Trắc nghiệm Bài 5,6: Cộng, trừ các phân thức Toán 8Đề bài
Câu 1 :
Với \(B \ne 0\), kết quả của phép cộng \(\dfrac{A}{B} + \dfrac{C}{B}\) là
Câu 2 :
Phân thức đối của phân thức \(\dfrac{3}{{x + 1}}\) là
Câu 3 :
Kết quả thu gọn nhất của tổng \(\dfrac{{2 - 3x}}{{6{x^2}y}} + \dfrac{{4x-2}}{{6{x^2}y}}\) là
Câu 4 :
Phân thức \(\dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}\) là kết quả của phép tính nào dưới đây?
Câu 5 :
Kết quả của tổng \(\dfrac{{a - 2}}{{a - b}} + \dfrac{{b - 2}}{{b - a}}\) là
Câu 6 :
Phép tính \(\dfrac{2}{{x + 3}} - \dfrac{3}{{{x^2} - 9}}\) có kết quả là
Câu 7 :
Kết quả gọn nhất của phép tính \(\dfrac{{x - 2}}{{6{x^2} - 6x}} - \dfrac{1}{{4{x^2} - 4}}\) là một phân thức có tử thức là:
Câu 8 :
Giá trị của biểu thức $C = \dfrac{1}{{x - 18}} - \dfrac{1}{{x + 2}}$ với $x = 2018$ là:
Câu 9 :
Chọn câu đúng.
Câu 10 :
Chọn câu sai.
Câu 11 :
Thực hiện phép tính \(\dfrac{a}{{a + 1}} - \dfrac{a}{{a - 1}} - \dfrac{{2{a^2}}}{{1 - {a^2}}}\) ta được kết quả gọn nhất là
Câu 12 :
Thu gọn biểu thức \(A = \dfrac{{3x + 21}}{{{x^2} - 9}} + \dfrac{2}{{x + 3}} - \dfrac{3}{{x - 3}}\) ta được
Câu 13 :
Cho \(B = \dfrac{1}{{{x^2} - x + 1}} + 1 - \dfrac{{{x^2} + 2}}{{{x^3} + 1}}\) . Sau khi thu gọn hoàn toàn thì \(B\) có tử thức là:
Câu 14 :
Kết luận nào sau đây là đúng khi nói về giá trị của biểu thức $B = \dfrac{x}{{{x^3} + 1}} + \dfrac{{1 - x}}{{{x^2} - x + 1}} + \dfrac{1}{{x + 1}}$ với $x = - 2$?
Câu 15 :
Cho \(3y - x = 6\) . Tính giá trị của biểu thức \(P = \dfrac{x}{{y - 2}} + \dfrac{{2x - 3y}}{{x - 6}}\) .
Câu 16 :
Tìm \(a,b\) sao cho \(\dfrac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \dfrac{a}{{x + 1}} + \dfrac{b}{{x - 1}}\) .
Câu 17 :
Cho \(\dfrac{1}{{1 - x}} + \dfrac{1}{{1 + x}} + \dfrac{2}{{1 + {x^2}}} + \dfrac{4}{{1 + {x^4}}} + \dfrac{8}{{1 + {x^8}}} = \dfrac{{...}}{{1 - {x^{16}}}}\) . Số thích hợp điền vào chỗ trống là
Câu 18 :
Kết quả của bài toán \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x(x + 1)}} + ... + \dfrac{1}{{(x + 9)(x + 10)}}\) là:
Câu 19 :
Tìm \(P\) biết \(\dfrac{{x - 1}}{{{x^2} + x + 1}} - P = \dfrac{2}{{x - 1}} + \dfrac{{3x}}{{1 - {x^3}}}\).
Câu 20 :
Cho \(a,b,c\) thỏa mãn \(abc = 2017\). Tính giá trị biểu thức sau \(Q = \dfrac{{2017a}}{{ab + 2017a + 2017}} + \dfrac{b}{{bc + b + 2017}} + \dfrac{c}{{ac + 1 + c}}.\)
Câu 21 :
Cho \(x;y;z\) khác \( \pm 1\) và \(xy + yz + xz = 1.\) Chọn câu đúng.
Câu 22 :
Cho \(\dfrac{{{x^2}}}{{y + z}} + \dfrac{{{y^2}}}{{x + z}} + \dfrac{{{z^2}}}{{x + y}} = 0\) và \(x + y + z \ne 0.\) Tính giá trị của biểu thức \(A = \dfrac{x}{{y + z}} + \dfrac{y}{{x + z}} + \dfrac{z}{{x + y}}\)
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Với \(B \ne 0\), kết quả của phép cộng \(\dfrac{A}{B} + \dfrac{C}{B}\) là
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng quy tắc cộng hai phân thức cùng mẫu. Lời giải chi tiết :
Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức. \(\dfrac{A}{B} + \dfrac{C}{B} = \dfrac{{A + C}}{B}\,\,\left( {B \ne 0} \right)\)
Câu 2 :
Phân thức đối của phân thức \(\dfrac{3}{{x + 1}}\) là
Đáp án : A Phương pháp giải :
Phân thức đối của phân thức \(\dfrac{A}{B}\) là \( - \dfrac{A}{B}\) và \( - \dfrac{A}{B} = \dfrac{{ - A}}{B}\) . Lời giải chi tiết :
Phân thức đối của phân thức \(\dfrac{3}{{x + 1}}\) là \( - \dfrac{3}{{x + 1}} = \dfrac{{ - 3}}{{x + 1}}\) .
Câu 3 :
Kết quả thu gọn nhất của tổng \(\dfrac{{2 - 3x}}{{6{x^2}y}} + \dfrac{{4x-2}}{{6{x^2}y}}\) là
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng quy tắc cộng các phân thức cùng mẫu thức: \(\dfrac{A}{B} + \dfrac{C}{B} = \dfrac{{A + C}}{B}\,\,\left( {B \ne 0} \right)\) Lời giải chi tiết :
Ta có \(\dfrac{{2 - 3x}}{{6{x^2}y}} + \dfrac{{4x-2}}{{6{x^2}y}}\)\( = \dfrac{{2 - 3x + 4x-2}}{{6{x^2}y}} = \dfrac{{\left( { -3x+4x} \right) + \left( {2-2} \right)}}{{6{x^2}y}}\)\( = \dfrac{x}{{6{x^2}y}} = \dfrac{1}{{6xy}}\).
Câu 4 :
Phân thức \(\dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}\) là kết quả của phép tính nào dưới đây?
Đáp án : D Lời giải chi tiết :
Ta có \(\dfrac{x}{{x + 1}} - \dfrac{2}{{x + 1}} = \dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}\) nên A sai. *) \(\dfrac{{2x}}{{x + 1}} - \dfrac{2}{{x + 1}} = \dfrac{{2x - 2}}{{x + 1}} = \dfrac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{x + 1}}\) nên B sai. *) \(\dfrac{x}{{x - 1}} + \dfrac{1}{{x - 1}} = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\) nên C sai. *) \(\dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{ - x - 1}} = \dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{ - \left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{x}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 1}} = \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}\) nên D đúng.
Câu 5 :
Kết quả của tổng \(\dfrac{{a - 2}}{{a - b}} + \dfrac{{b - 2}}{{b - a}}\) là
Đáp án : B Phương pháp giải :
Bước 1: Quy đồng mẫu thức. Sử dụng \(\dfrac{A}{{ - B}} = \dfrac{{ - A}}{B}\) tìm mẫu chung. Bước 2: Thực hiện phép cộng (trừ) các phân thức cùng mẫu: Cộng hoặc trừ tử với tử, mẫu chung giữ nguyên. Bước 3: Phân tích tử số thành nhân tử để rút gọn phân thức ( nếu có thể). Lời giải chi tiết :
Ta có \(\dfrac{{a - 2}}{{a - b}} + \dfrac{{b - 2}}{{b - a}}\)$ = \dfrac{{a - 2}}{{a - b}} + \dfrac{{ - \left( {b - 2} \right)}}{{a - b}} = \dfrac{{a - 2 - b + 2}}{{a - b}} = \dfrac{{a - b}}{{a - b}} = 1$ .
Câu 6 :
Phép tính \(\dfrac{2}{{x + 3}} - \dfrac{3}{{{x^2} - 9}}\) có kết quả là
Đáp án : A Phương pháp giải :
Bước 1: Quy đồng mẫu thức. ( dùng hằng đẳng thức ${a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)$ ) Bước 2: Thực hiện phép cộng (trừ) các phân thức cùng mẫu: Cộng hoặc trừ tử với tử, mẫu chung giữ nguyên. Bước 3: Phân tích tử số thành nhân tử để rút gọn phân thức ( nếu có thể). Lời giải chi tiết :
Ta có \(\dfrac{2}{{x + 3}} - \dfrac{3}{{{x^2} - 9}}\)\( = \dfrac{2}{{x + 3}} - \dfrac{3}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \dfrac{{2\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} - \dfrac{{ 3}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}\) $ = \dfrac{{2x - 6 - 3}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \dfrac{{2x - 9}}{{{x^2} - 9}}$
Câu 7 :
Kết quả gọn nhất của phép tính \(\dfrac{{x - 2}}{{6{x^2} - 6x}} - \dfrac{1}{{4{x^2} - 4}}\) là một phân thức có tử thức là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Bước 1: Quy đồng mẫu thức. ( dùng hằng đẳng thức ${a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)$ ) Bước 2: Thực hiện phép cộng (trừ) các phân thức cùng mẫu: Cộng hoặc trừ tử với tử, mẫu chung giữ nguyên. Bước 3: Phân tích tử số thành nhân tử để rút gọn phân thức ( nếu có thể). Lời giải chi tiết :
Ta có \(\dfrac{{x - 2}}{{6{x^2} - 6x}} - \dfrac{1}{{4{x^2} - 4}}\)\( = \dfrac{{x - 2}}{{6x\left( {x - 1} \right)}} - \dfrac{1}{{4\left( {{x^2} - 1} \right)}} = \dfrac{{x - 2}}{{6x\left( {x - 1} \right)}} - \dfrac{1}{{4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\) \( = \dfrac{{2\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{12x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \dfrac{{3x}}{{12x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\) \( = \dfrac{{2\left( {{x^2} - 2x + x - 2} \right) - 3x}}{{12x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{{2{x^2} - 5x - 4}}{{12x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\) .
Câu 8 :
Giá trị của biểu thức $C = \dfrac{1}{{x - 18}} - \dfrac{1}{{x + 2}}$ với $x = 2018$ là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Bước 1: Rút gọn biểu thức ( bằng cách thực hiện các phép cộng trừ các phân thức) Bước 2: Thay giá trị cho trước của biến vào biểu thức và thực hiện phép tính. Lời giải chi tiết :
Ta có $C = \dfrac{1}{{x - 18}} - \dfrac{1}{{x + 2}}$\( = \dfrac{{x + 2}}{{\left( {x - 18} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \dfrac{{1\left( {x - 18} \right)}}{{\left( {x - 18} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)\( = \dfrac{{x + 2 - x + 18}}{{\left( {x - 18} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \dfrac{{20}}{{\left( {x - 18} \right)\left( {x + 2} \right)}}\) Thay $x = 2018$ vào $C = \dfrac{{20}}{{\left( {x - 18} \right)\left( {x + 2} \right)}}$ ta được \(C = \dfrac{{20}}{{\left( {2018 - 18} \right)\left( {2018 + 2} \right)}}\) \( = \dfrac{{20}}{{2000.2020}} = \dfrac{1}{{202000}}\).
Câu 9 :
Chọn câu đúng.
Đáp án : C Phương pháp giải :
Bước 1: Quy đồng mẫu thức. Bước 2: Thực hiện phép cộng (trừ) các phân thức cùng mẫu: Cộng hoặc trừ tử với tử, mẫu chung giữa nguyên. Bước 3: Phân tích tử số thành nhân tử để rút gọn phân thức ( nếu có thể). Lời giải chi tiết :
*) \(\dfrac{1}{{x + 2}} - \dfrac{1}{{\left( {x + 2} \right)\left( {4x + 7} \right)}} = \dfrac{{1.\left( {4x + 7} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {4x + 7} \right)}} - \dfrac{1}{{\left( {x + 2} \right)\left( {4x + 7} \right)}}\)\( = \dfrac{{4x + 7 - 1}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {4x + 7} \right)}} = \dfrac{{4x + 6}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {4x + 7} \right)}}\) nên A sai. *) \(\dfrac{{2 - 21x}}{{18}} - \dfrac{{4 + x}}{{12}} = \dfrac{{2\left( {2 - 21x} \right)}}{{18.2}} - \dfrac{{3\left( {4 + x} \right)}}{{12.3}} = \dfrac{{4 - 42x - 12 - 3x}}{{36}} = \dfrac{{-45x - 8}}{{36}}\) nên B sai. *) \(\dfrac{1}{{x + 4}} - \dfrac{1}{{x + 5}} = \dfrac{{x + 5}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x + 5} \right)}} - \dfrac{{x + 4}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x + 5} \right)}}\)\( = \dfrac{{x + 5 - x - 4}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x + 5} \right)}} = \dfrac{1}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x + 5} \right)}}\) nên C đúng. *) \(\dfrac{2}{{x - 5}} + \dfrac{{3x}}{{{x^2} - 25}} = \dfrac{{2\left( {x + 5} \right)}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}} + \dfrac{{3x}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}}\)\( = \dfrac{{2x + 10 + 3x}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}} = \dfrac{{5x + 10}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}}\) nên D sai.
Câu 10 :
Chọn câu sai.
Đáp án : B Phương pháp giải :
Bước 1: Quy đồng mẫu thức. Bước 2: Thực hiện phép cộng (trừ) các phân thức cùng mẫu: Cộng hoặc trừ tử với tử, mẫu chung giữ nguyên. Bước 3: Phân tích tử số thành nhân tử để rút gọn phân thức ( nếu có thể).. Lời giải chi tiết :
* \(\dfrac{{11x + 13}}{{3x - 3}} + \dfrac{{15x + 17}}{{4 - 4x}} = \dfrac{{11x + 13}}{{3\left( {x - 1} \right)}} - \dfrac{{15x + 17}}{{4\left( {x - 1} \right)}} = \dfrac{{4\left( {11x + 13} \right)}}{{12\left( {x - 1} \right)}} - \dfrac{{3\left( {15x + 17} \right)}}{{12\left( {x - 1} \right)}}\)\( = \dfrac{{44x + 52 - 45x - 51}}{{12\left( {x - 1} \right)}} = \dfrac{{ - x + 1}}{{12\left( {x - 1} \right)}}\) \( = \dfrac{{ - \left( {x - 1} \right)}}{{12\left( {x - 1} \right)}} = - \dfrac{1}{{12}}\) nên A đúng, B sai. * \(\dfrac{{xy}}{{{x^2} - {y^2}}} - \dfrac{{{x^2}}}{{{y^2} - {x^2}}} = \dfrac{{xy}}{{{x^2} - {y^2}}} + \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} - {y^2}}} = \dfrac{{xy + {x^2}}}{{{x^2} - {y^2}}}\)\( = \dfrac{{x\left( {x + y} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}} = \dfrac{x}{{x - y}} = \dfrac{{ - x}}{{y - x}}\) nên C, D đúng.
Câu 11 :
Thực hiện phép tính \(\dfrac{a}{{a + 1}} - \dfrac{a}{{a - 1}} - \dfrac{{2{a^2}}}{{1 - {a^2}}}\) ta được kết quả gọn nhất là
Đáp án : C Phương pháp giải :
Bước 1: Quy đồng mẫu thức. ( dùng hằng đẳng thức ${a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)$ ) Bước 2: Thực hiện phép cộng (trừ) các phân thức cùng mẫu: Cộng hoặc trừ tử với tử, mẫu chung giữ nguyên. Bước 3: Phân tích tử số thành nhân tử để rút gọn phân thức ( nếu có thể). Lời giải chi tiết :
Ta có \(\dfrac{a}{{a + 1}} - \dfrac{a}{{a - 1}} - \dfrac{{2{a^2}}}{{1 - {a^2}}}\)\( = \dfrac{a}{{a + 1}} - \dfrac{a}{{a - 1}} + \dfrac{{2{a^2}}}{{{a^2} - 1}} = \dfrac{a}{{a + 1}} - \dfrac{a}{{a - 1}} + \dfrac{{2{a^2}}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}\) $ = \dfrac{{a\left( {a - 1} \right)}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right)}} - \dfrac{{a\left( {a + 1} \right)}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right)}} + \dfrac{{2{a^2}}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right)}}$ \( = \dfrac{{{a^2} - a - {a^2} - a + 2{a^2}}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right)}} = \dfrac{{2{a^2} - 2a}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right)}}\) \( = \dfrac{{2a\left( {a - 1} \right)}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right)}} = \dfrac{{2a}}{{a + 1}}\) .
Câu 12 :
Thu gọn biểu thức \(A = \dfrac{{3x + 21}}{{{x^2} - 9}} + \dfrac{2}{{x + 3}} - \dfrac{3}{{x - 3}}\) ta được
Đáp án : D Phương pháp giải :
Bước 1: Quy đồng mẫu thức. ( dùng hằng đẳng thức ${a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)$ ) Bước 2: Thực hiện phép cộng (trừ) các phân thức cùng mẫu: Cộng hoặc trừ tử với tử, mẫu chung giữ nguyên. Bước 3: Phân tích tử thức thành nhân tử để rút gọn phân thức ( nếu có thể). Lời giải chi tiết :
Ta có \(A = \dfrac{{3x + 21}}{{{x^2} - 9}} + \dfrac{2}{{x + 3}} - \dfrac{3}{{x - 3}}\)\( = \dfrac{{3x + 21}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \dfrac{{2\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} - \dfrac{{3\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\) \( = \dfrac{{3x + 21 + 2x - 6 - 3x - 9}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \dfrac{{2x + 6}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\) \( = \dfrac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \dfrac{2}{{x - 3}}\) .
Câu 13 :
Cho \(B = \dfrac{1}{{{x^2} - x + 1}} + 1 - \dfrac{{{x^2} + 2}}{{{x^3} + 1}}\) . Sau khi thu gọn hoàn toàn thì \(B\) có tử thức là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Bước 1: Quy đồng mẫu thức. ( dùng hằng đẳng thức ${a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)$ ) Bước 2: Thực hiện phép cộng (trừ) các phân thức cùng mẫu: Cộng hoặc trừ tử với tử, mẫu chung giữ nguyên. Bước 3: Phân tích tử số thành nhân tử để rút gọn phân thức ( nếu có thể). Lời giải chi tiết :
Ta có \(B = \dfrac{1}{{{x^2} - x + 1}} + 1 - \dfrac{{{x^2} + 2}}{{{x^3} + 1}}\)\( = \dfrac{1}{{{x^2} - x + 1}} - \dfrac{{{x^2} + 2}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} + 1\) \( = \dfrac{{x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} - \dfrac{{{x^2} + 2}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} + \dfrac{{{x^3} + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\) \( = \dfrac{{x + 1 - {x^2} - 2 + {x^3} + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = \dfrac{{{x^3} - {x^2} + x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\) \( = \dfrac{{x\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = \dfrac{x}{{x + 1}}\) .
Câu 14 :
Kết luận nào sau đây là đúng khi nói về giá trị của biểu thức $B = \dfrac{x}{{{x^3} + 1}} + \dfrac{{1 - x}}{{{x^2} - x + 1}} + \dfrac{1}{{x + 1}}$ với $x = - 2$?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Bước 1: Rút gọn biểu thức ( bằng cách thực hiện các phép cộng trừ các phân thức) Bước 2: Thay giá trị cho trước của biến vào biểu thức và thực hiện phép tính. Lời giải chi tiết :
Ta có $B = \dfrac{x}{{{x^3} + 1}} + \dfrac{{1 - x}}{{{x^2} - x + 1}} + \dfrac{1}{{x + 1}}$\( = \dfrac{x}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} + \dfrac{{\left( {1 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} + \dfrac{{1.\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\) \( = \dfrac{{x + 1 - {x^2} + {x^2} - x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = \dfrac{2}{{{x^3} + 1}}\) . Thay $x = - 2$ vào \(B = \dfrac{2}{{{x^3} + 1}}\) ta được \(B = \dfrac{2}{{{{\left( { - 2} \right)}^3} + 1}} = \dfrac{{ - 2}}{7}\) .
Câu 15 :
Cho \(3y - x = 6\) . Tính giá trị của biểu thức \(P = \dfrac{x}{{y - 2}} + \dfrac{{2x - 3y}}{{x - 6}}\) .
Đáp án : B Phương pháp giải :
Bước 1: Từ giả thiết \(3y - x = 6\) ta suy ra \(x = 3y - 6\) . Bước 2: Thay \(x = 3y - 6\) vào \(P\) rồi rút gọn biểu thức thu được. Lời giải chi tiết :
Ta có \(3y - x = 6\) ta suy ra \(x = 3y - 6\). Thay \(x = 3y - 6\) vào \(P = \dfrac{x}{{y - 2}} + \dfrac{{2x - 3y}}{{x - 6}}\) ta được \(P = \dfrac{{3y - 6}}{{y - 2}} + \dfrac{{2\left( {3y - 6} \right) - 3y}}{{3y - 6 - 6}}\) \( = \dfrac{{3\left( {y - 2} \right)}}{{y - 2}} + \dfrac{{3y - 12}}{{3y - 12}} = 3 + 1 = 4\).
Câu 16 :
Tìm \(a,b\) sao cho \(\dfrac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \dfrac{a}{{x + 1}} + \dfrac{b}{{x - 1}}\) .
Đáp án : D Phương pháp giải :
Bước 1: Quy đồng mẫu thức ở cả hai vế. Bước 2: Đồng nhất hệ số của cả hai vế để tìm \(a,b\). Chú ý: \(Ax + B = 0,\,\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\) Lời giải chi tiết :
Ta có \(\dfrac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \dfrac{a}{{x + 1}} + \dfrac{b}{{x - 1}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{{a\left( {x - 1} \right) + b\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\) \( \Rightarrow ax - a + bx + b = 1\)\( \Leftrightarrow x\left( {a + b} \right) - a + b - 1 = 0\) với mọi \(x\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 0\\ - a + b - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - a\\b = a + 1\end{array} \right.\) Suy ra \( - a = a + 1 \Leftrightarrow 2a = -1 \Leftrightarrow a = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow b = \dfrac{1}{2}\) . Vậy \(a =- \dfrac{1}{2};b = \dfrac{1}{2}\) .
Câu 17 :
Cho \(\dfrac{1}{{1 - x}} + \dfrac{1}{{1 + x}} + \dfrac{2}{{1 + {x^2}}} + \dfrac{4}{{1 + {x^4}}} + \dfrac{8}{{1 + {x^8}}} = \dfrac{{...}}{{1 - {x^{16}}}}\) . Số thích hợp điền vào chỗ trống là
Đáp án : A Phương pháp giải :
Bước 1: Quy đồng mẫu thức lần lượt, sử dụng hằng đẳng thức \({a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\) . Bước 2: Thực hiện phép cộng (trừ) các phân thức cùng mẫu: Cộng hoặc trừ tử với tử, mẫu chung giữ nguyên. Lời giải chi tiết :
Ta có \(\dfrac{1}{{1 - x}} + \dfrac{1}{{1 + x}} + \dfrac{2}{{1 + {x^2}}} + \dfrac{4}{{1 + {x^4}}} + \dfrac{8}{{1 + {x^8}}} = \dfrac{{1 + x + 1 - x}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}} + \dfrac{2}{{1 + {x^2}}} + \dfrac{4}{{1 + {x^4}}} + \dfrac{8}{{1 + {x^8}}}\) \( = \dfrac{2}{{1 - {x^2}}} + \dfrac{2}{{1 + {x^2}}} + \dfrac{4}{{1 + {x^4}}} + \dfrac{8}{{1 + {x^8}}} = \dfrac{{2\left( {1 + {x^2}} \right) + 2\left( {1 - {x^2}} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 + {x^2}} \right)}} + \dfrac{4}{{1 + {x^4}}} + \dfrac{8}{{1 + {x^8}}}\) \( = \dfrac{4}{{1 - {x^4}}} + \dfrac{4}{{1 + {x^4}}} + \dfrac{8}{{1 + {x^8}}} = \dfrac{{4\left( {1 + {x^4}} \right) + 4\left( {1 - {x^4}} \right)}}{{\left( {1 - {x^4}} \right)\left( {1 + {x^4}} \right)}} + \dfrac{8}{{1 + {x^8}}}\) \( = \dfrac{8}{{1 - {x^8}}} + \dfrac{8}{{1 + {x^8}}} = \dfrac{{8\left( {1 + {x^8}} \right) + 8\left( {1 - {x^8}} \right)}}{{\left( {1 - {x^8}} \right)\left( {1 + {x^8}} \right)}} = \dfrac{{16}}{{1 - {x^{16}}}}\) . Vậy số cần điền là \(16\) .
Câu 18 :
Kết quả của bài toán \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x(x + 1)}} + ... + \dfrac{1}{{(x + 9)(x + 10)}}\) là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng kiến thức \(\dfrac{1}{{x(x + 1)}} = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{x + 1}}\); cộng 2 phân thức khác mẫu: Lời giải chi tiết :
Ta có : \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x(x + 1)}} + ... + \dfrac{1}{{(x + 9)(x + 10)}}\) \(\begin{array}{l} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 2}}... + \dfrac{1}{{x + 9}} - \dfrac{1}{{x + 10}}\\ = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x} + 0 + ... + 0 - \dfrac{1}{{x + 10}}\\ = \dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{{x + 10}}\\ = \dfrac{{2x + 20 - x}}{{x(x + 10)}} = \dfrac{{x + 20}}{{x(x + 10)}}.\end{array}\)
Câu 19 :
Tìm \(P\) biết \(\dfrac{{x - 1}}{{{x^2} + x + 1}} - P = \dfrac{2}{{x - 1}} + \dfrac{{3x}}{{1 - {x^3}}}\).
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng quy tắc chuyển vế, trừ các phân thức khác mẫu và rút gọn. Lời giải chi tiết :
ĐK: \(x \ne 1\). \(\begin{array}{l}\dfrac{{x - 1}}{{{x^2} + x + 1}} - P = \dfrac{2}{{x - 1}} + \dfrac{{3x}}{{1 - {x^3}}}\\P = \dfrac{{x - 1}}{{{x^2} + x + 1}} - \dfrac{2}{{x - 1}} - \dfrac{{3x}}{{1 - {x^3}}}\\P = \dfrac{{{{(x - 1)}^2} - 2({x^2} + x + 1) + 3x}}{{(x - 1)({x^2} + x + 1)}}\\P = \dfrac{{{x^2} - 2x + 1 - 2{x^2} - 2x - 2 + 3x}}{{(x - 1)({x^2} + x + 1)}}\\P = \dfrac{{ - x{}^2 - x - 1}}{{(x - 1)({x^2} + x + 1)}}\\P = - \dfrac{1}{{x - 1}}.\end{array}\)
Câu 20 :
Cho \(a,b,c\) thỏa mãn \(abc = 2017\). Tính giá trị biểu thức sau \(Q = \dfrac{{2017a}}{{ab + 2017a + 2017}} + \dfrac{b}{{bc + b + 2017}} + \dfrac{c}{{ac + 1 + c}}.\)
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử, rút gọn, cộng các phân thức cùng mẫu và rút gọn. Lời giải chi tiết :
Thay\(2017 = abc\) vào biểu thức \(Q\) ta có: \(\begin{array}{l}Q = \dfrac{{abc.a}}{{ab + abc.a + abc}} + \dfrac{b}{{bc + b + abc}} + \dfrac{c}{{ac + 1 + c}}\\ = \dfrac{{ab(ac)}}{{ab(1 + ac + c)}} + \dfrac{b}{{b(c + 1 + ac)}} + \dfrac{c}{{ac + 1 + c}}\\ = \dfrac{{ac}}{{ac + 1 + c}} + \dfrac{1}{{ac + 1 + c}} + \dfrac{c}{{ac + 1 + c}}\\ = \dfrac{{ac + 1 + c}}{{ac + 1 + c}} = 1.\end{array}\) Vậy \(Q = 1.\)
Câu 21 :
Cho \(x;y;z\) khác \( \pm 1\) và \(xy + yz + xz = 1.\) Chọn câu đúng.
Đáp án : C Phương pháp giải :
+ Quy đồng mẫu thức + Cộng trừ các phân thức cùng mẫu + Nhóm các hạng tử để sử dụng được điều kiện \(xy + yz + xz = 1.\) Lời giải chi tiết :
Ta có \(\dfrac{x}{{1 - {x^2}}} + \dfrac{y}{{1 - {y^2}}} + \dfrac{z}{{1 - {z^2}}}\) \( = \dfrac{{x\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right) + y\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right) + z\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\) \( = \dfrac{{x\left( {1 - {z^2} - {y^2} + {z^2}{y^2}} \right) + y\left( {1 - {x^2} - {z^2} + {x^2}{z^2}} \right) + z\left( {1 - {x^2} - {y^2} + {x^2}{y^2}} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\) \( = \dfrac{{x - x{z^2} - x{y^2} + x{y^2}{z^2} + y - y{x^2} - y{z^2} + y{z^2}{x^2} + z - z{x^2} - z{y^2} + z{x^2}{y^2}}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\) \( = \dfrac{{\left( {x - y{x^2} - x{z^2}} \right) + \left( {y - x{y^2} - z{y^2}} \right) + \left( {z - x{z^2} - y{z^2}} \right) + \left( {x{y^2}{z^2} + y{z^2}{x^2} + z{x^2}{y^2}} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\) \( = \dfrac{{x\left( {1 - xy - xz} \right) + y\left( {1 - xy - yz} \right) + z\left( {1 - xz - zy} \right) + xyz\left( {yz + xz + xy} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\) \( = \dfrac{{x.yz + y.xz + z.xy + xyz}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {x^2}} \right)}}\) \( = \dfrac{{4xyz}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\)
Câu 22 :
Cho \(\dfrac{{{x^2}}}{{y + z}} + \dfrac{{{y^2}}}{{x + z}} + \dfrac{{{z^2}}}{{x + y}} = 0\) và \(x + y + z \ne 0.\) Tính giá trị của biểu thức \(A = \dfrac{x}{{y + z}} + \dfrac{y}{{x + z}} + \dfrac{z}{{x + y}}\)
Đáp án : D Phương pháp giải :
+ Sử dụng dữ kiện \(\dfrac{{{x^2}}}{{y + z}} + \dfrac{{{y^2}}}{{x + z}} + \dfrac{{{z^2}}}{{x + y}} = 0\) để xét \(x + y + z + 0\) + Từ đó nhóm các hạng tử thích hợp để xuất hiện biểu thức \(A = \dfrac{x}{{y + z}} + \dfrac{y}{{x + z}} + \dfrac{z}{{x + y}}\), từ đó ta tính được giá trị. Lời giải chi tiết :
Vì \(\dfrac{{{x^2}}}{{y + z}} + \dfrac{{{y^2}}}{{x + z}} + \dfrac{{{z^2}}}{{x + y}} = 0\) nên ta có \(x + y + z = x + y + z + 0\) \( = x + y + z + \dfrac{{{x^2}}}{{y + z}} + \dfrac{{{y^2}}}{{x + z}} + \dfrac{{{z^2}}}{{x + y}}\) \( = \left( {x + \dfrac{{{x^2}}}{{y + z}}} \right) + \left( {y + \dfrac{{{y^2}}}{{x + z}}} \right) + \left( {z + \dfrac{{{z^2}}}{{x + y}}} \right)\) \( = x\left( {1 + \dfrac{x}{{y + z}}} \right) + y\left( {1 + \dfrac{y}{{x + z}}} \right) + z\left( {1 + \dfrac{z}{{x + y}}} \right)\) \( = x\left( {\dfrac{{x + y + z}}{{y + z}}} \right) + y\left( {\dfrac{{x + y + z}}{{x + z}}} \right) + z\left( {\dfrac{{x + y + z}}{{x + y}}} \right)\) \( = \left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{x}{{y + z}} + \dfrac{y}{{x + z}} + \dfrac{z}{{x + y}}} \right)\) Suy ra \(x + y + z = \left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{x}{{y + z}} + \dfrac{y}{{x + z}} + \dfrac{z}{{x + y}}} \right)\) Mà \(x + y + z \ne 0\) nên \(\dfrac{x}{{y + z}} + \dfrac{y}{{x + z}} + \dfrac{z}{{x + y}} = 1\) Hay \(A = 1.\)
|
