Trắc nghiệm Bài 1: Phân thức đại số Toán 8

Đề bài

Câu 1 :

Phân thức \(\dfrac{A}{B}\) xác định khi

  • A

    \(B \ne 0\)

  • B

    \(B \ge 0\)

  • C

    \(B \le 0\)

  • D

    \(A = 0\)

Câu 2 :

Với \(B \ne 0,\,D \ne 0\) , hai phân thức \(\dfrac{A}{B}\) và \(\dfrac{C}{D}\) bằng nhau khi

  • A

    \(A.B = C.D\)

  • B

    \(A.C = B.D\)

  • C

    \(A.D = B.C\)

  • D

    \(AC < B.D\)

Câu 3 :

Chọn câu sai. Với đa thức \(B \ne 0\) ta có

  • A

    \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A.M}}{{B.M}}\) (với \(M\) khác đa thức \(0\) ) 

  • B

    \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A:N}}{{B:N}}\) (với $N$ là một nhân tử chung , \(N\) khác đa thức \(0\) ).

  • C

    $\dfrac{A}{B} = \dfrac{{ - A}}{{ - B}}$  .

  • D

    $\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A + M}}{{B + M}}$ (với \(M\) khác đa thức \(0\) ).

Câu 4 :

Với điều kiện nào của \(x\) thì phân thức  \(\dfrac{{x - 1}}{{x - 2}}\)  có nghĩa

  • A

    \(x \le 2\)

  • B

    \(x \ne 1\)

  • C

    \(x = 2\)

  • D

    \(x \ne 2\)

Câu 5 :

Phân thức \(\dfrac{{5x - 1}}{{{x^2} - 4}}\)  xác định khi

  • A

    \(x \ne 2\)

  • B

    \(x \ne 2\) và \(\,x \ne  - 2\)

  • C

    \(x = 2\)

  • D

    \(\,x \ne  - 2\)

Câu 6 :

Để phân thức \(\dfrac{{x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}\) có nghĩa thì \(x\) thỏa mãn điều kiện nào?

  • A

    $\;x \ne  - 1$ và \(\,x \ne  - 3\)

  • B

    \(x = 3\).

  • C

    \(x \ne  - 1\) và \(\,x \ne 3\).

  • D

    \(x \ne  - 1\)

Câu 7 :

Phân thức \(\dfrac{{{x^2} + 1}}{{2x}}\)có giá trị bằng $1$  khi $x$ bằng:

  • A

    \(1\)

  • B

    \(2\)

  • C

    \(3\)

  • D

    \( - 1\)

Câu 8 :

Có bao nhiêu giá trị của \(x\) để phân thức $\dfrac{{{x^2} - 9}}{{11}}$có giá trị bằng $0$?

  • A

    \(0\)

  • B

    \(2\)

  • C

    \(3\)

  • D

    \(1\)

Câu 9 :

Phân thức  nào dưới đây bằng với phân thức \(\dfrac{{2{x^3}{y^2}}}{5}\)?

  • A

    \(\dfrac{{14{x^3}{y^4}}}{{35xy}}\) \(\left( {x,y \ne 0} \right)\)

  • B

    $\dfrac{{14{x^4}{y^3}}}{{5xy}}$\(\left( {x,y \ne 0} \right)\)

  • C

    \(\dfrac{{14{x^4}{y^3}}}{{35}}\).

  • D

    \(\dfrac{{14{x^4}{y^3}}}{{35xy}}\) \(\left( {x,y \ne 0} \right)\)

Câu 10 :

Phân thức \(\dfrac{{x + y}}{{3{\rm{a}}}}\)( với \(a \ne 0\))  bằng với phân thức nào sau đây?

  • A

    \(\dfrac{{3{\rm{a}}{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{9{\rm{a}}\left( {x + y} \right)}}\,;\,\left( {x \ne  - y} \right)\)

  • B

    \(\dfrac{{ - x - y}}{{3a}}\)     

  • C

    \(\dfrac{{ - x + y}}{{3a}}\).

  • D

    \(\dfrac{{3{\rm{a}}{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{9{{\rm{a}}^2}\left( {x + y} \right)}}\,;\,\,\,\left( {x \ne  - y} \right)\).

Câu 11 :

Phân thức nào dưới đây không bằng với phân thức \(\dfrac{{3 - x}}{{3 + x}}\).

  • A

    \( - \dfrac{{x - 3}}{{3 + x}}\)

  • B

    \(\dfrac{{{x^2} + 6x + 9}}{{9 - {x^2}}}\)

  • C

    \(\dfrac{{9 - {x^2}}}{{{{\left( {3 + x} \right)}^2}}}\)

  • D

    \(\dfrac{{x - 3}}{{ - 3 - x}}\)

Câu 12 :

Chọn câu sai.

  • A

    \(\dfrac{{5x + 5}}{{5x}} = \dfrac{{x + 1}}{x}\).

  • B

     \(\dfrac{{{x^2} - 9}}{{x + 3}} = x - 3\)

  • C

    \(\dfrac{{x + 3}}{{{x^2} - 9}} = \dfrac{1}{{x - 3}}\).

  • D

    \(\dfrac{{5x + 5}}{{5x}} = 5\).

Câu 13 :

Viết phân thức \(\dfrac{{\dfrac{1}{3}x - 2}}{{{x^2} - \dfrac{4}{3}}}\)  về phân thức có tử và mẫu là các đa thức với hệ số nguyên.

  • A

    \(\dfrac{{x - 6}}{{3{x^2} - 4}}\)         

  • B

    \(\dfrac{{x - 2}}{{3{x^2} - 4}}\)         

  • C

    \(\dfrac{{x - 6}}{{{x^2} - 4}}\)

  • D

    \(\dfrac{{3x - 2}}{{3{x^2} - 4}}\)

Câu 14 :

Tìm đa thức \(M\) thỏa mãn \(\dfrac{M}{{2x - 3}} = \dfrac{{6{x^2} + 9x}}{{4{x^2} - 9}}\) . \(\left( {x \ne  \pm \dfrac{3}{2}} \right)\)

  • A

    \(M = 6{x^2} + 9x\)

  • B

    \(M =  - 3x\)

  • C

    \(M = 3x\)

  • D

    \(M = 2x + 3\)

Câu 15 :

Cho \(\dfrac{{4{x^2} + 3x - 7}}{A} = \dfrac{{4x + 7}}{{x + 3}}\) \(\left( {x \ne  - 3;x \ne \dfrac{{ - 7}}{4}} \right)\) . Khi đó đa thức \(A\) là

  • A

    \(A = {x^2} + 2x - 3\)

  • B

    \(A = {x^2} + 2x + 3\)

  • C

    \(A = {x^2} - 2x - 3\)

  • D

    \(A = {x^2} + 2x\)

Câu 16 :

Với điều kiện nào của $x$ thì hai phân thức \(\dfrac{{x - 2}}{{{x^2} - 5x+ 6}}\) và \(\dfrac{1}{{x - 3}}\)  bằng nhau.

  • A

    \(x = 3\)

  • B

    \(x \ne 3\)

  • C

    \(x \ne 2\)

  • D

    \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne 3\end{array} \right.\)

Câu 17 :

Giá trị của $x$ để phân thức \(\dfrac{{2x - 5}}{3} < 0\) là

  • A

    \(x > \dfrac{5}{2}\)

  • B

    \(x < \dfrac{5}{2}\)

  • C

    \(x <  - \dfrac{5}{2}\)

  • D

    \(x > 5\)

Câu 18 :

Cho \(A = \dfrac{{{x^4} - 5{x^2} + 4}}{{{x^4} - 10{x^2} + 9}}\) . Có bao nhiêu giá trị của \(x\) để \(A = 0\) .

  • A

    \(2\)

  • B

    \(3\)

  • C

    \(1\)

  • D

    \(4\)

Câu 19 :

Với $x \ne y$, hãy viết phân thức $\dfrac{1}{{x - y}}$ dưới dạng phân thức có tử là ${x^2} - {y^2}$.

  • A

    $\dfrac{{{x^2} - {y^2}}}{{\left( {x - y} \right){y^2}}}$.

  • B

    $\dfrac{{{x^2} - {y^2}}}{{x + y}}$.

  • C

    $\dfrac{{{x^2} - {y^2}}}{{x - y}}$.

  • D

    $\dfrac{{{x^2} - {y^2}}}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {x + y} \right)}}$.

Câu 20 :

Dùng tính chất cơ bản của phân thức, hãy tìm đa thức \(C\) biết \(\dfrac{{{x^2} + x - 6}}{{({x^2} - 2x)(x + 2)}} = \dfrac{{x + 3}}{C}\).

  • A

    \(C = x + 2\)

  • B

    \(C = {x^2} + 2\)

  • C

    \(C = x(x + 2)\)           

  • D

    \(C = x(x - 2)\)

Câu 21 :

Cho \(4{a^2} + {b^2} = 5ab\) và \(2a > b > 0\). Tính giá trị biểu thức: \(M = \dfrac{{ab}}{{4{a^2} - {b^2}}}\).

  • A

    \(\dfrac{1}{9}\)

  • B

    \(\dfrac{1}{3}\)

  • C

    \(3\)

  • D

    \(9\)

Câu 22 :

Tìm giá trị lớn nhất của phân thức \(P = \dfrac{{16}}{{{x^2} - 2x + 5}}\).

  • A

    \(4\)

  • B

    \(8\)

  • C

    \(16\)

  • D

    \(2\)

Câu 23 :

Cho \(ad = bc\,\,\left( {cd \ne 0;{c^2} \ne 3{d^2}} \right)\). Khi đó \(\dfrac{{{a^2} - 3{b^2}}}{{{c^2} - 3{d^2}}}\) bằng:

  • A

    \(\dfrac{{a{b^2}}}{{c{d^2}}}\)

  • B

    \(\dfrac{{ad}}{{bc}}\)

  • C

    \(\dfrac{{ab}}{{cd}}\)

  • D

    \(\dfrac{{cd}}{{ab}}\)

Câu 24 :

Cho \(a > b > 0\). Chọn câu đúng.

  • A

    \(\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\)

  • B

    \(\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} > 2\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\)

  • C

    \(\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} > \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\)

  • D

    \(\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} < \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\)

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Phân thức \(\dfrac{A}{B}\) xác định khi

  • A

    \(B \ne 0\)

  • B

    \(B \ge 0\)

  • C

    \(B \le 0\)

  • D

    \(A = 0\)

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Phân thức \(\dfrac{A}{B}\) xác định khi \(B \ne 0\) .

Câu 2 :

Với \(B \ne 0,\,D \ne 0\) , hai phân thức \(\dfrac{A}{B}\) và \(\dfrac{C}{D}\) bằng nhau khi

  • A

    \(A.B = C.D\)

  • B

    \(A.C = B.D\)

  • C

    \(A.D = B.C\)

  • D

    \(AC < B.D\)

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Với hai phân thức \(\dfrac{A}{B}\)  và \(\dfrac{C}{D}\), ta nói \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}\) nếu $A.D = B.C$ .

Câu 3 :

Chọn câu sai. Với đa thức \(B \ne 0\) ta có

  • A

    \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A.M}}{{B.M}}\) (với \(M\) khác đa thức \(0\) ) 

  • B

    \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A:N}}{{B:N}}\) (với $N$ là một nhân tử chung , \(N\) khác đa thức \(0\) ).

  • C

    $\dfrac{A}{B} = \dfrac{{ - A}}{{ - B}}$  .

  • D

    $\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A + M}}{{B + M}}$ (với \(M\) khác đa thức \(0\) ).

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Tính chất cơ bản của phân thức đại số

+   \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A.M}}{{B.M}}\) ($M$ là một đa thức khác $0$ ) nên A đúng.

+ \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A:N}}{{B:N}}\)  ($N$ là một nhân tử chung, $N$ khác đa thức $0$ ) nên B đúng.

+ $\dfrac{A}{B} = \dfrac{{ - A}}{{ - B}}$ nên C đúng.

Đáp án D sai vì \(\dfrac{2}{3} \ne \dfrac{3}{4} = \dfrac{{2 + 1}}{{3 + 1}}\) .

Câu 4 :

Với điều kiện nào của \(x\) thì phân thức  \(\dfrac{{x - 1}}{{x - 2}}\)  có nghĩa

  • A

    \(x \le 2\)

  • B

    \(x \ne 1\)

  • C

    \(x = 2\)

  • D

    \(x \ne 2\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng:  Phân thức \(\dfrac{A}{B}\) xác định khi \(B \ne 0\) .

Lời giải chi tiết :

Ta có \(\dfrac{{x - 1}}{{x - 2}}\) có nghĩa khi \(x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2\) .

Câu 5 :

Phân thức \(\dfrac{{5x - 1}}{{{x^2} - 4}}\)  xác định khi

  • A

    \(x \ne 2\)

  • B

    \(x \ne 2\) và \(\,x \ne  - 2\)

  • C

    \(x = 2\)

  • D

    \(\,x \ne  - 2\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng  điều kiện để phân thức có nghĩa ( hay phân thức xác định)

Phân thức \(\dfrac{A}{B}\) xác định khi \(B \ne 0\) .

Lời giải chi tiết :

Phân thức \(\dfrac{{5x - 1}}{{{x^2} - 4}}\)  xác định khi \({x^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow {x^2} \ne 4 \Leftrightarrow x \ne  \pm 2\) .

Câu 6 :

Để phân thức \(\dfrac{{x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}\) có nghĩa thì \(x\) thỏa mãn điều kiện nào?

  • A

    $\;x \ne  - 1$ và \(\,x \ne  - 3\)

  • B

    \(x = 3\).

  • C

    \(x \ne  - 1\) và \(\,x \ne 3\).

  • D

    \(x \ne  - 1\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng  điều kiện để phân thức có nghĩa ( hay phân thức xác định)

Phân thức \(\dfrac{A}{B}\) xác định khi \(B \ne 0\) .

Lời giải chi tiết :

Phân thức \(\dfrac{{x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}\) có nghĩa khi \(\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) \ne 0\) \( \Leftrightarrow \) \(x + 1 \ne 0\) và \(x - 3 \ne 0\)

Nên $x \ne  - 1$ và \(x \ne 3\) .

Câu 7 :

Phân thức \(\dfrac{{{x^2} + 1}}{{2x}}\)có giá trị bằng $1$  khi $x$ bằng:

  • A

    \(1\)

  • B

    \(2\)

  • C

    \(3\)

  • D

    \( - 1\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Tìm điều kiện để phân thức \(\dfrac{A}{B}\) xác định: \(B \ne 0\)

Bước 2: Từ giả thiết ta có \(\dfrac{A}{B} = 1\) . Từ đó tìm được \(x\) .

Bước 3: So sánh với điều kiện ở bước 1 để kết luận.

Lời giải chi tiết :

+ Điều kiện: \(2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 0\) .

+ Ta có \(\dfrac{{{x^2} + 1}}{{2x}} = 1 \Rightarrow {x^2} + 1 = 2x \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) (thỏa mãn)

Vậy \(x = 1\) .

Câu 8 :

Có bao nhiêu giá trị của \(x\) để phân thức $\dfrac{{{x^2} - 9}}{{11}}$có giá trị bằng $0$?

  • A

    \(0\)

  • B

    \(2\)

  • C

    \(3\)

  • D

    \(1\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bước 1: Tìm điều kiện để phân thức \(\dfrac{A}{B} \) xác định: \(B \ne 0\)

Bước 2: Từ giả thiết ta có \(\dfrac{A}{B} = 0\) suy ra $A=0.$ Từ đó tìm được \(x\) .

Bước 3: So sánh với điều kiện ở bước 1 để kết luận.

Lời giải chi tiết :

+ Vì \(11 \ne 0\) (luôn đúng) nên phân thức $\dfrac{{{x^2} - 9}}{{11}}$  luôn  có nghĩa.

+ Ta có $\dfrac{{{x^2} - 9}}{{11}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 9 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x =  - 3\end{array} \right.$

Vậy có hai giá trị của $x$ thỏa mãn yêu cầu đề bài: \(x = 3;\,x =  - 3\) .

Câu 9 :

Phân thức  nào dưới đây bằng với phân thức \(\dfrac{{2{x^3}{y^2}}}{5}\)?

  • A

    \(\dfrac{{14{x^3}{y^4}}}{{35xy}}\) \(\left( {x,y \ne 0} \right)\)

  • B

    $\dfrac{{14{x^4}{y^3}}}{{5xy}}$\(\left( {x,y \ne 0} \right)\)

  • C

    \(\dfrac{{14{x^4}{y^3}}}{{35}}\).

  • D

    \(\dfrac{{14{x^4}{y^3}}}{{35xy}}\) \(\left( {x,y \ne 0} \right)\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng  tính chất cơ bản của phân thức:

\(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A.M}}{{B.M}}\) ($M$ là một đa thức khác $0$ )

Lời giải chi tiết :

Với \(\left( {x,y \ne 0} \right)\) ta có \(\dfrac{{2{x^3}{y^2}}}{5} = \dfrac{{2{x^3}{y^2}.7xy}}{{5.7xy}} = \dfrac{{14{x^4}{y^3}}}{{35xy}}\)

Câu 10 :

Phân thức \(\dfrac{{x + y}}{{3{\rm{a}}}}\)( với \(a \ne 0\))  bằng với phân thức nào sau đây?

  • A

    \(\dfrac{{3{\rm{a}}{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{9{\rm{a}}\left( {x + y} \right)}}\,;\,\left( {x \ne  - y} \right)\)

  • B

    \(\dfrac{{ - x - y}}{{3a}}\)     

  • C

    \(\dfrac{{ - x + y}}{{3a}}\).

  • D

    \(\dfrac{{3{\rm{a}}{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{9{{\rm{a}}^2}\left( {x + y} \right)}}\,;\,\,\,\left( {x \ne  - y} \right)\).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng  tính chất các cơ bản của phân thức

+   \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A.M}}{{B.M}}\) ($M$ là một đa thức khác $0$ )

+ \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A:N}}{{B:N}}\)  ($N$ là một nhân tử chung, $N$ khác đa thức $0$ )

+ $\dfrac{A}{B} = \dfrac{{ - A}}{{ - B}}$

Lời giải chi tiết :

Ta có  \(\dfrac{{x + y}}{{3{\rm{a}}}} = \dfrac{{ - \left( {x + y} \right)}}{{ - 3a}} = \dfrac{{ - x - y}}{{ - 3a}}\) nên B,C sai.

Lại có \(\dfrac{{x + y}}{{3a}} = \dfrac{{\left( {x + y} \right).3a.\left( {x + y} \right)}}{{3a.3a.\left( {x + y} \right)}} = \dfrac{{3a{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{9{a^2}\left( {x + y} \right)}}\)  nên A sai, D  đúng.

Câu 11 :

Phân thức nào dưới đây không bằng với phân thức \(\dfrac{{3 - x}}{{3 + x}}\).

  • A

    \( - \dfrac{{x - 3}}{{3 + x}}\)

  • B

    \(\dfrac{{{x^2} + 6x + 9}}{{9 - {x^2}}}\)

  • C

    \(\dfrac{{9 - {x^2}}}{{{{\left( {3 + x} \right)}^2}}}\)

  • D

    \(\dfrac{{x - 3}}{{ - 3 - x}}\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng  tính chất các cơ bản của phân thức

+   \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A.M}}{{B.M}}\) ($M$ là một đa thức khác $0$ )

+ \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A:N}}{{B:N}}\)  ($N$ là một nhân tử chung, $N$ khác đa thức $0$ )

+ $\dfrac{A}{B} = \dfrac{{ - A}}{{ - B}}$

Lời giải chi tiết :

Ta có  \( - \dfrac{{x - 3}}{{3 + x}} =  - \dfrac{{ - \left( {3 - x} \right)}}{{3 + x}} = \dfrac{{3 - x}}{{3 + x}}\)

*) \(\dfrac{{{x^2} + 6x + 9}}{{9 - {x^2}}} = \dfrac{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right)}} = \dfrac{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}:\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right):\left( {x + 3} \right)}}\)\( = \dfrac{{x + 3}}{{3 - x}} \ne \dfrac{{3 - x}}{{3 + x}}\)

*) \(\dfrac{{9 - {x^2}}}{{{{\left( {3 + x} \right)}^2}}} = \dfrac{{\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right)}}{{{{\left( {3 + x} \right)}^2}}} = \dfrac{{\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right):\left( {3 + x} \right)}}{{{{\left( {3 + x} \right)}^2}:\left( {3 + x} \right)}} = \dfrac{{3 - x}}{{3 + x}}\)

*) \(\dfrac{{x - 3}}{{ - 3 - x}} = \dfrac{{ - \left( {3 - x} \right)}}{{ - \left( {3 + x} \right)}} = \dfrac{{3 - x}}{{3 + x}}\)

Câu 12 :

Chọn câu sai.

  • A

    \(\dfrac{{5x + 5}}{{5x}} = \dfrac{{x + 1}}{x}\).

  • B

     \(\dfrac{{{x^2} - 9}}{{x + 3}} = x - 3\)

  • C

    \(\dfrac{{x + 3}}{{{x^2} - 9}} = \dfrac{1}{{x - 3}}\).

  • D

    \(\dfrac{{5x + 5}}{{5x}} = 5\).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng  tính chất các cơ bản của phân thức

+   \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A.M}}{{B.M}}\) ($M$ là một đa thức khác $0$ )

+ \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A:N}}{{B:N}}\)  ($N$ là một nhân tử chung, $N$ khác đa thức $0$ )

Lời giải chi tiết :

Ta có  \(\dfrac{{5x + 5}}{{5x}} = \dfrac{{5\left( {x + 1} \right)}}{{5x}} = \dfrac{{5\left( {x + 1} \right):5}}{{5x:5}} = \dfrac{{x + 1}}{x}\) nên A đúng, D sai.

*) \(\dfrac{{{x^2} - 9}}{{x + 3}} = \dfrac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)}} = \dfrac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right):\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right):\left( {x + 3} \right)}} = x - 3\) nên B đúng.

*) \(\dfrac{{x + 3}}{{{x^2} - 9}} = \dfrac{{x + 3}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \dfrac{{\left( {x + 3} \right):\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right):\left( {x + 3} \right)}} = \dfrac{1}{{x - 3}}\) nên C đúng.

Câu 13 :

Viết phân thức \(\dfrac{{\dfrac{1}{3}x - 2}}{{{x^2} - \dfrac{4}{3}}}\)  về phân thức có tử và mẫu là các đa thức với hệ số nguyên.

  • A

    \(\dfrac{{x - 6}}{{3{x^2} - 4}}\)         

  • B

    \(\dfrac{{x - 2}}{{3{x^2} - 4}}\)         

  • C

    \(\dfrac{{x - 6}}{{{x^2} - 4}}\)

  • D

    \(\dfrac{{3x - 2}}{{3{x^2} - 4}}\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Nhân cả tử và mẫu với cùng một số để có phân thức thỏa mãn đề bài.

Lời giải chi tiết :

Nhân cả tử và mẫu của phân thức đã cho với số \(3\) ta được:

Ta có: \(\dfrac{{\dfrac{1}{3}x - 2}}{{{x^2} - \dfrac{4}{3}}} = \dfrac{{\left( {\dfrac{1}{3}x - 2} \right).3}}{{\left( {{x^2} - \dfrac{4}{3}} \right).3}} = \dfrac{{x - 6}}{{3{x^2} - 4}}\)

Câu 14 :

Tìm đa thức \(M\) thỏa mãn \(\dfrac{M}{{2x - 3}} = \dfrac{{6{x^2} + 9x}}{{4{x^2} - 9}}\) . \(\left( {x \ne  \pm \dfrac{3}{2}} \right)\)

  • A

    \(M = 6{x^2} + 9x\)

  • B

    \(M =  - 3x\)

  • C

    \(M = 3x\)

  • D

    \(M = 2x + 3\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng  điều kiện để hai phân thức bằng nhau:

Với hai phân thức \(\dfrac{A}{B}\)  và \(\dfrac{C}{D}\)\(\left( {B \ne 0,\,D \ne 0} \right)\)  , ta nói \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}\)  nếu$A.D = B.C$ .

Lời giải chi tiết :

Với \(x \ne  \pm \dfrac{3}{2}\) ta có

\(\dfrac{M}{{2x - 3}} = \dfrac{{6{x^2} + 9x}}{{4{x^2} - 9}}\)\( \Rightarrow M\left( {4{x^2} - 9} \right) = \left( {6{x^2} + 9x} \right).\left( {2x - 3} \right)\) \( \Leftrightarrow M\left( {2x - 3} \right)\left( {2x + 3} \right) = 3x\left( {2x + 3} \right)\left( {2x - 3} \right) \Rightarrow M = 3x\)

Câu 15 :

Cho \(\dfrac{{4{x^2} + 3x - 7}}{A} = \dfrac{{4x + 7}}{{x + 3}}\) \(\left( {x \ne  - 3;x \ne \dfrac{{ - 7}}{4}} \right)\) . Khi đó đa thức \(A\) là

  • A

    \(A = {x^2} + 2x - 3\)

  • B

    \(A = {x^2} + 2x + 3\)

  • C

    \(A = {x^2} - 2x - 3\)

  • D

    \(A = {x^2} + 2x\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng  điều kiện để hai phân thức bằng nhau:

Với hai phân thức \(\dfrac{A}{B}\)  và \(\dfrac{C}{D}\)\(\left( {B \ne 0,\,D \ne 0} \right)\)  , ta nói \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}\)  nếu$A.D = B.C$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có với \(x \ne  - 3\) và \(x \ne \dfrac{{ - 7}}{4}\) thì \(\dfrac{{4{x^2} + 3x - 7}}{A} = \dfrac{{4x + 7}}{{x + 3}}\)\( \Rightarrow A.\left( {4x + 7} \right) = \left( {4{x^2} + 3x - 7} \right)\left( {x + 3} \right)\)

\( \Leftrightarrow A = \dfrac{{\left( {4{x^2} - 4x + 7x - 7} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {4x + 7} \right)}}\) \( = \dfrac{{\left[ {4x\left( {x - 1} \right) + 7\left( {x - 1} \right)} \right]\left( {x + 3} \right)}}{{4x + 7}} = \dfrac{{\left( {4x + 7} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{4x + 7}}\)

\( = \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {4x + 7} \right):\left( {4x + 7} \right)}}{{\left( {4x + 7} \right):\left( {4x + 7} \right)}} = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) = {x^2} + 2x - 3\)  

Vậy \(A = {x^2} + 2x - 3\) .

Câu 16 :

Với điều kiện nào của $x$ thì hai phân thức \(\dfrac{{x - 2}}{{{x^2} - 5x+ 6}}\) và \(\dfrac{1}{{x - 3}}\)  bằng nhau.

  • A

    \(x = 3\)

  • B

    \(x \ne 3\)

  • C

    \(x \ne 2\)

  • D

    \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne 3\end{array} \right.\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Bước 1: Tìm điều kiện để phân thức xác định: \(B \ne 0\)

Bước 2: \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}\)  nếu$A.D = B.C$ . Từ đó tìm được \(x\) .

Bước 3: So sánh với điều kiện ở bước 1 để kết luận.

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 5x + 6 \ne 0\\x - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) \ne 0\\x - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ne 0\\x - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne 3\end{array} \right.\) .

Ta có \(\dfrac{{x - 2}}{{{x^2} - 5{\rm{x}} + 6}} = \dfrac{1}{{x - 3}} \Leftrightarrow \dfrac{{x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \dfrac{1}{{x - 3}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x - 2} \right):\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 2} \right):\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{1}{{\left( {x - 3} \right)}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x - 3}} = \dfrac{1}{{x - 3}}\)  (luôn đúng)

Nên hai phân thức trên bằng nhau khi \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne 3\end{array} \right.\).

Câu 17 :

Giá trị của $x$ để phân thức \(\dfrac{{2x - 5}}{3} < 0\) là

  • A

    \(x > \dfrac{5}{2}\)

  • B

    \(x < \dfrac{5}{2}\)

  • C

    \(x <  - \dfrac{5}{2}\)

  • D

    \(x > 5\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng  kiến thức \(\dfrac{A}{B} < 0 \Leftrightarrow B \ne 0\) và \(A,B\) trái dấu.

Lời giải chi tiết :

Ta có \(\dfrac{{2x - 5}}{3} < 0\)\( \Rightarrow 2x - 5 < 0 \)\(\Leftrightarrow 2x < 5 \)\(\Leftrightarrow x < \dfrac{5}{2}\) (Vì \(3 > 0\) ).

Câu 18 :

Cho \(A = \dfrac{{{x^4} - 5{x^2} + 4}}{{{x^4} - 10{x^2} + 9}}\) . Có bao nhiêu giá trị của \(x\) để \(A = 0\) .

  • A

    \(2\)

  • B

    \(3\)

  • C

    \(1\)

  • D

    \(4\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Tìm điều kiện để phân thức xác định: \(B \ne 0\)

Bước 2: Từ giả thiết ta có \(\dfrac{A}{B} = m\) . Từ đó tìm được \(x\) .

Bước 3: So sánh với điều kiện ở bước 1 để kết luận.

Lời giải chi tiết :

Ta có \({x^4} - 10{x^2} + 9 = {x^4} - {x^2} - 9{x^2} + 9 = {x^2}\left( {{x^2} - 1} \right) - 9\left( {{x^2} - 1} \right) = \left( {{x^2} - 9} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)\)

Điều kiện: \({x^4} - 10{x^2} + 9 \ne 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 9} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ne 1\\{x^2} \ne 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne  \pm 1\\x \ne  \pm 3\end{array} \right.\)

Ta có \(A = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^4} - 5{x^2} + 4}}{{{x^4} - 10{x^2} + 9}} = 0 \Rightarrow {x^4} - 5{x^2} + 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^4} - {x^2} - 4{x^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} - 1} \right) - 4\left( {{x^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 4\\{x^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\,\left( {TM} \right)\\x =  - 2\,\left( {TM} \right)\\x = 1\,\,\left( L \right)\\x =  - 1\,\,\left( L \right)\end{array} \right.\)

Vậy có hai giá trị của \(x\) thỏa mãn đề bài \(x = 2;\,x =  - 2\) .

Câu 19 :

Với $x \ne y$, hãy viết phân thức $\dfrac{1}{{x - y}}$ dưới dạng phân thức có tử là ${x^2} - {y^2}$.

  • A

    $\dfrac{{{x^2} - {y^2}}}{{\left( {x - y} \right){y^2}}}$.

  • B

    $\dfrac{{{x^2} - {y^2}}}{{x + y}}$.

  • C

    $\dfrac{{{x^2} - {y^2}}}{{x - y}}$.

  • D

    $\dfrac{{{x^2} - {y^2}}}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {x + y} \right)}}$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng  tính chất các cơ bản của phân thức

+\(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A.M}}{{B.M}}\) ($M$ là một đa thức khác $0)$ 

Lời giải chi tiết :

Ta có $\dfrac{1}{{x - y}} = \dfrac{{1.\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}} = \dfrac{{{x^2} - {y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \dfrac{{{x^2} - {y^2}}}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {x + y} \right)}}$

Câu 20 :

Dùng tính chất cơ bản của phân thức, hãy tìm đa thức \(C\) biết \(\dfrac{{{x^2} + x - 6}}{{({x^2} - 2x)(x + 2)}} = \dfrac{{x + 3}}{C}\).

  • A

    \(C = x + 2\)

  • B

    \(C = {x^2} + 2\)

  • C

    \(C = x(x + 2)\)           

  • D

    \(C = x(x - 2)\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ Sử dụng tính chất: \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A:N}}{{B:N}}\) (\(N\) là một nhân tử chung, \(N\) khác đa thức \(0\))

Lời giải chi tiết :

\(\dfrac{{{x^2} + x - 6}}{{({x^2} - 2x)(x + 2)}} = \dfrac{{x + 3}}{C}\)

Ta có: \(\dfrac{{{x^2} + x - 6}}{{({x^2} - 2x)(x + 2)}} = \dfrac{{{x^2} + 3x - 2x - 6}}{{x(x - 2)(x + 2)}} \)\(= \dfrac{{x(x + 3) - 2(x + 3)}}{{x(x - 2)(x + 2)}} \)\(= \dfrac{{(x - 2)(x + 3)}}{{x(x - 2)(x + 2)}} = \dfrac{{x + 3}}{{x(x + 2)}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{x + 3}}{{x(x + 2)}} = \dfrac{{x + 3}}{C}\)

Vậy \(C = x(x + 2)\).

Câu 21 :

Cho \(4{a^2} + {b^2} = 5ab\) và \(2a > b > 0\). Tính giá trị biểu thức: \(M = \dfrac{{ab}}{{4{a^2} - {b^2}}}\).

  • A

    \(\dfrac{1}{9}\)

  • B

    \(\dfrac{1}{3}\)

  • C

    \(3\)

  • D

    \(9\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Biến đổi giả thiết để có \(a = b\)

Thay vào biểu thức \(M\) để tính giá trị.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

\(4{a^2} + {b^2} = 5ab \Leftrightarrow 4{a^2} - 5ab + {b^2} = 0 \)\(\Leftrightarrow 4{a^2} - 4ab - ab + {b^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow 4a(a - b) - b(a - b) = 0 \Leftrightarrow (a - b)(4a - b) = 0\)

\(Do\,\,\,2a > b > 0 \Rightarrow 4a > b \Rightarrow 4a - b > 0.\)

\( \Rightarrow a - b = 0 \Leftrightarrow a = b.\)

Vậy \(M = \dfrac{{ab}}{{4{a^2} - {b^2}}} = \dfrac{{a.a}}{{4{a^2} - {a^2}}} = \dfrac{{{a^2}}}{{3{a^2}}} = \dfrac{1}{3}\).

Câu 22 :

Tìm giá trị lớn nhất của phân thức \(P = \dfrac{{16}}{{{x^2} - 2x + 5}}\).

  • A

    \(4\)

  • B

    \(8\)

  • C

    \(16\)

  • D

    \(2\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Sử dụng \(P = \dfrac{m}{{f\left( x \right)}}\)  (với \(m > 0\)) đạt giá trị lớn nhất khi \(f\left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất.

+ Sử dụng \({\left( {x + a} \right)^2} + b \ge b;\forall x\), dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x =  - a\).

Lời giải chi tiết :

Ta có: \({x^2} - 2x + 5 = {x^2} - 2x + 1 + 4 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 4\)

Vì \({\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0;\,\forall x\) nên \({\left( {x - 1} \right)^2} + 4 \ge 4\)

Suy ra: \(\dfrac{{16}}{{{x^2} + 2x + 5}} \le \dfrac{{16}}{4} \Leftrightarrow P \le 4\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1\)

Vậy với \(x = 1\) thì \(P\) đạt giá trị lớn nhất là \(4.\)

Câu 23 :

Cho \(ad = bc\,\,\left( {cd \ne 0;{c^2} \ne 3{d^2}} \right)\). Khi đó \(\dfrac{{{a^2} - 3{b^2}}}{{{c^2} - 3{d^2}}}\) bằng:

  • A

    \(\dfrac{{a{b^2}}}{{c{d^2}}}\)

  • B

    \(\dfrac{{ad}}{{bc}}\)

  • C

    \(\dfrac{{ab}}{{cd}}\)

  • D

    \(\dfrac{{cd}}{{ab}}\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng hai phân số bằng nhau \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D} \Leftrightarrow A.D = B.C\)

Lời giải chi tiết :

 

Ta xét: \(\left( {{a^2} - 3{b^2}} \right)cd = {a^2}cd - 3{b^2}cd = ac.ad - 3bd.bc\) \( = ac.ad - 3bd.ad = ad\left( {ac - 3bd} \right)\) (1) (do \(ad = bc\))

 Và \(\left( {{c^2} - 3{d^2}} \right)ab = {c^2}ab - 3{d^2}ab = ac.bc - 3bd.ad\)\( = ac.ad - 3bd.ad = ad\left( {ac - 3bd} \right)\) (2) (do \(ad = bc\))

Từ (1) và (2) suy ra: \(\left( {{a^2} - 3{b^2}} \right)cd = \left( {{c^2} - 3{d^2}} \right)ab\)

Từ đó ta có: \(\dfrac{{{a^2} - 3{b^2}}}{{{c^2} - 3{d^2}}} = \dfrac{{ab}}{{cd}}\)

Câu 24 :

Cho \(a > b > 0\). Chọn câu đúng.

  • A

    \(\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\)

  • B

    \(\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} > 2\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\)

  • C

    \(\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} > \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\)

  • D

    \(\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} < \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất cơ bản của phân thức để biến đổi.

+ \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A.M}}{{B.M}}\) (\(M\) là một đa thức khác \(0\))

+ \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A:N}}{{B:N}}\) (\(N\) là một nhân tử chung, \(N\) khác đa thức \(0\))

Lời giải chi tiết :

Do \(a > b > 0\) nên \(a + b > 0;a - b > 0\)

Ta có \(\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} = \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)}}\) \( = \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}:\left( {a + b} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right):\left( {a + b} \right)}} = \dfrac{{a + b}}{{a - b}}\)

Nhân cả tử và mẫu của phân thức \(\dfrac{{a + b}}{{a - b}}\) với \(\left( {a - b} \right)\) ta được:

\(\dfrac{{a + b}}{{a - b}} = \dfrac{{\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - b} \right)}} = \dfrac{{{a^2} - {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\) \( < \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\) (do \(0 < {a^2} - {b^2} < {a^2} + {b^2}\))

close