Trắc nghiệm Bài 9: Biến đổi các phân thức hữu tỉ Toán 8Đề bài
Câu 1 :
Biến đổi biểu thức \(\dfrac{{1 + \dfrac{1}{x}}}{{x - \dfrac{1}{x}}}\) thành biểu thức đại số
Câu 2 :
Biểu thức \(\dfrac{{x + \dfrac{1}{{{x^2}}}}}{{1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}}}\) được biến đổi thành phân thức đại số là
Câu 3 :
Chọn khẳng định đúng.
Câu 4 :
Biết \(A = \left( {\dfrac{1}{{{x^2} + x}} - \dfrac{{2 - x}}{{x + 1}}} \right):\left( {\dfrac{1}{x} + x - 2} \right) = \dfrac{{...}}{{x + 1}}\) . Điền biểu thức thích hợp vào chỗ trống
Câu 5 :
Cho phân thức \(\dfrac{{{x^2} - 4x + 4}}{{x - 2}}\) Câu 5.1
Tìm điều kiện của \(x\) để phân thức xác định.
Câu 5.2
Tính giá trị biểu thức khi \(x = 2020\) .
Câu 6 :
Cho biểu thức \(B = \left( {\dfrac{1}{{x - 2}} - \dfrac{{2x}}{{4 - {x^2}}} + \dfrac{1}{{2 + x}}} \right).\left( {\dfrac{2}{x} - 1} \right)\) Câu 6.1
Với giá trị nào của \(x\) thì \(B\) xác định.
Câu 6.2
Rút gọn \(B\) ta được:
Câu 6.3
Tìm \(x\) để \(B = \dfrac{1}{2}\) .
Câu 6.4
Tìm \(x\) để \(B\) dương.
Câu 7 :
Cho \(C = \left( {\dfrac{{21}}{{{x^2} - 9}} - \dfrac{{x - 4}}{{3 - x}} - \dfrac{{x - 1}}{{3 + x}}} \right):\left( {1 - \dfrac{1}{{x + 3}}} \right)\) . Câu 7.1
Rút gọn \(C\) ta được
Câu 7.2
Tính giá trị biểu thức \(C\) tại \(x\) thỏa mãn \(\left| {2x + 1} \right| = 5\) .
Câu 8 :
Cho \(P = \left( {\dfrac{x}{{x + 2}} - \dfrac{{{x^3} - 8}}{{{x^3} + 8}}.\dfrac{{{x^2} - 2x + 4}}{{{x^2} - 4}}} \right):\dfrac{4}{{x + 2}}\) . Câu 8.1
Biểu thức rút gọn của \(P\) là
Câu 8.2
Tìm \(x\) để \(P = \dfrac{1}{x}\) .
Câu 9 :
Cho \(M = \left( {\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} - \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right):\dfrac{{4x}}{{3x - 3}}\) . Câu 9.1
Rút gọn \(M\) ta được
Câu 9.2
Tính \(M\) khi \(x = \dfrac{1}{2}\) .
Câu 9.3
Để \(M = - 1\) thì giá trị của \(x\) là
Câu 9.4
Có bao nhiêu \(x\) nguyên để \(M\) có giá trị nguyên.
Câu 10 :
Cho \(E = \dfrac{{x{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}}:\left[ {\left( {\dfrac{{1 - {x^3}}}{{1 - x}} + x} \right).\left( {\dfrac{{1 + {x^3}}}{{1 + x}} - x} \right)} \right]\) . Chọn câu đúng.
Câu 11 :
Cho \(B = \dfrac{{x - 1}}{{x - 2}}\). Số giá trị của \(x \in Z\) để \(B \in \mathbb{Z}\) là:
Câu 12 :
Cho \(Q = \left[ {\dfrac{{{{(x - 1)}^2}}}{{3x + {{(x - 1)}^2}}} - \dfrac{{1 - 2{x^2} + 4x}}{{{x^3} - 1}} + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right]:\dfrac{{3x}}{{{x^3} + x}}\). Câu 12.1
Rút gọn \(Q\) ta được:
Câu 12.2
Giá trị nhỏ nhất của \(Q\) với \(x \ge 2\) là:
Câu 13 :
Cho \(x;y;z \ne 0\) thỏa mãn \(x + y + z = 0\). Tính giá trị biểu thức: \(A = \dfrac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} - {z^2}}} + \dfrac{{yz}}{{{y^2} + {z^2} - {x^2}}} + \dfrac{{zx}}{{{z^2} + {x^2} - {y^2}}}\)
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Biến đổi biểu thức \(\dfrac{{1 + \dfrac{1}{x}}}{{x - \dfrac{1}{x}}}\) thành biểu thức đại số
Đáp án : D Phương pháp giải :
Ta sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức để biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành phân thức. Lời giải chi tiết :
Ta có \(\dfrac{{1 + \dfrac{1}{x}}}{{x - \dfrac{1}{x}}}\)\( = \dfrac{{\dfrac{{x + 1}}{x}}}{{\dfrac{{{x^2} - 1}}{x}}}\) \( = \dfrac{{x + 1}}{x}:\dfrac{{{x^2} - 1}}{x} = \dfrac{{x + 1}}{x}.\dfrac{x}{{{x^2} - 1}} = \dfrac{{x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \dfrac{1}{{x - 1}}\) .
Câu 2 :
Biểu thức \(\dfrac{{x + \dfrac{1}{{{x^2}}}}}{{1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}}}\) được biến đổi thành phân thức đại số là
Đáp án : B Phương pháp giải :
Ta sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức để biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành phân thức. Lời giải chi tiết :
Ta có \(\dfrac{{x + \dfrac{1}{{{x^2}}}}}{{1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}}}\)\( = \dfrac{{\dfrac{{{x^3}}}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^2}}}}}{{\dfrac{{{x^2}}}{{{x^2}}} - \dfrac{x}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^2}}}}} = \dfrac{{\dfrac{{{x^3} + 1}}{{{x^2}}}}}{{\dfrac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2}}}}}\) \( = \dfrac{{{x^3} + 1}}{{{x^2}}}:\dfrac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2}}} = \dfrac{{{x^3} + 1}}{{{x^2}}}.\dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} - x + 1}}\) \( = \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{{x^2} - x + 1}} = x + 1\) .
Câu 3 :
Chọn khẳng định đúng.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Ta sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức để rút gọn biểu thức. Lời giải chi tiết :
Ta có \(\left( {\dfrac{1}{{{x^2} + 4x + 4}} - \dfrac{1}{{{x^2} - 4x + 4}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{x + 2}} + \dfrac{1}{{x - 2}}} \right)\)\( = \left( {\dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}} \right):\left( {\dfrac{{x - 2 + x + 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right)\) $ = \dfrac{{{x^2} - 4x + 4 - \left( {{x^2} + 4x + 4} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}.\dfrac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{2x}}$\( = \dfrac{{ - 8x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}.\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{2x}} = \dfrac{{ - 4}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{{ - 4}}{{{x^2} - 4}}\)
Câu 4 :
Biết \(A = \left( {\dfrac{1}{{{x^2} + x}} - \dfrac{{2 - x}}{{x + 1}}} \right):\left( {\dfrac{1}{x} + x - 2} \right) = \dfrac{{...}}{{x + 1}}\) . Điền biểu thức thích hợp vào chỗ trống
Đáp án : D Phương pháp giải :
Ta sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức để để rút gọn biểu thức. Lời giải chi tiết :
Ta có \(A = \left( {\dfrac{1}{{{x^2} + x}} - \dfrac{{2 - x}}{{x + 1}}} \right):\left( {\dfrac{1}{x} + x - 2} \right)\)\( = \left( {\dfrac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} - \dfrac{{x\left( {2 - x} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}}} \right):\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{{{x^2}}}{x} - \dfrac{{2x}}{x}} \right)\) \( = \dfrac{{1 - 2x + {x^2}}}{{x\left( {x + 1} \right)}}:\dfrac{{1 + {x^2} - 2x}}{x}\) \( = \dfrac{{{x^2} - 2x + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}}.\dfrac{x}{{{x^2} - 2x + 1}} = \dfrac{1}{{x + 1}}\) . Vậy số cần điền là \(1\) .
Câu 5 :
Cho phân thức \(\dfrac{{{x^2} - 4x + 4}}{{x - 2}}\) Câu 5.1
Tìm điều kiện của \(x\) để phân thức xác định.
Đáp án : B Phương pháp giải :
Phân thức \(\dfrac{A}{B}\) xác định khi \(B \ne 0\) . Lời giải chi tiết :
Phân thức \(\dfrac{{{x^2} - 4x + 4}}{{x - 2}}\) xác định khi \(x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2\) . Câu 5.2
Tính giá trị biểu thức khi \(x = 2020\) .
Đáp án : A Phương pháp giải :
Bước 1: Rút gọn biểu thức Bước 2: Thay \(x = 2020\) vào biểu thức rồi tính. Lời giải chi tiết :
Ta có \(\dfrac{{{x^2} - 4x + 4}}{{x - 2}}\)\( = \dfrac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{x - 2}} = x - 2\) Thay \(x = 2020\) (thỏa mãn điều kiện \(x \ne 2\) ) vào biểu thức \(x - 2\) ta được \(2020 - 2 = 2018\) . Vậy với \(x = 2020\) thì giá trị biểu thức là \(2018\) .
Câu 6 :
Cho biểu thức \(B = \left( {\dfrac{1}{{x - 2}} - \dfrac{{2x}}{{4 - {x^2}}} + \dfrac{1}{{2 + x}}} \right).\left( {\dfrac{2}{x} - 1} \right)\) Câu 6.1
Với giá trị nào của \(x\) thì \(B\) xác định.
Đáp án : B Phương pháp giải :
Phân thức \(\dfrac{A}{B}\) xác định khi \(B \ne 0\) . Lời giải chi tiết :
Phân thức \(B = \left( {\dfrac{1}{{x - 2}} - \dfrac{{2x}}{{4 - {x^2}}} + \dfrac{1}{{2 + x}}} \right):\left( {\dfrac{2}{x} - 1} \right)\) xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ne 0\\4 - {x^2} \ne 0\\2 + x \ne 0\\x \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne - 2\\x \ne 0\\{x^2} \ne 4\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne - 2\\x \ne 0\end{array} \right.\) . Câu 6.2
Rút gọn \(B\) ta được:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Ta sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức và các hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức. Lời giải chi tiết :
Phân thức \(B = \left( {\dfrac{1}{{x - 2}} - \dfrac{{2x}}{{4 - {x^2}}} + \dfrac{1}{{2 + x}}} \right).\left( {\dfrac{2}{x} - 1} \right)\) \( = \left( {\dfrac{1}{{x - 2}} + \dfrac{{2x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \dfrac{1}{{x + 2}}} \right).\left( {\dfrac{{2 - x}}{x}} \right)\) $ = \left( {\dfrac{{x + 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \dfrac{{2x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \dfrac{{x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right).\left[ {\dfrac{{ - \left( {x - 2} \right)}}{x}} \right]$ \( = \dfrac{{x + 2 + 2x + x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}.\dfrac{{\left[ { - \left( {x - 2} \right)} \right]}}{x}\) $ = \dfrac{{4x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}.\dfrac{{\left[ { - \left( {x - 2} \right)} \right]}}{x} = \dfrac{{ - 4}}{{x + 2}}$ Vậy \(B = \dfrac{{ - 4}}{{x + 2}}\) . Câu 6.3
Tìm \(x\) để \(B = \dfrac{1}{2}\) .
Đáp án : B Phương pháp giải :
Bước 1: Sử dụng kết quả câu trước \(B = \dfrac{{ - 4}}{{x + 2}}\) sau đó cho \(B = \dfrac{1}{2}\) , quy đồng mẫu rồi tìm \(x\) . Bước 2: So sánh điều kiện xác định rồi kết luận. Lời giải chi tiết :
Theo câu trước ta có \(B = \dfrac{{ - 4}}{{x + 2}}\) với \(x \ne \left\{ { - 2;0;2} \right\}\). Ta có \(B = \dfrac{1}{2}\) \( \Leftrightarrow \) \(\dfrac{{ - 4}}{{x + 2}} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{ - 8}}{{2\left( {x + 2} \right)}} = \dfrac{{x + 2}}{{2\left( {x + 2} \right)}} \Rightarrow x + 2 = - 8 \Leftrightarrow x = - 10\,\left( {TM} \right)\). Vậy \(x = - 10\) . Câu 6.4
Tìm \(x\) để \(B\) dương.
Đáp án : B Phương pháp giải :
Bước 1: Sử dụng kết quả các câu trước ta có \(B = \dfrac{{ - 4}}{{x + 2}}\). Đánh giá tử số rồi suy ra điều kiện của mẫu số để \(B > 0\) , từ đó tìm \(x\) . Bước 2: Kết hợp điều kiện rồi kết luận Lời giải chi tiết :
Theo các câu trước ta có \(B = \dfrac{{ - 4}}{{x + 2}}\) với \(x \ne \left\{ { - 2;0;2} \right\}\). Để \(B > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 4}}{{x + 2}} > 0\) mà \( - 4 < 0 \Rightarrow x + 2 < 0 \Leftrightarrow x < - 2\) . Kết hợp điều kiện \(x \ne \left\{ { - 2;0;2} \right\}\) ta có \(x < - 2\) .
Câu 7 :
Cho \(C = \left( {\dfrac{{21}}{{{x^2} - 9}} - \dfrac{{x - 4}}{{3 - x}} - \dfrac{{x - 1}}{{3 + x}}} \right):\left( {1 - \dfrac{1}{{x + 3}}} \right)\) . Câu 7.1
Rút gọn \(C\) ta được
Đáp án : A Phương pháp giải :
Ta sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức và các hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức. Lời giải chi tiết :
Ta có \(C = \left( {\dfrac{{21}}{{{x^2} - 9}} - \dfrac{{x - 4}}{{3 - x}} - \dfrac{{x - 1}}{{3 + x}}} \right):\left( {1 - \dfrac{1}{{x + 3}}} \right)\) \( = \left[ {\dfrac{{21}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \dfrac{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} - \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}} \right]:\left( {\dfrac{{x + 3 - 1}}{{x + 3}}} \right)\) Điều kiện: \(x \ne \pm 3\) \( = \dfrac{{21 + {x^2} - x - 12 - {x^2} + 4x - 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}:\dfrac{{x + 2}}{{x + 3}}\) \( = \dfrac{{3x + 6}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}.\dfrac{{x + 3}}{{x + 2}} = \dfrac{{3\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}.\dfrac{{x + 3}}{{x + 2}}\) \( = \dfrac{3}{{x - 3}}\). Vậy \(C = \dfrac{3}{{x - 3}}\) . Câu 7.2
Tính giá trị biểu thức \(C\) tại \(x\) thỏa mãn \(\left| {2x + 1} \right| = 5\) .
Đáp án : C Phương pháp giải :
Bước 1: Từ điều kiện của giả thiết ta tìm \(x\) . So sánh với điều kiện để loại giá trị \(x\) không thỏa mãn điều kiện. Bước 2: Thay \(x\) tìm được vào \(C = \dfrac{3}{{x - 3}}\) rồi tính. Lời giải chi tiết :
Ta có \(\left| {2x + 1} \right| = 5\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 1 = 5\\2x + 1 = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 4\\2x = - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\left( {TM} \right)\\x = - 3\,\left( L \right)\end{array} \right.\) Thay \(x = 2\) vào \(C = \dfrac{3}{{x - 3}}\) ta được \(C = \dfrac{3}{{2 - 3}} = - 3\) .
Câu 8 :
Cho \(P = \left( {\dfrac{x}{{x + 2}} - \dfrac{{{x^3} - 8}}{{{x^3} + 8}}.\dfrac{{{x^2} - 2x + 4}}{{{x^2} - 4}}} \right):\dfrac{4}{{x + 2}}\) . Câu 8.1
Biểu thức rút gọn của \(P\) là
Đáp án : A Phương pháp giải :
Ta sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức và các hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức. Lời giải chi tiết :
Ta có \(P = \left( {\dfrac{x}{{x + 2}} - \dfrac{{{x^3} - 8}}{{{x^3} + 8}}.\dfrac{{{x^2} - 2x + 4}}{{{x^2} - 4}}} \right):\dfrac{4}{{x + 2}}\) \( = \left( {\dfrac{x}{{x + 2}} - \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}}.\dfrac{{{x^2} - 2x + 4}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right).\dfrac{{x + 2}}{4}\) ĐK: \(x \ne \pm 2\) \( = \left( {\dfrac{x}{{x + 2}} - \dfrac{{{x^2} + 2x + 4}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \right).\dfrac{{x + 2}}{4}\) \( = \left[ {\dfrac{{x\left( {x + 2} \right) - {x^2} - 2x - 4}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \right].\dfrac{{x + 2}}{4}\) \( = \dfrac{{ - 4}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}.\dfrac{{x + 2}}{4}\) \( = \dfrac{{ - 1}}{{x + 2}}\) . Vậy $P = \dfrac{{ - 1}}{{x + 2}}$ . Câu 8.2
Tìm \(x\) để \(P = \dfrac{1}{x}\) .
Đáp án : C Phương pháp giải :
Bước 1: Sử dụng kết quả đã rút gọn $P$ ở câu trước. Cho \(P = \dfrac{1}{x}\) , quy đồng mẫu rồi tìm \(x\) . Bước 2: So sánh điều kiện xác định rồi kết luận Lời giải chi tiết :
Theo câu trước ta có $P = \dfrac{{ - 1}}{{x + 2}}$ với \(\left( {x \ne \pm 2;\,x \ne 0} \right)\) Để \(P = \dfrac{1}{x}\)$ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 1}}{{x + 2}} = \dfrac{1}{x}$ \(\left( {x \ne \pm 2;\,x \ne 0} \right)\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{ - x}}{{x\left( {x + 2} \right)}} = \dfrac{{x + 2}}{{x\left( {x + 2} \right)}}\) \( \Rightarrow - x = x + 2 \Leftrightarrow 2x = - 2 \Leftrightarrow x = - 1\,\left( {TM} \right).\) Vậy \(x = - 1\) .
Câu 9 :
Cho \(M = \left( {\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} - \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right):\dfrac{{4x}}{{3x - 3}}\) . Câu 9.1
Rút gọn \(M\) ta được
Đáp án : B Phương pháp giải :
Ta sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức và các hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức. Lời giải chi tiết :
Ta có \(M = \left( {\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} - \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right):\dfrac{{4x}}{{3x - 3}}\) ĐK: \(x \ne \pm 1\) \( = \left[ {\dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right]:\dfrac{{4x}}{{3\left( {x - 1} \right)}}\) \( = \dfrac{{{x^2} + 2x + 1 - {x^2} + 2x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\dfrac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{4x}}\) \( = \dfrac{{4x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\dfrac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{4x}} = \dfrac{3}{{x + 1}}\) . Vậy \(M = \dfrac{3}{{x + 1}}\) . Câu 9.2
Tính \(M\) khi \(x = \dfrac{1}{2}\) .
Đáp án : A Phương pháp giải :
Thay \(x = \dfrac{1}{2}\) vào \(M\) rồi tính. Lời giải chi tiết :
Thay \(x = \dfrac{1}{2}\) (TMĐK) vào \(M = \dfrac{3}{{x + 1}}\) ta được \(M = \dfrac{3}{{\dfrac{1}{2} + 1}} = \dfrac{3}{{\dfrac{3}{2}}} = 3:\dfrac{3}{2} = 3.\dfrac{2}{3} = 2\) . Vậy với \(x = \dfrac{1}{2}\) thì \(M = 2\) . Câu 9.3
Để \(M = - 1\) thì giá trị của \(x\) là
Đáp án : C Phương pháp giải :
Bước 1: Cho \(M = - 1\) , quy đồng mẫu rồi tìm \(x\) . Bước 2: So sánh điều kiện xác định rồi kết luận Lời giải chi tiết :
Để \(M = - 1\) thì \(\dfrac{3}{{x + 1}} = - 1 \Leftrightarrow \dfrac{3}{{x + 1}} = \dfrac{{ - x - 1}}{{x + 1}} \Rightarrow - x - 1 = 3 \Leftrightarrow x = - 4\,\left( {TM} \right)\) . Vậy \(x = - 4\) . Câu 9.4
Có bao nhiêu \(x\) nguyên để \(M\) có giá trị nguyên.
Đáp án : C Phương pháp giải :
Bước 1: Để \(M = \dfrac{a}{B}\) có giá trị nguyên thì \(B \in \) Ư\(\left( a \right)\) . Từ đó tìm được $x$ . Bước 2: So sánh điều kiện \(x \ne \pm 1\) rồi kết luận. Lời giải chi tiết :
ĐK: \(x \ne \pm 1\) \(M\) có giá trị nguyên nghĩa là \(\dfrac{3}{{x + 1}}\) có giá trị nguyên Suy ra \(3 \vdots \left( {x + 1} \right) \Rightarrow \left( {x + 1} \right) \in \) Ư\(\left( 3 \right) = \left\{ { - 1;1; - 3;3} \right\}\) . + \(x + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0\,\left( {TM} \right)\) + \(x + 1 = - 1 \Leftrightarrow x = - 2\,\left( {TM} \right)\) + \(x + 1 = 3 \Leftrightarrow x = 2\,\left( {TM} \right)\) + \(x + 1 = - 3 \Leftrightarrow x = - 4\,\left( {TM} \right)\) Vậy \(x \in \left\{ { - 4; - 2;2;0} \right\}\)
Câu 10 :
Cho \(E = \dfrac{{x{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}}:\left[ {\left( {\dfrac{{1 - {x^3}}}{{1 - x}} + x} \right).\left( {\dfrac{{1 + {x^3}}}{{1 + x}} - x} \right)} \right]\) . Chọn câu đúng.
Đáp án : B Phương pháp giải :
Bước 1: Ta sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức và các hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức. Bước 2: Đánh giá \(E\) để kết luận. Lời giải chi tiết :
ĐK: \(x \pm 1\) Ta có \(E = \dfrac{{x{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}}:\left[ {\left( {\dfrac{{1 - {x^3}}}{{1 - x}} + x} \right).\left( {\dfrac{{1 + {x^3}}}{{1 + x}} - x} \right)} \right]\) \( = \dfrac{{x{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}}:\left[ {\left( {\dfrac{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x + {x^2}} \right)}}{{1 - x}} + x} \right).\left( {\dfrac{{\left( {1 + x} \right)\left( {1 - x + {x^2}} \right)}}{{1 + x}} - x} \right)} \right]\) \( = \dfrac{{x{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}}:\left[ {\left( {1 + 2x + {x^2}} \right).\left( {1 - 2x + {x^2}} \right)} \right]\) \( = \dfrac{{x{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}}:\left[ {{{\left( {1 + x} \right)}^2}.{{\left( {1 - x} \right)}^2}} \right]\) \( = \dfrac{x}{{\left( {1 + {x^2}} \right){{\left( {1 + x} \right)}^2}}}\) . Suy ra \(E = \dfrac{x}{{\left( {1 + {x^2}} \right){{\left( {1 +x} \right)}^2}}}\) Ta thấy với \(x \pm 1\) thì \(1 + {x^2} \ge 1 > 0\) và \({\left( {1 + x} \right)^2} > 0\) nên \(\left( {1 + {x^2}} \right){\left( {1 + x} \right)^2} > 0\) . Suy ra \(E = \dfrac{x}{{\left( {1 + {x^2}} \right){{\left( {1 + x} \right)}^2}}} > 0 \Rightarrow x > 0\) nên B đúng, A, C sai. \(E = \dfrac{x}{{\left( {1 + {x^2}} \right){{\left( {1 + x} \right)}^2}}} < 0 \Rightarrow x < 0\) nên D sai.
Câu 11 :
Cho \(B = \dfrac{{x - 1}}{{x - 2}}\). Số giá trị của \(x \in Z\) để \(B \in \mathbb{Z}\) là:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng kiến thức biến đổi biểu thức hữu tỉ; tìm điều kiện để biểu thức có giá trị nguyên. +) Tìm ĐKXĐ của B. +) Tách B về dạng \(B = a + \dfrac{b}{{MS}},\,\,a,\,\,b \in Z.\) +) Đề \(B \in Z\) thì \(\dfrac{b}{{MS}} \in Z \Leftrightarrow MS \in Ư\left( b \right).\) +) Tìm Ư(b) sau đó lập bảng, giải phương trình tìm x. +) Xét xem các giá trị của x có thỏa mãn ĐKXĐ của bài toán hay không rồi kết luận x. Lời giải chi tiết :
ĐKXĐ: \(x \ne 2.\) Ta có: \(B = \dfrac{{x - 1}}{{x - 2}} = 1 + \dfrac{1}{{x - 2}}\) \(B = 1 + \dfrac{1}{{x - 2}} \in Z \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x - 2}} \in Z \Leftrightarrow x - 2 \in Ư(1) = \left\{ { \pm 1} \right\}\). 
Câu 12 :
Cho \(Q = \left[ {\dfrac{{{{(x - 1)}^2}}}{{3x + {{(x - 1)}^2}}} - \dfrac{{1 - 2{x^2} + 4x}}{{{x^3} - 1}} + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right]:\dfrac{{3x}}{{{x^3} + x}}\). Câu 12.1
Rút gọn \(Q\) ta được:
Đáp án : D Phương pháp giải :
+) Tìm ĐKXĐ của biểu thức. +) Sử dụng các bước biến đổi phân thức đã được học để rút gọn biểu thức. Lời giải chi tiết :
ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + {\left( {x - 1} \right)^2} \ne 0\\{x^3} - 1 \ne 0\\{x^3} + x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \pm 1\\x \ne 0\end{array} \right..\) \(Q = \left[ {\dfrac{{{{(x - 1)}^2}}}{{3x + {{(x - 1)}^2}}} - \dfrac{{1 - 2{x^2} + 4x}}{{{x^3} - 1}} + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right]:\dfrac{{3x}}{{{x^3} + x}}\) \(= \left[ {\dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{3x + {x^2} - 2x + 1}} - \dfrac{{1 - 2{x^2} + 4x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right]:\dfrac{{3x}}{{x\left( {{x^2} + 1} \right)}}\) \( = \left[ {\dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + x + 1}} + \dfrac{{2{x^2} - 4x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right].\dfrac{{x({x^2} + 1)}}{{3x}}\) \( = \dfrac{{{{(x - 1)}^3} + 2{x^2} - 4x - 1 + {x^2} + x + 1}}{{{x^3} - 1}}.\dfrac{{{x^2} + 1}}{3}\)\( = \dfrac{{{x^3} - 3x{}^2 + 3x - 1 + 2{x^2} - 4x - 1 + {x^2} + x + 1}}{{{x^3} - 1}}.\dfrac{{{x^2} + 1}}{3}\)\( = \dfrac{{{x^3} - 1}}{{{x^3} - 1}}.\dfrac{{{x^2} + 1}}{3} = \dfrac{{{x^2} + 1}}{3}\) Vậy \(Q = \dfrac{{{x^2} + 1}}{3}\) với \(x \ne \pm 1;x \ne 0\). Câu 12.2
Giá trị nhỏ nhất của \(Q\) với \(x \ge 2\) là:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng kết quả câu trước. Đánh giá \({A^2} + m \ge m,\,\forall A\) , dấu “=” xảy ra khi \(A = 0.\) Lời giải chi tiết :
Ta có: Q = \(\dfrac{{{x^2} + 1}}{3}\) với \(x \ne 0;x \ne \pm 1\). Ta có: \({x^2} \ge 4\,\,\forall x \ge 2 \Rightarrow {x^2} + 1 \ge 5\,\,\forall x \ge 2\)\( \Rightarrow \dfrac{{{x^2} + 1}}{3} \ge \dfrac{5}{3} \,\,\forall x \ge 2\). Dấu “=” xảy ra khi \(x = 2\left( {tm} \right)\). Vậy \(Min\,\,Q = \dfrac{5}{3} \Leftrightarrow x = 2\).
Câu 13 :
Cho \(x;y;z \ne 0\) thỏa mãn \(x + y + z = 0\). Tính giá trị biểu thức: \(A = \dfrac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} - {z^2}}} + \dfrac{{yz}}{{{y^2} + {z^2} - {x^2}}} + \dfrac{{zx}}{{{z^2} + {x^2} - {y^2}}}\)
Đáp án : C Phương pháp giải :
Phát hiện tính quy luật của biểu thức. Từ đó đưa bài toán ban đầu về bài toán đơn gian hơn. Và sử dụng kỹ năng tính toán thường gặp. Lời giải chi tiết :
Từ \(x + y + z = 0 \Rightarrow x + y = - z \Rightarrow {x^2} + 2xy + {y^2} = {z^2} \Rightarrow {x^2} + {y^2} - {z^2} = - 2xy\). Tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{y^2} + {z^2} - {x^2} = - 2yz\\{z^2} + {x^2} - {y^2} = - 2zx\end{array} \right.\) Do đó: \(A = \dfrac{{xy}}{{ - 2xy}} + \dfrac{{yz}}{{ - 2yz}} + \dfrac{{zx}}{{ - 2zx}} = - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = - \dfrac{3}{2}\). Vậy \(A = - \dfrac{3}{2}.\)
|
