Trắc nghiệm Bài 12: Chia đa thức một biến đã sắp xếp Toán 8Đề bài
Câu 1 :
Phép chia đa thức \(2{x^4} - 3{x^3} + 3x - 2\) cho đa thức \({x^2} - 1\) được đa thức dư là:
Câu 2 :
Phép chia đa thức \(3{x^5} + 5{x^4} - 1\) cho đa thức \({x^2} + x + 1\) được đa thức thương là:
Câu 3 :
Phần dư của phép chia đa thức \({x^4} - 2{x^3} + {x^2} - 3x + 1\) cho đa thức \({x^2} + 1\) có hệ số tự do là
Câu 4 :
Biết phần dư của phép chia đa thức \(\left( {{x^5} + {x^3} + {x^2} + 2} \right)\) cho đa thức \(\left( {{x^3} + 1} \right)\) là số tự nhiên \(a\) . Chọn câu đúng.
Câu 5 :
Cho các khẳng định sau: (I): Phép chia đa thức \(3{x^3} - 2{x^2} + 5\) cho đa thức \(3x - 2\) là phép chia hết. (II): Phép chia đa thức \(\left( {2{x^3} + 5{x^2} - 2x + 3} \right)\) cho đa thức \(\left( {2{x^2} - x + 1} \right)\) là phép chia hết Chọn câu đúng.
Câu 6 :
Kết quả của phép chia \(\left( {2{a^3} + 7a{b^2} - 7{a^2}b - 2{b^3}} \right):\left( {2a - b} \right)\) là
Câu 7 :
Tìm đa thức bị chia biết đa thức chia là \(\left( {{x^2} + x + 1} \right)\), thương là \(\left( {x + 3} \right)\), dư là \(x - 2\):
Câu 8 :
Rút gọn và tính giá trị biểu thức \(A = \left( {4{x^3} + 3{x^2} - 2x} \right):\left( {{x^2} + \dfrac{3}{4}x - \dfrac{1}{2}} \right)\) tại \(x = 3\)
Câu 9 :
Xác định \(a\) để đa thức \(27{x^2} + a\) chia hết cho \(3x + 2\)
Câu 10 :
Để đa thức \({x^4} + a{x^2} + 1\) chia hết cho \({x^2} + 2x + 1\) thì giá trị của \(a\) là
Câu 11 :
Có bao nhiêu giá trị của \(a\) để đa thức ${a^2}{x^3} + 3a{x^2}-6x-2a$ chia hết cho đa thức $x + 1$ .
Câu 12 :
Tìm \(a\) và \(b\) để đa thức \(f\left( x \right) = {x^4} - 9{x^3} + 21{x^2} + ax + b\) chia hết cho đa thức \(g\left( x \right) = {x^2} - x - 2\)
Câu 13 :
Biết đa thức ${x^4} + a{x^2} + b$ chia hết cho ${x^2}-x + 1$ . Khi đó, khẳng định nào sau đây là đúng.
Câu 14 :
Cho đa thức \(f(x) = {x^4} - 3{{\rm{x}}^3} + 3{{\rm{x}}^2} + {\rm{ax}} + b\) và đa thức \(g(x) = {x^2} - 3{\rm{x}} + 4\). Biết \(f\left( x \right)\) chia hết cho \(g\left( x \right)\) . Khi đó tích \(a.b\) bằng
Câu 15 :
Xác định a để \(\left( {6{x^3} - 7{x^2} - x + a} \right):\left( {2x + 1} \right)\) dư \(2\)
Câu 16 :
Tìm các hằng số \(a\) và \(b\) sao cho \(\left( {{x^3} + ax + b} \right):\left( {x + 1} \right)\) dư 7 và \(\left( {{x^3} + ax + b} \right):\left( {x - 3} \right)\) dư \(\left( { - 5} \right)\)
Câu 17 :
Có bao nhiêu số nguyên \(x\) để giá trị của đa thức \(A = 2{x^3} - 3{x^2} + 2x + 2\) chia hết cho giá trị của đa thức \(B = {x^2} + 1\)
Câu 18 :
Phần dư của phép chia đa thức \({\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)^5} + {\left( {{x^2} - 4x - 4} \right)^5} - 1\) cho đa thức \(x + 1\) là
Câu 19 :
\(P = \dfrac{{2{n^3} - 3{n^2} + 3n - 1}}{{n - 1}}\). Tìm \(n \in Z\) để \(P \in Z\).
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Phép chia đa thức \(2{x^4} - 3{x^3} + 3x - 2\) cho đa thức \({x^2} - 1\) được đa thức dư là:
Đáp án : A Lời giải chi tiết :
 Vậy đa thức dư là \(R = 0\) .
Câu 2 :
Phép chia đa thức \(3{x^5} + 5{x^4} - 1\) cho đa thức \({x^2} + x + 1\) được đa thức thương là:
Đáp án : B Lời giải chi tiết :
 Đa thức thương là $3{x^3} + 2{x^2} - 5x + 3$ .
Câu 3 :
Phần dư của phép chia đa thức \({x^4} - 2{x^3} + {x^2} - 3x + 1\) cho đa thức \({x^2} + 1\) có hệ số tự do là
Đáp án : C Lời giải chi tiết :
 Đa thức dư là \( - x + 1\) có hệ số tự do là \(1\) .
Câu 4 :
Biết phần dư của phép chia đa thức \(\left( {{x^5} + {x^3} + {x^2} + 2} \right)\) cho đa thức \(\left( {{x^3} + 1} \right)\) là số tự nhiên \(a\) . Chọn câu đúng.
Đáp án : A Lời giải chi tiết :
 Phần dư của phép chia là \(a = 1 < 2\)
Câu 5 :
Cho các khẳng định sau: (I): Phép chia đa thức \(3{x^3} - 2{x^2} + 5\) cho đa thức \(3x - 2\) là phép chia hết. (II): Phép chia đa thức \(\left( {2{x^3} + 5{x^2} - 2x + 3} \right)\) cho đa thức \(\left( {2{x^2} - x + 1} \right)\) là phép chia hết Chọn câu đúng.
Đáp án : D Lời giải chi tiết :
Ta có  Vì phần dư \(R = 5 \ne 0\) nên phép chia đa thức \(3{x^3} - 2{x^2} + 5\) cho đa thức \(3x - 2\) là phép chia có dư. Do đó (I) sai. Lại có  Nhận thấy phần dư \(R = 0\) nên phép chia đa thức \(\left( {2{x^3} + 5{x^2} - 2x + 3} \right)\) cho đa thức \(\left( {2{x^2} - x + 1} \right)\) là phép chia hết. Do đó (II) đúng.
Câu 6 :
Kết quả của phép chia \(\left( {2{a^3} + 7a{b^2} - 7{a^2}b - 2{b^3}} \right):\left( {2a - b} \right)\) là
Đáp án : A Phương pháp giải :
Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử rồi thực hiện phép chia. Lời giải chi tiết :
Ta có \(2{a^3} + 7a{b^2} - 7{a^2}b - 2{b^3}\)\( = 2\left( {{a^3} - {b^3}} \right) - 7ab\left( {a - b} \right) \)\(= 2\left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) - 7ab\left( {a - b} \right)\) \( = \left( {a - b} \right)\left( {2{a^2} - ab - 4ab + 2{b^2}} \right) = \left( {a - b} \right)\left[ {a\left( {2a - b} \right) - 2b\left( {2a - b} \right)} \right]\) \( = \left( {a - b} \right)\left( {2a - b} \right)\left( {a - 2b} \right)\) Nên \(\left( {2{a^3} + 7a{b^2} - 7{a^2}b - 2{b^3}} \right):\left( {2a - b} \right)\)\( = {\left( {a - b} \right)}.(2a-b).\left( {a - 2b} \right):\left( {2a - b} \right) = \left( {a - b} \right)(a-2b)\) .
Câu 7 :
Tìm đa thức bị chia biết đa thức chia là \(\left( {{x^2} + x + 1} \right)\), thương là \(\left( {x + 3} \right)\), dư là \(x - 2\):
Đáp án : A Phương pháp giải :
- Ta nhân đa thức thương với đa thức chia rồi cộng với số dư, ta thu được đa thức bị chia cần tìm. Lời giải chi tiết :
Đa thức bị chia cần tìm là: \(\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x + 3} \right) + x - 2 = {x^2}.x + 3{x^2} + x.x + 3x + x + 3 + x - 2 = {x^3} + 4{x^2} + 5x + 1\)
Câu 8 :
Rút gọn và tính giá trị biểu thức \(A = \left( {4{x^3} + 3{x^2} - 2x} \right):\left( {{x^2} + \dfrac{3}{4}x - \dfrac{1}{2}} \right)\) tại \(x = 3\)
Đáp án : D Phương pháp giải :
- Đặt phép chia. - Ta thu được biểu thức rút gọn, ta thay giá trị biến đã biết vào biểu thức rút gọn để tìm được giá trị biểu thức. Lời giải chi tiết :
 Tại \(x = 3\) , ta có: \(A = 4x = 4.3 = 12\)
Câu 9 :
Xác định \(a\) để đa thức \(27{x^2} + a\) chia hết cho \(3x + 2\)
Đáp án : C Phương pháp giải :
+ Sử dụng cách chia đa thức một biến đã sắp xếp. + Sử dụng nhận xét: Nếu phép chia có phần dư \(R = 0\) thì phép chia đó là phép chia hết. Lời giải chi tiết :
Ta có  Suy ra \(27{x^2} + a = \left( {3x + 2} \right)\left( {9x - 6} \right) + a + 12\). Để phép chia trên là phép chia hết thì \(R = a + 12 = 0 \Leftrightarrow a = - 12\) .
Câu 10 :
Để đa thức \({x^4} + a{x^2} + 1\) chia hết cho \({x^2} + 2x + 1\) thì giá trị của \(a\) là
Đáp án : A Phương pháp giải :
+ Sử dụng cách chia đa thức một biến đã sắp xếp. + Sử dụng nhận xét: Nếu phép chia có phần dư \(R = 0\) thì phép chia đó là phép chia hết. Chú ý: \(Ax + B = 0\) với \(\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\) . Lời giải chi tiết :
Ta có  Phần dư của phép chia đa thức \({x^4} + a{x^2} + 1\) chia hết cho\({x^2} + 2x + 1\) là \(R = \left( { - 2a - 4} \right)x - a - 2\) . Để phép chia trên là phép chia hết thì \(R = 0 \Leftrightarrow \left( { - 2a - 4} \right)x - a - 2 = 0\) với mọi $x$ \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a - 4 = 0\\ - a - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow a = - 2\) .
Câu 11 :
Có bao nhiêu giá trị của \(a\) để đa thức ${a^2}{x^3} + 3a{x^2}-6x-2a$ chia hết cho đa thức $x + 1$ .
Đáp án : B Phương pháp giải :
+ Sử dụng cách chia đa thức một biến đã sắp xếp. + Sử dụng nhận xét: Nếu phép chia có phần dư \(R = 0\) thì phép chia đó là phép chia hết. Lời giải chi tiết :
Ta có  Phần dư của phép chia trên là \(R = - {a^2} + a + 6\) . Để phép chia trên là phép chia hết thì \(R = 0 \Leftrightarrow - {a^2} + a + 6 = 0\) \( \Leftrightarrow - {a^2} - 2a + 3a + 6 = 0 \)\(\Leftrightarrow - a\left( {a + 2} \right) + 3\left( {a + 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {a + 2} \right)\left( { - a + 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 2\\a = 3\end{array} \right.\) Vậy có hai giá trị của $a$ thỏa mãn điều kiện đề bài $a = - 2;a = 3$ .
Câu 12 :
Tìm \(a\) và \(b\) để đa thức \(f\left( x \right) = {x^4} - 9{x^3} + 21{x^2} + ax + b\) chia hết cho đa thức \(g\left( x \right) = {x^2} - x - 2\)
Đáp án : D Phương pháp giải :
+ Sử dụng cách chia đa thức một biến đã sắp xếp. + Sử dụng nhận xét: Nếu phép chia có phần dư \(R = 0\) thì phép chia đó là phép chia hết. Chú ý: \(Ax + B = 0\) với \(\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\) . Lời giải chi tiết :
Ta có  Phần dư của phép chia \(f\left( x \right)\) cho \(g\left( x \right)\) là \(R = \left( {a - 1} \right)x + b + 30\) Để phép chia trên là phép chia hết thì \(R = 0\) với \(\forall x\) \( \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)x + b + 30 = 0\) với \(\forall x\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 1 = 0\\b + 30 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 30\end{array} \right.\) . Vậy \(a = 1;\,b = - 30\).
Câu 13 :
Biết đa thức ${x^4} + a{x^2} + b$ chia hết cho ${x^2}-x + 1$ . Khi đó, khẳng định nào sau đây là đúng.
Đáp án : C Phương pháp giải :
+ Sử dụng cách chia đa thức một biến đã sắp xếp. + Sử dụng nhận xét: Nếu phép chia có phần dư \(R = 0\) thì phép chia đó là phép chia hết. Chú ý: \(Ax + B = 0\) với \(\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\) . Lời giải chi tiết :
Ta có  Phần dư của phép chia là \(R = \left( {a - 1} \right)x + b - a\) . Để phép chia trên là phép chia hết thì $R = 0,\,\forall x \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)x + b - a = 0,\,\forall x$ \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 1 = 0\\b - a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b\) .
Câu 14 :
Cho đa thức \(f(x) = {x^4} - 3{{\rm{x}}^3} + 3{{\rm{x}}^2} + {\rm{ax}} + b\) và đa thức \(g(x) = {x^2} - 3{\rm{x}} + 4\). Biết \(f\left( x \right)\) chia hết cho \(g\left( x \right)\) . Khi đó tích \(a.b\) bằng
Đáp án : A Phương pháp giải :
+ Sử dụng cách chia đa thức một biến đã sắp xếp. + Sử dụng nhận xét: Nếu phép chia có phần dư \(R = 0\) thì phép chia đó là phép chia hết. Chú ý: \(Ax + B = 0\) với \(\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\) . Lời giải chi tiết :
Ta có  Phần dư của phép chia $f\left( x \right)$ cho \(g\left( x \right)\) là \(R = \left( {a - 3} \right)x + b + 4\) . Để phép chia trên là phép chia hết thì \(R = 0,\forall x \Leftrightarrow \left( {a - 3} \right)x + b + 4 = 0,\,\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 3 = 0\\b + 4 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 4\end{array} \right. \Rightarrow ab = - 12\) .
Câu 15 :
Xác định a để \(\left( {6{x^3} - 7{x^2} - x + a} \right):\left( {2x + 1} \right)\) dư \(2\)
Đáp án : D Phương pháp giải :
- Đặt phép chia. - Để phép chia hết thì số dư cuối cùng phải bằng \(0\), từ đó ta tìm ra \(a\) và \(b\). Lời giải chi tiết :
 Để \(6{x^3} - 7{x^2} - x + a\) chia \(2x + 1\) dư \(2\) thì \(a - 2 = 2 \Leftrightarrow a = 4\).
Câu 16 :
Tìm các hằng số \(a\) và \(b\) sao cho \(\left( {{x^3} + ax + b} \right):\left( {x + 1} \right)\) dư 7 và \(\left( {{x^3} + ax + b} \right):\left( {x - 3} \right)\) dư \(\left( { - 5} \right)\)
Đáp án : C Phương pháp giải :
- Đặt phép chia. - Để phép chia có dư theo điều kiện đề bài thì số dư cuối cùng phải bằng số dư đề bài cho. Từ đó ta được phương trình thứ nhất. - Thực hiện tương tự, được phương trình thứ hai. Lập hệ phương trình, giải hệ thu được giá trị của a và b. Lời giải chi tiết :
 Để \({x^3} + ax + b\) chia cho \(x + 1\) dư \(7\) thì \(b - a - 1 = 7 \Leftrightarrow - a + b = 8\;(1)\)  Để \({x^3} + ax + b\) chia cho \(x - 3\) dư \( - 5\) thì \(b + 3a + 27 = -5 \Leftrightarrow 3a + b = - 32\;(2)\) Từ (1) và (2) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l} - a + b = 8\\3a + b = - 32\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 10\\b = - 2\end{array} \right.\) Vậy \(a = - 10,b = - 2\).
Câu 17 :
Có bao nhiêu số nguyên \(x\) để giá trị của đa thức \(A = 2{x^3} - 3{x^2} + 2x + 2\) chia hết cho giá trị của đa thức \(B = {x^2} + 1\)
Đáp án : A Phương pháp giải :
- Đặt phép chia. - Để thỏa mãn điều kiện của đề bài thì số dư cuối cùng phải chia hết cho số chia. Suy ra, số chia là ước của số dư cuối cùng. - Lập bảng thử chọn để chọn ra giá trị của \(n\) thỏa mãn. Lời giải chi tiết :
Ta có \(A:B\)  Để giá trị của đa thức \(A = 2{x^3} - 3{x^2} + 2x + 2\) chia hết cho giá trị của đa thức \(B = {x^2} + 1\) thì \(5\,\, \vdots \,\,\left( {{x^2} + 1} \right)\) Hay \(\left( {{x^2} + 1} \right) \in U\left( 5 \right) = \left\{ { - 1;1; - 5;5} \right\}\) +) \({x^2} + 1 = - 1 \Leftrightarrow {x^2} = - 2\left( {VL} \right)\) +) \({x^2} + 1 = 1 \Leftrightarrow {x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\left( {tm} \right)\) +) \({x^2} + 1 = - 5 \Leftrightarrow {x^2} = - 6\left( {VL} \right)\) +) \({x^2} + 1 = 5 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2\left( {tm} \right)\) Vậy có 3 giá trị của \(x\) thỏa mãn đề bài là \(x = 0;x = - 2;x = 2.\)
Câu 18 :
Phần dư của phép chia đa thức \({\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)^5} + {\left( {{x^2} - 4x - 4} \right)^5} - 1\) cho đa thức \(x + 1\) là
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng \(P\left( x \right) = Q\left( x \right).\left( {x + 1} \right) + R\) Thay \(x = - 1\) vào biểu thức trên ta nhận được phần dư \(r.\) Lời giải chi tiết :
Ta có đa thức chia \(\left( {x + 1} \right)\) nên phần dư là một hằng số Gọi thương là \(Q\left( x \right)\) và dư \(r\). Khi đó với mọi \(x\) ta có \({\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)^5} + {\left( {{x^2} - 4x - 4} \right)^5} - 1 = Q\left( x \right)\left( {x + 1} \right) + r\) (1) Thay \(x = - 1\) vào (1) ta được \({\left( {{{\left( { - 1} \right)}^2} + 3.\left( { - 1} \right) + 2} \right)^5} + {\left( {{{\left( { - 1} \right)}^2} - 4\left( { - 1} \right) - 4} \right)^5} - 1 = Q\left( x \right).\left( { - 1 + 1} \right) + r\) \(r = {0^5} + {1^5} - 1 \Leftrightarrow r = 0\) Vậy phần dư của phép chia là \(r = 0.\)
Câu 19 :
\(P = \dfrac{{2{n^3} - 3{n^2} + 3n - 1}}{{n - 1}}\). Tìm \(n \in Z\) để \(P \in Z\).
Đáp án : A Phương pháp giải :
- Đặt phép chia. - Để thỏa mãn điều kiện của đề bài thì số dư cuối cùng phải chia hết cho số chia. Suy ra, số chia là ước của số dư cuối cùng. - Lập bảng thử chọn để chọn ra giá trị của \(n\)thỏa mãn. Lời giải chi tiết :
 \(2{n^3} - 3{n^2} + 3n - 1 = \left( {2{n^2} - n + 2} \right)\left( {n - 1} \right) + 1\) Để \(2{n^3} - 3{n^2} + 3n - 1\) chia hết cho \(n - 1\) thì \(1\) chia hết cho \(n - 1\). \( \Rightarrow \left( {n - 1} \right) \in \left\{ {1, - 1} \right\}\)  Vậy \(n \in \left\{ {0,2} \right\}\) để \(P \in Z\).
|
