Trắc nghiệm Bài 4,5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp) Toán 8

Đề bài

Câu 1 :

Chọn câu đúng.

  • A

    ${\left( {A + B} \right)^3} $$= {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}$

  • B

    ${\left( {A - B} \right)^3}$$ = {A^3} - 3{A^2}B - 3A{B^2} - {B^3}$

  • C

    ${\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + {B^3}$

  • D

    ${\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - {B^3}$

Câu 2 :

Chọn câu sai.

  • A

    \({A^3} + {B^3} \)\( = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)\)

  • B

    \({A^3} - {B^3} \)\( = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\)

  • C

    ${\left( {A + B} \right)^3} $$= {\left( {B + A} \right)^3}$

  • D

    ${\left( {A - B} \right)^3} = {\left( {B - A} \right)^3}$

Câu 3 :

Chọn câu đúng.

  • A

    \(8 + 12y + 6{y^2} + {y^3} = \left( {8 + {y^3}} \right)\).

  • B

     \({a^3} + 3{a^2} + 3a + 1 = {\left( {a + 1} \right)^3}\).

  • C

    \({\left( {2x - y} \right)^3} = 2{x^3} - 6{x^2}y + 6xy - {y^3}\).

  • D

    \({\left( {3a + 1} \right)^3} = 3{a^3} + 9{a^2} + 3a + 1\).

Câu 4 :

Viết biểu thức \({x^3} + 12{x^2} + 48x + 64\) dưới dạng lập phương của một tổng

  • A

    \({\left( {x + 4} \right)^3}\).

  • B

    \({\left( {x - 4} \right)^3}\).

  • C

    \({\left( {x - 8} \right)^3}\).

  • D

    \({\left( {x + 8} \right)^3}\).

Câu 5 :

Viết biểu thức \({x^3} - 6{x^2} + 12x - 8\) dưới dạng lập phương của một hiệu

  • A

    \({\left( {x + 4} \right)^3}\).

  • B

    \({\left( {x - 4} \right)^3}\).

  • C

    \({\left( {x + 2} \right)^3}\).

  • D

    \({\left( {x - 2} \right)^3}\).

Câu 6 :

Viết biểu thức \(\left( {x - 3y} \right)\left( {{x^2} + 3xy + 9{y^2}} \right)\) dưới dạng hiệu hai lập phương

  • A

    \({x^3} + {\left( {3y} \right)^3}\).

  • B

    \({x^3} + {\left( {9y} \right)^3}\).

  • C

     \({x^3} - {\left( {3y} \right)^3}\).

  • D

    \({x^3} - {\left( {9y} \right)^3}\).

Câu 7 :

Viết biểu thức \(\left( {{x^2} + 3} \right)\left( {{x^4} - 3{x^2} + 9} \right)\) dưới dạng tổng hai lập phương.

  • A

    \({\left( {{x^2}} \right)^3} + {3^3}\).

  • B

    \({\left( {{x^2}} \right)^3} - {3^3}\).

  • C

    \({\left( {{x^2}} \right)^3} + {9^3}\).

  • D

    \({\left( {{x^2}} \right)^3} - {9^3}\).

Câu 8 :

Tìm \(x\) biết \({x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 = 0\)

  • A

    \(x =  - 1\).

  • B

    \(x = 1\).

  • C

    \(x =  - 2\).

  • D

    \(x = 0\).

Câu 9 :

Cho \(x\) thỏa mãn  \(\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right) - x\left( {{x^2} - 2} \right) = 14.\) Chọn câu đúng.

  • A

    \(x =  - 3\).

  • B

    \(x = 11\).

  • C

    \(x = 3\).

  • D

    \(x = 4\).

Câu 10 :

Cho biểu thức \(A = {x^3} - 3{x^2} + 3x\) . Tính giá trị của \(A\) khi \(x = 1001\)

  • A

    \(A = {1000^3}\)

  • B

    \(A = 1001\)

  • C

    \(A = {1000^3} - 1\)  

  • D

    \(A = {1000^3} + 1\)

Câu 11 :

Rút gọn biểu thức \(M = \left( {2x + 3} \right)\left( {4{x^2} - 6x + 9} \right) - 4\left( {2{x^3} - 3} \right)\) ta được giá trị của \(M\) là

  • A

    Một số lẻ

  • B

    Một số chẵn   

  • C

    Một số chính phương

  • D

    Một số chia hết cho \(5\)

Câu 12 :

Giá trị của biểu thức \(P =  - 2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) + 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\) khi \(x + y = 1\) là

  • A

    \(P = 3\)

  • B

    \(P = 1\)

  • C

    \(P = 5\)

  • D

    \(P = 0\)

Câu 13 :

Cho \(P = {\left( {4x + 1} \right)^3} - \left( {4x + 3} \right)\left( {16{x^2} + 3} \right)\) và \(Q = {\left( {x - 2} \right)^3} - x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) + 6x\left( {x - 3} \right) + 5x\)

Chọn câu đúng.

  • A

    \(P = Q\)

  • B

    \(P < Q\)

  • C

    $P > Q$

  • D

    $P = 2Q$

Câu 14 :

Giá trị của biểu thức \(E = (x + 1)({x^2} - x + 1) - (x - 1)({x^2} + x + 1)\) là:

  • A

    $2$

  • B

    $3$

  • C

    $1$

  • D

    $4$

Câu 15 :

Cho \(a + b + c = 0\) .  Giá trị của biểu thức \(B = {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc\) bằng

  • A

    \(B = 0\)

  • B

    \(B = 1\)

  • C

    \(B = 2\)

  • D

    \(B = 3\)

Câu 16 :

Cho \(A = {1^3} + {2^3} + {3^3} + {4^3} + ... + {10^3}.\) Khi đó

  • A

    \(A\) chia hết cho \(11\)

  • B

    \(A\) chia hết cho \(5\)

  • C

    Cả A, B đều đúng

  • D

    Cả A, B đều sai

Câu 17 :

Cho \(a,b,c\) là các số thỏa mãn điều kiện \(a = b + c.\) Khi đó

  • A

    \(\dfrac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^3} + {c^3}}} = \dfrac{{a + b}}{{a + c}}\)    

  • B

    \(\dfrac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^3} + {c^3}}} = \dfrac{{a + c}}{{a + b}}\)

  • C

    \(\dfrac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^3} + {c^3}}} = \dfrac{{b + c}}{{a + b}}\)    

  • D

    \(\dfrac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^3} + {c^3}}} = \dfrac{{b + c}}{{a + c}}\)

Câu 18 :

Cho \({\left( {a + b + c} \right)^2} + 12 = 4\left( {a + b + c} \right) + 2\left( {ab + bc + ca} \right)\). Khi đó

  • A

    \(a = b = 2c\)  

  • B

    \(a = b = c\)

  • C

    \(a = 2b = c\)  

  • D

    \(a = b = c = 2\)

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Chọn câu đúng.

  • A

    ${\left( {A + B} \right)^3} $$= {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}$

  • B

    ${\left( {A - B} \right)^3}$$ = {A^3} - 3{A^2}B - 3A{B^2} - {B^3}$

  • C

    ${\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + {B^3}$

  • D

    ${\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - {B^3}$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Ta có

\({\left( {A + B} \right)^3} \)\( = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\) nên phương án C sai, A đúng.

\({\left( {A - B} \right)^3} \)\( = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}\) nên phương án B sai, D sai

Câu 2 :

Chọn câu sai.

  • A

    \({A^3} + {B^3} \)\( = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)\)

  • B

    \({A^3} - {B^3} \)\( = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\)

  • C

    ${\left( {A + B} \right)^3} $$= {\left( {B + A} \right)^3}$

  • D

    ${\left( {A - B} \right)^3} = {\left( {B - A} \right)^3}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tổng hai lập phương và hiệu hai lập phương

\({A^3} + {B^3} \)\( = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)\)

\({A^3} - {B^3}\)\( = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\)

Lời giải chi tiết :

Ta có \({A^3} + {B^3} \)\( = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)\) và \({A^3} - {B^3}\)\( = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\) nên A, B  đúng.

Vì \(A + B = B + A \)

\( \Rightarrow {\left( {A + B} \right)^3} \)\( = {\left( {B + A} \right)^3}\) nên C đúng.

Vì \(A - B =  - \left( {B - A} \right)\)

\( \Rightarrow {\left( {A - B} \right)^3} \)\( =  - {\left( {B - A} \right)^3}\) nên D sai.

Câu 3 :

Chọn câu đúng.

  • A

    \(8 + 12y + 6{y^2} + {y^3} = \left( {8 + {y^3}} \right)\).

  • B

     \({a^3} + 3{a^2} + 3a + 1 = {\left( {a + 1} \right)^3}\).

  • C

    \({\left( {2x - y} \right)^3} = 2{x^3} - 6{x^2}y + 6xy - {y^3}\).

  • D

    \({\left( {3a + 1} \right)^3} = 3{a^3} + 9{a^2} + 3a + 1\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức lập phương của một tổng

\({\left( {A + B} \right)^3}\)\( = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\)

 và lập phương của một hiệu

\({\left( {A - B} \right)^3}\)\( = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}\)

Lời giải chi tiết :

Ta có \(8 + 12y + 6{y^2} + {y^3} \)\( = {2^3} + {3.2^2}y + 3.2.{y^2} + {y^3} \)\( = {\left( {2 + y} \right)^3} \ne \left( {8 + {y^3}} \right)\) nên A sai.

+Xét  \({\left( {2x - y} \right)^3} \)\( = {\left( {2x} \right)^3} - 3.{\left( {2x} \right)^2}.y + 3.2x.{y^2} - {y^3}\)\( = 8{x^3} - 12{x^2}y + 6xy - {y^3}\)\( \ne 2{x^3} - 6{x^2}y + 6xy - {y^3}\) nên C sai.

+ Xét \({\left( {3a + 1} \right)^3} \)\( = {\left( {3a} \right)^3} + 3.{\left( {3a} \right)^2}.1 + 3.3a{.1^2} + 1\)\( = 27{a^3} + 27{a^2} + 9a + 1 \)\( \ne 3{a^3} + 9{a^2} + 3a + 1\) nên D sai

+ Xét \({a^3} + 3{a^2} + 3a + 1 = {\left( {a + 1} \right)^3}\) nên B đúng.

Câu 4 :

Viết biểu thức \({x^3} + 12{x^2} + 48x + 64\) dưới dạng lập phương của một tổng

  • A

    \({\left( {x + 4} \right)^3}\).

  • B

    \({\left( {x - 4} \right)^3}\).

  • C

    \({\left( {x - 8} \right)^3}\).

  • D

    \({\left( {x + 8} \right)^3}\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức lập phương của một tổng \({A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3} = {\left( {A + B} \right)^3}\)

Lời giải chi tiết :

Ta có \({x^3} + 12{x^2} + 48x + 64 \)\(= {x^3} + 3{x^2}.4 + 3.x{.4^2} + {4^3} \)\(= {\left( {x + 4} \right)^3}\)

Câu 5 :

Viết biểu thức \({x^3} - 6{x^2} + 12x - 8\) dưới dạng lập phương của một hiệu

  • A

    \({\left( {x + 4} \right)^3}\).

  • B

    \({\left( {x - 4} \right)^3}\).

  • C

    \({\left( {x + 2} \right)^3}\).

  • D

    \({\left( {x - 2} \right)^3}\).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức lập phương của một hiệu \({A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3} = {\left( {A - B} \right)^3}\)

Lời giải chi tiết :

Ta có \({x^3} - 6{x^2} + 12x - 8 \)\(= {x^3} - 3.{x^2}.2 + 3.x{.2^2} - {2^3} \)\(= {\left( {x - 2} \right)^3}\)

Câu 6 :

Viết biểu thức \(\left( {x - 3y} \right)\left( {{x^2} + 3xy + 9{y^2}} \right)\) dưới dạng hiệu hai lập phương

  • A

    \({x^3} + {\left( {3y} \right)^3}\).

  • B

    \({x^3} + {\left( {9y} \right)^3}\).

  • C

     \({x^3} - {\left( {3y} \right)^3}\).

  • D

    \({x^3} - {\left( {9y} \right)^3}\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức hiệu hai lập phương \(\left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right) = {A^3} - {B^3}\)

Lời giải chi tiết :

Ta có \(\left( {x - 3y} \right)\left( {{x^2} + 3xy + 9{y^2}} \right) = \left( {x - 3y} \right)\left( {x + x.3y + {{\left( {3y} \right)}^2}} \right) \)\(= {x^3} - {\left( {3y} \right)^3}\)

Câu 7 :

Viết biểu thức \(\left( {{x^2} + 3} \right)\left( {{x^4} - 3{x^2} + 9} \right)\) dưới dạng tổng hai lập phương.

  • A

    \({\left( {{x^2}} \right)^3} + {3^3}\).

  • B

    \({\left( {{x^2}} \right)^3} - {3^3}\).

  • C

    \({\left( {{x^2}} \right)^3} + {9^3}\).

  • D

    \({\left( {{x^2}} \right)^3} - {9^3}\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức hiệu hai lập phương \(\left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right) = {A^3} + {B^3}\)

Lời giải chi tiết :

Ta có \(\left( {{x^2} + 3} \right)\left( {{x^4} - 3{x^2} + 9} \right)\)\( = \left( {{x^2} + 3} \right)\left( {{{\left( {{x^2}} \right)}^2} - 3.{x^2} + {3^2}} \right) = {\left( {{x^2}} \right)^3} + {3^3}\)

Câu 8 :

Tìm \(x\) biết \({x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 = 0\)

  • A

    \(x =  - 1\).

  • B

    \(x = 1\).

  • C

    \(x =  - 2\).

  • D

    \(x = 0\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Đưa vế trái về hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^3}\)

Khi đó \({\left( {A + B} \right)^3} = 0 \Leftrightarrow A =  - B\)

Lời giải chi tiết :

Ta có

\({x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^3} = 0 \)

\(\Leftrightarrow x + 1 = 0 \)

\(\Leftrightarrow x =  - 1\)

Vậy \(x =  - 1\)

Câu 9 :

Cho \(x\) thỏa mãn  \(\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right) - x\left( {{x^2} - 2} \right) = 14.\) Chọn câu đúng.

  • A

    \(x =  - 3\).

  • B

    \(x = 11\).

  • C

    \(x = 3\).

  • D

    \(x = 4\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương và phép nhân đa thức để biến đổi về dạng tìm \(x\) thường gặp.

Lời giải chi tiết :

Ta có \(\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right) - x\left( {{x^2} - 2} \right) = 15\)$ \Leftrightarrow {x^3} + {2^3} - \left( {{x^3} - 2x} \right) = 14 $$\Leftrightarrow {x^3} + 8 - {x^3} + 2x = 14$

$ \Leftrightarrow 2x = 6 \Leftrightarrow x = 3$.

Vậy \(x = 3\) .

Câu 10 :

Cho biểu thức \(A = {x^3} - 3{x^2} + 3x\) . Tính giá trị của \(A\) khi \(x = 1001\)

  • A

    \(A = {1000^3}\)

  • B

    \(A = 1001\)

  • C

    \(A = {1000^3} - 1\)  

  • D

    \(A = {1000^3} + 1\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Thêm bớt vào \(A\) để đưa được về hằng đẳng thức \({\left( {x - 1} \right)^3}\) .

+ Từ đó thay \(x = 1001\) vào biểu thức tìm được.

Lời giải chi tiết :

Ta có \(A = {x^3} - 3{x^2} + 3x\)\( = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 + 1 \)\(= {\left( {x - 1} \right)^3} + 1\)

Thay \(x = 1001\) vào \(A = {\left( {x - 1} \right)^3} + 1\) ta được \(A = {\left( {1001 - 1} \right)^3} + 1 \) suy ra \(A= {1000^3} + 1\)

Câu 11 :

Rút gọn biểu thức \(M = \left( {2x + 3} \right)\left( {4{x^2} - 6x + 9} \right) - 4\left( {2{x^3} - 3} \right)\) ta được giá trị của \(M\) là

  • A

    Một số lẻ

  • B

    Một số chẵn   

  • C

    Một số chính phương

  • D

    Một số chia hết cho \(5\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức \(\left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right) = {A^3} + {B^3}\) để phân tích và rút gọn \(M\)

Lời giải chi tiết :

Ta có \(M = \left( {2x + 3} \right)\left( {4{x^2} - 6x + 9} \right) - 4\left( {2{x^3} - 3} \right)\)\( = \left( {2x + 3} \right)\left[ {{{\left( {2x} \right)}^2} - 2x.3 + {3^2}} \right] - 8{x^3} + 12\)

\( = {\left( {2x} \right)^3} + {3^3} - 8{x^3} + 12 = 8{x^3} + 27 - 8{x^3} + 12 = 39\).

Vậy giá trị của \(M\) là một số lẻ.

Câu 12 :

Giá trị của biểu thức \(P =  - 2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) + 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\) khi \(x + y = 1\) là

  • A

    \(P = 3\)

  • B

    \(P = 1\)

  • C

    \(P = 5\)

  • D

    \(P = 0\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Dùng các hằng đẳng thức đã biết  ${A^3} + {B^3} = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right);$ \({\left( {A + B} \right)^3} \)\(= {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\) và \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) để biến đổi \(P\) về các biểu thức chứa \(x + y\) để sử dụng  giả thiết \(x + y = 1\).

Lời giải chi tiết :

Ta có \({\left( {x + y} \right)^3} = {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3} \)\(\Leftrightarrow {x^3} + {y^3} \)\(= {\left( {x + y} \right)^3} - \left( {3{x^2}y + 3x{y^2}} \right)\)\( = {\left( {x + y} \right)^3} - 3xy\left( {x + y} \right)\)

Và \({\left( {x + y} \right)^2} \)\(= {x^2} + 2xy + {y^2} \)\(\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \)\(= {\left( {x + y} \right)^2} - 2xy\)

Khi đó \(P =  - 2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) + 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\)\( =  - 2\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^3} - 3xy\left( {x + y} \right)} \right] + 3\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 2xy} \right]\)

Vì \(x + y = 1\) nên ta có \(P =  - 2\left( {1 - 3xy} \right) + 3\left( {1 - 2xy} \right) \)\(=  - 2 + 6xy + 3 - 6xy = 1\)

Vậy \(P = 1.\)

Câu 13 :

Cho \(P = {\left( {4x + 1} \right)^3} - \left( {4x + 3} \right)\left( {16{x^2} + 3} \right)\) và \(Q = {\left( {x - 2} \right)^3} - x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) + 6x\left( {x - 3} \right) + 5x\)

Chọn câu đúng.

  • A

    \(P = Q\)

  • B

    \(P < Q\)

  • C

    $P > Q$

  • D

    $P = 2Q$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Dùng hằng đẳng thức và phép nhân đa thức để khai triển và rút gọn \(P\) và \(Q\) .

Sau đó tìm mối quan hệ giữa \(P\) và \(Q\).

Lời giải chi tiết :

Ta có \(P = {\left( {4x + 1} \right)^3} - \left( {4x + 3} \right)\left( {16{x^2} + 3} \right)\)\( = {\left( {4x} \right)^3} + 3.{\left( {4x} \right)^2}.1 + 3.4x{.1^2} + {1^3} - \left( {64{x^3} + 12x + 48{x^2} + 9} \right)\)

\( = 64{x^3} + 48{x^2} + 12x + 1 - 64{x^3} - 12x - 48{x^2} - 9=  - 8\) nên \(P =  - 8\)

+ \(Q = {\left( {x - 2} \right)^3} - x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) + 6x\left( {x - 3} \right) + 5x\)\( = {x^3} - 3.{x^2}.2 + 3x{.2^2} - {2^3} - x\left( {{x^2} - 1} \right) + 6{x^2} - 18x + 5x\)

\( = {x^3} - 6{x^2} + 12x - 8 - {x^3} + x + 6{x^2} - 18x + 5x =  - 8\)\( \Rightarrow Q =  - 8\)

Vậy \(P = Q\) .

Câu 14 :

Giá trị của biểu thức \(E = (x + 1)({x^2} - x + 1) - (x - 1)({x^2} + x + 1)\) là:

  • A

    $2$

  • B

    $3$

  • C

    $1$

  • D

    $4$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Dùng hằng đẳng thức

\({A^3} + {B^3} \)\(= \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)\)và

\({A^3} - {B^3} \)\(= \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\)để  biến đổi và rút gọn \(E\) .

Lời giải chi tiết :

Ta có \(E = (x + 1)({x^2} - x + 1) - (x - 1)({x^2} + x + 1)\)\( = {x^3} + 1 - \left( {{x^3} - 1} \right) \)\(= {x^3} + 1 - {x^3} + 1 = 2\)

Vậy \(E = 2\) .

Câu 15 :

Cho \(a + b + c = 0\) .  Giá trị của biểu thức \(B = {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc\) bằng

  • A

    \(B = 0\)

  • B

    \(B = 1\)

  • C

    \(B = 2\)

  • D

    \(B = 3\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Sử dụng hằng đẳng thức

\({\left( {A + B} \right)^3} \)\(= {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\) và

\({A^3} + {B^3} \)\(= \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)\) để phân tích \(B\) về biểu thức chứa \(a + b + c\) .

+ Từ đó thay \(a + b + c = 0\) để tính giá trị biểu thức.

Lời giải chi tiết :

Ta có \({\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} = {a^3} + {b^3} + 3ab\left( {a + b} \right)\)\( \Rightarrow {a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right)\)

Từ đó \(B = {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc\)\( = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right) + {c^3} - 3abc\)\( = \left[ {{{\left( {a + b} \right)}^3} + {c^3}} \right] - 3ab\left( {a + b + c} \right)\)

\( = \left( {a + b + c} \right)\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - \left( {a + b} \right)c + {c^2}} \right] - 3ab\left( {a + b + c} \right)\)

Mà \(a + b + c = 0\) nên \(B = 0.\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - \left( {a + b} \right)c + {c^2}} \right] - 3ab.0 = 0\)

Vậy \(B = 0\) .

Câu 16 :

Cho \(A = {1^3} + {2^3} + {3^3} + {4^3} + ... + {10^3}.\) Khi đó

  • A

    \(A\) chia hết cho \(11\)

  • B

    \(A\) chia hết cho \(5\)

  • C

    Cả A, B đều đúng

  • D

    Cả A, B đều sai

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng  \({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\)  với \(a,b\) nguyên thì \({a^3} + {b^3}\) chia hết cho \(\left( {a + b} \right)\)

Nếu \(a\,\, \vdots \,m,\,b\,\, \vdots \,\,m\) thì \(\left( {a + b} \right)\,\, \vdots \,\,m\)

Lời giải chi tiết :

Ta có \(A = {1^3} + {2^3} + {3^3} + {4^3} + {5^3} + {6^3} + {7^3} + {8^3} + {9^3} + {10^3}\)

\( = \left( {{1^3} + {{10}^3}} \right) + \left( {{2^3} + {9^3}} \right) + \left( {{3^3} + {8^3}} \right) + \left( {{4^3} + {7^3}} \right) + \left( {{5^3} + {6^3}} \right)\)

\( = 11\left( {{1^2} - 10 + {{10}^2}} \right) + 11\left( {{2^2} - 2.9 + {9^2}} \right) + ... + 11\left( {{5^2} - 5.6 + {6^2}} \right)\)

Vì mỗi số hạng trong tổng trên đều chia hết cho \(11\) nên \(A\, \vdots \,11.\)

Lại có \(A = {1^3} + {2^3} + {3^3} + {4^3} + {5^3} + {6^3} + {7^3} + {8^3} + {9^3} + {10^3}\)

\( = \left( {{1^3} + {9^3}} \right) + \left( {{2^3} + {8^3}} \right) + \left( {{3^3} + {7^3}} \right) + \left( {{4^3} + {6^3}} \right) + \left( {{5^3} + {{10}^3}} \right)\)

\( = 10\left( {{1^2} - 9 + {9^2}} \right) + 10\left( {{2^2} - 2.8 + {8^2}} \right) + ... + {5^3} + {10^3}\)

Vì mỗi số hạng trong tổng trên đều chia hết cho \(5\) nên \(A\, \vdots \,5.\)

Vậy \(A\) chia hết cho cả \(5\) và \(11.\)

Câu 17 :

Cho \(a,b,c\) là các số thỏa mãn điều kiện \(a = b + c.\) Khi đó

  • A

    \(\dfrac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^3} + {c^3}}} = \dfrac{{a + b}}{{a + c}}\)    

  • B

    \(\dfrac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^3} + {c^3}}} = \dfrac{{a + c}}{{a + b}}\)

  • C

    \(\dfrac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^3} + {c^3}}} = \dfrac{{b + c}}{{a + b}}\)    

  • D

    \(\dfrac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^3} + {c^3}}} = \dfrac{{b + c}}{{a + c}}\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức \({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\) và dữ kiện đề bài để biến đổi

Lời giải chi tiết :

Ta có \({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\)  mà \(a = b + c\) nên

 \({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\)

\( = \left( {a + b} \right)\left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2} - \left( {b + c} \right)b + {b^2}} \right]\)

\( = \left( {a + b} \right)\left( {{b^2} + 2bc + {c^2} - {b^2} - bc + {b^2}} \right)\)

\( = \left( {a + b} \right)\left( {{b^2} + bc + {c^2}} \right)\)

Tương tự ta có

\({a^3} + {c^3} = \left( {a + c} \right)\left( {{a^2} - ac + {c^2}} \right)\)

\( = \left( {a + c} \right)\left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2} - \left( {b + c} \right)c + {c^2}} \right]\)

\( = \left( {a + c} \right)\left( {{b^2} + 2bc + {c^2} - {c^2} - bc + {c^2}} \right)\)

\( = \left( {a + c} \right)\left( {{b^2} + bc + {c^2}} \right)\)

Từ đó ta có \(\dfrac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^3} + {c^3}}} = \dfrac{{\left( {a + b} \right)\left( {{b^2} + bc + {c^2}} \right)}}{{\left( {a + c} \right)\left( {{b^2} + bc + {c^2}} \right)}} = \dfrac{{a + b}}{{a + c}}\)

Câu 18 :

Cho \({\left( {a + b + c} \right)^2} + 12 = 4\left( {a + b + c} \right) + 2\left( {ab + bc + ca} \right)\). Khi đó

  • A

    \(a = b = 2c\)  

  • B

    \(a = b = c\)

  • C

    \(a = 2b = c\)  

  • D

    \(a = b = c = 2\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Biến đổi giả thiết bằng cách sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right)\)

\({\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\)

Từ đó đưa về dạng \({A^2} + {B^2} + {C^2} = 0 \Leftrightarrow A = B = C = 0\)

Lời giải chi tiết :

Ta có \({\left( {a + b + c} \right)^2} + 12 = 4\left( {a + b + c} \right) + 2\left( {ab + bc + ca} \right)\)

\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right) + 12 = 4\left( {a + b + c} \right) + 2\left( {ab + ac + bc} \right)\)

\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 4a - 4b - 4c + 12 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{a^2} - 4a + 4} \right) + \left( {{b^2} - 4b + 4} \right) + \left( {{c^2} - 4c + 4} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c - 2} \right)^2} = 0\)

Mà \({\left( {a - 2} \right)^2} \ge 0;\,{\left( {b - 2} \right)^2} \ge 0;{\left( {c - 2} \right)^2} \ge 0\)  với mọi \(a,b,c.\)

Nên \({\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c - 2} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a,b,c\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}a - 2 = 0\\b - 2 = 0\\c - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 2\\c = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = 2\)

close