Trắc nghiệm Bài tập ôn tập chương 3 Toán 8

Đề bài

Câu 1 :

Chọn câu sai:

  • A

    Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng $ax + b = 0,a \ne 0$

  • B

    Phương trình có một nghiệm duy nhất được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn

  • C

    Trong một phương trình ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0

  • D

    Phương trình \(3x + 2 = x + 8\) và \(6x + 4 = 2x + 16\) là hai phương trình tương đương.

Câu 2 :

Hãy chọn câu đúng.

  • A

    Phương trình \(x = 0\) và \(x\left( {x + 1} \right) = 0\) là hai phương trình tương đương.                      

  • B

    Phương trình \(x = 2\) và \(\left| x \right| = 2\) là hai phương trình tương đương.                    

  • C

    \(kx + 5 = 0\) là phương trình bậc nhất một ẩn số             

  • D

    Trong một phương trình ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia đồng thời đổi dấu của hạng tử đó.

Câu 3 :

Phương trình \(2x + 3 = x + 5\) có nghiệm là:

  • A

    \(\dfrac{1}{2}\)                       

  • B

    \( - \dfrac{1}{2}\)                      

  • C

    $0$

  • D

    $2$

Câu 4 :

Phương trình \({x^2} + x = 0\) có số nghiệm là

  • A

    1 nghiệm                 

  • B

    2 nghiệm                    

  • C

    vô nghiệm                       

  • D

    vô số nghiệm

Câu 5 :

Phương trình \(2x + k = x - 1\) nhận \(x = 2\) là nghiệm khi

  • A

    \(k = 3\)                       

  • B

    \(k =  - 3\)                     

  • C

    \(k = 0\)                  

  • D

    \(k = 1\)

Câu 6 :

Phương trình \(\dfrac{{6x}}{{9 - {x^2}}} = \dfrac{x}{{x + 3}} - \dfrac{3}{{3 - x}}\) có nghiệm là

  • A

    \(x =  - 4\)                  

  • B

    \(x =  - 2\)                  

  • C

    Vô nghiệm                      

  • D

    Vô số nghiệm

Câu 7 :

Hãy chọn bước giải sai đầu tiên cho phương trình\(\dfrac{{x - 1}}{x} = \dfrac{{3x + 2}}{{3x + 3}}\)

  • A

    ĐKXĐ: \(x \ne 0;x \ne 1\)                                           

  • B

    \(\left( {x - 1} \right)\left( {3x + 3} \right) = x\left( {3x + 2} \right)\)

  • C

    \(3{x^2} - 3 = 3{x^2} + 2x\)                                            

  • D

    \( \Leftrightarrow 2x =  - 3\)

Câu 8 :

Tìm điều kiện xác định của phương trình:\(\begin{array}{l}\dfrac{{4x}}{{4{x^2} - 8x + 7}} + \dfrac{{3x}}{{4{x^2} - 10x + 7}} = 1\\\end{array}\)

  • A

    Mọi \(x \in R.\)                                  

  • B

    \(x \ne 1\)    

  • C

    \(x \ne 0;x \ne 1\)                            

  • D

    \(x \ne \dfrac{5}{4}\)

Câu 9 :

Số nghiệm của phương trình  \(\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} - \dfrac{x}{{x - 2}} = \dfrac{{5x - 2}}{{4 - {x^2}}}\)  là

  • A

    Vô số nghiệm $x \ne \pm 2$        

  • B

    \(1\)    

  • C

    \(2\)                            

  • D

    \(0\)

Câu 10 :

Giải phương trình: \(2x\left( {x - 5} \right) + 21 = x\left( {2x + 1} \right) - 12\)  ta được nghiệm \({x_0}.\) Chọn câu đúng.

  • A

    \({x_0} = 4\)                       

  • B

    \({x_0} < 4\)                     

  • C

    \({x_0} > 4\)                 

  • D

    \({x_0} > 5\)       

Câu 11 :

Điều kiện xác định của phương trình \(1 + \dfrac{x}{{3 - x}} = \dfrac{{5x}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)}} + \dfrac{2}{{x + 2}}\) là:

  • A

    \(x \ne 3;x \ne  - 2\)                       

  • B

    \(x \ne 3\)                    

  • C

    \(x \ne  - 2\)                 

  • D

    \(x \ne 0\)

Câu 12 :

Tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}} - 2 = x\) là

  • A

    \(S = \left\{ { - 2;\,\,2} \right\}\)                              

  • B

    \(S = \left\{ {1;\,\, - 3} \right\}\)                             

  • C

    \(S = \left\{ { - 1;\,\,2} \right\}\)                          

  • D

    \(S = \left\{ { - 1;\,\, - 2} \right\}\)

Câu 13 :

Phương trình \(\dfrac{{x - 1}}{2} + \dfrac{{x - 1}}{3} - \dfrac{{x - 1}}{6} = 2\) có tập nghiệm là

  • A

    \(S = \left\{ {0;1} \right\}\)                

  • B

    \(S = \left\{ 4 \right\}\)                

  • C

    \(S = \emptyset \)                

  • D

    \(S = \mathbb{R}\)

Câu 14 :

Hai biểu thức \(P = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + {x^2};\,\,Q = 2x\left( {x - 1} \right)\) có giá trị bằng nhau khi:

  • A

    \(x = 0\)                       

  • B

    \(x = 1\)                     

  • C

    \(x = 0,5\)                 

  • D

    \(x =  - 1\)

Câu 15 :

Giải phương trình: \(\dfrac{{x + 98}}{2} + \dfrac{{x + 96}}{4} + \dfrac{{x + 65}}{{35}} = \dfrac{{x + 3}}{{97}} + \dfrac{{x + 5}}{{95}} + \dfrac{{x + 49}}{{51}}\) ta được nghiệm là

  • A

    Số nguyên dương

  • B

    Số nguyên âm

  • C

    Số chia hết cho \(3\)

  • D

    Số chia hết cho \(8\)

Câu 16 :

Số nghiệm của phương trình \(\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 3x + 5} \right) = \left( {x + 2} \right){x^2}\) là

  • A

    \(2\)                       

  • B

    \(3\)                     

  • C

     \(4\)                 

  • D

    \(1\)       

Câu 17 :

Tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{{ - 7{x^2} + 4}}{{{x^3} + 1}} = \dfrac{5}{{{x^2} - x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 1}}\) là

  • A

    \(S = \left\{ {0;1} \right\}\)                       

  • B

    \(S = \left\{ { - 1} \right\}\)                     

  • C

    \(S = \left\{ {0; - 1} \right\}\)                 

  • D

    \(S = \left\{ 0 \right\}\)       

Câu 18 :

Một hình chữ nhật có chu vi $372m$  nếu tăng chiều dài $21m$  và tăng chiều rộng $10m$  thì diện tích tăng $2862\,{m^2}.$  Chiều dài của hình chữ nhật là:

  • A

    \(72m\)                              

  • B

    \(144m\)                         

  • C

    \(228m\)                              

  • D

    \(114m\)

Câu 19 :

Tổng hai số là $321.$  Hiệu của $\dfrac{2}{3}$ số này và \(\dfrac{5}{6}\) số kia bằng $34.$  Số lớn là :

  • A

    \(201\)                               

  • B

    \(120\)                         

  • C

    \(204\)                              

  • D

    \(117\)

Câu 20 :

Một xe du lịch khởi hành từ A để đến B. Nửa giờ sau, một xe tải xuất phát từ B để về A. Xe tải đi được $1$  giờ thì gặp xe du lịch. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng xe du lịch có vận tốc lớn hơn xe tải là $10km/h$ và quãng đường $AB$ dài $90km.$

  • A

    Vận tốc xe du lịch là \(40\,\,\left( {km/h} \right)\), vận tốc xe tải là \(30\,\,\left( {km/h} \right)\)

  • B

    Vận tốc xe du lịch là \(30\,\,\left( {km/h} \right)\), vận tốc xe tải là \(40\,\,\left( {km/h} \right)\)

  • C

    Vận tốc xe du lịch là \(40\,\,\left( {km/h} \right)\), vận tốc xe tải là \(50\,\,\left( {km/h} \right)\)

  • D

    Vận tốc xe du lịch là \(50\,\,\left( {km/h} \right)\), vận tốc xe tải là \(40\,\,\left( {km/h} \right)\)

Câu 21 :

Một công việc được giao cho hai người. Người thứ nhất có thể làm xong công việc một mình trong  $24$  phút. Lúc đầu, người thứ nhất làm một mình và sau \(\dfrac{{26}}{3}\)  phút người thứ hai cùng làm. Hai người làm chung trong \(\dfrac{{22}}{3}\) phút thì hoàn thành công việc. Hỏi nếu làm một mình thì người thứ hai cần bao lâu để hoàn thành công việc.

  • A

    \(20\)  phút     

  • B

    \(12\)  phút     

  • C

    \(24\) phút      

  • D

    \(22\) phút

Câu 22 :

Tổng các nghiệm của phương trình: \(\dfrac{1}{{{x^2} + 4x + 3}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 8x + 15}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 12x + 35}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 16x + 63}} = \dfrac{1}{5}\)  là

  • A

    \(10\)

  • B

    \( - 10\)                         

  • C

    \( - 11\)                              

  • D

    \(12\)

Câu 23 :

Giải phương trình: \(20{\left( {\dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right)^2} - 5{\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}} \right)^2} + 48\dfrac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - 1}} = 0\)  ta được các nghiệm là \({x_1};{x_2}\)  với \({x_1} < {x_2}\) . Tính \(3{x_1} - {x_2}.\)

  • A

    \(\dfrac{{25}}{3}\)                                

  • B

    \( - 1\)                         

  • C

    \( - \dfrac{7}{3}\)                              

  • D

    \(1\)

Câu 24 :

Tích các nghiệm của phương trình: \(\left( {{x^2} - 3x + 3} \right)\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) = 2{x^2}\) là

  • A

    \( - 2\)                               

  • B

    \(2\)                         

  • C

    \(4\)                              

  • D

    \(3\)

Câu 25 :

Cho phương trình: \(\left( {4{m^2} - 9} \right)x = 2{m^2} + m - 3\) . Tìm m để phương trình có vô số nghiệm

  • A

    \(m =  - \dfrac{3}{2}\)                               

  • B

    $m = 1$                         

  • C

    \(m = \dfrac{3}{2}\)                              

  • D

    \(m = \dfrac{2}{3}\)

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Chọn câu sai:

  • A

    Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng $ax + b = 0,a \ne 0$

  • B

    Phương trình có một nghiệm duy nhất được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn

  • C

    Trong một phương trình ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0

  • D

    Phương trình \(3x + 2 = x + 8\) và \(6x + 4 = 2x + 16\) là hai phương trình tương đương.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Dựa vào định nghĩa phương trình bậc nhất 1 ẩn, phương trình tương đương

+ Phương trình dạng \(ax + b = 0,\) với $a$ và $b$ là hai số đã cho và \(a \ne 0,\) được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

+ Trong một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác $0.$

+ Hai phương trình có cùng một tập nghiệm là hai phương trình tương đương.

Lời giải chi tiết :

Các câu A, C, D đúng

Câu B sai vì phương trình có 1nghiệm duy nhất còn có thể là phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình tích

Câu 2 :

Hãy chọn câu đúng.

  • A

    Phương trình \(x = 0\) và \(x\left( {x + 1} \right) = 0\) là hai phương trình tương đương.                      

  • B

    Phương trình \(x = 2\) và \(\left| x \right| = 2\) là hai phương trình tương đương.                    

  • C

    \(kx + 5 = 0\) là phương trình bậc nhất một ẩn số             

  • D

    Trong một phương trình ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia đồng thời đổi dấu của hạng tử đó.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Dựa vào quy tắc chuyển vế, định nghĩa hai phương trình tương đương, định nghĩa phương trình bậc nhất 1 ẩn

Lời giải chi tiết :

A, B sai vì chúng đều không có cùng tập nghiệm

C sai vì thiếu điều kiện \(k \ne 0\) .

D đúng với quy tắc chuyển vế

Câu 3 :

Phương trình \(2x + 3 = x + 5\) có nghiệm là:

  • A

    \(\dfrac{1}{2}\)                       

  • B

    \( - \dfrac{1}{2}\)                      

  • C

    $0$

  • D

    $2$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Chuyển hạng tử chứa ẩn sang vế trái, hạng tử tự do về vế phải, thu gọn rồi chia hai vế cho hệ số của ẩn ta tìm được nghiệm( chú ý khi chuyển vế hạng tử phải đổi dấu hạng tử đó).

Lời giải chi tiết :

\(2x + 3 = x + 5 \Leftrightarrow 2x - x = 5 - 3 \Leftrightarrow x = 2\)

Vậy $x=2$.

Câu 4 :

Phương trình \({x^2} + x = 0\) có số nghiệm là

  • A

    1 nghiệm                 

  • B

    2 nghiệm                    

  • C

    vô nghiệm                       

  • D

    vô số nghiệm

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Vế trái đặt nhân tử chung rồi đưa phương trình về dạng phương trình tích $A.B=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B =  0\end{array} \right.$

Từ đó tìm $x$.

Lời giải chi tiết :

\({x^2} + x = 0 \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 1\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm $x=-1;x=0$

Câu 5 :

Phương trình \(2x + k = x - 1\) nhận \(x = 2\) là nghiệm khi

  • A

    \(k = 3\)                       

  • B

    \(k =  - 3\)                     

  • C

    \(k = 0\)                  

  • D

    \(k = 1\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Thay giá trị của nghiệm vào phương trình đã cho ta được phương trình ẩn $k,$ giải phương trình để tìm ra $k.$

Lời giải chi tiết :

Thay \(x = 2\) vào phương trình ta được: \(2.2 + k = 2 - 1 \Rightarrow k =  - 3\)

Câu 6 :

Phương trình \(\dfrac{{6x}}{{9 - {x^2}}} = \dfrac{x}{{x + 3}} - \dfrac{3}{{3 - x}}\) có nghiệm là

  • A

    \(x =  - 4\)                  

  • B

    \(x =  - 2\)                  

  • C

    Vô nghiệm                      

  • D

    Vô số nghiệm

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ Tìm ĐKXĐ của phương trình.

+ Quy đồng mẫu rồi khử mẫu.

+ Giải phương trình vừa nhận được .

+ Đối chiếu điều kiện rồi kết luận nghiệm.

Lời giải chi tiết :

ĐKXĐ: \(x \ne  \pm 3\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{6x}}{{9 - {x^2}}} = \dfrac{x}{{x + 3}} - \dfrac{3}{{3 - x}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{6x}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {3 - x} \right)}} = \dfrac{{x\left( {3 - x} \right) - 3\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {3 - x} \right)}}\\ \Rightarrow 6x = x\left( {3 - x} \right) - 3\left( {x + 3} \right)\\ \Leftrightarrow 6x = 3x - {x^2} - 3x - 9\\ \Leftrightarrow {x^2} + 6x + 9 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 3} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow x =  - 3\,\,\,\,\left( {ktm} \right).\end{array}\)

Ta thấy \(x =  - 3\) không thỏa mãn ĐKXĐ nên phương trình vô nghiệm.

Câu 7 :

Hãy chọn bước giải sai đầu tiên cho phương trình\(\dfrac{{x - 1}}{x} = \dfrac{{3x + 2}}{{3x + 3}}\)

  • A

    ĐKXĐ: \(x \ne 0;x \ne 1\)                                           

  • B

    \(\left( {x - 1} \right)\left( {3x + 3} \right) = x\left( {3x + 2} \right)\)

  • C

    \(3{x^2} - 3 = 3{x^2} + 2x\)                                            

  • D

    \( \Leftrightarrow 2x =  - 3\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Dựa vào các bước giải sau để tìm ra bước giải sai đầu tiên

+ Tìm ĐKXĐ của phương trình.

+ Quy đồng mẫu rồi khử mẫu.

+ Giải phương trình vừa nhận được.

+ Đối chiếu điều kiện rồi kết luận nghiệm.

Lời giải chi tiết :

ĐKXĐ: \(x \ne 0;x \ne  - 1\)  .

Do đó bước giải sai đầu tiên của phương trình là ĐKXĐ: \(x \ne 0;x \ne 1\) 

Câu 8 :

Tìm điều kiện xác định của phương trình:\(\begin{array}{l}\dfrac{{4x}}{{4{x^2} - 8x + 7}} + \dfrac{{3x}}{{4{x^2} - 10x + 7}} = 1\\\end{array}\)

  • A

    Mọi \(x \in R.\)                                  

  • B

    \(x \ne 1\)    

  • C

    \(x \ne 0;x \ne 1\)                            

  • D

    \(x \ne \dfrac{5}{4}\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

ĐKXĐ của phương trình: đặt điều kiện cho ẩn để tất cả các mẫu trong phương trình đều khác 0.

Lời giải chi tiết :

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}4{x^2} - 8x + 7 \ne 0\\4{x^2} - 10x + 7 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{\left( {x - 1} \right)^2} + 3 > 0\\4\left( {x - \dfrac{5}{4}} \right)^2 + \dfrac{3}{4} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \forall x \in \mathbb{R}\)

Vậy phương trình xác định với mọi \(x \in R.\)

Câu 9 :

Số nghiệm của phương trình  \(\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} - \dfrac{x}{{x - 2}} = \dfrac{{5x - 2}}{{4 - {x^2}}}\)  là

  • A

    Vô số nghiệm $x \ne \pm 2$        

  • B

    \(1\)    

  • C

    \(2\)                            

  • D

    \(0\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Tìm ĐKXĐ của phương trình.

+ Quy đồng mẫu rồi khử mẫu.

+ Giải phương trình vừa nhận được.

+ Đối chiếu điều kiện rồi kết luận nghiệm.

Lời giải chi tiết :

ĐKXĐ: \(x \ne  \pm 2\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} - \dfrac{x}{{x - 2}} = \dfrac{{5x - 2}}{{4 - {x^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} - \dfrac{x}{{x - 2}} + \dfrac{{5x - 2}}{{{x^2} - 4}} = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) - x\left( {x + 2} \right) + 5x - 2}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} = 0\\ \Rightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) - x\left( {x + 2} \right) + 5x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 - {x^2} - 2x + 5x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 0x = 0 \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}.\end{array}\)

Kết hợp ĐKXĐ ta có phương trình nghiệm đúng với mọi \(x \ne  \pm 2\).

Vậy phương trình có vô số nghiệm \(x \ne  \pm 2\)

Câu 10 :

Giải phương trình: \(2x\left( {x - 5} \right) + 21 = x\left( {2x + 1} \right) - 12\)  ta được nghiệm \({x_0}.\) Chọn câu đúng.

  • A

    \({x_0} = 4\)                       

  • B

    \({x_0} < 4\)                     

  • C

    \({x_0} > 4\)                 

  • D

    \({x_0} > 5\)       

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc nhân, quy tắc chuyển vế để đưa phương trình về dạng phương trình bậc nhất một ẩn rồi giải.

Lời giải chi tiết :

\(\begin{array}{l}2x\left( {x - 5} \right) + 21 = x\left( {2x + 1} \right) - 12\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 10x + 21 = 2{x^2} + x - 12\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 10x - 2{x^2} - x =  - 12 - 21\\ \Leftrightarrow  - 11x =  - 33\\ \Leftrightarrow x = 3\end{array}\)

Vậy phương trình có tập nghiệm là \(S = \left\{ 3 \right\}\)   hay \({x_0} = 3 < 4.\)

Câu 11 :

Điều kiện xác định của phương trình \(1 + \dfrac{x}{{3 - x}} = \dfrac{{5x}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)}} + \dfrac{2}{{x + 2}}\) là:

  • A

    \(x \ne 3;x \ne  - 2\)                       

  • B

    \(x \ne 3\)                    

  • C

    \(x \ne  - 2\)                 

  • D

    \(x \ne 0\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

ĐKXĐ của phương trình: đặt điều kiện cho ẩn để tất cả các mẫu trong phương trình đều khác $0.$

Lời giải chi tiết :

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}3 - x \ne 0\\x + 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 3\\x \ne  - 2\end{array} \right.\)

Câu 12 :

Tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}} - 2 = x\) là

  • A

    \(S = \left\{ { - 2;\,\,2} \right\}\)                              

  • B

    \(S = \left\{ {1;\,\, - 3} \right\}\)                             

  • C

    \(S = \left\{ { - 1;\,\,2} \right\}\)                          

  • D

    \(S = \left\{ { - 1;\,\, - 2} \right\}\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Đặt điều kiện mẫu thức khác 0. Sau đó quy đồng mẫu hai vế rồi khử mẫu; chuyển hạng tử chứa ẩn sang một vế, hằng số sang một vế; thu gọn rồi giải phương trình.

Lời giải chi tiết :

ĐK: \(x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1.\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}} - 2 = x\\ \Rightarrow x + 2 - 2\left( {x - 1} \right) = x\left( {x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} = 4\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 2\,\,\,\,\left( {tm} \right).\end{array} \right.\\ \Rightarrow S = \left\{ { - 2;\,\,2} \right\}\end{array}\)

Câu 13 :

Phương trình \(\dfrac{{x - 1}}{2} + \dfrac{{x - 1}}{3} - \dfrac{{x - 1}}{6} = 2\) có tập nghiệm là

  • A

    \(S = \left\{ {0;1} \right\}\)                

  • B

    \(S = \left\{ 4 \right\}\)                

  • C

    \(S = \emptyset \)                

  • D

    \(S = \mathbb{R}\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Vế trái đặt nhân tử chung rồi đưa phương trình về dạng phương trình bậc nhất một ẩn

Lời giải chi tiết :

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{x - 1}}{2} + \dfrac{{x - 1}}{3} - \dfrac{{x - 1}}{6} = 2\\ \Leftrightarrow  \dfrac{{1}}{2} (x-1) + \dfrac{1}{3}(x-1) - \dfrac{1}{6}(x-1) = 2\\\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{6}} \right) = 2\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\dfrac{4}{6} = 2\\ \Leftrightarrow x - 1= 3\\ \Leftrightarrow x= 4\\ \Rightarrow S = \left\{ 4 \right\}\end{array}\)

Câu 14 :

Hai biểu thức \(P = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + {x^2};\,\,Q = 2x\left( {x - 1} \right)\) có giá trị bằng nhau khi:

  • A

    \(x = 0\)                       

  • B

    \(x = 1\)                     

  • C

    \(x = 0,5\)                 

  • D

    \(x =  - 1\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ Cho \(P = Q\)

+ Chuyển hạng tử chứa ẩn sang vế trái, hạng tử tự do về vế phải, thu gọn rồi chia hai vế cho hệ số của ẩn ta tìm được nghiệm( chú ý khi chuyển vế hạng tử phải đổi dấu hạng tử đó).

Lời giải chi tiết :

Để \(P = Q\) thì:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + {x^2} = 2x\left( {x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - 1 + {x^2} = 2{x^2} - 2x\\ \Leftrightarrow {x^2} + {x^2} - 2{x^2} + 2x = 1\\ \Leftrightarrow 2x = 1 \\ \Leftrightarrow x = 0,5\end{array}\)

Vậy với $x=0,5$ thì $P=Q$.

Câu 15 :

Giải phương trình: \(\dfrac{{x + 98}}{2} + \dfrac{{x + 96}}{4} + \dfrac{{x + 65}}{{35}} = \dfrac{{x + 3}}{{97}} + \dfrac{{x + 5}}{{95}} + \dfrac{{x + 49}}{{51}}\) ta được nghiệm là

  • A

    Số nguyên dương

  • B

    Số nguyên âm

  • C

    Số chia hết cho \(3\)

  • D

    Số chia hết cho \(8\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Ta thấy quy luật: tổng của số trên tử và số dưới mẫu của các phân số bằng nhau

\(98 + 2 = 96 + 4 = 65 + 35 = 3 + 97 = 5 + 95 = 49 + 51\) .

Ta cộng thêm 1 vào mỗi phân số ở phương trình, quy đồng phân số để xuất hiện nhân tử chung; đặt nhân tử chung để đưa về dạng phương trình bậc nhất 1 ẩn.

Lời giải chi tiết :

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{x + 98}}{2} + \dfrac{{x + 96}}{4} + \dfrac{{x + 65}}{{35}} = \dfrac{{x + 3}}{{97}} + \dfrac{{x + 5}}{{95}} + \dfrac{{x + 49}}{{51}}\\ \Leftrightarrow \left( {\dfrac{{x + 98}}{2} + 1} \right) + \left( {\dfrac{{x + 96}}{4} + 1} \right) + \left( {\dfrac{{x + 65}}{{35}} + 1} \right) = \left( {\dfrac{{x + 3}}{{97}} + 1} \right) + \left( {\dfrac{{x + 5}}{{95}} + 1} \right) + \left( {\dfrac{{x + 49}}{{51}} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x + 100}}{2} + \dfrac{{x + 100}}{4} + \dfrac{{x + 100}}{{35}} = \dfrac{{x + 100}}{{97}} + \dfrac{{x + 100}}{{95}} + \dfrac{{x + 100}}{{51}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x + 100}}{2} + \dfrac{{x + 100}}{4} + \dfrac{{x + 100}}{{35}} - \dfrac{{x + 100}}{{97}} - \dfrac{{x + 100}}{{95}} - \dfrac{{x + 100}}{{51}} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 100} \right)\left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{{35}} - \dfrac{1}{{97}} - \dfrac{1}{{95}} - \dfrac{1}{{51}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x + 100 = 0\\ \Leftrightarrow x =  - 100\end{array}\)

Vậy phương trình có tập nghiệm là \(S = \left\{ { - 100} \right\}\)

Suy ra nghiệm của phương trình là số nguyên âm.

Câu 16 :

Số nghiệm của phương trình \(\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 3x + 5} \right) = \left( {x + 2} \right){x^2}\) là

  • A

    \(2\)                       

  • B

    \(3\)                     

  • C

     \(4\)                 

  • D

    \(1\)       

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Chuyển vế rồi đặt \(x + 2\) làm nhân tử chung, ta đưa phương trình về dạng phương trình tích $A\left( x \right).B\left( x \right) = 0$ , giải các phương trình $A\left( x \right) = 0;B\left( x \right) = 0$ rồi lấy hợp tất cả các nghiệm của chúng.

Lời giải chi tiết :

\(\begin{array}{l}\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 3x + 5} \right) = \left( {x + 2} \right){x^2}\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 3x + 5} \right) - \left( {x + 2} \right){x^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 3x + 5 - {x^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {5 - 3x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2 = 0\\5 - 3x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = \dfrac{5}{3}\end{array} \right.\\\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 2;\dfrac{5}{3}} \right\}\)

Câu 17 :

Tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{{ - 7{x^2} + 4}}{{{x^3} + 1}} = \dfrac{5}{{{x^2} - x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 1}}\) là

  • A

    \(S = \left\{ {0;1} \right\}\)                       

  • B

    \(S = \left\{ { - 1} \right\}\)                     

  • C

    \(S = \left\{ {0; - 1} \right\}\)                 

  • D

    \(S = \left\{ 0 \right\}\)       

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Tìm ĐKXĐ của phương trình

+ Quy đồng mẫu rồi khử mẫu

+ Giải phương trình vừa nhận được

+ Đối chiếu điều kiện rồi kết luận nghiệm

Lời giải chi tiết :

ĐKXĐ: \(x \ne  - 1\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{ - 7{x^2} + 4}}{{{x^3} + 1}} = \dfrac{5}{{{x^2} - x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 1}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 7{x^2} + 4}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = \dfrac{{5\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} - \dfrac{{{x^2} - x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 7{x^2} + 4}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = \dfrac{{5\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\\ \Rightarrow  - 7{x^2} + 4 = 5\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} - x + 1} \right)\\ \Leftrightarrow  - 7{x^2} + 4 = 5x + 5 - {x^2} + x - 1\\ \Leftrightarrow 6{x^2} + 6x = 0\\ \Leftrightarrow 6x\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0(tm)\\x =  - 1(ktm)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy phương trình có tập nghiệm là \(S = \left\{ 0 \right\}\)

Câu 18 :

Một hình chữ nhật có chu vi $372m$  nếu tăng chiều dài $21m$  và tăng chiều rộng $10m$  thì diện tích tăng $2862\,{m^2}.$  Chiều dài của hình chữ nhật là:

  • A

    \(72m\)                              

  • B

    \(144m\)                         

  • C

    \(228m\)                              

  • D

    \(114m\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Giải theo các bước sau để tìm ra bước giải sai đầu tiên:

+ Lập phương trình: Chọn ẩn và đặt điều kiện; biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn và đại lượng đã biết; lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

+ Giải phương trình

+ Đối chiếu điều kiện rồi kết luận

Lời giải chi tiết :

Nửa chu vi của hình chữ nhật là: \(372:2 = 186\,\,\left( m \right).\)

Gọi chiều dài hình chữ nhật là \(x\,\,\left( m \right),\,\,\,\,\left( {0 < x < 186} \right).\)

\( \Rightarrow \) Chiều rộng hình chữ nhật là: \(186 - x\,\,\,\left( m \right).\)

Diện tích hình chữ nhật là: \(x\left( {186 - x} \right) = 186x - {x^2}\,\,\,\,\left( {{m^2}} \right).\)

Tăng chiều dài lên 21m thì chiều dài mới là: \(x + 21\,\,\,\left( m \right).\)

Tăng chiều rộng lên 10m thì chiều rộng mới là: \(186 - x + 10 = 196 - x\,\,\,\left( m \right).\) 

Diện tích hình chữ nhật mới là: \(\left( {x + 21} \right)\left( {196 - x} \right) = 175x - {x^2} + 4116\,\,\,\left( {{m^2}} \right).\)

Theo đề bài ta có phương trình: \(186x - {x^2} + 2862 = 175x - {x^2} + 4116\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 11x = 1254\\ \Leftrightarrow x = 114\,\,\,\left( {tm} \right).\end{array}\)

Vậy chiều dài hình chữ nhật là 114m.

Câu 19 :

Tổng hai số là $321.$  Hiệu của $\dfrac{2}{3}$ số này và \(\dfrac{5}{6}\) số kia bằng $34.$  Số lớn là :

  • A

    \(201\)                               

  • B

    \(120\)                         

  • C

    \(204\)                              

  • D

    \(117\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Giải theo các bước sau để tìm ra bước giải sai đầu tiên:

+ Lập phương trình: Chọn ẩn và đặt điều kiện; biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn và đại lượng đã biết; lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

+ Giải phương trình.

+ Đối chiếu điều kiện rồi kết luận.

Lời giải chi tiết :

Gọi một trong hai số là \(x,\,\,\,\left( {0 < x < 321;\,\,x \in N} \right).\)

Khi đó số còn lại là: \(321 - x.\)

Theo đề bài ta có: \(\dfrac{2}{3}x - \dfrac{5}{6}\left( {321 - x} \right) = 34\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}x = \dfrac{{603}}{2}\\ \Leftrightarrow x = 201.\end{array}\)

Số còn lại là $321-201=120$

Vậy số lớn là: $201.$

Câu 20 :

Một xe du lịch khởi hành từ A để đến B. Nửa giờ sau, một xe tải xuất phát từ B để về A. Xe tải đi được $1$  giờ thì gặp xe du lịch. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng xe du lịch có vận tốc lớn hơn xe tải là $10km/h$ và quãng đường $AB$ dài $90km.$

  • A

    Vận tốc xe du lịch là \(40\,\,\left( {km/h} \right)\), vận tốc xe tải là \(30\,\,\left( {km/h} \right)\)

  • B

    Vận tốc xe du lịch là \(30\,\,\left( {km/h} \right)\), vận tốc xe tải là \(40\,\,\left( {km/h} \right)\)

  • C

    Vận tốc xe du lịch là \(40\,\,\left( {km/h} \right)\), vận tốc xe tải là \(50\,\,\left( {km/h} \right)\)

  • D

    Vận tốc xe du lịch là \(50\,\,\left( {km/h} \right)\), vận tốc xe tải là \(40\,\,\left( {km/h} \right)\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Giải theo các bước sau:

+ Lập phương trình: Chọn ẩn và đặt điều kiện; biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn và đại lượng đã biết; lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

+ Giải phương trình.

+ Đối chiếu điều kiện rồi kết luận.

Lời giải chi tiết :

Gọi vận tốc của xe tải là x, đơn vị km/h, điều kiện: \(x > 0\) . Khi đó ta có:

Vận tốc xe du lịch là \(x + 10\left( {km/h} \right)\)

Thời gian xe du lịch đi từ A đến lúc gặp xe tải là: \(0,5 + 1 = 1,5\left( h \right)\)

Quãng đường xe du lịch và xe tải đi được đến lúc gặp nhau lần lượt là: \(\left( {x + 10} \right).1,5\left( {km} \right)\) và \(x.1\left( {km} \right)\) .

Vì hai xe đi ngược chiều nên quãng đường AB là tổng quãng đường mà hai xe đi được. Ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}\left( {x + 10} \right).1,5 + x.1 = 90\\ \Leftrightarrow 2,5x = 75\\ \Leftrightarrow x = 30(tm)\end{array}\)

Vậy vận tốc của xe du lịch và xe tải lần lượt là $40{\rm{ }}\left( {km/h} \right)$ và $30{\rm{ }}\left( {km/h} \right).$

Câu 21 :

Một công việc được giao cho hai người. Người thứ nhất có thể làm xong công việc một mình trong  $24$  phút. Lúc đầu, người thứ nhất làm một mình và sau \(\dfrac{{26}}{3}\)  phút người thứ hai cùng làm. Hai người làm chung trong \(\dfrac{{22}}{3}\) phút thì hoàn thành công việc. Hỏi nếu làm một mình thì người thứ hai cần bao lâu để hoàn thành công việc.

  • A

    \(20\)  phút     

  • B

    \(12\)  phút     

  • C

    \(24\) phút      

  • D

    \(22\) phút

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Giải theo các bước sau:

+ Lập phương trình: Chọn ẩn và đặt điều kiện; biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn và đại lượng đã biết; lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

+ Giải phương trình

+ Đối chiếu điều kiện rồi kết luận

Lời giải chi tiết :

Gọi thời gian làm một mình xong việc của người thứ hai là $x$ (phút), điều kiện:\(x > \dfrac{{22}}{3}\) . Biểu thị công việc bằng $1$  ta có:

Năng suất của người thứ nhất và thứ hai lần lượt là \(\dfrac{1}{{24}}\) (công việc/phút) và \(\dfrac{1}{x}\) (công việc/phút).

Năng suất làm chung của hai người là \(\dfrac{1}{{24}} + \dfrac{1}{x}\) (công việc/phút)

Khối lượng công việc người thứ nhất làm một mình trong $\dfrac{{26}}{3}$ phút  là \(\dfrac{1}{{24}}.\dfrac{{26}}{3} = \dfrac{{13}}{{36}}\) (công việc)

Khối lượng công việc hai người làm chung trong \(\dfrac{{22}}{3}\) phút  là \(\dfrac{{22}}{3}.\left( {\dfrac{1}{{24}} + \dfrac{1}{x}} \right)\) (công việc)

Theo bài ra ta có phương trình:

 \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{13}}{{36}} + \dfrac{{22}}{3}.\left( {\dfrac{1}{{24}} + \dfrac{1}{x}} \right) = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{22}}{3}.\left( {\dfrac{1}{{24}} + \dfrac{1}{x}} \right) = \dfrac{{23}}{{36}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{24}} + \dfrac{1}{x} = \dfrac{{23}}{{264}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{{22}} \Leftrightarrow x = 22(tm)\end{array}\)

Vậy nếu làm riêng người thứ hai cần làm trong  $22$  phút thì xong công việc.

Câu 22 :

Tổng các nghiệm của phương trình: \(\dfrac{1}{{{x^2} + 4x + 3}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 8x + 15}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 12x + 35}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 16x + 63}} = \dfrac{1}{5}\)  là

  • A

    \(10\)

  • B

    \( - 10\)                         

  • C

    \( - 11\)                              

  • D

    \(12\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi sử dụng phương pháp tách hạng tử để giải

\(\dfrac{1}{{\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)}} = \dfrac{1}{{b - a}}\left( {\dfrac{1}{{x + a}} - \dfrac{1}{{x + b}}} \right),a \ne b\) . Sau đó, làm theo các bước giải phương trình chứa  ẩn ở mẫu.

Lời giải chi tiết :

Phân tích các mẫu thành nhân tử sau đó nhân cả 2 vế của phương trình với 2 ta được:

\(\begin{array}{l}pt \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x + 7} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {x + 7} \right)\left( {x + 9} \right)}} = \dfrac{1}{5}\\ \Leftrightarrow \dfrac{2}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \dfrac{2}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)}} + \dfrac{2}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x + 7} \right)}} + \dfrac{2}{{\left( {x + 7} \right)\left( {x + 9} \right)}} = \dfrac{2}{5}\end{array}\)

ĐKXĐ: $x \ne \left\{ { - 1; - 3; - 5; - 7; - 9} \right\}$ .

Khi đó:

\(\begin{array}{l}pt \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 3}} + \dfrac{1}{{x + 3}} - \dfrac{1}{{x + 5}} + \dfrac{1}{{x + 5}} - \dfrac{1}{{x + 7}} + \dfrac{1}{{x + 7}} - \dfrac{1}{{x + 9}} = \dfrac{2}{5}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 9}} = \dfrac{2}{5}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{1\left( {x + 9} \right) - 1\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 9} \right)}} = \dfrac{{2\left( {x + 1} \right)\left( {x + 9} \right)}}{{5\left( {x + 1} \right)\left( {x + 9} \right)}}\\ \Rightarrow 5\left[ {x + 9 - \left( {x + 1} \right)} \right] = 2\left( {x + 1} \right)\left( {x + 9} \right)\\ \Leftrightarrow 5\left( {x + 9 - x - 1} \right) = 2{x^2} + 20x + 18\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 20x - 22 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 10x - 11 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - x + 11x - 11 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 11} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x + 11 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 11\end{array} \right.(tm)\\ \Rightarrow S = \left\{ {1; - 11} \right\}\end{array}\)

Vậy  tổng  các nghiệm của phương trình là \(1 + \left( { - 11} \right) =  - 10.\)

Câu 23 :

Giải phương trình: \(20{\left( {\dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right)^2} - 5{\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}} \right)^2} + 48\dfrac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - 1}} = 0\)  ta được các nghiệm là \({x_1};{x_2}\)  với \({x_1} < {x_2}\) . Tính \(3{x_1} - {x_2}.\)

  • A

    \(\dfrac{{25}}{3}\)                                

  • B

    \( - 1\)                         

  • C

    \( - \dfrac{7}{3}\)                              

  • D

    \(1\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Tìm ĐKXĐ

+ Nhận thấy \(x =  - 2\) không là nghiệm nên ta chia hai vế của phương trình cho \({\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}} \right)^2}\) , khi đó xuất hiện các hạng tử giống nhau, đặt ẩn phụ, tìm đk của ẩn phụ rồi giải phương trình nhận được.

+ Thay giá trị của ẩn phụ vào cách đặt ta tìm được ẩn ban đầu.

+ Đối chiếu đk rồi kết luận nghiệm.

Lời giải chi tiết :

ĐKXĐ: \(x \ne  \pm 1\) .

\(Pt \Leftrightarrow 20{\left( {\dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right)^2} + 48.\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - 5{\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}} \right)^2} = 0\)

Với \(x =  - 2\) ta có phương trình \( \Leftrightarrow 20.{\left( {\dfrac{{ - 4}}{{ - 1}}} \right)^2} = 0\) vô lý \( \Rightarrow x =  - 2\) không là nghiệm của phương trình.

Lại có với \(x \ne 1;\,\,x \ne  - 2\) thì \({\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}} \right)^2} \ne 0,\) ta chia hai vế của phương trình cho \({\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}} \right)^2}\), ta được:

\(pt \Leftrightarrow 20{\left[ {\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right]^2} + 48\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} - 5 = 0\)

Đặt \(t = \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}\) , ta có

 \(\begin{array}{l}pt \Leftrightarrow 20{t^2} + 48t - 5 = 0 \Leftrightarrow 20{t^2} + 50t - 2t - 5 = 0\\ \Leftrightarrow 10t\left( {2t + 5} \right) - \left( {2t + 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {2t + 5} \right)\left( {10t - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2t + 5 = 0\\10t - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - \dfrac{5}{2}\\t = \dfrac{1}{{10}}\end{array} \right..\end{array}\)

Với \(t =  - \dfrac{5}{2}\) ta có:

 $\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} =  - \dfrac{5}{2}\\ \Rightarrow 2\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) =  - 5\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 6x + 4 =  - 5{x^2} - 15x - 10\\ \Leftrightarrow 7{x^2} + 9x + 14 = 0\\ \Leftrightarrow 7\left( {{x^2} + 2.\dfrac{9}{{14}}x + \dfrac{{81}}{{196}}} \right) - \dfrac{{81}}{{28}} + 14 = 0\\ \Leftrightarrow 7{\left( {x + \dfrac{9}{{14}}} \right)^2} + \dfrac{{311}}{{28}} = 0\,\,\,\left( {VN} \right)\end{array}$

Với \(t = \dfrac{1}{{10}}\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{1}{{10}}\\ \Rightarrow 10\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = {x^2} + 3x + 2\\ \Leftrightarrow 9{x^2} - 33x + 18 = 0\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 11x + 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {3x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - 2 = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{2}{3}\\x = 3\end{array} \right.(tm)\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {3;\,\,\dfrac{2}{3}} \right\}\)

Từ giả thiết suy ra \({x_1} = \dfrac{2}{3};{x_2} = 3 \Rightarrow 3{x_1} - {x_2} =  - 1.\)

Câu 24 :

Tích các nghiệm của phương trình: \(\left( {{x^2} - 3x + 3} \right)\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) = 2{x^2}\) là

  • A

    \( - 2\)                               

  • B

    \(2\)                         

  • C

    \(4\)                              

  • D

    \(3\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Nhận thấy 0 không phải là nghiệm của phương trình nên ta chia cả hai vế của phương trình cho \({x^2} \ne 0\) .

+ Sau đó biến đổi phương trình để làm xuất hiện nhóm hạng tử giống nhau, đặt nhóm hạng tử giống nhau bằng ẩn mới, thay vào phương trình đã cho để được phương trình theo ẩn mới.

+ Giải phương trình theo ẩn mới

+ Thay giá trị vừa tìm được của ẩn mới vào biểu thức đặt ẩn để tìm ẩn ban đầu.

Lời giải chi tiết :

Nhận thấy \(x = 0\) không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế của phương trình cho  \({x^2} \ne 0\) ta được:

\(\dfrac{{{x^2} - 3x + 3}}{x}.\dfrac{{{x^2} - 2x + 3}}{x} = 2 \Leftrightarrow \left( {x + \dfrac{3}{x} - 3} \right)\left( {x + \dfrac{3}{x} - 2} \right) = 2\)

Đặt  \(t = x + \dfrac{3}{x} - 3\) , ta có:

\(\begin{array}{l}pt \Leftrightarrow t\left( {t + 1} \right) = 2 \Leftrightarrow {t^2} + t - 2 = 0\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {t + 2} \right) = 0\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 1 = 0\\t + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t =  - 2\end{array} \right..\end{array}\)

Với \(t = 1 \Rightarrow x + \dfrac{3}{x} - 3 = 1 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\)

Với \(t =  - 2 \Rightarrow x + \dfrac{3}{x} - 3 =  - 2 \Leftrightarrow {x^2} - x + 3 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{11}}{4} = 0\) vô nghiệm

Vậy phương trình  có tập nghiệm là \(S = \left\{ {1;3} \right\}\)

Tích các nghiệm của phương trình là \(1.3 = 3.\)

Câu 25 :

Cho phương trình: \(\left( {4{m^2} - 9} \right)x = 2{m^2} + m - 3\) . Tìm m để phương trình có vô số nghiệm

  • A

    \(m =  - \dfrac{3}{2}\)                               

  • B

    $m = 1$                         

  • C

    \(m = \dfrac{3}{2}\)                              

  • D

    \(m = \dfrac{2}{3}\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Phương trình \({\rm{ax}} = b\)

+ Có vô số nghiệm khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết :

Phương trình

 \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left( {4{m^2} - 9} \right)x = 2{m^2} + m - 3\\ \Leftrightarrow \left( {4{m^2} - 9} \right)x = 2{m^2} - 2m + 3m - 3\\ \Leftrightarrow \left( {2m - 3} \right)\left( {2m + 3} \right)x = 2m\left( {m - 1} \right) + 3\left( {m - 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {2m - 3} \right)\left( {2m + 3} \right)x = \left( {m - 1} \right)\left( {2m + 3} \right)\end{array}\)

Phương trình có vô số nghiệm khi \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {2m - 3} \right)\left( {2m + 3} \right) = 0\\\left( {m - 1} \right)\left( {2m + 3} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}2m - 3 = 0\\2m + 3 = 0\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m - 1 = 0\\2m + 3 = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{3}{2}\\m =  - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m =  - \dfrac{3}{2}\)

Vậy phương trình có vô số nghiệm khi \(m =  - \dfrac{3}{2}.\)

close