Trắc nghiệm Bài 3: Những hằng đẳng thức đáng nhớ Toán 8Đề bài
Câu 1 :
Chọn câu đúng.
Câu 2 :
Chọn câu sai.
Câu 3 :
Khai triển \(4{x^2} - 25{y^2}\) theo hằng đẳng thức ta được
Câu 4 :
Khai triển \({\left( {3x - 4y} \right)^2}\) ta được
Câu 5 :
Biểu thức \(\dfrac{1}{4}{x^2}{y^2} + xy + 1\) bằng
Câu 6 :
Chọn câu đúng.
Câu 7 :
Rút gọn biểu thức \(A = {\left( {3x - 1} \right)^2} - 9x\left( {x + 1} \right)\) ta được
Câu 8 :
Rút gọn biểu thức $B = \left( {2a - 3} \right)\left( {a + 1} \right) - {\left( {a - 4} \right)^2} - a\left( {a + 7} \right)$ ta được
Câu 9 :
Cho $C = \dfrac{{{{\left( {x + 5} \right)}^2} + {{\left( {x - 5} \right)}^2}}}{{{x^2} + 25}}$ và \(D = \dfrac{{{{\left( {2x + 5} \right)}^2} + {{\left( {5x - 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}}\) . Tìm mối quan hệ giữa \(C\) và \(D\)
Câu 10 :
Có bao nhiêu giá trị \(x\) thỏa mãn \({\left( {2x - 1} \right)^2} - {\left( {5x - 5} \right)^2} = 0\)
Câu 11 :
Tìm \(x\) biết $\left( {x - 6} \right)\left( {x + 6} \right) - {\left( {x + 3} \right)^2} = 9$.
Câu 12 :
So sánh \(A = 2016.2018.a\) và \(B = {2017^2}.a\) (với $a > 0$)
Câu 13 :
So sánh \(M = {2^{32}}\) và \(N = \left( {2 + 1} \right)\left( {{2^2} + 1} \right)\left( {{2^4} + 1} \right)\left( {{2^8} + 1} \right)\left( {{2^{16}} + 1} \right)\)
Câu 14 :
Cho \(P = - 4{x^2} + 4x - 2\). Chọn khẳng định đúng.
Câu 15 :
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(Q = 8 - 8x - {x^2}\)
Câu 16 :
Biểu thức \(E = {x^2} - 20x + 101\) đạt giá trị nhỏ nhất khi
Câu 17 :
Biểu thức \(K = {x^2} - 6x + {y^2} - 4y + 6\) có giá trị nhỏ nhất là
Câu 18 :
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(I = \left( {{x^2} + 4x + 5} \right)\left( {{x^2} + 4x + 6} \right) + 3\) là
Câu 19 :
Biểu thức \({\left( {a + b + c} \right)^2}\) bằng
Câu 20 :
Rút gọn rồi tính giá trị các biểu thức \(A = {\left( {3x - 2} \right)^2} + {\left( {3x + 2} \right)^2} + 2\left( {9{x^2} - 6} \right)\) tại \(x = - \dfrac{1}{3}\)
Câu 21 :
Cho \(M = {77^2} + {75^2} + {73^2} + ... + {3^2} + {1^2}\) và \(N = {76^2} + {74^2} + {72^2} + ... + {2^2}\) Tính giá trị của biểu thức \(\dfrac{{M - N - 3}}{{3000}}\)
Câu 22 :
Cho \({\left( {a + b + c} \right)^2} = 3\left( {ab + bc + ac} \right)\). Khi đó
Câu 23 :
Nhà bạn Minh và bạn An cùng trồng bắp cải trên hai mảnh vườn hình vuông khác nhau. Các cây bắp cải được cách đều nhau. Do vườn nhà bạn Minh lớn hơn nên số cây bắp cải trồng được lớn hơn vườn nhà bạn An là \(211\) cây. Hỏi nhà bạn Minh đã trồng bao nhiêu cây bắp cải?
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Chọn câu đúng.
Đáp án : A Lời giải chi tiết :
Ta có ${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$
Câu 2 :
Chọn câu sai.
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng các công thức \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\), \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) , \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\) Lời giải chi tiết :
Ta có $\left( {x + y} \right)\left( {x + y} \right) = {\left( {x + y} \right)^2} = {x^2} + 2xy + {y^2} \ne {y^2} - {x^2}$ nên câu D sai.
Câu 3 :
Khai triển \(4{x^2} - 25{y^2}\) theo hằng đẳng thức ta được
Đáp án : C Lời giải chi tiết :
Ta có \(4{x^2} - 25{y^2} = {\left( {2x} \right)^2} - {\left( {5y} \right)^2} = \left( {2x - 5y} \right)\left( {2x + 5y} \right)\)
Câu 4 :
Khai triển \({\left( {3x - 4y} \right)^2}\) ta được
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng công thức bình phương của một hiệu \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) Lời giải chi tiết :
Ta có \({\left( {3x - 4y} \right)^2} \)\(= {\left( {3x} \right)^2} - 2.3x.4y + {\left( {4y} \right)^2} \)\(= 9{x^2} - 24xy + 16{y^2}\)
Câu 5 :
Biểu thức \(\dfrac{1}{4}{x^2}{y^2} + xy + 1\) bằng
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng công thức bình phương của một tổng \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) Lời giải chi tiết :
Ta có \(\dfrac{1}{4}{x^2}{y^2} + xy + 1 = {\left( {\dfrac{1}{2}xy} \right)^2} + 2.\dfrac{1}{2}xy + {1^2} = {\left( {\dfrac{1}{2}xy + 1} \right)^2}\)
Câu 6 :
Chọn câu đúng.
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng công thức hiệu hai bình phương \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\) Lời giải chi tiết :
Ta có ${\left( {c + d} \right)^2} - {\left( {a + b} \right)^2} = \left( {c + d + a + b} \right)\left( {c + d - \left( {a + b} \right)} \right) = \left( {c + d + a + b} \right)\left( {c + d - a - b} \right)$ nên A sai. ${\left( {c - d} \right)^2} - {\left( {a + b} \right)^2} = \left( {c - d + a + b} \right)\left[ {c - d - \left( {a + b} \right)} \right] = \left( {c - d + a + b} \right)\left( {c - d - a - b} \right)$ nên B sai. ${\left( {c - d} \right)^2} - {\left( {a - b} \right)^2} = \left( {c - d + a - b} \right)\left( {c - d - \left( {a - b} \right)} \right) = \left( {c - d + a - b} \right)\left( {c - d - a + b} \right)$ nên D sai. $\left( {a + b + c - d} \right)\left( {a + b - c + d} \right) = \left[ {\left( {a + b} \right) + \left( {c - d} \right)} \right]\left[ {\left( {a + b} \right) - \left( {c - d} \right)} \right] = {\left( {a + b} \right)^2} - {\left( {c - d} \right)^2}$ Nên C đúng.
Câu 7 :
Rút gọn biểu thức \(A = {\left( {3x - 1} \right)^2} - 9x\left( {x + 1} \right)\) ta được
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng công thức bình phương của một hiệu \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) và phép nhân đa thức để khai triển và rút gọn. Lời giải chi tiết :
Ta có \(A = {\left( {3x - 1} \right)^2} - 9x\left( {x + 1} \right)\)\( = {\left( {3x} \right)^2} - 2.3x.1 + 1 - \left( {9x.x + 9x} \right) = 9{x^2} - 6x + 1 - 9{x^2} - 9x \) \(= - 15x + 1\)
Câu 8 :
Rút gọn biểu thức $B = \left( {2a - 3} \right)\left( {a + 1} \right) - {\left( {a - 4} \right)^2} - a\left( {a + 7} \right)$ ta được
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng công thức bình phương của một hiệu \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) và phép nhân đa thức để khai triển và rút gọn. Lời giải chi tiết :
Ta có $B = \left( {2a - 3} \right)\left( {a + 1} \right) - {\left( {a - 4} \right)^2} - a\left( {a + 7} \right)$\( = 2{a^2} + 2a - 3a - 3 - \left( {{a^2} - 8a + 16} \right) - \left( {{a^2} + 7a} \right)\) \( = 2{a^2} + 2a - 3a - 3 - {a^2} + 8a - 16 - {a^2} - 7a\) \( = - 19\)
Câu 9 :
Cho $C = \dfrac{{{{\left( {x + 5} \right)}^2} + {{\left( {x - 5} \right)}^2}}}{{{x^2} + 25}}$ và \(D = \dfrac{{{{\left( {2x + 5} \right)}^2} + {{\left( {5x - 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}}\) . Tìm mối quan hệ giữa \(C\) và \(D\)
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng các công thức \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) và \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) rồi rút gọn. Lời giải chi tiết :
Ta có $C = \dfrac{{{{\left( {x + 5} \right)}^2} + {{\left( {x - 5} \right)}^2}}}{{{x^2} + 25}}$\( = \dfrac{{{x^2} + 2.x.5 + {5^2} + {x^2} - 2.x.5 + {5^2}}}{{{x^2} + 25}}\)\( = \dfrac{{{x^2} + 10x + 25 + {x^2} - 10x + 25}}{{{x^2} + 25}}\) \( = \dfrac{{2\left( {{x^2} + 25} \right)}}{{{x^2} + 25}} = 2\) \(D = \dfrac{{{{\left( {2x + 5} \right)}^2} + {{\left( {5x - 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}}\)\( = \dfrac{{4{x^2} + 2.2x.5 + {5^2} + 25{x^2} - 2.5x.2 + {2^2}}}{{{x^2} + 1}}\)\( = \dfrac{{29{x^2} + 29}}{{{x^2} + 1}} = \dfrac{{29\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}} = 29\) Vậy $D=29;C=2$ suy ra \(D = 14C + 1\) (do $29=14.2+1$).
Câu 10 :
Có bao nhiêu giá trị \(x\) thỏa mãn \({\left( {2x - 1} \right)^2} - {\left( {5x - 5} \right)^2} = 0\)
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng công thức \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\) để đưa về dạng tìm \(x\) thường gặp Lời giải chi tiết :
Ta có \({\left( {2x - 1} \right)^2} - {\left( {5x - 5} \right)^2} = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {2x - 1 + 5x - 5} \right)\left( {2x - 1 - 5x + 5} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {7x - 6} \right)\left( {4 - 3x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}7x - 6 = 0\\4 - 3x = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{6}{7}\\x = \dfrac{4}{3}\end{array} \right.\) Vậy có hai giá trị của \(x\) thỏa mãn yêu cầu.
Câu 11 :
Tìm \(x\) biết $\left( {x - 6} \right)\left( {x + 6} \right) - {\left( {x + 3} \right)^2} = 9$.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng công thức \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) , \(\left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right) = {A^2} - {B^2}\) để đưa về dạng tìm \(x\) đã biết. Lời giải chi tiết :
Ta có $\left( {x - 6} \right)\left( {x + 6} \right) - {\left( {x + 3} \right)^2} = 9$ \({x^2} - 36 - \left( {{x^2} + 6x + 9} \right) = 9 \) \({x^2} - 36 - {x^2} - 6x - 9 - 9 = 0\) \(- 6x - 54 = 0\) \(6x = - 54 \) \( x = - 9.\) Vậy \(x = - 9.\)
Câu 12 :
So sánh \(A = 2016.2018.a\) và \(B = {2017^2}.a\) (với $a > 0$)
Đáp án : B Phương pháp giải :
Biến đổi \(A\) để sử dụng công thức \(\left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right) = {A^2} - {B^2}\) Sau đó so sánh \(A\) và \(B\) . Lời giải chi tiết :
Ta có \(A = 2016.2018.a\)\( = \left( {2017 - 1} \right)\left( {2017 + 1} \right)a = \left( {{{2017}^2} - 1} \right)a\) Vì \({2017^2} - 1 < {2017^2}\) và \(a > 0\) nên \(\left( {{{2017}^2} - 1} \right)a < {2017^2}a\) hay $A < B$ .
Câu 13 :
So sánh \(M = {2^{32}}\) và \(N = \left( {2 + 1} \right)\left( {{2^2} + 1} \right)\left( {{2^4} + 1} \right)\left( {{2^8} + 1} \right)\left( {{2^{16}} + 1} \right)\)
Đáp án : A Phương pháp giải :
Biến đổi \(N\) để sử dụng công thức \(\left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right) = {A^2} - {B^2}\) Sau đó so sánh \(M\) và \(N\) . Lời giải chi tiết :
Ta có \(N = \left( {2 + 1} \right)\)\(\left( {{2^2} + 1} \right)\left( {{2^4} + 1} \right)\)\(\left( {{2^8} + 1} \right)\)\(\left( {{2^{16}} + 1} \right)\)\( = 3\left( {{2^2} + 1} \right)\)\(\left( {{2^4} + 1} \right)\)\(\left( {{2^8} + 1} \right)\)\(\left( {{2^{16}} + 1} \right)\) \( = \left[ {\left( {{2^2} - 1} \right)\left( {{2^2} + 1} \right)} \right]\left( {{2^4} + 1} \right)\left( {{2^8} + 1} \right)\left( {{2^{16}} + 1} \right)\)\( = \left( {{2^4} - 1} \right)\left( {{2^4} + 1} \right)\left( {{2^8} + 1} \right)\)\(\left( {{2^{16}} + 1} \right)\)\( = \left( {{2^8} - 1} \right)\left( {{2^8} + 1} \right)\left( {{2^{16}} + 1} \right)\) \( = \left( {{2^{16}} - 1} \right)\left( {{2^{16}} + 1} \right) = {\left( {{2^{16}}} \right)^2} - 1 = {2^{32}} - 1\) mà \({2^{32}} - 1 < {2^{32}} \Rightarrow N < M\)
Câu 14 :
Cho \(P = - 4{x^2} + 4x - 2\). Chọn khẳng định đúng.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Biến đổi \(P\) về dạng \(m - {\left( {A - B} \right)^2}\) rồi đánh giá \(m - {\left( {A - B} \right)^2} \le m\) Lời giải chi tiết :
Ta có \(P = - 4{x^2} + 4x - 2 \)\(= - 4{x^2} + 4x - 1 - 1 \)\(= - \left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) - 1\)\( = - 1 - {\left( {2x - 1} \right)^2}\) Nhận thấy \( - {\left( {2x - 1} \right)^2} \le 0\)\( \Rightarrow - 1 - {\left( {2x - 1} \right)^2} \le - 1,\,\forall x\) hay \(P \le - 1.\)
Câu 15 :
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(Q = 8 - 8x - {x^2}\)
Đáp án : D Phương pháp giải :
Biến đổi \(Q\) về dạng \(m - {\left( {A + B} \right)^2}\) rồi đánh giá \(m - {\left( {A + B} \right)^2} \le m.\) Dấu “=” xảy ra khi \(A = - B\) Giá trị lớn nhất của \(Q\) là \(m\) khi \(A = - B\) Lời giải chi tiết :
Ta có \(Q = 8 - 8x - {x^2}\)\( = - {x^2} - 8x - 16 + 16 + 8 \)\(= - {\left( {x + 4} \right)^2} + 24 \) \(= 24 - {\left( {x + 4} \right)^2}\) Nhận thấy \({\left( {x + 4} \right)^2} \ge 0;\,\forall x \)\(\Rightarrow 24 - {\left( {x + 4} \right)^2} \le 24.\) Dấu “=” xảy ra khi \({\left( {x + 4} \right)^2} = 0 \)\(\Leftrightarrow x = - 4\) Giá trị lớn nhất của \(Q\) là \(24\) khi \(x = - 4.\)
Câu 16 :
Biểu thức \(E = {x^2} - 20x + 101\) đạt giá trị nhỏ nhất khi
Đáp án : B Phương pháp giải :
Biến đổi \(E\) về dạng \({\left( {A - B} \right)^2} + m\) rồi đánh giá \({\left( {A - B} \right)^2} + m \ge m\) . Dấu “=” xảy ra khi \(A = B\) Giá trị nhỏ nhất của \(E\) là \(m\) khi \(A = B\) Lời giải chi tiết :
Ta có \(E = {x^2} - 20x + 101 = {x^2} - 2.x.10 + 100 + 1 = {\left( {x - 10} \right)^2} + 1\) Vì \({\left( {x - 10} \right)^2} \ge 0;\,\forall x\)\( \Rightarrow {\left( {x - 10} \right)^2} + 1 \ge 1.\) Dấu “=” xảy ra khi \({\left( {x - 10} \right)^2} = 0 \)\(\Leftrightarrow x - 10 = 0 \Leftrightarrow x = 10\) Vậy giá trị nhỏ nhất của \(E\) là \(1\) khi \(x = 10.\)
Câu 17 :
Biểu thức \(K = {x^2} - 6x + {y^2} - 4y + 6\) có giá trị nhỏ nhất là
Đáp án : C Phương pháp giải :
Biến đổi \(K\) về dạng \({\left( {A - B} \right)^2} + {\left( {C - D} \right)^2} + m\) rồi đánh giá \({\left( {A - B} \right)^2} + {\left( {C - D} \right)^2} + m \ge m.\) Dấu “=” xảy ra khi \(A = B\) và \(C = D.\) Giá trị nhỏ nhất của \(K\) là \(m\) khi \(A = B\) và \(C = D.\) Lời giải chi tiết :
Ta có \(K = {x^2} - 6x + {y^2} - 4y + 6\)\( = {x^2} - 2.x.3 + 9 + {y^2} - 2.y.2 + 4 - 7\)\( = {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} - 7\) Vì \({\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0;\,{\left( {y - 2} \right)^2} \ge 0;\,\forall x;\,y\) nên \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} - 7 \ge - 7\) Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right.\) Vậy giá trị nhỏ nhất của \(E\) là \( - 7\) khi \(x = 3;y = 2\) .
Câu 18 :
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(I = \left( {{x^2} + 4x + 5} \right)\left( {{x^2} + 4x + 6} \right) + 3\) là
Đáp án : B Phương pháp giải :
Biến đổi \(I\) về dạng \({\left( {A + B} \right)^2} + {\left( {C + D} \right)^2} + m\) rồi đánh giá \({\left( {A + B} \right)^2} + {\left( {C + D} \right)^2} + m \ge m.\) Dấu “=” xảy ra khi \(A = - B\) và \(C = - D\). Giá trị nhỏ nhất của \(I\) là \(m\) khi \(A = - B\) và \(C = - D.\) Lời giải chi tiết :
Ta có \(C = \left( {{x^2} + 4x + 5} \right)\left( {{x^2} + 4x + 6} \right) + 3\)\( = \left( {{x^2} + 4x + 5} \right)\left( {{x^2} + 4x + 5 + 1} \right) + 3\)\( = {\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + \left( {{x^2} + 4x + 5} \right) + 3\) \( = {\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + \left( {{x^2} + 4x + 4} \right) + 4\)\( = {\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} + 4\) Ta có \({x^2} + 4x + 5 = {x^2} + 4x + 4 + 1 \)\(= {\left( {x + 2} \right)^2} + 1 \ge 1;\,\forall x\) nên \({\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} \ge 1;\,\forall x\) Và \({\left( {x + 2} \right)^2} \ge 0;\,\forall x\) nên \({\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} + 4\)\( \ge 1 + 4\)\( \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} + 4 \ge 5\) Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 4x + 5 = 1\\{\left( {x + 2} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Rightarrow x = - 2\) Vậy giá trị nhỏ nhất của \(I\) là \(5\) khi \(x = - 2.\)
Câu 19 :
Biểu thức \({\left( {a + b + c} \right)^2}\) bằng
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng hẳng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) Lời giải chi tiết :
Ta có \({\left( {a + b + c} \right)^2}\)\( = {\left[ {\left( {a + b} \right) + c} \right]^2}\)\( = {\left( {a + b} \right)^2} + 2\left( {a + b} \right).c + {c^2}\) \( = {a^2} + 2ab + {b^2} + 2ac + 2bc + {c^2}\) \( = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + ac + bc} \right)\) .
Câu 20 :
Rút gọn rồi tính giá trị các biểu thức \(A = {\left( {3x - 2} \right)^2} + {\left( {3x + 2} \right)^2} + 2\left( {9{x^2} - 6} \right)\) tại \(x = - \dfrac{1}{3}\)
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng các hằng đẳng thức \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2};{\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) để rút gọn A Thay \(x = - \dfrac{1}{3}\) vào biểu thức đã rút gọn để tính toán Lời giải chi tiết :
Ta có \(A = {\left( {3x - 2} \right)^2} + {\left( {3x + 2} \right)^2} + 2\left( {9{x^2} - 6} \right)\) \( = {\left( {3x} \right)^2} - 2.3x.2 + {2^2} + {\left( {3x} \right)^2} + 2.3x.2 + {2^2} + 18{x^2} - 12\) \( = 9{x^2} - 12x + 4 + 9{x^2} + 12x + 4 + 18{x^2} - 12\) \( = 36{x^2} - 4\) Vậy \(A = 36{x^2} - 4\) Thay \(x = - \dfrac{1}{3}\) vào \(A = 36{x^2} - 4\) ta được \(A = 36{\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)^2} - 4 = 36.\dfrac{1}{9} - 4 = 0\)
Câu 21 :
Cho \(M = {77^2} + {75^2} + {73^2} + ... + {3^2} + {1^2}\) và \(N = {76^2} + {74^2} + {72^2} + ... + {2^2}\) Tính giá trị của biểu thức \(\dfrac{{M - N - 3}}{{3000}}\)
Đáp án : C Phương pháp giải :
Xét hiệu \(M - N\) rồi sử dụng hằng đẳng thức \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\) Sử dụng tổng \(m\) số tự nhiên \(1,2,3,...,m\) là \(\dfrac{{\left( {m + 1} \right)m}}{2}\) Lời giải chi tiết :
Xét \(M - N = {77^2} + {75^2} + {73^2} + ... + {3^2} + {1^2} - \left( {{{76}^2} + {{74}^2} + {{72}^2} + ... + {2^2}} \right)\) \( = \left( {{{77}^2} - {{76}^2}} \right) + \left( {{{75}^2} - {{74}^2}} \right) + \left( {{{73}^2} - {{71}^2}} \right) + ... + \left( {{3^2} - {2^2}} \right) + {1^2}\) \( = \left( {77 + 76} \right)\left( {77 - 76} \right) + \left( {75 + 74} \right)\left( {75 - 74} \right) + ... + \left( {3 + 2} \right)\left( {3 - 2} \right) + 1\) \( = \left( {77 + 76} \right).1 + \left( {75 + 74} \right).1 + ... + \left( {3 + 2} \right).1 + 1\) \( = 77 + 76 + 75 + 74 + 73 + ... + 3 + 2 + 1\) \( = \dfrac{{77 + 1}}{2}.77 = 3003\) Từ đó \(\dfrac{{M - N - 3}}{{3000}} = \dfrac{{3003 - 3}}{{3000}} = \dfrac{{3000}}{{3000}} = 1\)
Câu 22 :
Cho \({\left( {a + b + c} \right)^2} = 3\left( {ab + bc + ac} \right)\). Khi đó
Đáp án : D Phương pháp giải :
Biến đổi để sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc,\)\({\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\) Sử dụng \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0;\,\forall a,b\) và \({A^2} + {B^2} \ge 0;\,\forall A,B\) . Dấu “=” xảy ra khi \(A = B = 0\) Lời giải chi tiết :
Ta có \({\left( {a + b + c} \right)^2} = 3\left( {ab + bc + ac} \right)\) \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc = 3ab + 3ac + 3bc\) \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - ac - bc = 0\) \( \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2ac - 2bc = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{c^2} - 2ac + {a^2}} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2} = 0\) Lại thấy \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0;\,{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0;{\left( {a - c} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a,b,c\) Nên \({\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a,b,c\) Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^2} = 0\\{\left( {b - c} \right)^2} = 0\\{\left( {a - c} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\b = c\\a = c\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c\)
Câu 23 :
Nhà bạn Minh và bạn An cùng trồng bắp cải trên hai mảnh vườn hình vuông khác nhau. Các cây bắp cải được cách đều nhau. Do vườn nhà bạn Minh lớn hơn nên số cây bắp cải trồng được lớn hơn vườn nhà bạn An là \(211\) cây. Hỏi nhà bạn Minh đã trồng bao nhiêu cây bắp cải?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng hằng đẳng thức \({a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\) Và số nguyên tố là số có 2 ước là 1 và chính nó. Lời giải chi tiết :
Gọi số cây bắp cải trồng trên mỗi cạnh của vườn hình vuông nhà bạn Minh là \(y\) cây \(\left( {y \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) Và số cây bắp cải trồng trên mỗi cạnh của vườn hình vuông nhà bạn An là \(x\) cây \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) Suy ra số cây bắp cải trồng được trên vườn nhà Minh là \({y^2}\) cây Số cây bắp cải trồng trên vườn nhà An là \({x^2}\) cây Theo bài ra ta có \({y^2} - {x^2} = 211\) \( \Leftrightarrow \left( {y - x} \right)\left( {y + x} \right) = 211\) Mà \(211\) là số nguyên tố và \(y - x < y + x\) nên ta có \(\left( {y - x} \right)\left( {y + x} \right) = 1.211\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}y - x = 1\,\,\,\left( 1 \right)\\y + x = 211\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\) Từ (1) suy ra \(y = x + 1\), thay xuống (2) ta được \(x + 1 + x = 211 \Leftrightarrow 2x = 210 \Leftrightarrow x = 105\) Suy ra \(y = 105 + 1 = 105 + 1 = 106\) Vậy số cây bắp cải vườn nhà bạn Minh trồng là \({106^2} = 11236\) cây.
|
