Trắc nghiệm Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử Toán 8

Đề bài

Câu 1 :

Phân tích đa thức \({a^4} + {a^3} + {a^3}b + {a^2}b\) thành  nhân tử ta được

  • A

    \({a^2}\left( {a + b} \right)\left( {a + 1} \right)\).

  • B

    \(a\left( {a + b} \right)\left( {a + 1} \right)\).

  • C

    \(\left( {{a^2} + ab} \right)\left( {a + 1} \right)\).

  • D

    \(\left( {a + b} \right)\left( {a + 1} \right)\).

Câu 2 :

Đa thức \({x^2} + x - 2ax - 2a\) được phân tích thành

  • A

    \(\left( {x + 2a} \right)\left( {x - 1} \right)\).

  • B

    \(\left( {x - 2a} \right)\left( {x + 1} \right)\).

  • C

    \(\left( {x + 2a} \right)\left( {x + 1} \right)\).          

  • D

    \(\left( {x - 2a} \right)\left( {x - 1} \right)\).

Câu 3 :

Cho \({x^2} + ax + x + a = \left( {x + a} \right).\left( {...} \right)\) Biểu thức thích hợp điền vào dấu \(...\) là

  • A

    \(\left( {x + 1} \right) \)

  • B

    \(\left( {x + a} \right)\).

  • C

    \(\left( {x + 2} \right)\).

  • D

    \(\left( {x - 1} \right)\).

Câu 4 :

Chọn  câu đúng.

  • A

    \({x^3} - 4{x^2} - 9x + 36 = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right).\)

  • B

    \({x^3} - 4{x^2} - 9x + 36 = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x - 4} \right).\)                             

  • C

    \({x^3} - 4{x^2} - 9x + 36 = \left( {x - 9} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right).\)

  • D

     \({x^3} - 4{x^2} - 9x + 36 = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)\).

Câu 5 :

Tính nhanh: \(37.7 + 7.63 - 8.3 - 3.2\)

  • A

    $700$

  • B

    $620$

  • C

    $640$

  • D

    $670$

Câu 6 :

Chọn  câu sai.

  • A

    \({x^2}{y^2} + {y^3} + a{x^2} + ay = \left( {{y^2} + a} \right)\left( {{x^2} + y} \right)\).

  • B

    \({a^3} - 4{a^2} + a - 4\)\(= \left( {a - 4} \right)\left( {{a^2} + 1} \right)\).

  • C

     \(m{x^2} - nx - mx + n = \left( {x - 1} \right)\left( {mx + n} \right)\).

  • D

    \({x^2} - 5y + x - 5xy = \left( {x + 1} \right)\left( {x - 5y} \right)\).

Câu 7 :

Cho \(56{x^2} - 45y - 40xy + 63x = \left( {7x - 5y} \right)\left( {mx + n} \right)\) với \(m,\,n \in \mathbb{R}\) . Tìm \(m\) và \(n\)

  • A

    \(m = 8;\,n = 9\).

  • B

    \(m = 9;\,n = 8\).

  • C

     \(m =  - 8;\,n = 9\).

  • D

    \(m = 8;\,n =  - 9\).

Câu 8 :

Cho  \({x^2} - 4{y^2} - 2x - 4y = \left( {x + 2y} \right)\left( {x - 2y + m} \right)\) với \(m \in \mathbb{R}\) . Chọn câu đúng

  • A

    \(m < 0\).

  • B

    \(1 < m < 3\).

  • C

    \(2 < m < 4\).

  • D

    \(m > 4\).

Câu 9 :

Tính giá trị của biểu thức \(A = {x^2} - 5x + xy - 5y\) tại \(x =  - 5,\;y =  - 8\):

  • A

    $130$

  • B

    $120$

  • C

    $140$

  • D

    $150$

Câu 10 :

Tìm \(x\) biết \({x^4} + 4{x^3} + 4{x^2} = 0\)

  • A

    \(x = 2;\,x =  - 2\).

  • B

    \(x = 0;\,x = 2\).

  • C

    \(x = 0;\,x =  - 2\).

  • D

    \(\,x =  - 2\).

Câu 11 :

Có bao nhiêu giá trị của \(x\) thỏa mãn \({x^3} + 2{x^2} - 9x - 18 = 0\)

  • A

    \(1\).

  • B

     \(2\).

  • C

    \(0\).

  • D

    \(3\).

Câu 12 :

Cho \(\left| x \right| < 2\) . Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về giá trị của biểu thức \(A = {x^4} + 2{x^3} - 8x - 16\) .

  • A

    \(A > 1\).

  • B

    \(A > 0\).

  • C

    \(A < 0\).

  • D

    \(A \ge 1\).

Câu 13 :

Cho \(a{b^3}{c^2} - {a^2}{b^2}{c^2} + a{b^2}{c^3} - {a^2}b{c^3} = ab{c^2}\left( {b + c} \right)\left( {...} \right)\) Biểu thức thích hợp điền vào dấu \(...\) là

  • A

    \(b - a\).

  • B

    \(a - b\).

  • C

    \(a + b\).

  • D

     \( - a - b\).

Câu 14 :

Tính giá trị của biểu thức \(B = {x^6} - 2{x^4} + {x^3} + {x^2} - x\) khi \({x^3} - x = 6\)

  • A

    $36$

  • B

    $42$

  • C

    $48$

  • D

    $56$

Câu 15 :

Với \({a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\) thì

  • A

    \(a = b = c\)

  • B

    \(a + b + c = 1\)

  • C

    \(a = b = c\) hoặc \(a + b + c = 0\).

  • D

    \(a = b = c\) hoặc \(a + b + c = 1\)

Câu 16 :

Cho \(ab + bc + ca = 1\). Khi đó \(\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)\left( {{c^2} + 1} \right)\) bằng

  • A

    \({\left( {a + c + b} \right)^2}{\left( {a + b} \right)^2}\)

  • B

    \({\left( {a + c} \right)^2}{\left( {a + b} \right)^2}\left( {b + c} \right)\)                                        

  • C

    \({\left( {a + c} \right)^2} + {\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {b + c} \right)^2}\)   

  • D

    \({\left( {a + c} \right)^2}{\left( {a + b} \right)^2}{\left( {b + c} \right)^2}\)

Câu 17 :

Chọn câu đúng.

  • A

    \(x{\left( {x + 1} \right)^4} + x{\left( {x + 1} \right)^3} + x{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {x + 1} \right)^2} = {\left( {x + 1} \right)^5}\)

  • B

    \(x{\left( {x + 1} \right)^4} + x{\left( {x + 1} \right)^3} + x{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {x + 1} \right)^2} = {\left( {x + 1} \right)^6}\)

  • C

    \(x{\left( {x + 1} \right)^4} + x{\left( {x + 1} \right)^3} + x{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {x + 1} \right)^2} = {\left( {x + 1} \right)^4}\left( {x - 1} \right)\)

  • D

    \(x{\left( {x + 1} \right)^4} + x{\left( {x + 1} \right)^3} + x{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {x + 1} \right)^2} = {\left( {x + 1} \right)^4}\left( {x + 2} \right)\)

Câu 18 :

Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn  \(xy = 2\left( {x + y} \right)\).

  • A

    $6$

  • B

    $4$

  • C

    $2$

  • D

    $5$

Câu 19 :

Thu gọn đa thức \(A = {\left( {ax + by + cz} \right)^2} + {\left( {ay - bx} \right)^2} + {\left( {az - cx} \right)^2} + {\left( {bz - cy} \right)^2}\) ta được

  • A

    \(\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) + \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)     

  • B

    \(\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)                           

  • C

    \(\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right){\left( {a + b + c} \right)^2}\)

  • D

    \(\left( {x + y + z} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Phân tích đa thức \({a^4} + {a^3} + {a^3}b + {a^2}b\) thành  nhân tử ta được

  • A

    \({a^2}\left( {a + b} \right)\left( {a + 1} \right)\).

  • B

    \(a\left( {a + b} \right)\left( {a + 1} \right)\).

  • C

    \(\left( {{a^2} + ab} \right)\left( {a + 1} \right)\).

  • D

    \(\left( {a + b} \right)\left( {a + 1} \right)\).

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Ta có \({a^4} + {a^3} + {a^3}b + {a^2}b\)\( = \left( {{a^4} + {a^3}} \right) + \left( {{a^3}b + {a^2}b} \right) \)\( = {a^3}\left( {a + 1} \right) + {a^2}b\left( {a + 1} \right)  \)\(=\left( {a + 1} \right)\left( {{a^3} + {a^2}b} \right) \)\( = {a^2}\left( {a + b} \right)\left( {a + 1} \right)\)

Câu 2 :

Đa thức \({x^2} + x - 2ax - 2a\) được phân tích thành

  • A

    \(\left( {x + 2a} \right)\left( {x - 1} \right)\).

  • B

    \(\left( {x - 2a} \right)\left( {x + 1} \right)\).

  • C

    \(\left( {x + 2a} \right)\left( {x + 1} \right)\).          

  • D

    \(\left( {x - 2a} \right)\left( {x - 1} \right)\).

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Ta có \({x^2} + x - 2ax - 2a\)\( = \left( {{x^2} + x} \right) - \left( {2ax + 2a} \right) = x\left( {x + 1} \right) - 2a\left( {x + 1} \right) = \left( {x - 2a} \right)\left( {x + 1} \right)\)

Câu 3 :

Cho \({x^2} + ax + x + a = \left( {x + a} \right).\left( {...} \right)\) Biểu thức thích hợp điền vào dấu \(...\) là

  • A

    \(\left( {x + 1} \right) \)

  • B

    \(\left( {x + a} \right)\).

  • C

    \(\left( {x + 2} \right)\).

  • D

    \(\left( {x - 1} \right)\).

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Ta có \({x^2} + ax + x + a \)\( = \left( {{x^2} + x} \right) + \left( {ax + a} \right) \)\( = x\left( {x + 1} \right) + a\left( {x + 1} \right) \)\( = \left( {x + a} \right)\left( {x + 1} \right)\)

Câu 4 :

Chọn  câu đúng.

  • A

    \({x^3} - 4{x^2} - 9x + 36 = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right).\)

  • B

    \({x^3} - 4{x^2} - 9x + 36 = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x - 4} \right).\)                             

  • C

    \({x^3} - 4{x^2} - 9x + 36 = \left( {x - 9} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right).\)

  • D

     \({x^3} - 4{x^2} - 9x + 36 = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)\).

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Ta có \({x^3} - 4{x^2} - 9x + 36\)\( = \left( {{x^3} - 4{x^2}} \right) - \left( {9x - 36} \right) \)\( = {x^2}\left( {x - 4} \right) - 9\left( {x - 4} \right) \)\( = \left( {{x^2} - 9} \right)\left( {x - 4} \right)\)\( = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x - 4} \right)\)

Câu 5 :

Tính nhanh: \(37.7 + 7.63 - 8.3 - 3.2\)

  • A

    $700$

  • B

    $620$

  • C

    $640$

  • D

    $670$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Nhóm hạng tử thứ 1 với hạng tử thứ 2 và nhóm hạng tử thứ 3 với hạng tử thứ 4 để xuất hiện nhân tử chung.

Đặt nhân tử chung để được tích của các đa thức

Tính kết quả thu được.

Lời giải chi tiết :

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,37.7 + 7.63 - 8.3 - 3.2 = \left( {37.7 + 7.63} \right) - \left( {8.3 + 3.2} \right)\\ = 7\left( {37 + 63} \right) - 3\left( {8 + 2} \right) = 7.100 - 3.10\\ = 700 - 30 = 670.\end{array}\)

Câu 6 :

Chọn  câu sai.

  • A

    \({x^2}{y^2} + {y^3} + a{x^2} + ay = \left( {{y^2} + a} \right)\left( {{x^2} + y} \right)\).

  • B

    \({a^3} - 4{a^2} + a - 4\)\(= \left( {a - 4} \right)\left( {{a^2} + 1} \right)\).

  • C

     \(m{x^2} - nx - mx + n = \left( {x - 1} \right)\left( {mx + n} \right)\).

  • D

    \({x^2} - 5y + x - 5xy = \left( {x + 1} \right)\left( {x - 5y} \right)\).

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Ta có \({x^2}{y^2} + {y^3} + a{x^2} + ay \)\(= \left( {{x^2}{y^2} + {y^3}} \right) + \left( {a{x^2} + ay} \right) \)\(= {y^2}\left( {{x^2} + y} \right) + a\left( {{x^2} + y} \right)\)$ = \left( {{y^2} + a} \right)\left( {{x^2} + y} \right)$ nên A đúng.

*) \({a^3} - 4{a^2} + a - 4\)\( = \left( {{a^3} - 4{a^2}} \right) + \left( {a - 4} \right) \)\(= {a^2}\left( {a - 4} \right) + \left( {a - 4} \right) \)\(= \left( {a - 4} \right)\left( {{a^2} + 1} \right)\) nên B đúng.

*) \(m{x^2} - nx - mx + n\)\( = \left( {m{x^2} - nx} \right) - \left( {mx - n} \right)\)\( = x\left( {mx - n} \right) - \left( {mx - n} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {mx - n} \right)\) nên C sai.

*) \({x^2} - 5y + x - 5xy \)\(= \left( {{x^2} + x} \right) - \left( {5y + 5xy} \right) \)\(= x\left( {x + 1} \right) - 5y\left( {x + 1} \right) \)\(= \left( {x + 1} \right)\left( {x - 5y} \right)\) nên D đúng.

Câu 7 :

Cho \(56{x^2} - 45y - 40xy + 63x = \left( {7x - 5y} \right)\left( {mx + n} \right)\) với \(m,\,n \in \mathbb{R}\) . Tìm \(m\) và \(n\)

  • A

    \(m = 8;\,n = 9\).

  • B

    \(m = 9;\,n = 8\).

  • C

     \(m =  - 8;\,n = 9\).

  • D

    \(m = 8;\,n =  - 9\).

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Ta có \(56{x^2} - 45y - 40xy + 63x = \left( {56{x^2} + 63x} \right) - \left( {45y + 40xy} \right) = 7x\left( {8x + 9} \right) - 5y\left( {8x + 9} \right) = \left( {8x + 9} \right)\left( {7x - 5y} \right)\)

Suy ra \(m = 8;\,n = 9\) .

Câu 8 :

Cho  \({x^2} - 4{y^2} - 2x - 4y = \left( {x + 2y} \right)\left( {x - 2y + m} \right)\) với \(m \in \mathbb{R}\) . Chọn câu đúng

  • A

    \(m < 0\).

  • B

    \(1 < m < 3\).

  • C

    \(2 < m < 4\).

  • D

    \(m > 4\).

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Ta có \({x^2} - 4{y^2} - 2x - 4y \)\(= \left( {{x^2} - 4{y^2}} \right) - \left( {2x + 4y} \right) \)\(= \left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right) - 2\left( {x + 2y} \right) \)\(= \left( {x + 2y} \right)\left( {x - 2y - 2} \right)\)

Suy ra \(m =  - 2\) .

Câu 9 :

Tính giá trị của biểu thức \(A = {x^2} - 5x + xy - 5y\) tại \(x =  - 5,\;y =  - 8\):

  • A

    $130$

  • B

    $120$

  • C

    $140$

  • D

    $150$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Thu gọn biểu thức A bằng cách:

+) Sử dụng phương pháp giao hoán, kết hợp để sắp xếp các hạng tử.

+) Nhóm hạng tử thứ 1 với hạng tử thứ 3 và nhóm hạng tử thứ 2 với hạng tử thứ 4 để xuất hiện nhân tử chung.

+) Đặt nhân tử chung để được tích của các đa thức.

Thay giá trị x và y vào tích các đa thức vừa được thu gọn để tính giá trị của A.

Lời giải chi tiết :

\(A = {x^2} - 5x + xy - 5y = \left( {{x^2} + xy} \right) - \left( {5x + 5y} \right) = x\left( {x + y} \right) - 5\left( {x + y} \right) = \left( {x - 5} \right)\left( {x + y} \right)\)

Tại \(x =  - 5,\;y =  - 8\), ta có: \(A = \left( { - 5 - 5} \right)\left( { - 5 - 8} \right) = \left( { - 10} \right)\left( { - 13} \right) = 130\)

Câu 10 :

Tìm \(x\) biết \({x^4} + 4{x^3} + 4{x^2} = 0\)

  • A

    \(x = 2;\,x =  - 2\).

  • B

    \(x = 0;\,x = 2\).

  • C

    \(x = 0;\,x =  - 2\).

  • D

    \(\,x =  - 2\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Phân tích vế trái thành nhân tử để đưa về dạng \(A.B = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết :

Ta có \({x^4} + 4{x^3} + 4{x^2} = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} + 4x + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2}{\left( {x + 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 0\\{\left( {x + 2} \right)^2} = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 2\end{array} \right.\)

Vậy \(x = 0;\,x =  - 2\) .

Câu 11 :

Có bao nhiêu giá trị của \(x\) thỏa mãn \({x^3} + 2{x^2} - 9x - 18 = 0\)

  • A

    \(1\).

  • B

     \(2\).

  • C

    \(0\).

  • D

    \(3\).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Phân tích vế trái thành nhân tử để đưa về dạng \(A.B = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết :

Ta có \({x^3} + 2{x^2} - 9x - 18 = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {{x^3} + 2{x^2}} \right) - \left( {9x + 18} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {x + 2} \right) - 9\left( {x + 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 9} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2 = 0\\{x^2} - 9 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\{x^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = 3\\x =  - 3\end{array} \right.\)

Vậy \(x =  - 2;\,x = 3;\,x =  - 3\) .

Câu 12 :

Cho \(\left| x \right| < 2\) . Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về giá trị của biểu thức \(A = {x^4} + 2{x^3} - 8x - 16\) .

  • A

    \(A > 1\).

  • B

    \(A > 0\).

  • C

    \(A < 0\).

  • D

    \(A \ge 1\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Phân tích \(A\) thành nhân tử  sau đó dựa vào điều kiện \(\left| x \right| < 2\) để đánh giá \(A\) .

Lời giải chi tiết :

Ta có \(A = {x^4} + 2{x^3} - 8x - 16\)\( = \left( {{x^4} - 16} \right) + \left( {2{x^3} - 8x} \right) = \left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} + 4} \right) + 2x\left( {{x^2} - 4} \right)\)

\( = \left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)\)

Ta có \({x^2} + 2x + 4 = {x^2} + 2x + 1 + 3 = {\left( {x + 1} \right)^2} + 3 \ge 3 > 0\,,\,\,\forall x\)

Mà \(\left| x \right| < 2\)\( \Leftrightarrow {x^2} < 4 \Leftrightarrow {x^2} - 4 < 0\)

Suy ra \(A = \left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) < 0\) khi \(\left| x \right| < 2\).

Câu 13 :

Cho \(a{b^3}{c^2} - {a^2}{b^2}{c^2} + a{b^2}{c^3} - {a^2}b{c^3} = ab{c^2}\left( {b + c} \right)\left( {...} \right)\) Biểu thức thích hợp điền vào dấu \(...\) là

  • A

    \(b - a\).

  • B

    \(a - b\).

  • C

    \(a + b\).

  • D

     \( - a - b\).

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Ta có \(a{b^3}{c^2} - {a^2}{b^2}{c^2} + a{b^2}{c^3} - {a^2}b{c^3} = ab{c^2}\left( {{b^2} - ab + bc - ac} \right) = ab{c^2}\left[ {\left( {{b^2} - ab} \right) + \left( {bc - ac} \right)} \right]\)

\( = ab{c^2}\left[ {b\left( {b - a} \right) + c\left( {b - a} \right)} \right] = ab{c^2}\left( {b + c} \right)\left( {b - a} \right).\) 

Vậy ta cần điền \(b - a\) .

Câu 14 :

Tính giá trị của biểu thức \(B = {x^6} - 2{x^4} + {x^3} + {x^2} - x\) khi \({x^3} - x = 6\)

  • A

    $36$

  • B

    $42$

  • C

    $48$

  • D

    $56$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp giao hoán, kết hợp và tách hạng tử (tách hạng tử thứ 2 thành 2 hạng tử giống nhau) để sắp xếp và tạo ra các hạng tử cần thiết.

Sau khi tách hạng tử, nhóm hạng tử thứ 1 với hạng tử thứ 2, nhóm hạng tử thứ 3 với hạng tử thứ 5và nhóm hạng tử thứ 4 với hạng tử thứ 6 để xuất hiện nhân tử chung giống với \({x^3} - x\).

Đặt nhân tử chung để được tích của các đa thức.

Sau đó thế biểu thức \({x^3} - x = 6\) vào biểu thức vừa biến đổi để tính giá trị biểu thức.

Lời giải chi tiết :

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,B = {x^6} - 2{x^4} + {x^3} + {x^2} - x\\ \Leftrightarrow B = {x^6} - {x^4} - {x^4} + {x^3} + {x^2} - x\\ \Leftrightarrow B = \left( {{x^6} - {x^4}} \right) - \left( {{x^4} - {x^2}} \right) + \left( {{x^3} - x} \right)\\ \Leftrightarrow B = {x^3}\left( {{x^3} - x} \right) - x\left( {{x^3} - x} \right) + \left( {{x^3} - x} \right)\\ \Leftrightarrow B = \left( {{x^3} - x + 1} \right)\left( {{x^3} - x} \right)\end{array}\)

Tại \({x^3} - x = 6\), ta có: \(B = \left( {6 + 1} \right).6 = 7.6 = 42\)

Câu 15 :

Với \({a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\) thì

  • A

    \(a = b = c\)

  • B

    \(a + b + c = 1\)

  • C

    \(a = b = c\) hoặc \(a + b + c = 0\).

  • D

    \(a = b = c\) hoặc \(a + b + c = 1\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Kết hợp kiến thức mới học và kiến thức cũ về hằng đẳng thức để suy luận logic ra hướng giải bài tập.

Hằng đẳng thức được sử dụng: \({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right).\)

Lời giải chi tiết :

Từ đẳng thức đã cho suy ra \({a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = 0\)

\({b^3} + {c^3} = \left( {b + c} \right)\left( {{b^2} + {c^2} - bc} \right) \)\(= \left( {b + c} \right)\left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2} - 3bc} \right] \)\(= {\left( {b + c} \right)^3} - 3bc\left( {b + c} \right)\)

\(\Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc \)\(= {a^3} + \left( {{b^3} + {c^3}} \right) - 3abc\)

\(\Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc \)\(= {a^3} + {\left( {b + c} \right)^3} - 3bc\left( {b + c} \right) - 3abc\)

\(\Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc \)\(= \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} - a\left( {b + c} \right) + {{\left( {b + c} \right)}^2}} \right) - \left[ {3bc\left( {b + c} \right) + 3abc} \right]\)

\( \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc \)\(= \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} - a\left( {b + c} \right) + {{\left( {b + c} \right)}^2}} \right) - 3bc\left( {a + b + c} \right)\)

\( \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc \)\(= \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} - a\left( {b + c} \right) + {{\left( {b + c} \right)}^2} - 3bc} \right)\)

\( \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc \)\(= \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} - ab - ac + {b^2} + 2bc + {c^2} - 3bc} \right)\)

\( \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc \)\(= \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - ac - bc} \right)\)

Do đó nếu \({a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = 0\) thì \(a + b + c = 0\) hoặc \({a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ac = 0\)

Mà \({a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ac \)\(= \dfrac{1}{2}.\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {a - c} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2}} \right]\)

Nên \({\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} = 0 \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\a - c = 0\\b - c = 0\end{array} \right.\)  suy ra \(a = b = c\).

Vậy \({a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\) thì \(a = b = c\) hoặc \(a + b + c = 0\).

Câu 16 :

Cho \(ab + bc + ca = 1\). Khi đó \(\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)\left( {{c^2} + 1} \right)\) bằng

  • A

    \({\left( {a + c + b} \right)^2}{\left( {a + b} \right)^2}\)

  • B

    \({\left( {a + c} \right)^2}{\left( {a + b} \right)^2}\left( {b + c} \right)\)                                        

  • C

    \({\left( {a + c} \right)^2} + {\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {b + c} \right)^2}\)   

  • D

    \({\left( {a + c} \right)^2}{\left( {a + b} \right)^2}{\left( {b + c} \right)^2}\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng dữ kiện đề bài và phương pháp nhóm hạng tử phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi \({a^2} + 1;{b^2} + 1;{c^2} + 1\)

Từ đó suy ra \(\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)\left( {{c^2} + 1} \right)\)

Lời giải chi tiết :

Vì \(ab + bc + ca = 1\) nên \({a^2} + 1 = {a^2} + ab + bc + ca = a\left( {a + b} \right) + c\left( {a + b} \right) = \left( {a + c} \right)\left( {a + b} \right)\)

\({b^2} + 1 = {b^2} + ab + bc + ca = b\left( {a + b} \right) + c\left( {a + b} \right) = \left( {b + c} \right)\left( {a + b} \right)\)

\({c^2} + 1 = {c^2} + ab + bc + ca = \left( {{c^2} + bc} \right) + \left( {ab + ac} \right)\) \( = c\left( {c + b} \right) + a\left( {b + c} \right) = \left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)\)

Từ đó suy ra \(\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)\left( {{c^2} + 1} \right) \)\(= \left( {a + c} \right)\left( {a + b} \right).\left( {b + c} \right)\left( {a + b} \right).\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)\) \( = {\left( {a + c} \right)^2}{\left( {a + b} \right)^2}{\left( {b + c} \right)^2}\)

Vậy \(\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)\left( {{c^2} + 1} \right)\)\( = {\left( {a + c} \right)^2}{\left( {a + b} \right)^2}{\left( {b + c} \right)^2}\)

Câu 17 :

Chọn câu đúng.

  • A

    \(x{\left( {x + 1} \right)^4} + x{\left( {x + 1} \right)^3} + x{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {x + 1} \right)^2} = {\left( {x + 1} \right)^5}\)

  • B

    \(x{\left( {x + 1} \right)^4} + x{\left( {x + 1} \right)^3} + x{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {x + 1} \right)^2} = {\left( {x + 1} \right)^6}\)

  • C

    \(x{\left( {x + 1} \right)^4} + x{\left( {x + 1} \right)^3} + x{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {x + 1} \right)^2} = {\left( {x + 1} \right)^4}\left( {x - 1} \right)\)

  • D

    \(x{\left( {x + 1} \right)^4} + x{\left( {x + 1} \right)^3} + x{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {x + 1} \right)^2} = {\left( {x + 1} \right)^4}\left( {x + 2} \right)\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Cứ nhóm 2 hạng tử cuối với nhau ta sẽ thu được đa thức thu gọn.

Lời giải chi tiết :

Ta có \(x{\left( {x + 1} \right)^4} + x{\left( {x + 1} \right)^3} + x{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {x + 1} \right)^2}\)

\( = x{\left( {x + 1} \right)^4} + x{\left( {x + 1} \right)^3} + {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x + 1} \right) = x{\left( {x + 1} \right)^4} + x{\left( {x + 1} \right)^3} + {\left( {x + 1} \right)^3}\)

\( = x{\left( {x + 1} \right)^4} + {\left( {x + 1} \right)^3}\left( {x + 1} \right) = x{\left( {x + 1} \right)^4} + {\left( {x + 1} \right)^4} = {\left( {x + 1} \right)^4}\left( {x + 1} \right) = {\left( {x + 1} \right)^5}\)

Câu 18 :

Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn  \(xy = 2\left( {x + y} \right)\).

  • A

    $6$

  • B

    $4$

  • C

    $2$

  • D

    $5$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Chuyển vế thêm bớt 4 rồi nhóm hạng tử thích hợp để phân tích đa thức thành nhân tử

Đưa về dạng \(A.B = 4\) suy ra \(A,B \in U\left( 4 \right)\)

Từ đó ta tìm được \(x,y\)

Lời giải chi tiết :

Ta có \(xy = 2\left( {x + y} \right) \Leftrightarrow 2x + 2y - xy = 0\) \( \Leftrightarrow 2x - xy + 2y - 4 =  - 4\)\( \Leftrightarrow x\left( {2 - y} \right) + 2\left( {y - 2} \right) =  - 4\)

\( \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {2 - y} \right) =  - 4 \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {y - 2} \right) = 4\)

Mà \(x;y \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left( {x + 2} \right);\left( {y - 2} \right) \in Ư\left( 4 \right) \)\(= \left\{ { - 1;1; - 2;2; - 4;4} \right\}\)

+ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 =  - 1\\y - 2 =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 3\\y =  - 2\end{array} \right.\)

+ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 = 1\\y - 2 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 6\end{array} \right.\)

+ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 = 2\\y - 2 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 4\end{array} \right.\)

+ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 =  - 2\\y - 2 =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 4\\y = 0\end{array} \right.\)

+ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 =  - 4\\y - 2 =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 6\\y = 1\end{array} \right.\)

+ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 = 4\\y - 2 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.\)

Vậy có 6 cặp số \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn điều kiện đề bài.

Câu 19 :

Thu gọn đa thức \(A = {\left( {ax + by + cz} \right)^2} + {\left( {ay - bx} \right)^2} + {\left( {az - cx} \right)^2} + {\left( {bz - cy} \right)^2}\) ta được

  • A

    \(\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) + \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)     

  • B

    \(\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)                           

  • C

    \(\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right){\left( {a + b + c} \right)^2}\)

  • D

    \(\left( {x + y + z} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng các hằng đẳng thức \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2};\) \({\left( {A + B + C} \right)^2} = {A^2} + {B^2} + {C^2} + 2AB + 2AC + 2BC\)

Từ đó nhóm các hạng tử thích hợp để phân tích đa thức thành nhân tử.

Lời giải chi tiết :

Ta có \(A = {\left( {ax + by + cz} \right)^2} + {\left( {ay - bx} \right)^2} + {\left( {az - cx} \right)^2} + {\left( {bz - cy} \right)^2}\)

\( = {a^2}{x^2} + {b^2}{y^2} + {c^2}{z^2} + 2abxy + 2acxz + 2bcyz\) \( + {a^2}{y^2} - 2abxy + {b^2}{x^2} + {a^2}{z^2} - 2acxz + {c^2}{x^2}\) \( + {b^2}{z^2} - 2bczy + {c^2}{y^2}\)

\( = {a^2}{x^2} + {b^2}{y^2} + {c^2}{z^2} + {a^2}{y^2} + {b^2}{x^2} + {a^2}{z^2} \)\(+ {c^2}{x^2} + {b^2}{z^2} + {c^2}{y^2}\)

\( = \left( {{a^2}{x^2} + {b^2}{x^2} + {c^2}{x^2}} \right) + \left( {{b^2}{y^2} + {a^2}{y^2} + {c^2}{y^2}} \right) \)\(+ \left( {{b^2}{z^2} + {a^2}{z^2} + {c^2}{z^2}} \right)\)

\( = {x^2}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + {y^2}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \)\(+ {z^2}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)

\( = \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)

close