Trắc nghiệm Đề thi khảo sát chất lượng đầu năm - Đề số 2Đề bài
Câu 1 :
Kết quả phân tích đa thức \({x^2} + xy-x-y\;\) thành nhân tử là:
Câu 2 :
Phương trình \((2x - 4)(2x - 1) = 0\) có tập nghiệm là:
Câu 3 :
Cho \(a \le b\). Khẳng định nào sau đây là sai?
Câu 4 :
Một hình hộp chữ nhật có thể tích \(192cm^3,\) mặt đáy có chiều dài 6cm và chiều rộng $4cm.$ Chiều cao hình hộp chữ nhật đó là:
Câu 5 :
Điều kiện xác định của phương trình: \(\dfrac{{3x + 2}}{{x + 2}} + \dfrac{{2x - 11}}{{{x^2} - 4}} = \dfrac{3}{{2 - x}}\) là:
Câu 6 :
\(x = - 2\) là một nghiệm của bất phương trình nào dưới đây?
Câu 7 :
Phương trình \(\left| {2x + 5} \right| - 3 = x\) có nghiệm là:
Câu 8 :
Cho AD là phân giác của \(\Delta ABC\left( {D \in BC} \right)\) có \(AB = 14cm, AC = 21cm, BD = 8cm.\) Độ dài cạnh BC là:
Câu 9 :
Cho \(\Delta ABC\) và \(MN//BC\) với M nằm giữa A và B, N nằm giữa A và C. Biết \(AN = 2cm, AB = 3AM.\) Kết quả nào sau đây đúng:
Câu 10 :
Cho \(\Delta ABC\) đồng dạng với \(\Delta A'B'C'\) theo tỉ số \(\dfrac{3}{5}\) và chu vi của \(\Delta A'B'C'\) là $60cm.$ Khi đó chu vi \(\Delta ABC\) là:
Cho các biểu thức \(A = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 3}}\) và \(B = \dfrac{2}{{{x^2} - 9}}\) (với \(x \ne \pm 3\)). Câu 11
Tìm $x$ để \(A = \dfrac{3}{2}\).
Câu 12
Tìm \(x\) để \(\dfrac{A}{B} < {x^2} + 5\).
Câu 13 :
Giải bất phương trình \(\dfrac{{x - 1}}{2} + \dfrac{{2 - x}}{3} \le \dfrac{{3x - 3}}{4}\) ta được tập nghiệm là:
Câu 14 :
Lúc 6 giờ, ô tô thứ nhất khởi hành từ A. Đến 7 giờ 30 phút ô tô thứ hai cũng khởi hành từ A đuổi theo và kịp gặp ô tô thứ nhất lúc 10 giờ 30 phút. Biết vận tốc ô tô thứ hai lớn hơn vận tốc ô tô thứ nhất là 20km/h. Tính vận tốc ô tô thứ hai?
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A, đường cao AH. Kẻ đường phân giác AD của \(\Delta CHA\) và đường phân giác BK của \(\Delta ABC\;(D \in BC;\;K \in AC)\). BK cắt lần lượt AH và AD tại E và F.  Câu 15
Chọn câu đúng.
Câu 16
Chọn câu đúng.
Câu 17
Chọn câu đúng nhất?
Câu 18 :
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chọn câu đúng.
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Kết quả phân tích đa thức \({x^2} + xy-x-y\;\) thành nhân tử là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng phương pháp nhóm hạng tử để phân tích đa thức thành nhân tử. Lời giải chi tiết :
\({x^2} + xy - x - y = x\left( {x + y} \right) - \left( {x + y} \right)\)\( = \left( {x - 1} \right)\left( {x + y} \right)\).
Câu 2 :
Phương trình \((2x - 4)(2x - 1) = 0\) có tập nghiệm là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng \(A\left( x \right). B\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( x \right) = 0\\B\left( x \right) = 0\end{array} \right.\) Lời giải chi tiết :
Ta có: \((2x - 4)(2x - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 4 = 0\\2x - 1 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 4\\2x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\) Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm \(S = \left\{ {\dfrac{1}{2};2} \right\}\).
Câu 3 :
Cho \(a \le b\). Khẳng định nào sau đây là sai?
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng liên hệ giữa thứ tự và phép nhân: + Khi nhân hai vế của bất phương trình với một số dương thì ta giữ nguyên dấu bất phương trình. + Khi nhân hai vế của bất phương trình với một số âm thì ta đổi dấu bất phương trình. Sử dụng liên hệ giữa thứ tự và phép cộng: Khi cộng hai vế của bất phương trình cùng một số thì ta giữ nguyên dấu bất phương trình. Lời giải chi tiết :
Ta có: \(a \le b \Leftrightarrow - \dfrac{3}{4}a \ge - \dfrac{3}{4}b\) (vì \( - \dfrac{3}{4} < 0\)) nên A sai. Vì \(a \le b \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}a \le \dfrac{1}{2}b\) (vì \(\dfrac{1}{2} > 0\)) nên B đúng. Vì \(a \le b \Leftrightarrow - 5a \ge - 5b\) (vì \( - 5 < 0\)) nên C đúng. Vì \(a \le b \Leftrightarrow a + \left( { - 7} \right) \le b + \left( { - 7} \right)\)\( \Leftrightarrow a - 7 < b - 7\) nên D đúng.
Câu 4 :
Một hình hộp chữ nhật có thể tích \(192cm^3,\) mặt đáy có chiều dài 6cm và chiều rộng $4cm.$ Chiều cao hình hộp chữ nhật đó là:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật có chiều dài, chiều rộng và chiều cao lần lượt là \(a,b,c\) là \(V = abc.\) Lời giải chi tiết :
Hình hộp chữ nhật có chiều dài \(a = 6cm,\) chiều rộng \(b = 4cm\) và chiều cao \(c.\) Thể tích hình hộp chữ nhật \(V = abc\) \( = 6.4.c\) Theo đề bài ta có \(6.4.c = 192 \Leftrightarrow c = 8\,cm.\) Vậy chiều cao cần tìm là \(8\,cm.\)
Câu 5 :
Điều kiện xác định của phương trình: \(\dfrac{{3x + 2}}{{x + 2}} + \dfrac{{2x - 11}}{{{x^2} - 4}} = \dfrac{3}{{2 - x}}\) là:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Phương trình chứa ẩn ở mẫu có nghĩa khi các mẫu thức đều khác $0.$ Lời giải chi tiết :
Để phương trình có nghĩa: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 \ne 0\\2 - x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 2\\x \ne 2\end{array} \right..\) Vậy điều kiện xác định của phương trình là: \(x \ne 2,\;x \ne - 2.\)
Câu 6 :
\(x = - 2\) là một nghiệm của bất phương trình nào dưới đây?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Giải từng bất đẳng thức trong 4 đáp án, chọn đáp án mà bất đẳng thức có nghiệm \(x = - 2\) nằm trong tập nghiệm. Lời giải chi tiết :
Xét từng đáp án ta có: \(3x + 17 < 5 \Leftrightarrow 3x < - 12 \Leftrightarrow x < - 4 \Rightarrow \) A sai. \( - 2x + 1 < - 1 \Leftrightarrow - 2x < - 2 \Leftrightarrow x > 1 \Rightarrow \) B sai. \(\dfrac{1}{2}x + 5 > 3,5 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}x > - 1,5 \Leftrightarrow x > - 3 \Rightarrow x = - 2\) là một nghiệm của bất phương trình \( \Rightarrow \) C đúng. \(1 - 2x < - 3 \Leftrightarrow - 2x < - 4 \Leftrightarrow x > 2 \Rightarrow \) D sai.
Câu 7 :
Phương trình \(\left| {2x + 5} \right| - 3 = x\) có nghiệm là:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Chuyển vế đưa phương trình về dạng \(\left| A \right| = B\,\,\left( {B \ge 0} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = B\\A = - B\end{array} \right.\) Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\left| {2x + 5} \right| - 3 = x\\ \Leftrightarrow \left| {2x + 5} \right| = x + 3\,\,\,\left( {x \ge - 3} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 5 = x + 3\\2x + 5 = - \left( {x + 3} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\2x + 5 = - x - 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\3x = - 8\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\,(tm)\\x = - \dfrac{8}{3}\,(tm)\end{array} \right.\end{array}\) \(\) Vậy tập nghiệm của phương trình là S = \(\left\{ { - 2;\dfrac{{ - 8}}{3}} \right\}\).\(\)
Câu 8 :
Cho AD là phân giác của \(\Delta ABC\left( {D \in BC} \right)\) có \(AB = 14cm, AC = 21cm, BD = 8cm.\) Độ dài cạnh BC là:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Áp dụng tính chất đường phân giác của một tam giác. Đường phân giác trong của một tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng đó. Lời giải chi tiết :
 Vì AD là phân giác của tam giác ABC, theo tính chất của đường phân giác ta có: \(\begin{array}{l}\dfrac{{AB}}{{B{\rm{D}}}} = \dfrac{{AC}}{{C{\rm{D}}}} \Leftrightarrow \dfrac{{14}}{8} = \dfrac{{21}}{{C{\rm{D}}}} \Leftrightarrow C{\rm{D}} = \dfrac{{8.21}}{{14}} = 12cm\\ \Rightarrow BC = B{\rm{D}} + DC = 8 + 12 = 20cm\end{array}\).
Câu 9 :
Cho \(\Delta ABC\) và \(MN//BC\) với M nằm giữa A và B, N nằm giữa A và C. Biết \(AN = 2cm, AB = 3AM.\) Kết quả nào sau đây đúng:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Áp dụng định lý Ta-let: “Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ”. Lời giải chi tiết :
 Theo bài ta có: \(AB = 3AM \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{1}{3}\). Vì \(MN//BC,\) theo định lý Ta-let ta có: \(\dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{{AN}}{{AC}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{{AC}} \Leftrightarrow AC = 2. 3 = 6cm\).
Câu 10 :
Cho \(\Delta ABC\) đồng dạng với \(\Delta A'B'C'\) theo tỉ số \(\dfrac{3}{5}\) và chu vi của \(\Delta A'B'C'\) là $60cm.$ Khi đó chu vi \(\Delta ABC\) là:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Ta có: \(\Delta ABC \backsim \Delta A'B'C'\) theo tỉ số \(k\)\( \Rightarrow \dfrac{{{C_{\Delta ABC}}}}{{{C_{\Delta A'B'C'}}}} = \dfrac{{AB}}{{A'B'}} = k.\) Lời giải chi tiết :
Cho \(\Delta ABC\) đồng dạng với \(\Delta A'B'C'\) theo tỉ số \(\dfrac{3}{5}\). \( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{A'B'}} = \dfrac{{BC}}{{B'C'}} = \dfrac{{AC}}{{A'C'}} = \dfrac{3}{5}\)\( \Rightarrow \dfrac{{{C_{\Delta ABC}}}}{{{C_{\Delta A'B'C'}}}} = \dfrac{3}{5} \Rightarrow {C_{\Delta ABC}} = \dfrac{3}{5}{C_{\Delta A'B'C'}}.\) Mà chu vi của tam giác \({C_{\Delta A'B'C'}} = 60cm\) nên \({C_{\Delta ABC}} = \dfrac{3}{5}. 60 = 36cm\). Cho các biểu thức \(A = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 3}}\) và \(B = \dfrac{2}{{{x^2} - 9}}\) (với \(x \ne \pm 3\)). Câu 11
Tìm $x$ để \(A = \dfrac{3}{2}\).
Đáp án : C Phương pháp giải :
Thế biểu thức chứa ẩn x vào biểu thức A. Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, tìm x thỏa mãn. Lời giải chi tiết :
Điều kiện: \(x \ne - 3.\) \(\begin{array}{l}A = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{2x - 1}}{{x + 3}} = \dfrac{3}{2}\\ \Rightarrow \left( {2x - 1} \right).2 = 3.\left( {x + 3} \right)\\ \Leftrightarrow 4x - 2 = 3x + 9\\ \Leftrightarrow 4x - 3x = 9 + 2\\ \Leftrightarrow x = 11\;\;\;(tm)\end{array}\). Vậy \(x = 11\) thì \(A = \dfrac{3}{2}.\) Câu 12
Tìm \(x\) để \(\dfrac{A}{B} < {x^2} + 5\).
Đáp án : D Phương pháp giải :
Thế biểu thức chứa ẩn x vào biểu thức A và B tương ứng. Biến đổi và giải bất phương trình thu được. Lời giải chi tiết :
Điều kiện: \(x \ne \pm 3.\) Ta có: \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 3}}:\dfrac{2}{{{x^2} - 9}} = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 3}}.\dfrac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{2} = \dfrac{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{2}.\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{A}{B} < {x^2} + 5 \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{2} < {x^2} + 5\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 6x - x + 3 < 2{x^2} + 10\\ \Leftrightarrow 7x > - 7 \Leftrightarrow x > - 1.\end{array}\) Kết hợp với điều kiện \(x \ne \pm 3\) ta được \(x > - 1\) và \(x \ne 3.\) Vậy để \(\dfrac{A}{B} < {x^2} + 5\) thì \(x > - 1\) và \(x \ne 3.\)
Câu 13 :
Giải bất phương trình \(\dfrac{{x - 1}}{2} + \dfrac{{2 - x}}{3} \le \dfrac{{3x - 3}}{4}\) ta được tập nghiệm là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Biến đổi bất phương trình về dạng bất phương trình một ẩn và giải bất phương trình. Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\;\;\;\dfrac{{x - 1}}{2} + \dfrac{{2 - x}}{3} \le \dfrac{{3x - 3}}{4}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x - 1} \right).6}}{{2.6}} + \dfrac{{\left( {2 - x} \right).4}}{{3.4}} \le \dfrac{{\left( {3x - 3} \right).3}}{{4.3}}\\ \Leftrightarrow 6\left( {x - 1} \right) + 4\left( {2 - x} \right) \le 3\left( {3x - 3} \right)\\ \Leftrightarrow 6x - 6 + 8 - 4x \le 9x - 9\\ \Leftrightarrow 2x + 2 \le 9x - 9\\ \Leftrightarrow 9x - 2x \ge 2 + 9\\ \Leftrightarrow 7x \ge 11\\ \Leftrightarrow x \ge \dfrac{{11}}{7}\end{array}\)\(\). Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left\{ {x|x \ge \dfrac{{11}}{7}} \right\}.\)
Câu 14 :
Lúc 6 giờ, ô tô thứ nhất khởi hành từ A. Đến 7 giờ 30 phút ô tô thứ hai cũng khởi hành từ A đuổi theo và kịp gặp ô tô thứ nhất lúc 10 giờ 30 phút. Biết vận tốc ô tô thứ hai lớn hơn vận tốc ô tô thứ nhất là 20km/h. Tính vận tốc ô tô thứ hai?
Đáp án : D Phương pháp giải :
Bước 1. Lập phương trình: Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số; Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết; Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2. Giải phương trình. Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận. Lời giải chi tiết :
Gọi vận tốc của ô tô thứ nhất là \(x\;\left( {km/h} \right), \left( {x > 0} \right)\). \( \Rightarrow \) Vận tốc của ô tô thứ hai là \(x + 20 \left( {km/h} \right)\). Đổi: 7 giờ 30 phút = 7,5h; 10 giờ 30 phút = 10,5h. Thời gian ô tô thứ nhất đi đến khi gặp ô tô thứ hai là \(10,5 - 6 = 4,5\;h.\) Thời gian ô tô thứ hai đi đến khi gặp ô tô thứ nhất là \(10,5 - 7,5 = 3\;h.\) Theo bài ta có phương trình sau: \(\begin{array}{l}\;\;\;4,5x = 3\left( {x + 20} \right)\\ \Leftrightarrow 4,5x = 3x + 60\\ \Leftrightarrow 1,5x = 60\\ \Leftrightarrow x = 40\;\left( {tm} \right)\end{array}\) Vậy vận tốc ô tô thứ nhất là \(40km/h,\) vận tốc ô tô thứ hai là \(40 + 20 = 60\;km/h.\) Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A, đường cao AH. Kẻ đường phân giác AD của \(\Delta CHA\) và đường phân giác BK của \(\Delta ABC\;(D \in BC;\;K \in AC)\). BK cắt lần lượt AH và AD tại E và F. Câu 15
Chọn câu đúng.
Đáp án : B Phương pháp giải :
Chứng minh cặp tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc. Lời giải chi tiết :
Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta CHA\) ta có: \(\widehat {BHA} = \widehat {AHC} = {90^0}\;\left( {gt} \right)\) \(\widehat {HAB} = \widehat {HCA}\) (cùng phụ góc \(HAC\)) \( \Rightarrow \Delta AHB \backsim \Delta CHA\; (g - g)\) Câu 16
Chọn câu đúng.
Đáp án : B Phương pháp giải :
Áp dụng tính chất đường phân giác và kết quả câu trước để chứng minh cặp tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc. Lời giải chi tiết :
Vì \(\Delta AHB \backsim \Delta CHA\) (chứng minh câu trước) nên \(\widehat {HBA} = \widehat {HAC}\) (cặp góc tương ứng) (1) Mà theo bài ra ta có: \(\widehat {HBE} = \dfrac{1}{2}\widehat {HBA}\;\;\;(BK\) là phân giác của \(\widehat {ABC})\;\;\left( 2 \right)\) \(\widehat {HAD} = \dfrac{1}{2}\widehat {HAC}\;\;(AD\) là phân giác của \(\widehat {HAC})\;\;\left( 3 \right)\) Từ (1); (2); (3) ta có: \(\widehat {HBE} = \widehat {HAD} = \widehat {EAF}\) Xét \(\Delta A{\rm{E}}F\) và \(\Delta BEH\) ta có: \(\widehat {HBE} = \widehat {EAF}\;\;\left( {cmt} \right)\) \(\widehat {HEB} = \widehat {FEA}\) (2 góc đối đỉnh) \( \Rightarrow \Delta AEF \backsim \Delta BEH\;\;\left( {g - g} \right)\) Câu 17
Chọn câu đúng nhất?
Đáp án : D Phương pháp giải :
+ Chứng minh tam giác cân, áp dụng tính chất tam giác cân để chứng minh 2 đường thẳng song song. + Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc, sau đó áp dụng tính chất bắc cầu và tính chất của tam giác cân để chứng minh yêu cầu của đề bài. Lời giải chi tiết :
*) Ta có: \(\Delta AEF \backsim \Delta BEH\) (theo câu trước) \( \Rightarrow \widehat {AFE} = \widehat {BHE} = {90^0}\) (các góc tương ứng) \( \Rightarrow BF \bot AD = \left\{ F \right\}.\) Xét \(\Delta ABD\) ta có: \(BF\) vừa là đường cao đồng thời là đường phân giác của tam giác \( \Rightarrow \Delta ABD\) là tam giác cân tại \(B \Rightarrow BF\) là đường phân giác của tam giác. \( \Rightarrow F\) là trung điểm của \(AD\) hay \(AF = FD.\) Xét \(\Delta AKD\) ta có: \(KF\) vừa là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác \( \Rightarrow \Delta AKD\) là tam giác cân tại \(K.\) \( \Rightarrow \widehat {KAD} = \widehat {KDA}\) (hai góc kề đáy) \( \Rightarrow \widehat {KAD} = \widehat {DAH}\;\left( { = \widehat {KAD}} \right)\) Mà hai góc này là hai góc so le trong \( \Rightarrow KD//AH.\) *) Xét \(\Delta BHA\) và \(\Delta BAC\) ta có: \(\begin{array}{l}\widehat B:\;chung\\\widehat {BHA} = \widehat {BAC} = {90^0}\;\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow \Delta BHA \backsim \Delta BAC\;\left({g - g}\right)\end{array}\) \( \Rightarrow \dfrac{{BH}}{{BA}} = \dfrac{{BA}}{{BC}}\) (các cặp cạnh tương ứng) (*) Xét \(\Delta BHE\) và \(\Delta BAK\) ta có: \(\begin{array}{l}\widehat {BHE} = \widehat {BAK} = {90^0}\;\;\left( {gt} \right)\\\widehat {HBE} = \widehat {ABK}\;\;\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow \Delta BHE \backsim \Delta BAK\;\;\left( {g - g} \right)\end{array}\) \( \Rightarrow \dfrac{{BH}}{{BA}} = \dfrac{{HE}}{{AK}}\) (các cặp cạnh tương ứng) Mà \(\Delta AKD\) cân tại \(K\;\;\left( {cm\;c)} \right) \Rightarrow KA = KD\) \( \Rightarrow \dfrac{{BH}}{{BA}} = \dfrac{{HE}}{{AK}} = \dfrac{{EH}}{{KD}}\) (**) Từ (*) và (**) ta có: \(\dfrac{{EH}}{{KD}} = \dfrac{{BA}}{{BC}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{EH}}{{AB}} = \dfrac{{KD}}{{BC}}\) (đpcm).
Câu 18 :
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chọn câu đúng.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}}\) với \(x,y > 0.\) Dấu xảy ra khi \(x = y > 0\) Lời giải chi tiết :
Ta chứng minh bất đẳng thức \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}}\) với \(x,y > 0.\) Ta có \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow \dfrac{{x + y}}{{xy}} \ge \dfrac{4}{{x + y}}\)\( \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy \Leftrightarrow {x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\) đúng với mọi \(x,y > 0.\) Nên ta có \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}}\) với \(x,y > 0.\) Áp dụng bất đẳng thức trên, ta được: \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}}\) (1) \(\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge \dfrac{4}{{b + c}}\) (2) \(\dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{a} \ge \dfrac{4}{{c + a}}\) (3) Cộng vế với vế của (1); (2); (3) ta có \(2\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \ge 4\left( {\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}}} \right)\) \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge \dfrac{2}{{a + b}} + \dfrac{2}{{b + c}} + \dfrac{2}{{c + a}}\) Dấu “ = ” xảy ra khi \(a = b = c > 0.\)
|
