Trắc nghiệm Bài 5: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn Toán 9Đề bài
Câu 1 :
Cho $\left( {O;R} \right)$. Đường thẳng $d$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( {O;R} \right)$ tại tiếp điểm $A$ khi
Câu 2 :
Cho $\left( {O;5cm} \right)$. Đường thẳng $d$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( {O;5\,cm} \right)$, khi đó
Câu 3 :
Cho tam giác $ABC$ có $AC = 3cm,AB = 4cm,BC = 5cm$. Vẽ đường tròn $\left( {C;CA} \right)$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Câu 4 :
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$; đường cao $AH$ và $BK$ cắt nhau tại $I$. Khi đó đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $AI$.
Câu 5 :
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Đường tròn đường kính $BH$ cắt $AB$ tại $D$, đường tròn đường kính $CH$ cắt $AC$ tại $E$ . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau
Câu 6 :
Cho đường tròn $(O;R)$ đường kính $AB$. Vẽ dây $AC$ sao cho \(\widehat {ABC} = 30^\circ \) . Trên tia đối của tia $AB$ lấy điểm $M$ sao cho $AM = R$ . Câu 6.1
Chọn khẳng định đúng?
Câu 6.2
Tính độ dài $MC$ theo $R.$
Câu 7 :
Từ một điểm $A$ ở bên ngoài đường tròn $\left( {O;R} \right)$,vẽ hai tiếp tuyến $AB,AC$ với $\left( O \right)$. Đường thẳng vuông góc với $OB$ tại $O$ cắt tia $AC$ tại $N$. Đường thẳng vuông góc với $OC$ tại $O$ cắt tia $AB$ tại $M$. Câu 7.1
Tứ giác $AMON$ là hình gì?
Câu 7.2
Điểm $A$ phải cách $O$ một khoảng là bao nhiêu để cho $MN$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$?
Câu 8 :
Cho đường tròn$\left( O \right)$ , dây $AB$ khác đường kính. Qua $O$ kẻ đường vuông góc với $AB$ , cắt tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn ở điểm $C$ . Câu 8.1
Chọn khẳng định đúng?
Câu 8.2
Cho bán kính của đường tròn bằng $15\,cm$; $AB = 24cm$. Tính $OC$
Câu 9 :
Cho tam giác $ABC$ có hai đường cao $BD,CE$ cắt nhau tại $H$. Câu 9.1
Xác định tâm $F$ của đường tròn đi qua bốn điểm $A,D,H,E$.
Câu 9.2
Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Đường tròn $\left( F \right)$ ở trên nhận các đường thẳng nào dưới đây là tiếp tuyến
Câu 10 :
Cho hình vẽ dưới đây. Biết \(\widehat {BAC} = {60^0};AO = 10\,cm\). Chọn đáp án đúng.  Câu 10.1
Độ dài bán kính $OB$ là
Câu 10.2
Độ dài tiếp tuyến $AB$ là
Câu 11 :
Cho nửa đường tròn (O ; R), AB là đường kính. Dây BC có độ dài R. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho \(CD = 3R. \) Chọn câu đúng.
Câu 12 :
Cho \(\widehat {xOy}\) , trên Ox lấy P, trên Oy lấy Q sao cho chu vi ∆POQ bằng 2a không đổi. Chọn câu đúng.
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Cho $\left( {O;R} \right)$. Đường thẳng $d$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( {O;R} \right)$ tại tiếp điểm $A$ khi
Đáp án : A Lời giải chi tiết :
Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.
Câu 2 :
Cho $\left( {O;5cm} \right)$. Đường thẳng $d$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( {O;5\,cm} \right)$, khi đó
Đáp án : C Lời giải chi tiết :
Khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến tiếp tuyến bằng bán kính của đường tròn đó.
Câu 3 :
Cho tam giác $ABC$ có $AC = 3cm,AB = 4cm,BC = 5cm$. Vẽ đường tròn $\left( {C;CA} \right)$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng cách chứng minh tiếp tuyến Để chứng minh đường thẳng $d$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( {O;R} \right)$ tại tiếp điểm là $M$ ta chứng minh $OM \bot d$ tại $M$ và $M \in \left( O \right)$. Lời giải chi tiết :
 +) Xét tam giác $ABC$ có \(B{C^2} = {5^2} = 25;A{B^2} + A{C^2} = {4^2} + {3^2} = 25; \Rightarrow B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\) \( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại A (định lý Pytago đảo) \( \Rightarrow AB \bot AC\) mà $A \in \left( {C;CA} \right)$ nên $AB$ là tiếp tuyến của $\left( {C;CA} \right)$
Câu 4 :
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$; đường cao $AH$ và $BK$ cắt nhau tại $I$. Khi đó đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $AI$.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng cách chứng minh tiếp tuyến Để chứng minh đường thẳng $d$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( {O;R} \right)$ tại tiếp điểm là $M$ ta chứng minh $OM \bot d$ tại $M$ và $M \in \left( O \right)$. Lời giải chi tiết :
 Gọi $O$ là trung điểm $AI$. Xét tam giác vuông $AIK$ có $OK = OI = OA \Rightarrow K \in \left( {O;\dfrac{{AI}}{2}} \right)$ (*) Ta đi chứng minh $OK \bot KH$ tại $K$. Xét tam giác $OKA$ cân tại $O$ ta có $\widehat {OKA} = \widehat {OAK}$ $\left( 1 \right)$ Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ có đường cao $AH$ nên $H$ là trung điểm của$BC$ . Xét tam giác vuông $BKC$ có $HK = HB = HC = \dfrac{{BC}}{2}$ Suy ra tam giác $KHB$ cân tại $H$ nên $\widehat {HKB} = \widehat {HBK}$$\left( 2 \right)$ Mà $\widehat {HBK} = \widehat {KAH}$ (cùng phụ với $\widehat {ACB}$) $\left( 3 \right)$ Từ $\left( 1 \right);\left( 2 \right);\left( 3 \right)$ suy ra $\widehat {HKB} = \widehat {AKO}$ mà $\widehat {AKO} + \widehat {OKI} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {HKB} + \widehat {OKI} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {OKH} = 90^\circ $ hay $OK \bot KH$ tại $K$ (**) Từ (*) và (**) thì $HK$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $AI$.
Câu 5 :
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Đường tròn đường kính $BH$ cắt $AB$ tại $D$, đường tròn đường kính $CH$ cắt $AC$ tại $E$ . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng dấu hiệu nhận biết các hình đặc biệt và cách chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn. Lời giải chi tiết :
 Gọi $I$, $J$ lần lượt là trung điểm của $BH$ và $CH.$ Để chứng minh $DE$ là tiếp tuyến của đường tròn tâm $I$ đường kính $BH$ ta chứng minh \(ID \bot DE\) hay $\widehat {ODI} = {90^o}$ Vì $D,E$ lần lượt thuộc đường tròn đường kính $BH$ và $HC$ nên ta có: $\widehat {BDH} = \widehat {CEH} = {90^0}$ Suy ra tứ giác $ADHE$ là hình chữ nhật. Gọi $O$ là giao điểm của $AH$ và$DE$, khi đó ta có $OD = OH = OE = OA$ . Suy ra $\Delta ODH$ cân tại $O \Rightarrow \widehat {ODH} = \widehat {OHD}$ Ta cũng có $\Delta IDH$ cân tại $I$$ \Rightarrow \widehat {IDH} = \widehat {IHD}$ Từ đó $ \Rightarrow \widehat {IDH} + \widehat {HDO} = \widehat {IHD} + \widehat {DHO} \Rightarrow \widehat {IDO} = 90^\circ $$ \Rightarrow ID \bot DE$ Ta có \(ID \bot DE,D \in \left( I \right)\) nên $DE$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $BH$. Từ chứng minh trên suy ra các phương án B,C,D đúng.
Câu 6 :
Cho đường tròn $(O;R)$ đường kính $AB$. Vẽ dây $AC$ sao cho \(\widehat {ABC} = 30^\circ \) . Trên tia đối của tia $AB$ lấy điểm $M$ sao cho $AM = R$ . Câu 6.1
Chọn khẳng định đúng?
Đáp án : A Lời giải chi tiết :
 Tam giác $OBC$ cân tại $O$ có \(\widehat {ABC} = 30^\circ \) suy ra $\widehat {AOC} = 60^\circ $ (góc ngoài tại một đỉnh bằng tổng hai góc trong không kề với nó). Nên tam giác $OCA$ là tam giác đều suy ra \(AC = AO = AM = R.\) \( \Rightarrow \widehat {OCM} = {90^ \circ } \Rightarrow MC\) là tiếp tuyến của \((O;R).\) Câu 6.2
Tính độ dài $MC$ theo $R.$
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng định lý Pytago. Lời giải chi tiết :
 Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông $OCM$, ta có \(O{M^2} = O{C^2} + M{C^2}\)\( \Rightarrow M{C^2} = O{M^2} - O{C^2} = 3{R^2} \Rightarrow MC = \sqrt 3 R.\)
Câu 7 :
Từ một điểm $A$ ở bên ngoài đường tròn $\left( {O;R} \right)$,vẽ hai tiếp tuyến $AB,AC$ với $\left( O \right)$. Đường thẳng vuông góc với $OB$ tại $O$ cắt tia $AC$ tại $N$. Đường thẳng vuông góc với $OC$ tại $O$ cắt tia $AB$ tại $M$. Câu 7.1
Tứ giác $AMON$ là hình gì?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng dấu hiệu nhận biết các hình đặc biệt. Lời giải chi tiết :
 Dễ có $AMON$ là hình bình hành (Vì $ON{\rm{//}}AM;OM{\rm{//}}AN$). Ta chứng minh \(OM = ON\). Xét tam giác $OBM$ và tam giác $OCN$ có : \(\widehat {OBM} = \widehat {OCN} = {90^0};\) \({\rm{ }}OB = OC = R,\) và \(\widehat {OMB} = \widehat {ONC} = \widehat A \) \(\Rightarrow \Delta OBM = \Delta OCN\) \( \Rightarrow OM = ON \Rightarrow AMON\) là hình thoi . Câu 7.2
Điểm $A$ phải cách $O$ một khoảng là bao nhiêu để cho $MN$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$?
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng tính chất của hình thoi. Lời giải chi tiết :
 Tứ giác $AMON$ là hình thoi nên \(OA \bot MN\) và Mà độ dài $OA$ bằng $2$ lần khoảng cách từ $O$ đến$MN$ . Do đó $MN$ là tiếp tuyến đường tròn \(\left( {O;{\rm{ R}}} \right) \Leftrightarrow \) khoảng cách từ $O$ đến $MN$ bằng R \( \Leftrightarrow OA = 2R\).
Câu 8 :
Cho đường tròn$\left( O \right)$ , dây $AB$ khác đường kính. Qua $O$ kẻ đường vuông góc với $AB$ , cắt tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn ở điểm $C$ . Câu 8.1
Chọn khẳng định đúng?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng cách chứng minh tiếp tuyến. Để chứng minh đường thẳng $d$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( {O;R} \right)$ tại tiếp điểm là $M$ ta chứng minh $OM \bot d$ tại $M$ và $M \in \left( O \right)$. Lời giải chi tiết :
 Ta có: \(OC \bot AB\) \( \Rightarrow \) $OC$ đi qua trung điểm của $AB$. \( \Rightarrow \)$OC$ là đường cao đồng thời là trung tuyến của\(\Delta ABC\). \( \Rightarrow \)\(\Delta ABC\) cân tại $C$. \( \Rightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {ACO} = \widehat {BCO}\\AC = CB\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \Delta AOC = \Delta BOC\left( {c - g - c} \right)\) \( \Rightarrow OB \bot BC\) \( \Rightarrow \)$BC$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$ Câu 8.2
Cho bán kính của đường tròn bằng $15\,cm$; $AB = 24cm$. Tính $OC$
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông. Lời giải chi tiết :
 Gọi $I$ là giao điểm của $OC$ và$AB \Rightarrow AI = BI = \dfrac{{AB}}{2} = 12\,cm$ Xét tam giác vuông $OAI$ có $OI = \sqrt {O{A^2} - A{I^2}} = 9\,cm$ Xét tam giác vuông $AOC$ có $A{O^2} = OI.OC \Rightarrow OC = \dfrac{{A{O^2}}}{{OI}} = \dfrac{{{{15}^2}}}{9} = 25\,cm$ Vậy $OC = 25\,cm$.
Câu 9 :
Cho tam giác $ABC$ có hai đường cao $BD,CE$ cắt nhau tại $H$. Câu 9.1
Xác định tâm $F$ của đường tròn đi qua bốn điểm $A,D,H,E$.
Đáp án : C Phương pháp giải :
Xác định điểm cách đều cả bốn điểm cho trước. Điểm đó chính là tâm cần tìm Lời giải chi tiết :
 Gọi $F$ là trung điểm của $AH$ Xét hai tam giác vuông $AEH$ và $ADH$ ta có $FA = FH = FE = FD = \dfrac{{AH}}{2}$ Nên bốn đỉnh $A,D,H,E$ cùng thuộc đường tròn tâm $F$ bán kính $\dfrac{{AH}}{2}$. Câu 9.2
Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Đường tròn $\left( F \right)$ ở trên nhận các đường thẳng nào dưới đây là tiếp tuyến
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng cách chứng minh tiếp tuyến. Để chứng minh đường thẳng $d$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( {O;R} \right)$ tại tiếp điểm là $M$ ta chứng minh $OM \bot d$ tại $M$ và $M \in \left( O \right)$. Lời giải chi tiết :
 $AH$ cắt $BC$ tại $K$$ \Rightarrow AK \bot BC$ vì $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ Ta chứng minh $ME \bot \,EF$ tại $E$. $\Delta FAE$ cân tại $F$ (vì $FA = FE$) nên $\widehat {FEA} = \widehat {FAE}$ $\Delta MEC$ cân tại $M$ (vì $ME = MC = MB = \dfrac{{BC}}{2}$) nên $\widehat {MEC} = \widehat {MCE}$ mà $\widehat {BAK} = \widehat {ECB}$ (cùng phụ với $\widehat {ABC}$) nên $\widehat {MEC} = \widehat {FEA}$$ \Rightarrow \widehat {MEC} + \widehat {FEC} = \widehat {FEA} + \widehat {FEC} \Rightarrow \widehat {MEF} = 90^\circ \Rightarrow $$ME \bot \,EF$ tại $E$. Từ đó $ME$ là tiếp tuyến của $\left( {F;\dfrac{{AH}}{2}} \right)$. Tương tự ta cũng có $MD$ là tiếp tuyến của $\left( {F;\dfrac{{AH}}{2}} \right)$.
Câu 10 :
Cho hình vẽ dưới đây. Biết \(\widehat {BAC} = {60^0};AO = 10\,cm\). Chọn đáp án đúng. Câu 10.1
Độ dài bán kính $OB$ là
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng các tính chất của tiếp tuyến Sử dụng mối quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông Lời giải chi tiết :
 Từ hình vẽ ta có $AB;AC$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$ tại $B,C$ suy ra $OC \bot AC$ tại $C$. Suy ra $\Delta ABO = \Delta ACO\left( {c - g - c} \right)$ nên $\widehat {BAO} = \widehat {CAO} = \dfrac{{\widehat {BAC}}}{2} = 30^\circ $ Xét $\Delta ABO$ có $OB = AO.\sin A = 10.\sin 30^\circ = 5\,cm$ Câu 10.2
Độ dài tiếp tuyến $AB$ là
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng các tính chất của tiếp tuyến Sử dụng mối quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông Lời giải chi tiết :
 Từ hình vẽ ta có $AB;AC$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$ tại $B,C$ suy ra $OC \bot AC$ tại $C$. Suy ra $\Delta ABO = \Delta ACO\left( {c - g - c} \right)$ nên $\widehat {BAO} = \widehat {CAO} = \dfrac{{\widehat {BAC}}}{2} = 30^\circ $ Xét $\Delta ABO$ có $AB = AO.\cos A = 10.\cos 30^\circ = 5\sqrt 3 $.
Câu 11 :
Cho nửa đường tròn (O ; R), AB là đường kính. Dây BC có độ dài R. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho \(CD = 3R. \) Chọn câu đúng.
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng cách chứng minh tiếp tuyến Để chứng minh đường thẳng \(d\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) tại tiếp điểm là \(M\) ta chứng minh \(OM \bot d\) tại \(M\) và \(M \in \left( O \right)\). Lời giải chi tiết :
 Vì AB là đường kính của (O ; R) nên AB = 2R. Vì D thuộc tia đối của tia CB nên \(BD = CD + BC = 3R + R = 4R\) . Suy ra \(\dfrac{{AB}}{{BD}} = \dfrac{{2R}}{{4R}} = \dfrac{1}{2};\,\dfrac{{BC}}{{AB}} = \dfrac{R}{{2R}} = \dfrac{1}{2}\) Xét ∆ABD và ∆CBA có \(\widehat B\) chung và \(\dfrac{{BC}}{{AB}} = \dfrac{{AB}}{{BD}} = \dfrac{1}{2}\) (cmt) Vì vậy \(\Delta ABD \backsim \Delta CBA\) (c.g.c) \( \Rightarrow \widehat {DAB}{\rm{ = }}\widehat {ACB}{\rm{ }}\) Mà C thuộc (O ; R) và AB là đường kính nên \(OC = OA = OB = \dfrac{{AB}}{2}\) suy ra \(\Delta ACB\) vuông tại \(C\) hay \(\widehat {ACB} = 90^\circ \) . Do đó \(\widehat {DAB}{\rm{ = }}\widehat {ACB} = 90^\circ \) hay \(AD \bot AB\) Suy ra AD là tiếp tuyến của \(\left( {O;R} \right).\)
Câu 12 :
Cho \(\widehat {xOy}\) , trên Ox lấy P, trên Oy lấy Q sao cho chu vi ∆POQ bằng 2a không đổi. Chọn câu đúng.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng tính chất tia phân giác, hai tam giác bằng nhau Và điều kiện tiếp xúc của đường thẳng với đường tròn. Đường thẳng \(d\) tiếp xúc với đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(M\) khi \(M \in \left( O \right)\) và \(OM = R.\) Lời giải chi tiết :
 Gọi I là giao điểm các tia phân giác của \(\widehat {xPQ};\,\widehat {yQP}\) và A, B, C lần lượt là hình chiếu của I lên Ox, PQ và Oy. Vì I thuộc phân giác của góc xPQ nên IA = IB. Xét ∆PAI và ∆PBI có : + IA = IB (cmt) + Chung PI + \(\widehat {PAI} = \widehat {PBI} = 90^\circ \) nên ∆PAI = ∆PBI (cạnh huyền – cạnh góc vuông) , Suy ra PA = PB. Lí luận tương tự, ta có \(QB = QC.\) \(OA + OC = OP + PA + OQ + QC\) \( = OP + PB + OQ + QB = OP + PQ + QO = 2a\) (do chu vi ∆OPQ bằng 2a). Vì IA = IB và IB = IC (cmt) nên IA = IC. Xét ∆OAI và ∆OCI có + IA = IC (cmt) + \(\widehat {OAI} = \widehat {OCI} = 90^\circ \) + cạnh chung OI nên ∆OAI = ∆OCI (cạnh huyền – cạnh góc vuông) \( \Rightarrow OA = OC = \dfrac{{2a}}{2} = a{\rm{ }}.\) Vì a không đổi và A, C thuộc tia Ox, Oy cố định nên A và C cố định. Do A và C lần lượt là hình chiếu của I lên Ox, Oy nên hai đường thẳng AI và CI cố định hay I cố định. Do I và A cố định nên độ dài đoạn thẳng AI không đổi. Do IA = IB (cmt) nên IB là bán kính của đường tròn (I ; IA), mà IB ⊥ PQ tại B nên PQ tiếp xúc với đường tròn (I; IA) cố định.
|
