_1} + 2m - 5 = 0\\ \Leftrightarrow x_1^2 - 2m{x_1} + 2{x_1} + 2m - 5 = 0\\ \Leftrightarrow x_1^2 - 2m{x_1} + 2m - 1 + 2{x_1} - 4 = 0\\ \Leftrightarrow x_1^2 - 2m{x_1} + 2m - 1 = - 2\left( {{x_1} - 2} \right)\end{array}\) Theo đề bài ta có: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {x_1^2 - 2m{x_1} + 2m - 1} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow - 2\left( {{x_1} - 2} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x_1} - 2} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 \ge 0\\ \Leftrightarrow 2m - 5 - 2\left( {2m - 2} \right) + 4 \ge 0\\ \Leftrightarrow 2m - 1 - 4m + 4 \ge 0\\ \Leftrightarrow - 2m \ge - 3\\ \Leftrightarrow m \le \dfrac{3}{2}\end{array}\) Vậy \(m \le \dfrac{3}{2}\) thỏa mãn điều kiện bài toán.
Câu 33 :
Cho parabol \(\left( P \right):y = - {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = x + m - 2.\) Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 < 3\).
Đáp án : B Phương pháp giải :
Đường thẳng \(d\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt khi phương trình hoành độ giao điểm \(\left( * \right)\) của hai đồ thị hàm số có hai nghiệm phân biệt hay \( \Delta > 0.\) Áp dụng định lí Viète và hệ thức bài cho để tìm \(m.\) Lời giải chi tiết :
Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right):\) \( - {x^2} = x + m - 2\) \({x^2} + x + m - 2 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\) Ta có: \(\Delta = 1 - 4\left( {m - 2} \right) = 9 - 4m\) Đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt khi phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt. Ta có: \(\Delta > 0\) \(9 - 4m > 0\) \(m < \dfrac{9}{4}\) Với \(m < \dfrac{9}{4}\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}.\) Áp dụng định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 1\\{x_1}{x_2} = m - 2\end{array} \right.\). Theo đề bài ta có: \(x_1^2 + x_2^2 < 3\) \(\begin{array}{l}{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} < 3\\ {\left( { - 1} \right)^2} - 2\left( {m - 2} \right) < 3\\1 - 2m + 4 < 3\\ 2m > 2\\ m > 1\end{array}\) Kết hợp với điều kện \(m < \dfrac{9}{4}\) ta được: \(1 < m < \dfrac{9}{4}\) thỏa mãn bài toán.
Câu 34 :
Cho phương trình \({x^2} + 4x - m = 0\,\,\,\left( 1 \right)\) (\(m\)là tham số). Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn: \(\left( {\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}}} \right)\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) = 4\left( {m + 2} \right).\)
Đáp án : D Phương pháp giải :
Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2} \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0.\) Áp dụng hệ thức Vi-ét \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\) và hệ thức bài cho để tìm \(m\), đối chiếu với điều kiện có nghiệm của phương trình rồi kết luận. Lời giải chi tiết :
Phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2} \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0\) \( \Leftrightarrow 4 + m \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - 4.\) Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 4\\{x_1}{x_2} = - m\end{array} \right.\) Theo đề bài ta có: \(\left( {\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}}} \right)\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) = 4\left( {m + 2} \right)\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right] = 4\left( {m + 2} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{4}{m}\left[ {{{\left( { - 4} \right)}^2} - 2m} \right] = 4\left( {m + 2} \right)\,\, & \,\left( {m \ne 0} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{4\left( {16 + 2m} \right)}}{m} = 4\left( {m + 2} \right)\\ \Leftrightarrow 16 + 2m = m\left( {m + 2} \right) & \\ \Leftrightarrow {m^2} = 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 4\,\,\left( {tm} \right)\\m = - 4\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\) Vậy \(m = 4,\,\,m = - 4\) thỏa mãn bài toán.
Câu 35 :
Tìm \(b,\,\,c\) để phương trình \({x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm là \({x_1} = - 2;\,\,{x_2} = 3.\)
Đáp án : D Phương pháp giải :
Thay 2 nghiệm đã cho vào phương trình, giải hệ phương trình gồm hai ẩn \(b,\,\,c.\) Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số để tìm ra \(b,c\). Lời giải chi tiết :
Phương trình \({x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm là \({x_1} = - 2;{x_2} = 3\) nên thay hai giá trị đó vào phương trình sẽ thỏa mãn: \( \left\{ \begin{array}{l}{\left( { - 2} \right)^2} - 2b + c = 0\\{3^2} + 3b + c = 0\end{array} \right. \\\left\{ \begin{array}{l}2b - c = 4\\3b + c = - 9\end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l}2b - c + 3b + c = 4 + \left( { - 9} \right)\\2b - c = 4\end{array} \right.\) \( \left\{ \begin{array}{l}5b = - 5\\c = 2b - 4\end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l}b = - 1\\c = - 6\end{array} \right.\) Vậy \(b = - 1;c = - 6\) thì thỏa mãn bài toán.
Câu 36 :
Cho phương trình \({x^2} - (2m - 3)x + {m^2} - 3m = 0\). Xác định m để phương trình có hai nghiệm \({x_1}\,\,;\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(1 < {x_1} < {x_2} < 6\).
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng biểu thức \(\Delta \) để tìm điều kiện phương trình có 2 nghiệm. Biến đổi điều kiện của đề bài bằng cách sử dụng định lý Vi – ét biến đổi biểu thức theo \({x_1} + {x_2}\,\,;\,\,{x_1}{x_2}\). Từ đó tìm điều kiện của m. Lời giải chi tiết :
Xét phương trình \({x^2} - (2m - 3)x + {m^2} - 3m = 0\) có \(a = 1 \ne 0\) và \(\Delta = {(2m - 3)^2} - 4({m^2} - 3m) = 9 > 0\,\,\,\forall m\). Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt\({x_1}\,\,;\,\,{x_2}\) Áp dụng định lý Vi – ét ta có: \({x_1} + {x_2} = 2m - 3\,\,\,;\,\,{x_1}{x_2} = {m^2} - 3m\,\,\,.\) Ta có: \(\begin{array}{l}1 < {x_1} < {x_2} < 6 \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}({x_1} - 1)({x_2} - 1) > 0\\{x_1} + {x_2} > 1\\({x_1} - 6)({x_2} - 6) > 0\\{x_1} + {x_2} < 12\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} - ({x_1} + {x_2}) + 1 > 0\\{x_1} + {x_2} > 1\\{x_1}{x_2} - 6({x_1} + {x_2}) + 36 > 0\\{x_1} + {x_2} < 12\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 3m - 2m + 3 + 1 > 0\\2m - 3 > 1\\{m^2} - 3m - 6(2m - 3) + 36 > 0\\2m - 3 < 12\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 5m + 4 > 0\\2m > 4\\{m^2} - 15m + 54 > 0\\2m < 15\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 4\end{array} \right.\\m > 2\\\left[ \begin{array}{l}m < 6\\m > 9\end{array} \right.\\m < \dfrac{{15}}{2}\end{array} \right. \\\Leftrightarrow 4 < m < 6\end{array}\)
Câu 37 :
Tìm \(m\) để phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4m = 0\) (\(x\) là ẩn, \(m\) là tham số) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^3 - x_1^2 = x_2^3 - x_2^2\).
Đáp án : C Phương pháp giải :
Phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) khi \( \Delta ' > 0\,.\) Áp dụng định lí Viète ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right..\) Áp dụng biểu thức đề bài để tìm \(m.\) Đối chiếu với điều kiện có nghiệm của phương trình rồi kết luận. Lời giải chi tiết :
Phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2} \) khi \(\Delta ' > 0\) Ta có: \( {\left( {m + 1} \right)^2} - 4m = {\left( {m - 1} \right)^2} \) với mọi \( m \in \mathbb{R}\) Suy ra phương trình có hai nghiệm hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m.\) Áp dụng định lí Viète ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m + 2\\{x_1}{x_2} = 4m\end{array} \right..\) Theo đề bài ta có: \(x_1^3 - x_1^2 = x_2^3 - x_2^2 \) suy ra \(x_1^3 - x_2^3 - \left( {x_1^2 - x_2^2} \right) = 0\) \(\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2} \right) - \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 0\\ \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left[ {x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2 - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)} \right] = 0\\ \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - {x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)} \right] = 0\) \(x_1 - x_2 = 0\) hoặc \({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - {x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 0\) \({x_1} = {x_2}\) hoặc \({\left( {2m + 2} \right)^2} - 4m - 2m - 2 = 0\) Suy ra \(\Delta ' = 0\) hoặc \(4{m^2} + 8m + 4 - 6m - 2 = 0\) \((m - 1)^2 = 0\) hoặc \(4{m^2} + 2m + 2 = 0\) Mà phương trình \(4{m^2} + 2m + 2 = 0\) vô nghiệm nên \(m - 1 = 0\) Suy ra \(m = 1\) Vậy \(m = 1\) thỏa mãn bài toán.
|
