Trắc nghiệm Bài 1,2: Nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức Toán 8Đề bài
Câu 1 :
Tích \({\left( { - 5x} \right)^2}{y^2}.\dfrac{1}{5}xy\) bằng
Câu 2 :
Tích \(\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)\) có kết quả bằng
Câu 3 :
Giá trị của biểu thức \(P = - 2{x^2}y\left( {xy + {y^2}} \right)\) tại \(x = - 1;\,y = 2\) là
Câu 4 :
Thu gọn \(6{x^4}{y^2}:{\left( {\dfrac{1}{2}{x^2}y} \right)^2}\), ta được
Câu 5 :
Kết quả của phép tính $(a{x^2} + bx - c).2{a^2}x$ bằng
Câu 6 :
Chọn câu đúng.
Câu 7 :
Cho \(4\left( {18 - 5x} \right) - 12\left( {3x - 7} \right) = 15\left( {2x - 16} \right) - 6\left( {x + 14} \right).\) Kết quả $x$ bằng:
Câu 8 :
Cho biểu thức \(P = 2x({x^2} - 4) + {x^2}({x^2} - 9).\) Hãy chọn câu đúng:
Câu 9 :
Cho biểu thức \(A = x(x + 1) + (1 - x)(1 + x) - x\) . Khẳng định nào sau đây là đúng.
Câu 10 :
Cho biểu thức \(C = x(y + z) - y(z + x) - z(x - y)\). Chọn khẳng định đúng.
Câu 11 :
Biểu thức \(D = x({x^{2n - 1}} + y) - y(x + {y^{2n - 1}}) + {y^{2n}} - {x^{2n}} + 5,\)\(D\) có giá trị là:
Câu 12 :
Cho hai số tự nhiên \(n\) và \(m\). Biết rằng \(n\) chia \(5\) dư \(1\), \(m\) chia \(5\) dư \(4\). Hãy chọn câu đúng:
Câu 13 :
Cho hình thang có đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ, đáy nhỏ lớn hơn chiều cao \(2\) đơn vị. Biểu thức tính diện tích hình thang là:
Câu 14 :
Giá trị của biểu thức \(M = x\left( {{x^3} + {x^2} - 3x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 2} \right)\left( {{x^2} + x - 1} \right)\) là
Câu 15 :
Cho \(A = \left( {3x + 7} \right)\left( {2x + 3} \right) - \left( {3x - 5} \right)\left( {2x + 11} \right);\) \(B = x\left( {2x + 1} \right) - {x^2}\left( {x + 2} \right) + {x^3} - x + 3\) Chọn khẳng định đúng.
Câu 16 :
Gọi \(x\) là giá trị thỏa mãn \(5\left( {3x + 5} \right) - 4\left( {2x - 3} \right)\)\( = 5x + 3\left( {2x - 12} \right) + 1.\) Khi đó
Câu 17 :
Tính giá trị của biểu thức \(P = {x^{10}} - 13{x^9} + 13{x^8} - 13{x^7} + ... - 13x + 10\) tại \(x = 12\) .
Câu 18 :
Cho \({x^2} + {y^2} = 2,\) đẳng thức nào sau đây đúng?
Câu 19 :
Cho \(B = \left( {m - 1} \right)\left( {m + 6} \right) - \left( {m + 1} \right)\left( {m - 6} \right)\). Chọn kết luận đúng.
Câu 20 :
Cho \(m\) số mà mỗi số bằng \(3n - 1\) và \(n\) số mà mỗi số bằng \(9 - 3m.\) Biết tổng tất cả các số đó bằng 5 lần tổng \(m + n.\) Khi đó
Câu 21 :
Tính tổng các hệ số của lũy thừa bậc ba, lũy thừa bậc hai và lũy thừa bậc nhất trong kết quả của phép nhân \(\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^3} - 2x + 1} \right)\)
Câu 22 :
Nếu \(a + b = m\) và \(ab = n\) thì
Câu 23 :
Xác định hệ số \(a,b,c\) biết rằng với mọi giá trị của \(x\) thì \(\left( {ax + 4} \right)\left( {{x^2} + bx - 1} \right) = 9{x^3} + 58{x^2} + 15x + c\)
Câu 24 :
Cho biết \(\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right) + \left( {y + z} \right)\left( {y + x} \right) = 2\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)\). Khi đó
Câu 25 :
Cho các số \(x,y,z\) tỉ lệ với các số \(a,b,c\). Khi đó \(\left( {{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}} \right)\left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right)\) bằng
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Tích \({\left( { - 5x} \right)^2}{y^2}.\dfrac{1}{5}xy\) bằng
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng các công thức lũy thừa của một tích \({\left( {x.y} \right)^m} = {x^m}.{y^m}\) và tích các lũy thừa \({x^m}.{x^n} = {x^{m + n}}\,\,\left( {m,\,n \in \mathbb{N}} \right)\) Lời giải chi tiết :
Ta có \({\left( { - 5x} \right)^2}{y^2}.\dfrac{1}{5}xy = {\left( { - 5} \right)^2}.{x^2}.y^2.\dfrac{1}{5}xy \) \(= 25.\dfrac{1}{5}.\left( {{x^2}.x} \right)\left( {{y^2}.y} \right) = 5{x^3}{y^3}\)
Câu 2 :
Tích \(\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)\) có kết quả bằng
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức: Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau Lời giải chi tiết :
Ta có \(\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)\)\(=x.x + x.y - x.y - y.y = {x^2} - {y^2}\)
Câu 3 :
Giá trị của biểu thức \(P = - 2{x^2}y\left( {xy + {y^2}} \right)\) tại \(x = - 1;\,y = 2\) là
Đáp án : B Phương pháp giải :
Nhân đơn thức với đa thức Thay \({x_0};{y_0}\) biểu thức trên rồi thực hiện phép tính. Lời giải chi tiết :
Ta có: \(P = - 2{x^2}y\left( {xy + {y^2}} \right)\) \(P = - 2{x^3}{y^2} - 2{x^2}{y^3}\) Thay \(x = - 1;y = 2\) vào biểu thức ta được \(\begin{array}{l}P = - 2{\left( { - 1} \right)^3}{.2^2} - 2.{\left( { - 1} \right)^2}{.2^3}\\P = 8 - 16 = - 8\end{array}\) Vậy \(P = - 8\) .
Câu 4 :
Thu gọn \(6{x^4}{y^2}:{\left( {\dfrac{1}{2}{x^2}y} \right)^2}\), ta được
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng các công thức lũy thừa của một tích\({\left( {x.y} \right)^m} = {x^m}.{y^m}\)và thương các lũy thừa\({x^m}:{x^n} = {x^{m - n}}\,\,\left( {m \ge n,\,m,\,n \in \mathbb{N}} \right)\) Lời giải chi tiết :
Ta có \(6{x^4}{y^2}:{\left( {\dfrac{1}{2}{x^2}y} \right)^2} \)\(= 6{x^4}{y^2}:\left[ {\dfrac{1}{4}{{\left( {{x^2}} \right)}^2}.{y^2}} \right] \)\(= 6{x^4}{y^2}:\left( {\dfrac{1}{4}{x^4}{y^2}} \right) \)\(= 6:\dfrac{1}{4} = 24\)
Câu 5 :
Kết quả của phép tính $(a{x^2} + bx - c).2{a^2}x$ bằng
Đáp án : D Phương pháp giải :
Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau: \(A\left( {B + C-D} \right) = AB + AC-AD\) Lời giải chi tiết :
Ta có $(a{x^2} + bx - c).2{a^2}x $ $= 2{a^2}x.\left( {a{x^2} + bx - c} \right) $ $= 2{a^2}x.a{x^2} + 2{a^2}x.bx - 2{a^2}x.c$ \( = 2{a^3}{x^3} + 2{a^2}b{x^2} - 2{a^2}cx\)
Câu 6 :
Chọn câu đúng.
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức: Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau: \(\left( {A + B} \right)\left( {C + D} \right) = AC + AD + BC + BD\) Lời giải chi tiết :
Ta có $\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right) $$= {x^2}.{x^2} + {x^2}.2x - 1.{x^2} - 1.2x $$= {x^4} + 2{x^3} - {x^2} - 2x$
Câu 7 :
Cho \(4\left( {18 - 5x} \right) - 12\left( {3x - 7} \right) = 15\left( {2x - 16} \right) - 6\left( {x + 14} \right).\) Kết quả $x$ bằng:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Thực hiện các phép tính: phá ngoặc, chuyển vế ... để biến đổi về dạng tìm \(x\) thường gặp Lời giải chi tiết :
Ta có \(4\left( {18 - 5x} \right) - 12\left( {3x - 7} \right) = 15\left( {2x - 16} \right) - 6\left( {x + 14} \right)\)\( \Leftrightarrow 72 - 20x - 36x + 84 = 30x - 240 - 6x - 84\) \( \Leftrightarrow - 56x + 156 = 24x - 324 \)\(\Leftrightarrow 24x + 56x = 156 + 324 \)\(\Leftrightarrow 80x = 480 \Leftrightarrow x = 6\) Vậy \(x = 6\) .
Câu 8 :
Cho biểu thức \(P = 2x({x^2} - 4) + {x^2}({x^2} - 9).\) Hãy chọn câu đúng:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Thay \({x_0}\) biểu thức \(P\) rồi thực hiện phép tính. Lời giải chi tiết :
Thay \(x = 0\) vào \(P\) ta được \(P = 2.0\left( {{0^2} - 4} \right) + {0^2}.\left( {{0^2} - 9} \right) = 0\) nên A sai. Thay \(x = - 2\) vào \(P\) ta được \(P = 2.\left( { - 2} \right).\left( {{{\left( { - 2} \right)}^2} - 4} \right) + {\left( { - 2} \right)^2}.\left( {{{\left( { - 2} \right)}^2} - 9} \right) = - 20\) nên C sai. Thay \(x = - 9\) vào \(P\) ta được \(P = 2.\left( { - 9} \right)\left( {{{\left( { - 9} \right)}^2} - 4} \right) + {\left( { - 9} \right)^2}.\left( {{{\left( { - 9} \right)}^2} - 9} \right) = 4446\) nên D sai. Thay \(x = 2\) vào \(P\) ta được \(P = 2.2.\left( {{2^2} - 4} \right) + {2^2}.\left( {{2^2} - 9} \right) = 4.0 + 4.\left( { - 5} \right) = - 20\) nên B đúng.
Câu 9 :
Cho biểu thức \(A = x(x + 1) + (1 - x)(1 + x) - x\) . Khẳng định nào sau đây là đúng.
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng các quy tắc nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức rồi rút gọn \(A\) . Lời giải chi tiết :
Ta có \(A = x(x + 1) + (1 - x)(1 + x) - x\)\( = {x^2} + x + 1 + x - x - {x^2} - x = 1\) Suy ra $A=1>0.$
Câu 10 :
Cho biểu thức \(C = x(y + z) - y(z + x) - z(x - y)\). Chọn khẳng định đúng.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng các quy tắc nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức rồi rút gọn \(A\) . Lời giải chi tiết :
Ta có \(C = x(y + z) - y(z + x) - z(x - y)\)\( = xy + xz - yz - xy - zx + zy = \left( {xy - xy} \right) + \left( {zy - zy} \right) + \left( {xz - zx} \right) = 0\) Nên \(C\) không phụ thuộc vào \(x;\,y;\,z\)
Câu 11 :
Biểu thức \(D = x({x^{2n - 1}} + y) - y(x + {y^{2n - 1}}) + {y^{2n}} - {x^{2n}} + 5,\)\(D\) có giá trị là:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng các quy tắc nhân đơn thức với đa thức và sử dụng công thức \({x^m}.{x^n} = {x^{m + n}}\) rồi rút gọn \(A\) Lời giải chi tiết :
Ta có \(D = x({x^{2n - 1}} + y) - y(x + {y^{2n - 1}}) + {y^{2n}} - {x^{2n}} + 5\)\( = x.{x^{2n - 1}} + x.y - y.x - y.{y^{2n - 1}} + {y^{2n}} - {x^{2n}} + 5\) \( = {x^{2n}} + xy - xy - {y^{2n}} + {y^{2n}} - {x^{2n}} + 5 = \left( {{x^{2n}} - {x^{2n}}} \right) + \left( {xy - xy} \right) + \left( {{y^{2n}} - {y^{2n}}} \right) + 5 = 0 + 0 + 0 + 5 = 5\)
Câu 12 :
Cho hai số tự nhiên \(n\) và \(m\). Biết rằng \(n\) chia \(5\) dư \(1\), \(m\) chia \(5\) dư \(4\). Hãy chọn câu đúng:
Đáp án : C Phương pháp giải :
- Biểu diễn \(m\) và \(n\) theo giả thiết - Tính \(m.n,\,m + n,\,m - n\) rồi đánh giá tinh chia hết của từng biểu thức Lời giải chi tiết :
Ta có $n$ chia \(5\) dư \(1\) nên \(n = 5p + 1\,\left( {0 < p < n;p \in \mathbb{N}} \right)\) ; \(m\) chia \(5\) dư \(4\) nên \(m = 5q + 4\,\left( {0 < q < m;q \in \mathbb{N}} \right)\) Khi đó \(m.n = \left( {5p + 1} \right)\left( {5q + 4} \right) = 25pq + 20p + 5q + 4 = 5\left( {5pq + 4p + q} \right) + 4\) mà \(5\left( {5pq + 4p + q} \right) \vdots \,5\) nên \(m.n\) chia $5$ dư \(4\) , phương án A sai, D sai. Ta có \(m - n = 5q + 4 - \left( {5p + 1} \right) = 5q - 5p + 3\) mà $5p \vdots 5;\,\,5q \vdots 5$ nên \(m - n\) chia \(5\) dư \(3\) , phương án B sai. Ta có \(m + n = 5q + 4 + 5p + 1 = 5q + 5p + 5 = 5\left( {q + p + 1} \right) \vdots 5\) nên C đúng.
Câu 13 :
Cho hình thang có đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ, đáy nhỏ lớn hơn chiều cao \(2\) đơn vị. Biểu thức tính diện tích hình thang là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
- Gọi \(x\,\left( {x > 2} \right)\) là độ dài đáy nhỏ của hình thang - Biểu diễn chiều cao và đáy lớn hình thang theo \(x\) - Sử dụng công thức tính diện tích hình thang: \(S = \dfrac{{\left( {a + b} \right).h}}{2}\) Lời giải chi tiết :
Gọi \(x\,\left( {x > 2} \right)\) là độ dài đáy nhỏ của hình thang . Theo giả thiết ta có độ dài đáy lớn là \(2x\) , chiều cao của hình thang là \(x - 2\) Diện tích hình thang là $S = \dfrac{{\left( {x + 2x} \right)\left( {x - 2} \right)}}{2} = \dfrac{3x(x-2)}{2} = \dfrac{{{3x^2} -6x }}{2}$ (đvdt)
Câu 14 :
Giá trị của biểu thức \(M = x\left( {{x^3} + {x^2} - 3x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 2} \right)\left( {{x^2} + x - 1} \right)\) là
Đáp án : D Phương pháp giải :
Thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức rồi rút gọn Lời giải chi tiết :
Ta có \(M = x\left( {{x^3} + {x^2} - 3x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 2} \right)\left( {{x^2} + x - 1} \right)\)\( = x.{x^3} + x.{x^2} - 3x.x - 2.x - \left( {{x^2}.{x^2} + {x^2}.x - {x^2} - 2{x^2} - 2x + 2} \right)\) \( = {x^4} + {x^3} - 3{x^2} - 2x - \left( {{x^4} + {x^3} - 3{x^2} - 2x + 2} \right)\) \( = {x^4} + {x^3} - 3{x^2} - 2x - {x^4} - {x^3} + 3{x^2} + 2x - 2\) \( = - 2\) Vậy \(M = - 2\) .
Câu 15 :
Cho \(A = \left( {3x + 7} \right)\left( {2x + 3} \right) - \left( {3x - 5} \right)\left( {2x + 11} \right);\) \(B = x\left( {2x + 1} \right) - {x^2}\left( {x + 2} \right) + {x^3} - x + 3\) Chọn khẳng định đúng.
Đáp án : C Phương pháp giải :
Thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức sau đó rút gọn các biểu thức. Lời giải chi tiết :
\(A = \left( {3x + 7} \right)\left( {2x + 3} \right) - \left( {3x - 5} \right)\left( {2x + 11} \right)\)\( = 3x.2x + 3x.3 + 7.2x + 7.3 - \left( {3x.2x + 3x.11 - 5.2x - 5.11} \right)\) \( = 6{x^2} + 9x + 14x +21 - \left( {6{x^2} + 33x - 10x - 55} \right)\) \( = 6{x^2} + 23x + 21 - 6{x^2} - 33x + 10x + 55\) \( = 76\) \(B = x\left( {2x + 1} \right) - {x^2}\left( {x + 2} \right) + {x^3} - x + 3\)\( = x.2x + x - \left( {{x^2}.x + 2{x^2}} \right) + {x^3} - x + 3\) \( = 2{x^2} + x - {x^3} - 2{x^2} + {x^3} - x + 3 = 3\) Từ đó ta có \(A=76;B=3\) mà \(76=25.3+1\) nên \(A = 25B + 1.\)
Câu 16 :
Gọi \(x\) là giá trị thỏa mãn \(5\left( {3x + 5} \right) - 4\left( {2x - 3} \right)\)\( = 5x + 3\left( {2x - 12} \right) + 1.\) Khi đó
Đáp án : C Phương pháp giải :
Thực hiện các biến đổi phá ngoặc, chuyển vế đổi dấu… rồi rút gọn hai vế đưa về dạng tìm \(x\) thường gặp. Lời giải chi tiết :
Ta có \(5\left( {3x + 5} \right) - 4\left( {2x - 3} \right) \)\(= 5x + 3\left( {2x - 12} \right) + 1\)\( \Leftrightarrow 15x + 25 - 8x + 12 \)\(= 5x + 6x - 36 + 1\) \( \Leftrightarrow 7x + 37 = 11x - 35 \) \(\Leftrightarrow 4x = 72 \) \(\Leftrightarrow x = 18\) Vậy \(x = 18.\) Suy ra $17<x<19$ nên chọn C.
Câu 17 :
Tính giá trị của biểu thức \(P = {x^{10}} - 13{x^9} + 13{x^8} - 13{x^7} + ... - 13x + 10\) tại \(x = 12\) .
Đáp án : A Phương pháp giải :
Chú ý rằng \(x = 12\) nên \(x - 12 = 0\) . Ta biến đổi \(P\) thành nhiều biểu thức chứa \((x - 12)\) rồi thay \(x = 12\) vào \(P\) . Lời giải chi tiết :
Ta có \(P = {x^{10}} - 13{x^9} + 13{x^8} - 13{x^7} + ... - 13x + 10\) \( = {x^{10}} - 12{x^9} - {x^9} + 12{x^8} + {x^8} - 12{x^7} - {x^7} + 12{x^6} + ... + {x^2} - 12x - x + 10\) \( = {x^9}\left( {x - 12} \right) - {x^8}\left( {x - 12} \right) + {x^7}\left( {x - 12} \right) - ... + x\left( {x - 12} \right) - x + 10\) Thay \(x = 12\) vào \(P\) ta được \(P = {12^9}.\left( {12 - 12} \right) - {12^8}\left( {12 - 12} \right) + {12^7}\left( {12 - 12} \right) - ... + 12\left( {12 - 12} \right) - 12 + 10\) \( = 0 + ... + 0 - 2 = - 2\) Vậy \(P = - 2\) .
Câu 18 :
Cho \({x^2} + {y^2} = 2,\) đẳng thức nào sau đây đúng?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức và dữ kiện đề bài để biến đổi \(2\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)\) Sử dụng \(AB + AC = A\left( {B + C} \right)\) Lời giải chi tiết :
Ta có \(2\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = 2\left( {xy + x + y + 1} \right)\) \( = 2xy + 2x + 2y + 2\) Thay \({x^2} + {y^2} = 2\) ta được \(2xy + 2x + 2y + {x^2} + {y^2}\) \( = \left( {{x^2} + xy + 2x} \right) + \left( {{y^2} + xy + 2y} \right)\) \( = x\left( {x + y + 2} \right) + y\left( {x + y + 2} \right) = \left( {x + y} \right)\left( {x + y + 2} \right)\) Từ đó ta có \(2\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = \left( {x + y} \right)\left( {x + y + 2} \right)\)
Câu 19 :
Cho \(B = \left( {m - 1} \right)\left( {m + 6} \right) - \left( {m + 1} \right)\left( {m - 6} \right)\). Chọn kết luận đúng.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng nhân đa thức với đa thức để biến đổi biểu thức \(B\) Sử dụng \(mb\,\, \vdots \,b\) với mọi \(m \ne 0,m \in \mathbb{Z}\) Lời giải chi tiết :
Ta có \(B = \left( {m - 1} \right)\left( {m + 6} \right) - \left( {m + 1} \right)\left( {m - 6} \right)\)\( = {m^2} + 6m - m - 6 - \left( {{m^2} - 6m + m - 6} \right)\) \( = {m^2} + 5m - 6 - {m^2} + 6m - m + 6 = 10m\) Nhận thấy \(10\,\, \vdots \,\,10 \Rightarrow 10.m\,\, \vdots \,10\) nên \(B\,\, \vdots \,10\) với mọi giá trị nguyên của \(m.\)
Câu 20 :
Cho \(m\) số mà mỗi số bằng \(3n - 1\) và \(n\) số mà mỗi số bằng \(9 - 3m.\) Biết tổng tất cả các số đó bằng 5 lần tổng \(m + n.\) Khi đó
Đáp án : A Phương pháp giải :
Biểu diễn mối quan hệ của các dữ kiện liên quan đến \(m\) và \(n\) Biến đổi đẳng thức thu được ta tìm được quan hệ của \(m\) và \(n.\) Lời giải chi tiết :
+ Tổng của \(m\) số mà mỗi số bằng \(3n - 1\) là \(m\left( {3n - 1} \right)\) + Tổng của \(n\) số mà mỗi số bằng \(9 - 3m\) là \(n\left( {9 - 3m} \right)\) Tổng tất cả các số trên là \(m\left( {3n - 1} \right) + n\left( {9 - 3m} \right)\) Theo để bài ta có \(m\left( {3n - 1} \right) + n\left( {9 - 3m} \right) = 5\left( {m + n} \right)\) \( \Leftrightarrow 3mn - m + 9n - 3mn = 5m + 5n\) \( \Leftrightarrow 6m = 4n \Leftrightarrow m = \dfrac{2}{3}n\) Vậy \(m = \dfrac{2}{3}n\)
Câu 21 :
Tính tổng các hệ số của lũy thừa bậc ba, lũy thừa bậc hai và lũy thừa bậc nhất trong kết quả của phép nhân \(\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^3} - 2x + 1} \right)\)
Đáp án : C Phương pháp giải :
Bước 1: Thực hiện phép nhân đa thức với đa thức Bước 2: Xác định các hệ số của lũy thừa bậc ba, lũy thừa bậc hai và lũy thừa bậc nhất trong kết quả rồi tính tổng của chúng. Lời giải chi tiết :
Ta có \(\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^3} - 2x + 1} \right)\)\( = {x^2}.{x^3} + {x^2}.\left( { - 2x} \right) + {x^2}.1 + x.{x^3} + x.\left( { - 2x} \right) + x.1 + 1.{x^3} + 1.\left( { - 2x} \right) + 1.1\) \( = {x^5} - 2{x^3} + {x^2} + {x^4} - 2{x^2} + x + {x^3} - 2x + 1\) \( = {x^5} + {x^4} - {x^3} - {x^2} - x + 1\) Hệ số của lũy thừa bậc ba là \( - 1\) Hệ số của lũy thừa bậc hai là \( - 1\) Hệ số của lũy thừa bậc nhất là \( - 1\) Tổng các hệ số này là \( - 1 + \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) = - 3\)
Câu 22 :
Nếu \(a + b = m\) và \(ab = n\) thì
Đáp án : A Phương pháp giải :
Bước 1: Thực hiện phép nhân đa thức với đa thức Bước 2: Thay \(a + b = m\) và \(ab = n\) vào kết quả thu được. Lời giải chi tiết :
Ta có \(\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right) = x.x + x.b + a.x + a.b\) \( = {x^2} + \left( {a + b} \right)x + ab\) Mà \(a + b = m\) và \(ab = n\) nên ta có \(\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right) = {x^2} + mx + n.\)
Câu 23 :
Xác định hệ số \(a,b,c\) biết rằng với mọi giá trị của \(x\) thì \(\left( {ax + 4} \right)\left( {{x^2} + bx - 1} \right) = 9{x^3} + 58{x^2} + 15x + c\)
Đáp án : B Phương pháp giải :
Bước 1: Thực hiện phép nhân đa thức với đa thức Bước 2: Cho các hệ số của các lũy thừa tương ứng ở hai vế bằng nhau ta tìm được các hệ số \(a,b,c.\) Lời giải chi tiết :
Ta có \(VT = \left( {ax + 4} \right)\left( {{x^2} + bx - 1} \right)\)\( = ax.{x^2} + ax.bx + ax.\left( { - 1} \right) + 4.{x^2} + 4.bx + 4.\left( { - 1} \right)\) \( = a{x^3} + ab{x^2} - ax + 4{x^2} + 4bx - 4\) \( = a{x^3} + \left( {ab{x^2} + 4{x^2}} \right) + \left( {4bx - ax} \right) - 4\) \( = a{x^3} + \left( {ab + 4} \right){x^2} + \left( {4b - a} \right)x - 4\) Theo bài ra ta có \(\left( {ax + 4} \right)\left( {{x^2} + bx - 1} \right) = 9{x^3} + 58{x^2} + 15x + c\) đúng với mọi \(x\) \( \Leftrightarrow a{x^3} + \left( {ab + 4} \right){x^2} + \left( {4b - a} \right)x - 4 = 9{x^3} + 58{x^2} + 15x + c\) đúng với mọi \(x.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 9\\ab + 4 = 58\\4b - a = 15\\ - 4 = c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 9\\9.b = 54\\4b - 9 = 15\\c = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 9\\b = 6\\c = - 4\end{array} \right.\) Vậy \(a = 9,b = 6,c = - 4.\)
Câu 24 :
Cho biết \(\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right) + \left( {y + z} \right)\left( {y + x} \right) = 2\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)\). Khi đó
Đáp án : A Phương pháp giải :
+ Sử dụng qui tắc nhân đa thức với đa thức \(\left( {A + B} \right)\left( {C + D} \right) = AC + AD + BC + BD\) để biến đổi dữ kiện đề bài cho, từ đó tìm mối quan hệ của \(x,y,z.\) Lời giải chi tiết :
Ta có \(\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right) + \left( {y + z} \right)\left( {y + x} \right) = 2\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)\) \( \Leftrightarrow x.x + xz + yx + yz + y.y + yx + zy + zx = 2\left( {z.z + zy + xz + xy} \right)\) \( \Leftrightarrow {x^2} + 2xz + 2xy + 2yz + {y^2} = 2{z^2} + 2zy + 2xz + 2xy\) \( \Leftrightarrow {x^2} + 2xz + 2xy + 2yz + {y^2} - 2{z^2} - 2zy - 2xz - 2xy = 0\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2{z^2} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 2{z^2}\\ \Leftrightarrow {z^2} = \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{2}\end{array}\)
Câu 25 :
Cho các số \(x,y,z\) tỉ lệ với các số \(a,b,c\). Khi đó \(\left( {{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}} \right)\left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right)\) bằng
Đáp án : D Phương pháp giải :
+ Sử dụng qui tắc nhân đa thức với đa thức \(\left( {A + B} \right)\left( {C + D} \right) = AC + AD + BC + BD\) và tính chất \(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c}\) để biến đổi \(\left( {{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}} \right)\left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right)\) Lời giải chi tiết :
Vì \(x,y,z\) tỉ lệ với các số \(a,b,c\) nên \(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c} = k\,\,\), suy ra \(x = ka;y = kb,z = kc\) Thay \(x = ka;y = kb,z = kc\) vào \(\left( {{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}} \right)\left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right)\) ta được \(\left[ {{{\left( {ka} \right)}^2} + 2\left( {k{b^2}} \right) + 3{{\left( {kc} \right)}^2}} \right]\left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right)\) \( = \left( {{k^2}{a^2} + 2{k^2}{b^2} + 3{k^2}{c^2}} \right)\left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right)\) \( = {k^2}\left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right)\left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right)\) \( = {k^2}{\left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right)^2} = {\left[ {k\left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right)} \right]^2}\) \( = {\left( {k{a^2} + 2k{b^2} + 3k{c^2}} \right)^2}\) \( = {\left( {ka.a + 2.kb.b + 3.kc.c} \right)^2}\) \( = {\left( {xa + 2yb + 3zc} \right)^2}\) do \(x = ka;y = kb,z = kc\) Vậy \(\left( {{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}} \right)\left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right) = {\left( {ax + 2by + 3cz} \right)^2}\)
|
