Trắc nghiệm Bài 4,5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp) Toán 8Đề bài
Câu 1 :
Chọn câu đúng.
Câu 2 :
Chọn câu sai.
Câu 3 :
Chọn câu đúng.
Câu 4 :
Viết biểu thức \({x^3} + 12{x^2} + 48x + 64\) dưới dạng lập phương của một tổng
Câu 5 :
Viết biểu thức \({x^3} - 6{x^2} + 12x - 8\) dưới dạng lập phương của một hiệu
Câu 6 :
Viết biểu thức \(\left( {x - 3y} \right)\left( {{x^2} + 3xy + 9{y^2}} \right)\) dưới dạng hiệu hai lập phương
Câu 7 :
Viết biểu thức \(\left( {{x^2} + 3} \right)\left( {{x^4} - 3{x^2} + 9} \right)\) dưới dạng tổng hai lập phương.
Câu 8 :
Tìm \(x\) biết \({x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 = 0\)
Câu 9 :
Cho \(x\) thỏa mãn \(\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right) - x\left( {{x^2} - 2} \right) = 14.\) Chọn câu đúng.
Câu 10 :
Cho biểu thức \(A = {x^3} - 3{x^2} + 3x\) . Tính giá trị của \(A\) khi \(x = 1001\)
Câu 11 :
Rút gọn biểu thức \(M = \left( {2x + 3} \right)\left( {4{x^2} - 6x + 9} \right) - 4\left( {2{x^3} - 3} \right)\) ta được giá trị của \(M\) là
Câu 12 :
Giá trị của biểu thức \(P = - 2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) + 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\) khi \(x + y = 1\) là
Câu 13 :
Cho \(P = {\left( {4x + 1} \right)^3} - \left( {4x + 3} \right)\left( {16{x^2} + 3} \right)\) và \(Q = {\left( {x - 2} \right)^3} - x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) + 6x\left( {x - 3} \right) + 5x\) Chọn câu đúng.
Câu 14 :
Giá trị của biểu thức \(E = (x + 1)({x^2} - x + 1) - (x - 1)({x^2} + x + 1)\) là:
Câu 15 :
Cho \(a + b + c = 0\) . Giá trị của biểu thức \(B = {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc\) bằng
Câu 16 :
Cho \(A = {1^3} + {2^3} + {3^3} + {4^3} + ... + {10^3}.\) Khi đó
Câu 17 :
Cho \(a,b,c\) là các số thỏa mãn điều kiện \(a = b + c.\) Khi đó
Câu 18 :
Cho \({\left( {a + b + c} \right)^2} + 12 = 4\left( {a + b + c} \right) + 2\left( {ab + bc + ca} \right)\). Khi đó
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Chọn câu đúng.
Đáp án : A Lời giải chi tiết :
Ta có \({\left( {A + B} \right)^3} \)\( = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\) nên phương án C sai, A đúng. \({\left( {A - B} \right)^3} \)\( = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}\) nên phương án B sai, D sai
Câu 2 :
Chọn câu sai.
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng công thức tổng hai lập phương và hiệu hai lập phương \({A^3} + {B^3} \)\( = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)\) \({A^3} - {B^3}\)\( = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\) Lời giải chi tiết :
Ta có \({A^3} + {B^3} \)\( = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)\) và \({A^3} - {B^3}\)\( = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\) nên A, B đúng. Vì \(A + B = B + A \) \( \Rightarrow {\left( {A + B} \right)^3} \)\( = {\left( {B + A} \right)^3}\) nên C đúng. Vì \(A - B = - \left( {B - A} \right)\) \( \Rightarrow {\left( {A - B} \right)^3} \)\( = - {\left( {B - A} \right)^3}\) nên D sai.
Câu 3 :
Chọn câu đúng.
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng công thức lập phương của một tổng \({\left( {A + B} \right)^3}\)\( = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\) và lập phương của một hiệu \({\left( {A - B} \right)^3}\)\( = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}\) Lời giải chi tiết :
Ta có \(8 + 12y + 6{y^2} + {y^3} \)\( = {2^3} + {3.2^2}y + 3.2.{y^2} + {y^3} \)\( = {\left( {2 + y} \right)^3} \ne \left( {8 + {y^3}} \right)\) nên A sai. +Xét \({\left( {2x - y} \right)^3} \)\( = {\left( {2x} \right)^3} - 3.{\left( {2x} \right)^2}.y + 3.2x.{y^2} - {y^3}\)\( = 8{x^3} - 12{x^2}y + 6xy - {y^3}\)\( \ne 2{x^3} - 6{x^2}y + 6xy - {y^3}\) nên C sai. + Xét \({\left( {3a + 1} \right)^3} \)\( = {\left( {3a} \right)^3} + 3.{\left( {3a} \right)^2}.1 + 3.3a{.1^2} + 1\)\( = 27{a^3} + 27{a^2} + 9a + 1 \)\( \ne 3{a^3} + 9{a^2} + 3a + 1\) nên D sai + Xét \({a^3} + 3{a^2} + 3a + 1 = {\left( {a + 1} \right)^3}\) nên B đúng.
Câu 4 :
Viết biểu thức \({x^3} + 12{x^2} + 48x + 64\) dưới dạng lập phương của một tổng
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng công thức lập phương của một tổng \({A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3} = {\left( {A + B} \right)^3}\) Lời giải chi tiết :
Ta có \({x^3} + 12{x^2} + 48x + 64 \)\(= {x^3} + 3{x^2}.4 + 3.x{.4^2} + {4^3} \)\(= {\left( {x + 4} \right)^3}\)
Câu 5 :
Viết biểu thức \({x^3} - 6{x^2} + 12x - 8\) dưới dạng lập phương của một hiệu
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng công thức lập phương của một hiệu \({A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3} = {\left( {A - B} \right)^3}\) Lời giải chi tiết :
Ta có \({x^3} - 6{x^2} + 12x - 8 \)\(= {x^3} - 3.{x^2}.2 + 3.x{.2^2} - {2^3} \)\(= {\left( {x - 2} \right)^3}\)
Câu 6 :
Viết biểu thức \(\left( {x - 3y} \right)\left( {{x^2} + 3xy + 9{y^2}} \right)\) dưới dạng hiệu hai lập phương
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng công thức hiệu hai lập phương \(\left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right) = {A^3} - {B^3}\) Lời giải chi tiết :
Ta có \(\left( {x - 3y} \right)\left( {{x^2} + 3xy + 9{y^2}} \right) = \left( {x - 3y} \right)\left( {x + x.3y + {{\left( {3y} \right)}^2}} \right) \)\(= {x^3} - {\left( {3y} \right)^3}\)
Câu 7 :
Viết biểu thức \(\left( {{x^2} + 3} \right)\left( {{x^4} - 3{x^2} + 9} \right)\) dưới dạng tổng hai lập phương.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng công thức hiệu hai lập phương \(\left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right) = {A^3} + {B^3}\) Lời giải chi tiết :
Ta có \(\left( {{x^2} + 3} \right)\left( {{x^4} - 3{x^2} + 9} \right)\)\( = \left( {{x^2} + 3} \right)\left( {{{\left( {{x^2}} \right)}^2} - 3.{x^2} + {3^2}} \right) = {\left( {{x^2}} \right)^3} + {3^3}\)
Câu 8 :
Tìm \(x\) biết \({x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 = 0\)
Đáp án : A Phương pháp giải :
Đưa vế trái về hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^3}\) Khi đó \({\left( {A + B} \right)^3} = 0 \Leftrightarrow A = - B\) Lời giải chi tiết :
Ta có \({x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^3} = 0 \) \(\Leftrightarrow x + 1 = 0 \) \(\Leftrightarrow x = - 1\) Vậy \(x = - 1\)
Câu 9 :
Cho \(x\) thỏa mãn \(\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right) - x\left( {{x^2} - 2} \right) = 14.\) Chọn câu đúng.
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương và phép nhân đa thức để biến đổi về dạng tìm \(x\) thường gặp. Lời giải chi tiết :
Ta có \(\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right) - x\left( {{x^2} - 2} \right) = 15\)$ \Leftrightarrow {x^3} + {2^3} - \left( {{x^3} - 2x} \right) = 14 $$\Leftrightarrow {x^3} + 8 - {x^3} + 2x = 14$ $ \Leftrightarrow 2x = 6 \Leftrightarrow x = 3$. Vậy \(x = 3\) .
Câu 10 :
Cho biểu thức \(A = {x^3} - 3{x^2} + 3x\) . Tính giá trị của \(A\) khi \(x = 1001\)
Đáp án : D Phương pháp giải :
+ Thêm bớt vào \(A\) để đưa được về hằng đẳng thức \({\left( {x - 1} \right)^3}\) . + Từ đó thay \(x = 1001\) vào biểu thức tìm được. Lời giải chi tiết :
Ta có \(A = {x^3} - 3{x^2} + 3x\)\( = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 + 1 \)\(= {\left( {x - 1} \right)^3} + 1\) Thay \(x = 1001\) vào \(A = {\left( {x - 1} \right)^3} + 1\) ta được \(A = {\left( {1001 - 1} \right)^3} + 1 \) suy ra \(A= {1000^3} + 1\)
Câu 11 :
Rút gọn biểu thức \(M = \left( {2x + 3} \right)\left( {4{x^2} - 6x + 9} \right) - 4\left( {2{x^3} - 3} \right)\) ta được giá trị của \(M\) là
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng hằng đẳng thức \(\left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right) = {A^3} + {B^3}\) để phân tích và rút gọn \(M\) Lời giải chi tiết :
Ta có \(M = \left( {2x + 3} \right)\left( {4{x^2} - 6x + 9} \right) - 4\left( {2{x^3} - 3} \right)\)\( = \left( {2x + 3} \right)\left[ {{{\left( {2x} \right)}^2} - 2x.3 + {3^2}} \right] - 8{x^3} + 12\) \( = {\left( {2x} \right)^3} + {3^3} - 8{x^3} + 12 = 8{x^3} + 27 - 8{x^3} + 12 = 39\). Vậy giá trị của \(M\) là một số lẻ.
Câu 12 :
Giá trị của biểu thức \(P = - 2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) + 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\) khi \(x + y = 1\) là
Đáp án : B Phương pháp giải :
Dùng các hằng đẳng thức đã biết ${A^3} + {B^3} = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right);$ \({\left( {A + B} \right)^3} \)\(= {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\) và \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) để biến đổi \(P\) về các biểu thức chứa \(x + y\) để sử dụng giả thiết \(x + y = 1\). Lời giải chi tiết :
Ta có \({\left( {x + y} \right)^3} = {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3} \)\(\Leftrightarrow {x^3} + {y^3} \)\(= {\left( {x + y} \right)^3} - \left( {3{x^2}y + 3x{y^2}} \right)\)\( = {\left( {x + y} \right)^3} - 3xy\left( {x + y} \right)\) Và \({\left( {x + y} \right)^2} \)\(= {x^2} + 2xy + {y^2} \)\(\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \)\(= {\left( {x + y} \right)^2} - 2xy\) Khi đó \(P = - 2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) + 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\)\( = - 2\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^3} - 3xy\left( {x + y} \right)} \right] + 3\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 2xy} \right]\) Vì \(x + y = 1\) nên ta có \(P = - 2\left( {1 - 3xy} \right) + 3\left( {1 - 2xy} \right) \)\(= - 2 + 6xy + 3 - 6xy = 1\) Vậy \(P = 1.\)
Câu 13 :
Cho \(P = {\left( {4x + 1} \right)^3} - \left( {4x + 3} \right)\left( {16{x^2} + 3} \right)\) và \(Q = {\left( {x - 2} \right)^3} - x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) + 6x\left( {x - 3} \right) + 5x\) Chọn câu đúng.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Dùng hằng đẳng thức và phép nhân đa thức để khai triển và rút gọn \(P\) và \(Q\) . Sau đó tìm mối quan hệ giữa \(P\) và \(Q\). Lời giải chi tiết :
Ta có \(P = {\left( {4x + 1} \right)^3} - \left( {4x + 3} \right)\left( {16{x^2} + 3} \right)\)\( = {\left( {4x} \right)^3} + 3.{\left( {4x} \right)^2}.1 + 3.4x{.1^2} + {1^3} - \left( {64{x^3} + 12x + 48{x^2} + 9} \right)\) \( = 64{x^3} + 48{x^2} + 12x + 1 - 64{x^3} - 12x - 48{x^2} - 9= - 8\) nên \(P = - 8\) + \(Q = {\left( {x - 2} \right)^3} - x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) + 6x\left( {x - 3} \right) + 5x\)\( = {x^3} - 3.{x^2}.2 + 3x{.2^2} - {2^3} - x\left( {{x^2} - 1} \right) + 6{x^2} - 18x + 5x\) \( = {x^3} - 6{x^2} + 12x - 8 - {x^3} + x + 6{x^2} - 18x + 5x = - 8\)\( \Rightarrow Q = - 8\) Vậy \(P = Q\) .
Câu 14 :
Giá trị của biểu thức \(E = (x + 1)({x^2} - x + 1) - (x - 1)({x^2} + x + 1)\) là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Dùng hằng đẳng thức \({A^3} + {B^3} \)\(= \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)\)và \({A^3} - {B^3} \)\(= \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\)để biến đổi và rút gọn \(E\) . Lời giải chi tiết :
Ta có \(E = (x + 1)({x^2} - x + 1) - (x - 1)({x^2} + x + 1)\)\( = {x^3} + 1 - \left( {{x^3} - 1} \right) \)\(= {x^3} + 1 - {x^3} + 1 = 2\) Vậy \(E = 2\) .
Câu 15 :
Cho \(a + b + c = 0\) . Giá trị của biểu thức \(B = {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc\) bằng
Đáp án : A Phương pháp giải :
+ Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^3} \)\(= {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\) và \({A^3} + {B^3} \)\(= \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)\) để phân tích \(B\) về biểu thức chứa \(a + b + c\) . + Từ đó thay \(a + b + c = 0\) để tính giá trị biểu thức. Lời giải chi tiết :
Ta có \({\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} = {a^3} + {b^3} + 3ab\left( {a + b} \right)\)\( \Rightarrow {a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right)\) Từ đó \(B = {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc\)\( = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right) + {c^3} - 3abc\)\( = \left[ {{{\left( {a + b} \right)}^3} + {c^3}} \right] - 3ab\left( {a + b + c} \right)\) \( = \left( {a + b + c} \right)\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - \left( {a + b} \right)c + {c^2}} \right] - 3ab\left( {a + b + c} \right)\) Mà \(a + b + c = 0\) nên \(B = 0.\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - \left( {a + b} \right)c + {c^2}} \right] - 3ab.0 = 0\) Vậy \(B = 0\) .
Câu 16 :
Cho \(A = {1^3} + {2^3} + {3^3} + {4^3} + ... + {10^3}.\) Khi đó
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng \({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\) với \(a,b\) nguyên thì \({a^3} + {b^3}\) chia hết cho \(\left( {a + b} \right)\) Nếu \(a\,\, \vdots \,m,\,b\,\, \vdots \,\,m\) thì \(\left( {a + b} \right)\,\, \vdots \,\,m\) Lời giải chi tiết :
Ta có \(A = {1^3} + {2^3} + {3^3} + {4^3} + {5^3} + {6^3} + {7^3} + {8^3} + {9^3} + {10^3}\) \( = \left( {{1^3} + {{10}^3}} \right) + \left( {{2^3} + {9^3}} \right) + \left( {{3^3} + {8^3}} \right) + \left( {{4^3} + {7^3}} \right) + \left( {{5^3} + {6^3}} \right)\) \( = 11\left( {{1^2} - 10 + {{10}^2}} \right) + 11\left( {{2^2} - 2.9 + {9^2}} \right) + ... + 11\left( {{5^2} - 5.6 + {6^2}} \right)\) Vì mỗi số hạng trong tổng trên đều chia hết cho \(11\) nên \(A\, \vdots \,11.\) Lại có \(A = {1^3} + {2^3} + {3^3} + {4^3} + {5^3} + {6^3} + {7^3} + {8^3} + {9^3} + {10^3}\) \( = \left( {{1^3} + {9^3}} \right) + \left( {{2^3} + {8^3}} \right) + \left( {{3^3} + {7^3}} \right) + \left( {{4^3} + {6^3}} \right) + \left( {{5^3} + {{10}^3}} \right)\) \( = 10\left( {{1^2} - 9 + {9^2}} \right) + 10\left( {{2^2} - 2.8 + {8^2}} \right) + ... + {5^3} + {10^3}\) Vì mỗi số hạng trong tổng trên đều chia hết cho \(5\) nên \(A\, \vdots \,5.\) Vậy \(A\) chia hết cho cả \(5\) và \(11.\)
Câu 17 :
Cho \(a,b,c\) là các số thỏa mãn điều kiện \(a = b + c.\) Khi đó
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng hằng đẳng thức \({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\) và dữ kiện đề bài để biến đổi Lời giải chi tiết :
Ta có \({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\) mà \(a = b + c\) nên \({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\) \( = \left( {a + b} \right)\left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2} - \left( {b + c} \right)b + {b^2}} \right]\) \( = \left( {a + b} \right)\left( {{b^2} + 2bc + {c^2} - {b^2} - bc + {b^2}} \right)\) \( = \left( {a + b} \right)\left( {{b^2} + bc + {c^2}} \right)\) Tương tự ta có \({a^3} + {c^3} = \left( {a + c} \right)\left( {{a^2} - ac + {c^2}} \right)\) \( = \left( {a + c} \right)\left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2} - \left( {b + c} \right)c + {c^2}} \right]\) \( = \left( {a + c} \right)\left( {{b^2} + 2bc + {c^2} - {c^2} - bc + {c^2}} \right)\) \( = \left( {a + c} \right)\left( {{b^2} + bc + {c^2}} \right)\) Từ đó ta có \(\dfrac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^3} + {c^3}}} = \dfrac{{\left( {a + b} \right)\left( {{b^2} + bc + {c^2}} \right)}}{{\left( {a + c} \right)\left( {{b^2} + bc + {c^2}} \right)}} = \dfrac{{a + b}}{{a + c}}\)
Câu 18 :
Cho \({\left( {a + b + c} \right)^2} + 12 = 4\left( {a + b + c} \right) + 2\left( {ab + bc + ca} \right)\). Khi đó
Đáp án : D Phương pháp giải :
Biến đổi giả thiết bằng cách sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right)\) \({\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\) Từ đó đưa về dạng \({A^2} + {B^2} + {C^2} = 0 \Leftrightarrow A = B = C = 0\) Lời giải chi tiết :
Ta có \({\left( {a + b + c} \right)^2} + 12 = 4\left( {a + b + c} \right) + 2\left( {ab + bc + ca} \right)\) \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right) + 12 = 4\left( {a + b + c} \right) + 2\left( {ab + ac + bc} \right)\) \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 4a - 4b - 4c + 12 = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {{a^2} - 4a + 4} \right) + \left( {{b^2} - 4b + 4} \right) + \left( {{c^2} - 4c + 4} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c - 2} \right)^2} = 0\) Mà \({\left( {a - 2} \right)^2} \ge 0;\,{\left( {b - 2} \right)^2} \ge 0;{\left( {c - 2} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a,b,c.\) Nên \({\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c - 2} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a,b,c\) Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}a - 2 = 0\\b - 2 = 0\\c - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 2\\c = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = 2\)
|
