Bài tập trắc nghiệm Toán 8

Trắc nghiệm Bài 3: Rút gọn phân thức đại số Toán 8

Làm đề thi

Đề bài

Câu 1 :

Kết quả rút gọn của phân thức \(\dfrac{{6{x^2}{y^3}\left( {x + 3y} \right)}}{{18{x^2}y{{\left( {x + 3y} \right)}^2}}}\) là

  • A

    \(\dfrac{{{y^2}}}{{3\left( {x + 3y} \right)}}\).

  • B

    \(\dfrac{{3{y^2}}}{{x + 3y}}\).

  • C

    \(\dfrac{{{y^2}}}{{2\left( {x + 3y} \right)}}\).

  • D

    \(\dfrac{{xy}}{{x + 3y}}\).

Câu 2 :

Rút gọn phân thức $\dfrac{{{a^2} - 2a - 8}}{{{a^2} + 2a}}$ ta được

  • A

    $\dfrac{a}{{2 + a}}$

  • B

    $\dfrac{{a - 4}}{{2 + a}}$

  • C

    $ - 8$

  • D

    $\dfrac{{a - 4}}{a}$

Câu 3 :

Cho \(A = \dfrac{{2{x^2} - 4x + 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\) . Khi đó

  • A

    $A = 2$

  • B

    $A = 3$

  • C

    $A > 4$

  • D

    $A = 1$

Câu 4 :

Chọn câu đúng.

  • A

    $\dfrac{{{{\left( {5a + 5b} \right)}^2}}}{{{{\left( {3a + 3b} \right)}^2}}} = \dfrac{5}{3}$.

  • B

    $\dfrac{{{{\left( {5a + 5b} \right)}^2}}}{{{{\left( {3a + 3b} \right)}^2}}} = \dfrac{{25}}{9}$.

  • C

    $\dfrac{{4{x^3} + 4x^2}}{{{x^2} - 1}} = \dfrac{{4x^2}}{{{x^2} + 1}}$.

  • D

    $\dfrac{{{b^2} + b}}{{a + ab}} = \dfrac{a}{b}$.

Câu 5 :

Chọn câu sai.

  • A

    $\dfrac{{2xy - {x^2}}}{{2{y^2} - xy}} = \dfrac{x}{y}$.

  • B

    $\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{{x^2} + 7x + 12}} = \dfrac{{x - 2}}{{x + 3}}$.

  • C

    $\dfrac{{\left( {2x - 4} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {{x^3} - 27} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{2}{{{x^2} - 3x + 9}}$.

  • D

    $\dfrac{{25x{y^2}}}{{40{x^3}{y^2}}} = \dfrac{5}{{8{x^2}}}$.

Câu 6 :

Rút gọn phân thức \(\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - {c^2}}}{{a + b + c}}\) ta được phân thức có tử là

  • A

    $a - b - c$

  • B

    $a + b + c$

  • C

    $a - b + c$

  • D

    $a + b - c$

Câu 7 :

Rút gọn phân thức \(\dfrac{{{x^2} - xy - x + y}}{{{x^2} + xy - x - y}}\)  ta được phân thức có mẫu là

  • A

     $x - y$

  • B

    \(\dfrac{{x - y}}{{x + y}}\)

  • C

    $x + y$

  • D

    \(\left( {x - 1} \right)\left( {x + y} \right)\)

Câu 8 :

Tìm $x$ biết ${a^2}x - ax + x = {a^3} + 1$

  • A

    $x = a + 1$

  • B

    $x = 1 - a$

  • C

    $x = a + 2$

  • D

    $x = a - 1$

Câu 9 :

Rút gọn phân thức $\dfrac{{{{\left( {{a^4} - {b^4}} \right)}^3}}}{{\left( {b + a} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right){{\left( {a - b} \right)}^3}}}$ ta được :

  • A

    $\dfrac{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {a + b} \right)}}{{a - b}}$

  • B

    $\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{a - b}}$

  • C

    ${\left( {{a^2} + {b^2}} \right)^2}\left( {a + b} \right)^2$

  • D

    $\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {a + b} \right)$

Câu 10 :

Giá trị biểu thức \(A = \dfrac{{\left( {2{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {{x^3} - 4{\rm{x}}} \right)\left( {x + 1} \right)}}\) với \(x = \dfrac{1}{2}\) là

  • A

    \(A = \dfrac{{10}}{2}\)

  • B

    $A = -\dfrac{6}{5}$

  • C

    $A =\dfrac{6}{5}$

  • D

    $A = \dfrac{25}{2}$

Câu 11 :

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \dfrac{1}{{{x^2} + 2{\rm{x}} + 6}}\).

  • A

    $\dfrac{1}{5}$

  • B

    $ - 1$

  • C

    $5$

  • D

    $6$

Câu 12 :

Với giá trị nào của \(x\) thì biểu thức \(Q = \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} + 2{\rm{x}} + 1}}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

  • A

    $x =  - 1$

  • B

    $x = 0$

  • C

    $x = 2$

  • D

    $x = 1$

Câu 13 :

Cho \(P = \dfrac{{\left( {{x^2} + a} \right)\left( {1 + a} \right) + {a^2}{x^2} + 1}}{{\left( {{x^2} - a} \right)\left( {1 - a} \right) + {a^2}{x^2} + 1}}\). Kết luận nào sau đây là đúng.

  • A

    $P = \dfrac{{{a^2}x + a}}{{a + 1}}$.

  • B

    $P$ không  phụ thuộc vào \(x\) .

  • C

    $P$ không phụ thuộc vào \(a\) .

  • D

    $P$ phụ thuộc vào cả \(a\) và $x$ .

Câu 14 :

Tìm giá trị nguyên của \(x\) để phân thức \(\dfrac{3}{{x + 2}}\)  có giá trị là một số nguyên.

  • A

    $x =  - 3$

  • B

    \(x \in \left\{ { - 1;1} \right\}\)

  • C

    \(x \in \left\{ { - 1;1; - 5; - 3} \right\}\)

  • D

    $x =  - 1$

Câu 15 :

Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(x\) để phân thức \(\dfrac{{2{x^3} + {x^2} + 2x + 8}}{{2x + 1}}\)  có giá trị nguyên?

  • A

    $4$

  • B

    $3$

  • C

    $2$

  • D

    $1$

Câu 16 :

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q = \dfrac{{18}}{{4x - 4{{\rm{x}}^2} +7}}\).

  • A

    \(\dfrac{{18}}{7}\)

  • B

    \(\dfrac{4}{9}\)

  • C

    \(\dfrac{9}{4}\)

  • D

    \(18\)

Câu 17 :

Rút gọn phân thức \(B = \dfrac{{x|x - 2|}}{{{x^3} - 5{x^2} + 6x}}\) ta được:

  • A

    \(B = \dfrac{1}{{x - 3}}\) khi \(x \ge 2; x \ne 3\)

  • B

    \(B = \dfrac{1}{{3 - x}}\) khi \(x < 2; x \ne 0\)

  • C

    \(B = \dfrac{1}{{x - 3}}\)

  • D

    Cả A, B đều đúng

Câu 18 :

Tính giá trị biểu thức \(M = \dfrac{{{x^2} + {y^2} - \left( {1 + 2xy} \right)}}{{{x^2} - {y^2} + 1 + 2x}}\)  tại \(x = 99\) và $y = 100$ .

  • A

    $M =  - \dfrac{1}{{100}}$.

  • B

    $M = \dfrac{1}{{100}}$.

  • C

    $M =  - \dfrac{1}{{200}}$.

  • D

    $M = \dfrac{1}{{200}}$.

Câu 19 :

Cho \(a,b,c,d\) thỏa mãn \(a + b + c + d = 0;ab + ac + bc = 1\). Rút gọn biểu thức \(P = \dfrac{{3\left( {ab - cd} \right)\left( {bc - ad} \right)\left( {ca - bd} \right)}}{{\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)\left( {{c^2} + 1} \right)}}\).

  • A

    \( - 1\)

  • B

    \(1\)

  • C

    \(3\)

  • D

    \( - 3\)

Câu 20 :

Tính giá trị của phân thức \(C = \dfrac{{{a^3} - {b^3} + {c^3} + 3abc}}{{{{(a + b)}^2} + {{(b + c)}^2} + {{(c - a)}^2}}}\) khi \(a + c - b = 10\).

  • A

    \(0\)

  • B

    \(1\)

  • C

    \(4\)

  • D

    \(5\)

Câu 21 :

Cho \(abc \ne 0;\,a + b = c.\) Tính giá trị của biểu thức \(B = \dfrac{{\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)\left( {{c^2} + {a^2} - {b^2}} \right)}}{{8{a^2}{b^2}{c^2}}}\).

  • A

    \( - 1\)

  • B

    \(1\)

  • C

    \(2\)

  • D

    \( - 2\)

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Kết quả rút gọn của phân thức \(\dfrac{{6{x^2}{y^3}\left( {x + 3y} \right)}}{{18{x^2}y{{\left( {x + 3y} \right)}^2}}}\) là

  • A

    \(\dfrac{{{y^2}}}{{3\left( {x + 3y} \right)}}\).

  • B

    \(\dfrac{{3{y^2}}}{{x + 3y}}\).

  • C

    \(\dfrac{{{y^2}}}{{2\left( {x + 3y} \right)}}\).

  • D

    \(\dfrac{{xy}}{{x + 3y}}\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Xác định nhân tử chung.

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

Lời giải chi tiết :

Ta có \(\dfrac{{6{x^2}{y^3}\left( {x + 3y} \right)}}{{18{x^2}y{{\left( {x + 3y} \right)}^2}}} = \dfrac{{6{x^2}y.\left( {x + 3y} \right).{y^2}}}{{6{x^2}y\left( {x + 3y} \right).3\left( {x + 3y} \right)}} = \dfrac{{{y^2}}}{{3\left( {x + 3y} \right)}}\).

Câu 2 :

Rút gọn phân thức $\dfrac{{{a^2} - 2a - 8}}{{{a^2} + 2a}}$ ta được

  • A

    $\dfrac{a}{{2 + a}}$

  • B

    $\dfrac{{a - 4}}{{2 + a}}$

  • C

    $ - 8$

  • D

    $\dfrac{{a - 4}}{a}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử.

- Xác định nhân tử chung.

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\dfrac{{{a^2} - 2a - 8}}{{{a^2} + 2a}} = \dfrac{{{a^2} - 4a + 2a - 8}}{{a\left( {a + 2} \right)}} = \dfrac{{a\left( {a - 4} \right) + 2\left( {a - 4} \right)}}{{a\left( {a + 2} \right)}}$$ = \dfrac{{\left( {a + 2} \right)\left( {a - 4} \right)}}{{a\left( {a + 2} \right)}} = \dfrac{{a - 4}}{a}$ .

Câu 3 :

Cho \(A = \dfrac{{2{x^2} - 4x + 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\) . Khi đó

  • A

    $A = 2$

  • B

    $A = 3$

  • C

    $A > 4$

  • D

    $A = 1$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Phân tích tử số thành nhân tử.

- Xác định nhân tử chung.

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

Lời giải chi tiết :

Ta có  \(A = \dfrac{{2{x^2} - 4x + 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{2\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{2{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 2\).

Câu 4 :

Chọn câu đúng.

  • A

    $\dfrac{{{{\left( {5a + 5b} \right)}^2}}}{{{{\left( {3a + 3b} \right)}^2}}} = \dfrac{5}{3}$.

  • B

    $\dfrac{{{{\left( {5a + 5b} \right)}^2}}}{{{{\left( {3a + 3b} \right)}^2}}} = \dfrac{{25}}{9}$.

  • C

    $\dfrac{{4{x^3} + 4x^2}}{{{x^2} - 1}} = \dfrac{{4x^2}}{{{x^2} + 1}}$.

  • D

    $\dfrac{{{b^2} + b}}{{a + ab}} = \dfrac{a}{b}$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử.

- Xác định nhân tử chung.

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

Lời giải chi tiết :

+) $\dfrac{{{{\left( {5a + 5b} \right)}^2}}}{{{{\left( {3a + 3b} \right)}^2}}} = \dfrac{{{5^2}{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{3^2}{{\left( {a + b} \right)}^2}}} = \dfrac{{{5^2}}}{{{3^2}}} = \dfrac{{25}}{9}$ nên A sai, B đúng.

+) $\dfrac{{4{x^3} + 4x^2}}{{{x^2} - 1}} = \dfrac{{4x^2\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{{4x^2}}{{x - 1}}$ nên C sai.

+)  $\dfrac{{{b^2} + b}}{{a + ab}} = \dfrac{{b\left( {b + 1} \right)}}{{a\left( {1 + b} \right)}} = \dfrac{b}{a}$ nên D sai.

Câu 5 :

Chọn câu sai.

  • A

    $\dfrac{{2xy - {x^2}}}{{2{y^2} - xy}} = \dfrac{x}{y}$.

  • B

    $\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{{x^2} + 7x + 12}} = \dfrac{{x - 2}}{{x + 3}}$.

  • C

    $\dfrac{{\left( {2x - 4} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {{x^3} - 27} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{2}{{{x^2} - 3x + 9}}$.

  • D

    $\dfrac{{25x{y^2}}}{{40{x^3}{y^2}}} = \dfrac{5}{{8{x^2}}}$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử.

- Xác định nhân tử chung.

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\dfrac{{2xy - {x^2}}}{{2{y^2} - xy}} = \dfrac{{x\left( {2y - x} \right)}}{{y\left( {2y - x} \right)}} = \dfrac{x}{y}$ nên A đúng.

+) $\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{{x^2} + 7x + 12}} = \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{{x^2} + 3x + 4x + 12}} = \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right)}} = \dfrac{{x - 2}}{{x + 3}}$ nên B đúng.

+) $\dfrac{{\left( {2x - 4} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {{x^3} - 27} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{{2\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 9} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{2}{{{x^2} + 3x + 9}}$ nên C sai.

+) $\dfrac{{25x{y^2}}}{{40{x^3}{y^2}}} = \dfrac{{5x{y^2}.5}}{{5x{y^2}.8{x^2}}} = \dfrac{5}{{8{x^2}}}$ nên D đúng.

Câu 6 :

Rút gọn phân thức \(\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - {c^2}}}{{a + b + c}}\) ta được phân thức có tử là

  • A

    $a - b - c$

  • B

    $a + b + c$

  • C

    $a - b + c$

  • D

    $a + b - c$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Phân tích tử số thành nhân tử.

- Xác định nhân tử chung.

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

Lời giải chi tiết :

Ta có \(\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - {c^2}}}{{a + b + c}} = \dfrac{{\left( {a + b + c} \right)\left( {a + b - c} \right)}}{{\left( {a + b + c} \right)}} = \dfrac{{a + b - c}}{1}\).

Câu 7 :

Rút gọn phân thức \(\dfrac{{{x^2} - xy - x + y}}{{{x^2} + xy - x - y}}\)  ta được phân thức có mẫu là

  • A

     $x - y$

  • B

    \(\dfrac{{x - y}}{{x + y}}\)

  • C

    $x + y$

  • D

    \(\left( {x - 1} \right)\left( {x + y} \right)\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử.

- Xác định nhân tử chung.

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

Lời giải chi tiết :

Ta có  \(\dfrac{{{x^2} - xy - x + y}}{{{x^2} + xy - x - y}} = \dfrac{{x\left( {x - y} \right) - \left( {x - y} \right)}}{{x\left( {x + y} \right) - \left( {x + y} \right)}} = \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - y} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + y} \right)}}\)\( = \dfrac{{x - y}}{{x + y}}\) .

Vậy mẫu thức của phân thức đã rút gọn là $x + y$ .

Câu 8 :

Tìm $x$ biết ${a^2}x - ax + x = {a^3} + 1$

  • A

    $x = a + 1$

  • B

    $x = 1 - a$

  • C

    $x = a + 2$

  • D

    $x = a - 1$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Phân tích vế trái và vế phải thành nhân tử.

- Tìm $x$ theo \(a\) .

Lời giải chi tiết :

Ta có ${a^2}x - ax + x = {a^3} + 1$\( \Leftrightarrow x\left( {{a^2} - a + 1} \right) = \left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} - a + 1} \right) \Leftrightarrow x = a + 1\) vì \({a^2} - a + 1 = {\left( {a - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} \ne 0,\,\forall a\) .

Vậy $x = a + 1$ .

Câu 9 :

Rút gọn phân thức $\dfrac{{{{\left( {{a^4} - {b^4}} \right)}^3}}}{{\left( {b + a} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right){{\left( {a - b} \right)}^3}}}$ ta được :

  • A

    $\dfrac{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {a + b} \right)}}{{a - b}}$

  • B

    $\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{a - b}}$

  • C

    ${\left( {{a^2} + {b^2}} \right)^2}\left( {a + b} \right)^2$

  • D

    $\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {a + b} \right)$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử.

- Xác định nhân tử chung.

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\dfrac{{{{\left( {{a^4} - {b^4}} \right)}^3}}}{{\left( {b + a} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right){{\left( {a - b} \right)}^3}}}$$ = \dfrac{{{{\left[ {\left( {{a^2} - {b^2}} \right).\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} \right]}^3}}}{{\left( {b + a} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right){{\left( {a - b} \right)}^3}}} = \dfrac{{{{\left[ {\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right).\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} \right]}^3}}}{{\left( {b + a} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right){{\left( {a - b} \right)}^3}}}$

\( = \dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^3}{{\left( {a + b} \right)}^3}.{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^3}}}{{\left( {b + a} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right){{\left( {a - b} \right)}^3}}} = {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)^2}{\left( {a + b} \right)^2}\) .

Câu 10 :

Giá trị biểu thức \(A = \dfrac{{\left( {2{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {{x^3} - 4{\rm{x}}} \right)\left( {x + 1} \right)}}\) với \(x = \dfrac{1}{2}\) là

  • A

    \(A = \dfrac{{10}}{2}\)

  • B

    $A = -\dfrac{6}{5}$

  • C

    $A =\dfrac{6}{5}$

  • D

    $A = \dfrac{25}{2}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Rút gọn \(A\) .

- Thay \(x = \dfrac{1}{2}\) vào biểu thức đã rút gọn.

Lời giải chi tiết :

Ta có \(A = \dfrac{{\left( {2{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {{x^3} - 4{\rm{x}}} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\( = \dfrac{{2x\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{{2\left( {x - 2} \right)}}{{x + 2}} = \dfrac{{2x - 4}}{{x + 2}}\)

Thay \(x = \dfrac{1}{2}\) vào \(A = \dfrac{{2x - 4}}{{x + 2}}\)  ta được \(A = \dfrac{{2.\dfrac{1}{2} - 4}}{{\dfrac{1}{2} + 2}} = \dfrac{-3}{{\dfrac{5}{2}}} = \dfrac{-6}{5}\) . Vậy \(x = \dfrac{1}{2}\) thì $A = \dfrac{-6}{5}$ .

Câu 11 :

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \dfrac{1}{{{x^2} + 2{\rm{x}} + 6}}\).

  • A

    $\dfrac{1}{5}$

  • B

    $ - 1$

  • C

    $5$

  • D

    $6$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Phân tích mẫu số để sử dụng được kiến thức \({\left( {A + B} \right)^2} + m \ge m\,\,\) với mọi \(A,B\) . Dấu “=” xảy ra khi \(A =  - B\) . Từ đó tìm được GTNN của mẫu số.

- Lập luận để tìm GTNN của \(P\) .

Lời giải chi tiết :

Ta có \(P = \dfrac{1}{{{x^2} + 2{\rm{x}} + 6}}\)\( = \dfrac{1}{{{x^2} + 2x + 1 + 5}} = \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 5}}\)

Mà \({\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + 5 \ge 5,\,\forall x\)  . Dấu “=” xảy ra khi \(x + 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\)

nên GTNN của \({\left( {x + 1} \right)^2} + 5\) là \(5\) khi \(x =  - 1\) .

Ta có \(P\)  đạt GTLN \( \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + 5\) đạt GTNN.

Hay GTLN của \(P\) là \(\dfrac{1}{5} \Leftrightarrow x =  - 1\) .

Câu 12 :

Với giá trị nào của \(x\) thì biểu thức \(Q = \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} + 2{\rm{x}} + 1}}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

  • A

    $x =  - 1$

  • B

    $x = 0$

  • C

    $x = 2$

  • D

    $x = 1$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Tìm điều kiện xác định.

+ Biến đổi \(Q\) để sử dụng kiến thức \({\left( {A - B} \right)^2} + m \ge m\,\,\) với mọi \(A,B\) . Dấu “=” xảy ra khi \(A = B\) .

Lời giải chi tiết :

Với \({x^2} + 2x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} \ne 0 \Leftrightarrow x \ne  - 1\) . Ta có

 \(Q = \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} + 2{\rm{x}} + 1}}\)\( = \dfrac{{{x^2} + 2x + 1 - x}}{{{x^2} + 2x + 1}} = \dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{{x^2} + 2x + 1}} - \dfrac{x}{{{x^2} + 2x + 1}}\) \( = 1 - \dfrac{x}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 1 - \dfrac{{x + 1 - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 1 - \dfrac{{x + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

\( = \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{x + 1}} + 1 = {\left( {\dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4}\)

Ta có  \({\left( {\dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} \ge \dfrac{3}{4}\) với mọi \(x \ne  - 1\). Dấu  “=” xảy ra khi \(\dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x + 1}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x + 1 = 2 \Leftrightarrow x = 1\,\,\left( {TM} \right)\) .

Nên GTNN của \(Q\) là \(\dfrac{3}{4} \Leftrightarrow x = 1\) .

Câu 13 :

Cho \(P = \dfrac{{\left( {{x^2} + a} \right)\left( {1 + a} \right) + {a^2}{x^2} + 1}}{{\left( {{x^2} - a} \right)\left( {1 - a} \right) + {a^2}{x^2} + 1}}\). Kết luận nào sau đây là đúng.

  • A

    $P = \dfrac{{{a^2}x + a}}{{a + 1}}$.

  • B

    $P$ không  phụ thuộc vào \(x\) .

  • C

    $P$ không phụ thuộc vào \(a\) .

  • D

    $P$ phụ thuộc vào cả \(a\) và $x$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Rút gọn \(P\) :

- Phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử.

- Xác định nhân tử chung.

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

Lời giải chi tiết :

Ta có \(P = \dfrac{{\left( {{x^2} + a} \right)\left( {1 + a} \right) + {a^2}{x^2} + 1}}{{\left( {{x^2} - a} \right)\left( {1 - a} \right) + {a^2}{x^2} + 1}}\)\( = \dfrac{{{x^2} + a{x^2} + a + {a^2} + {a^2}{x^2} + 1}}{{{x^2} - a{x^2} - a + {a^2} + {a^2}{x^2} + 1}}\) \( = \dfrac{{\left( {{x^2} + a{x^2} + {a^2}{x^2}} \right) + \left( {a + {a^2} + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} - a{x^2} + {a^2}{x^2}} \right) + \left( {{a^2} - a + 1} \right)}}\)

\( = \dfrac{{{x^2}\left( {1 + a + {a^2}} \right) + \left( {1 + a + {a^2}} \right)}}{{{x^2}\left( {1 - a + {a^2}} \right) + \left( {1 - a + {a^2}} \right)}} = \dfrac{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{a^2} + a + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{a^2} - a + 1} \right)}} = \dfrac{{{a^2} + a + 1}}{{{a^2} - a + 1}}\)

Vậy \(P = \dfrac{{{a^2} + a + 1}}{{{a^2} - a + 1}}\) không phụ thuộc vào \(x\) .

Câu 14 :

Tìm giá trị nguyên của \(x\) để phân thức \(\dfrac{3}{{x + 2}}\)  có giá trị là một số nguyên.

  • A

    $x =  - 3$

  • B

    \(x \in \left\{ { - 1;1} \right\}\)

  • C

    \(x \in \left\{ { - 1;1; - 5; - 3} \right\}\)

  • D

    $x =  - 1$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bước 1: Tìm điều kiện xác định.

Bước 2: Phân thức \(\dfrac{A}{B}\) đạt giá trị nguyên khi \(A \vdots B\) , từ đó tìm được \(x\) .

Bước 3: So sánh với điều kiện để kết luận các giá trị thỏa mãn.

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: \(x + 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne  - 2\) .

Ta có \(\dfrac{3}{{x + 2}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow x + 2 \in \)Ư\(\left( 3 \right)\) \( = \left\{ { - 1;1; - 3;3} \right\}\) .

+ $x + 2 =  - 1 \Leftrightarrow x =  - 3\,\,\left( {TM} \right)$

+ \(x + 2 = 1 \Leftrightarrow x =  - 1\,\,\left( {TM} \right)\)

+ \(x + 2 =  - 3 \Leftrightarrow x =  - 5\,\left( {TM} \right)\)

+ $x + 2 = 3 \Leftrightarrow x = 1\,\,\left( {TM} \right)$

Vậy \(x \in \left\{ { - 1;1; - 5; - 3} \right\}\) .

Câu 15 :

Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(x\) để phân thức \(\dfrac{{2{x^3} + {x^2} + 2x + 8}}{{2x + 1}}\)  có giá trị nguyên?

  • A

    $4$

  • B

    $3$

  • C

    $2$

  • D

    $1$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Tìm điều kiện xác định.

- Ta biến đổi để đưa phân thức về dạng \(M\left( x \right) + \dfrac{n}{B}\)  .

- Phân thức \(\dfrac{n}{B}\) đạt giá trị nguyên khi \(n \vdots B\) , từ đó tìm được \(x\) .

- So sánh với điều kiện để kết luận các giá trị thỏa mãn.

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: \(2x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne  - \dfrac{1}{2}\) .

Ta có \(\dfrac{{2{x^3} + {x^2} + 2x + 8}}{{2x + 1}} = \dfrac{{{x^2}\left( {2x + 1} \right) + \left( {2x + 1} \right) + 7}}{{2x + 1}}\)\( = \dfrac{{{x^2}\left( {2x + 1} \right)}}{{2x + 1}} + \dfrac{{2x + 1}}{{2x + 1}} + \dfrac{7}{{2x + 1}} = {x^2} + 1 + \dfrac{7}{{2x + 1}}\)

Vì \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow {x^2} + 1 \in \mathbb{Z}\) nên để phân thức trên đạt giá trị nguyên thì \(\dfrac{7}{{2x + 1}} \in \mathbb{Z} \)

\(\Rightarrow 2x + 1 \in \) Ư\(\left( 7 \right) = \left\{ { - 7; - 1;1;7} \right\}\)

+) \(2x + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0\,\left( {TM} \right)\)

+) \(2x + 1 =  - 1 \Leftrightarrow x =  - 1\,\left( {TM} \right)\)

+) \(2x + 1 = 7 \Leftrightarrow x = 3\,\left( {TM} \right)\)

+) \(2x + 1 =  - 7 \Leftrightarrow x =  - 4\,\left( {TM} \right)\)

Vậy có \(4\) giá trị của \(x\) thỏa mãn đề bài là \(0;\, - 1;\,3;\, - 4\) .

Câu 16 :

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q = \dfrac{{18}}{{4x - 4{{\rm{x}}^2} +7}}\).

  • A

    \(\dfrac{{18}}{7}\)

  • B

    \(\dfrac{4}{9}\)

  • C

    \(\dfrac{9}{4}\)

  • D

    \(18\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Phân tích mẫu số để sử dụng được kiến thức \(m - {\left( {A + B} \right)^2} \le m\,\,\) với mọi \(A,B\). Dấu “=” xảy ra khi \(A =  - B\). Từ đó tìm được GTLN của mẫu số.

- Lập luận để tìm GTNN của \(Q\).

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(Q = \dfrac{{18}}{{4x - 4{{\rm{x}}^2} + 7}}\)\( = \dfrac{{18}}{{ - \left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) + 8}} = \dfrac{{18}}{{8 - {{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\)

Ta có: \(Q\)  đạt GTNN \( \Leftrightarrow 8 - {\left( {2x - 1} \right)^2}\) đạt GTLN.

Mà \({\left( {2x - 1} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow 8 - {\left( {2x - 1} \right)^2} \le 8,\,\forall x\)  . Dấu “=” xảy ra khi \(2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\)

nên GTLN của \(8 - {\left( {2x - 1} \right)^2}\) là \(8\) khi \(x = \dfrac{1}{2}\).

Hay GTNN của \(Q\) là \(\dfrac{{18}}{8} = \dfrac{9}{4} \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\).

Câu 17 :

Rút gọn phân thức \(B = \dfrac{{x|x - 2|}}{{{x^3} - 5{x^2} + 6x}}\) ta được:

  • A

    \(B = \dfrac{1}{{x - 3}}\) khi \(x \ge 2; x \ne 3\)

  • B

    \(B = \dfrac{1}{{3 - x}}\) khi \(x < 2; x \ne 0\)

  • C

    \(B = \dfrac{1}{{x - 3}}\)

  • D

    Cả A, B đều đúng

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Phá dấu giá trị tuyệt đối \(\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\,\,khi\,\,a \ge 0\\ - a\,\,khi\,\,a < 0\end{array} \right.\)

+ Phân tích tử và mẫu thành nhân tử theo từng trường hợp.

+ Rút gọn phân thức.

Lời giải chi tiết :

\(B = \dfrac{{x|x - 2|}}{{{x^3} - 5{x^2} + 6x}} = \dfrac{{x|x - 2|}}{{x({x^2} - 5x + 6)}} = \dfrac{{x|x - 2|}}{{x({x^2} - 2x - 3x + 6)}}\)\( = \dfrac{{x|x - 2|}}{{x{\rm{[}}x(x - 2) - 3(x - 2){\rm{]}}}} = \dfrac{{x|x - 2|}}{{x(x - 2)(x - 3)}}\)

Điều kiện: \(x \ne \left\{ {0;2;3} \right\}\)

Nếu \(x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2\) thì \(|x - 2| = x - 2 \Rightarrow B = \dfrac{{x(x - 2)}}{{x(x - 2)(x - 3)}} = \dfrac{1}{{x - 3}}.\)

Nếu \(x - 2 < 0 \Leftrightarrow x < 2\) thì \(|x - 2| = 2 - x \Rightarrow B = \dfrac{{x(2 - x)}}{{x(x - 2)(x - 3)}} = \dfrac{{x(x - 2)}}{{x(x - 2)(3 - x)}} = \dfrac{1}{{3 - x}}.\)

Vậy \(B = \dfrac{1}{{x - 3}}\) khi \(x \ge 2;x \ne 3\) và \(B = \dfrac{1}{{3 - x}}\) khi \(x < 2;x \ne 0\).

Câu 18 :

Tính giá trị biểu thức \(M = \dfrac{{{x^2} + {y^2} - \left( {1 + 2xy} \right)}}{{{x^2} - {y^2} + 1 + 2x}}\)  tại \(x = 99\) và $y = 100$ .

  • A

    $M =  - \dfrac{1}{{100}}$.

  • B

    $M = \dfrac{1}{{100}}$.

  • C

    $M =  - \dfrac{1}{{200}}$.

  • D

    $M = \dfrac{1}{{200}}$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Rút gọn \(M\) .       

- Thay giá trị \(x,\,y\) vào biểu thức đã rút gọn và thực hiện phép tính.

Lời giải chi tiết :

Ta có \(M = \dfrac{{{x^2} + {y^2} - \left( {1 + 2xy} \right)}}{{{x^2} - {y^2} + 1 + 2x}} = \dfrac{{{x^2} + {y^2} - 2xy - 1}}{{{x^2} + 2x + 1 - {y^2}}}\)\( = \dfrac{{{{\left( {x - y} \right)}^2} - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {y^2}}} = \dfrac{{\left( {x - y + 1} \right)\left( {x - y - 1} \right)}}{{\left( {x + 1 - y} \right)\left( {x + 1 + y} \right)}} = \dfrac{{x - y - 1}}{{x + 1 + y}}\)

Vậy \(M = \dfrac{{x - y - 1}}{{x + 1 + y}}\) .

Thay \(x = 99\) và $y = 100$ vào \(M = \dfrac{{x - y - 1}}{{x + 1 + y}}\) ta được \(M = \dfrac{{99 - 100 - 1}}{{99 + 1 + 100}} = \dfrac{{ - 2}}{{200}} = \dfrac{{ - 1}}{{100}}\) .

Câu 19 :

Cho \(a,b,c,d\) thỏa mãn \(a + b + c + d = 0;ab + ac + bc = 1\). Rút gọn biểu thức \(P = \dfrac{{3\left( {ab - cd} \right)\left( {bc - ad} \right)\left( {ca - bd} \right)}}{{\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)\left( {{c^2} + 1} \right)}}\).

  • A

    \( - 1\)

  • B

    \(1\)

  • C

    \(3\)

  • D

    \( - 3\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Rút gọn \(P\) bằng cách sử dụng giả thiết để biến đổi tử thức sao cho xuất hiện nhân tử \(\left( {{a^2} + 1} \right),\left( {{b^2} + 1} \right),\left( {{c^2} + 1} \right)\).

Sử dụng phương pháp nhóm hạng tử để phân tích tử thức thành nhân tử.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(a + b + c + d = 0 \Leftrightarrow a + b + c =  - d\)

Khi đó \(ab - cd = ab + c\left( {a + b + c} \right) \)\(= ab + ac + bc + {c^2} = {c^2} + 1\)  (vì \(ab + bc + ca = 1\))

Tương tự ta có \(bc - ad = bc + a\left( {a + b + c} \right) \)\(= {a^2} + bc + ab + ac = {a^2} + 1\)

\(ca - bd = ca + b\left( {a + b + c} \right) \)\(= {b^2} + ac + ab + bc = {b^2} + 1\)

Từ đó \(P = \dfrac{{3\left( {ab - cd} \right)\left( {bc - ad} \right)\left( {ca - bd} \right)}}{{\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)\left( {{c^2} + 1} \right)}}\)\( = \dfrac{{3\left( {{c^2} + 1} \right)\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)}}{{\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)\left( {{c^2} + 1} \right)}} = 3\)

Vậy \(P = 3.\)

Câu 20 :

Tính giá trị của phân thức \(C = \dfrac{{{a^3} - {b^3} + {c^3} + 3abc}}{{{{(a + b)}^2} + {{(b + c)}^2} + {{(c - a)}^2}}}\) khi \(a + c - b = 10\).

  • A

    \(0\)

  • B

    \(1\)

  • C

    \(4\)

  • D

    \(5\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Rút gọn \(C\).

+ Thay \(a + c - b = 10\) vào để tính \(C.\)

Lời giải chi tiết :

Ta có:

\(\begin{array}{l}{a^3} - {b^3} + {c^3} + 3abc\\ = ({a^3} + {c^3} + 3{a^2}c + 3a{c^2}) - 3{a^2}c - 3a{c^2} + 3abc - {b^3}\\ = {(a + c)^3} - {b^3} - 3ac(a + c - b)\\ = (a + c - b)\left[ {{{(a + c)}^2} + b(a + c) + {b^2}} \right] - 3ac(a + c - b)\\ = (a + c - b)({a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + bc - ac)\\{(a + b)^2} + {(b + c)^2} + {(c - a)^2}\\ = ({a^2} + 2ab + {b^2}) + ({b^2} + 2bc + {c^2}) + ({c^2} - 2ac + {a^2})\\ = 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} + 2ab + 2bc - 2ac\\ = 2({a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + bc - ac)\\ \Rightarrow C = \dfrac{{(a + c - b)({a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + bc - ac)}}{{2({a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + bc - ac)}} = \dfrac{{a + c - b}}{2}\end{array}\)

Mà \(a + c - b = 10\) nên \(C = \dfrac{{a + c - b}}{2} = \dfrac{{10}}{2} = 5.\)

Câu 21 :

Cho \(abc \ne 0;\,a + b = c.\) Tính giá trị của biểu thức \(B = \dfrac{{\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)\left( {{c^2} + {a^2} - {b^2}} \right)}}{{8{a^2}{b^2}{c^2}}}\).

  • A

    \( - 1\)

  • B

    \(1\)

  • C

    \(2\)

  • D

    \( - 2\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Rút gọn \(B\) bằng cách sử dụng giả thiết để biến đổi tử thức sao cho xuất hiện nhân tử \({a^2}{b^2}{c^2}\).

Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {x \pm y} \right)^2} = {x^2} \pm 2xy + {y^2}\).

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(a + b = c \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} = {c^2} \Leftrightarrow {a^2} + 2ab + {b^2} = {c^2}\)\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - {c^2} =  - 2ab\)

\(a + b = c \Leftrightarrow a - c =  - b \Leftrightarrow {\left( {a - c} \right)^2} = {\left( { - b} \right)^2}\) \( \Leftrightarrow {a^2} - 2ac + {c^2} = {b^2} \Leftrightarrow {a^2} + {c^2} - {b^2} = 2ac\)

\(a + b = c \Leftrightarrow c - b = a \Leftrightarrow {\left( {c - b} \right)^2} = {a^2}\) \( \Leftrightarrow {c^2} - 2bc + {b^2} = {a^2} \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} = 2bc\)

Từ đó \(B = \dfrac{{\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)\left( {{c^2} + {a^2} - {b^2}} \right)}}{{8{a^2}{b^2}{c^2}}}\)\( = \dfrac{{ - 2ab.2bc.2ac}}{{8{a^2}{b^2}{c^2}}} = \dfrac{{ - 8{a^2}{b^2}{c^2}}}{{8{a^2}{b^2}{c^2}}} =  - 1\).

Bài liên quan
close