Trắc nghiệm Bài 1,2: Định lý Ta-lét. Định lý đảo và hệ quả của định lý Ta-lét Toán 8Đề bài
Câu 1 :
Viết tỉ số cặp đoạn thẳng có độ dài như sau: $AB = 4\,dm,CD = 20\,dm$
Câu 2 :
Hãy chọn câu sai. Cho hình vẽ với $AB<AC$: 
Câu 3 :
Cho hình vẽ, trong đó $DE{\rm{//}}BC$, $AD = 12,\,\,DB = 18,\,\,CE = 30$. Độ dài $AC$ bằng: 
Câu 4 :
Chọn câu trả lời đúng: Cho hình thang $ABCD$ ($AB{\rm{//}}CD$),$O$ là giao điểm của $AC$ và$BD$ . Xét các khẳng định sau: (I) \(\dfrac{{OA}}{{OC}} = \dfrac{{AB}}{{CD}}\) (II) \(\dfrac{{OB}}{{OC}} = \dfrac{{BC}}{{AD}}\)
Câu 5 :
Cho biết $M$ thuộc đoạn thẳng $AB$ thỏa mãn \(\dfrac{{AM}}{{MB}} = \dfrac{3}{8}\). Tính tỉ số \(\dfrac{{AM}}{{AB}}\) ?
Câu 6 :
Cho hình vẽ, trong đó \(AB{\rm{//}}CD\) và \(DE = EC\). Trong các khẳng định sau, có bao nhiêu khẳng định đúng?  (I) \(\dfrac{{AK}}{{EC}} = \dfrac{{KB}}{{DE}}\) (II)\(AK = KB\) (III) \(\dfrac{{AO}}{{AC}} = \dfrac{{AB}}{{DC}}\) (IV) \(\dfrac{{AK}}{{EC}} = \dfrac{{OB}}{{OD}}\)
Câu 7 :
Chọn câu trả lời đúng: Cho hình bên, biết \(DE{\rm{//}}AC\), tìm \(x\) : 
Câu 8 :
Cho tam giác $ABC$ có $AB = 9\,cm$, điểm $D$ thuộc cạnh $AB$ sao cho $AD = 6\,cm$. Kẻ $DE$ song song với $BC$ $\left( {E \in AC} \right)$, kẻ $EF$ song song với $CD$ $\left( {F \in AB} \right)$. Tính độ dài $AF$ .
Câu 9 :
Tính các độ dài $x,y$ trong hình bên: 
Câu 10 :
Tìm giá trị của \(x\) trên hình vẽ. 
Câu 11 :
Cho hình thang $ABCD$ $\left( {AB{\rm{//}}CD} \right)$ có $BC = 15\,cm$. Điểm $E$ thuộc cạnh $AD$ sao cho $\dfrac{{AE}}{{AD}} = \dfrac{1}{3}$. Qua $E$ kẻ đường thẳng song song với $CD$ , cắt $BC$ ở $F$ . Tính độ dài $BF$ .
Câu 12 :
Cho tam giác $ABC$ . Một đường thẳng song song với $BC$ cắt các cạnh $AB$ và $AC$ theo thứ tự ở $D$ và $E$ . Chọn câu đúng.
Câu 13 :
Cho tam giác $ABC$ , đường trung tuyến $AD$ . Gọi $K$ là điểm thuộc đoạn thẳng $AD$ sao cho $\dfrac{{AK}}{{KD}} = \dfrac{1}{2}$. Gọi $E$ là giao điểm của $BK$ và $AC$ . Tính tỉ số $\dfrac{{AE}}{{EC}}$.
Câu 14 :
Cho hình thang \(ABCD\)\(\left( {AB//CD} \right)\) có diện tích \(36\,c{m^2}\),\(AB = 4\,{\rm{cm,CD = 8}}\,{\rm{cm}}\). Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo. Tính diện tích tam giác \(COD\).
Câu 15 :
Cho điểm \(M\) thuộc đoạn thẳng \(AB\). Vẽ về một phía của \(AB\) các tam giác đều \(AMC\) và \(MBD\) . Gọi \(E\) là giao điểm của \(AD\) và \(MC\), \(F\) là giao điểm của \(BC\) và \(DM\) . Câu 15.1
Đặt \(MA = a,MB = b\). Tính \(ME,MF\) theo \(a\) và \(b\).
Câu 15.2
Tam giác \(MEF\) là tam giác gì? Chọn đáp án đúng nhất.
Câu 16 :
Cho tứ giác \(ABCD\), lấy bất kỳ \(E \in BD\) . Qua \(E\) vẽ \(EF\) song song với \(AD\)( \(F\) thuộc \(AB\)), vẽ \(EG\) song song với \(DC\)(\(G\) thuộc\(BC\)). Chọn khẳng định sai.
Câu 17 :
Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến, N là điểm trên đoạn thẳng AM. Gọi D là giao điểm của CN và AB, E là giao điểm của BN và AC. Chọn khẳng định đúng nhất.
Câu 18 :
Cho tam giác ABC, M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh BC, biết \(\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{NC}}{{NB}} = \frac{2}{5},MN = 15\left( {cm} \right)\). Tính độ dài cạnh AC.
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Viết tỉ số cặp đoạn thẳng có độ dài như sau: $AB = 4\,dm,CD = 20\,dm$
Đáp án : B Phương pháp giải :
Lập tỉ số cặp đoạn thẳng đang xét, rút gọn phân số để được giá trị tỉ số $2$ đoạn thẳng. Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}AB = 4\;dm,\;CD = 20\;dm\\ \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{CD}} = \dfrac{4}{{20}} = \dfrac{1}{5}\end{array}\) Vậy \(\dfrac{{AB}}{{CD}} = \dfrac{1}{5}\) là tỉ số 2 đoạn thẳng (cùng đơn vị).
Câu 2 :
Hãy chọn câu sai. Cho hình vẽ với $AB<AC$:
Đáp án : D Lời giải chi tiết :
Theo định lý đảo của định lý Ta-lét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác. Nên D sai.
Câu 3 :
Cho hình vẽ, trong đó $DE{\rm{//}}BC$, $AD = 12,\,\,DB = 18,\,\,CE = 30$. Độ dài $AC$ bằng:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng định lý Ta-lét tính \(AE\) từ đó tính \(AC\) . Lời giải chi tiết :
 Vì $DE{\rm{//}}BC$, theo định lý Ta-lét ta có \(\dfrac{{AD}}{{BD}} = \dfrac{{AE}}{{EC}} \Leftrightarrow \dfrac{{12}}{{18}} = \dfrac{{AE}}{{30}}\)\( \Rightarrow EA = \dfrac{{30.12}}{{18}} = 20\,cm\) Nên \(AC = AE + EC = 50\,cm\)
Câu 4 :
Chọn câu trả lời đúng: Cho hình thang $ABCD$ ($AB{\rm{//}}CD$),$O$ là giao điểm của $AC$ và$BD$ . Xét các khẳng định sau: (I) \(\dfrac{{OA}}{{OC}} = \dfrac{{AB}}{{CD}}\) (II) \(\dfrac{{OB}}{{OC}} = \dfrac{{BC}}{{AD}}\)
Đáp án : A Phương pháp giải :
Bước 1: Tìm cặp đoạn thẳng song song (nếu chưa cho), áp dụng định lý Talet để có tỉ lệ thức. Bước 2: So sánh với các khẳng định để tìm ra khẳng định đúng. Lời giải chi tiết :
 Vì \(AB\,{\rm{//}}\,CD\), áp dụng định lý Talet, ta có: \(\dfrac{{OA}}{{OC}} = \dfrac{{AB}}{{CD}} = \dfrac{{OB}}{{OD}}\) \( \Rightarrow \)Khẳng định (I) \(\dfrac{{OA}}{{OC}} = \dfrac{{AB}}{{CD}}\) đúng, khẳng định (II) \(\dfrac{{OB}}{{OC}} = \dfrac{{BC}}{{AD}}\) sai.
Câu 5 :
Cho biết $M$ thuộc đoạn thẳng $AB$ thỏa mãn \(\dfrac{{AM}}{{MB}} = \dfrac{3}{8}\). Tính tỉ số \(\dfrac{{AM}}{{AB}}\) ?
Đáp án : C Phương pháp giải :
- Sử dụng tính chất tỉ lệ thức để biến đổi tỉ lệ thức đã cho thành tỉ lệ thức cần tìm.
Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\dfrac{{AM}}{{MB}} = \dfrac{3}{8} \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{MB + AM}} = \dfrac{3}{{8 + 3}} \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{3}{{11}}\)
Câu 6 :
Cho hình vẽ, trong đó \(AB{\rm{//}}CD\) và \(DE = EC\). Trong các khẳng định sau, có bao nhiêu khẳng định đúng? (I) \(\dfrac{{AK}}{{EC}} = \dfrac{{KB}}{{DE}}\) (II)\(AK = KB\) (III) \(\dfrac{{AO}}{{AC}} = \dfrac{{AB}}{{DC}}\) (IV) \(\dfrac{{AK}}{{EC}} = \dfrac{{OB}}{{OD}}\)
Đáp án : C Lời giải chi tiết :
 Theo định lý Ta-lét: Vì \(AK{\rm{//}}EC\) nên \(\dfrac{{AK}}{{EC}} = \dfrac{{OK}}{{OE}}\) và \(KB{\rm{//}}ED\) nên \(\dfrac{{BK}}{{ED}} = \dfrac{{OK}}{{OE}} = \dfrac{{OB}}{{OD}}\) từ đó \(\dfrac{{AK}}{{EC}} = \dfrac{{KB}}{{DE}}\) và \(\dfrac{{AK}}{{EC}} = \dfrac{{OB}}{{OD}}\) Mà \(EC = ED \Rightarrow AK = KB\) . Nên (I), (II), (IV) đúng. Vì \(AB{\rm{//}}DC \Rightarrow \dfrac{{AO}}{{OC}} = \dfrac{{AB}}{{DC}}\) nên (III) sai.
Câu 7 :
Chọn câu trả lời đúng: Cho hình bên, biết \(DE{\rm{//}}AC\), tìm \(x\) :
Đáp án : B Phương pháp giải :
Bước 1: Áp dụng định lý Talet để lập được tỉ lệ thức phù hợp Bước 2: Biến đổi tỉ lệ thức để tìm ra giá trị $x$ . Lời giải chi tiết :
Vì \(DE{\rm{//}}AC\), áp dụng định lý Talet, ta có: \(\dfrac{{BD}}{{BA}} = \dfrac{{BE}}{{BC}}\)\( \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{BD + DA}} = \dfrac{{BE}}{{BE + EC}}\)\( \Rightarrow \dfrac{5}{{5 + 2}} = \dfrac{x}{{x + 2,5}} \)\(\Rightarrow \dfrac{x}{{x + 2,5}} = \dfrac{5}{7} \)\( \Rightarrow 7x = 5x + 12,5 \)\(\Rightarrow x = 6,25. \)
Câu 8 :
Cho tam giác $ABC$ có $AB = 9\,cm$, điểm $D$ thuộc cạnh $AB$ sao cho $AD = 6\,cm$. Kẻ $DE$ song song với $BC$ $\left( {E \in AC} \right)$, kẻ $EF$ song song với $CD$ $\left( {F \in AB} \right)$. Tính độ dài $AF$ .
Đáp án : C Lời giải chi tiết :
 Áp dụng định lí Ta-lét : Với ${\rm{EF//}}CD$ ta có $\dfrac{{AF}}{{AD}} = \dfrac{{AE}}{{AC}}$. Với $DE{\rm{//}}BC$ ta có $\dfrac{{AE}}{{AC}} = \dfrac{{AD}}{{AB}}$. Suy ra $\dfrac{{AF}}{{AD}} = \dfrac{{AD}}{{AB}}$, tức là $\dfrac{{AF}}{6} = \dfrac{6}{9}$. Vậy ${\rm{AF = }}\dfrac{{6.6}}{9} = 4$(cm).
Câu 9 :
Tính các độ dài $x,y$ trong hình bên:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Bước 1: Tính \(OB'\) dựa vào định lý Pytago từ đó áp dụng định lý talet tìm ra tỉ lệ thức phù hợp. Bước 2: Biến đổi tỉ lệ thức tìm ra giá trị $x,y$ . Lời giải chi tiết :
Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông \(OA'B'\), ta có: \(\begin{array}{l}OA{'^2} + A'B{'^2} = OB{'^2}\\ \Leftrightarrow {2^2} + {4^2} = OB{'^2}\\ \Leftrightarrow OB{'^2} = 20\\ \Rightarrow OB' = \sqrt {20} \end{array}\) \(A'B' \bot AA',\;AB \bot AA' \Rightarrow A'B'\parallel AB\) (Theo định lý từ vuông góc đến song song) Áp dụng định lý Ta-let, ta có: \(\dfrac{{OA'}}{{OA}} = \dfrac{{OB'}}{{OB}} = \dfrac{{A'B'}}{{AB}}\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {20} }}{x} = \dfrac{2}{5}\\\dfrac{4}{y} = \dfrac{2}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{5.\sqrt {20} }}{2} = 5\sqrt 5 \\y = \dfrac{{4.5}}{2} = 10\end{array} \right.\) Vậy \(x = 5\sqrt 5 \) và \(y = 10\).
Câu 10 :
Tìm giá trị của \(x\) trên hình vẽ.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Bước 1: Áp dụng định lý Ta-let để lập được tỉ lệ thức phù hợp. Bước 2: Biến đổi tỉ lệ thức để tìm ra giá trị $x$ . Lời giải chi tiết :
 Vì \(MN{\rm{//}}HK\), áp dụng định lý Ta-let ta có: \(\begin{array}{l}\dfrac{{SM}}{{SH}} = \dfrac{{SN}}{{SK}} \Rightarrow \dfrac{{SM}}{{SM + MH}} = \dfrac{{SN}}{{SK}}\\ \Rightarrow \dfrac{x}{{x + 3}} = \dfrac{7}{{12}} \Rightarrow 12x = 7x + 21\\ \Rightarrow x = \dfrac{{21}}{5}\end{array}\) Vậy \(x = \dfrac{{21}}{5}\) .
Câu 11 :
Cho hình thang $ABCD$ $\left( {AB{\rm{//}}CD} \right)$ có $BC = 15\,cm$. Điểm $E$ thuộc cạnh $AD$ sao cho $\dfrac{{AE}}{{AD}} = \dfrac{1}{3}$. Qua $E$ kẻ đường thẳng song song với $CD$ , cắt $BC$ ở $F$ . Tính độ dài $BF$ .
Đáp án : B Lời giải chi tiết :
 Gọi $I$ là giao điểm của $AC$ và$EF$ . Xét tam giác \(ACB\) có \(IF{\rm{//}}AB\) nên theo định lý Ta-lét ta có $\dfrac{{BF}}{{BC}} = \dfrac{{AI}}{{AC}} = \dfrac{{AE}}{{AD}} = \dfrac{1}{3}$ nên $BF = \dfrac{1}{3}BC = \dfrac{1}{3}.15 = 5\left( {cm} \right)$
Câu 12 :
Cho tam giác $ABC$ . Một đường thẳng song song với $BC$ cắt các cạnh $AB$ và $AC$ theo thứ tự ở $D$ và $E$ . Chọn câu đúng.
Đáp án : A Lời giải chi tiết :
 Vì \(DE{\rm{//}}BC\) nên theo định lý Ta-let ta có \(\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{AE}}{{AC}}\) . Từ đó $\dfrac{{AD}}{{AB}} + \dfrac{{CE}}{{CA}} = \dfrac{{AE}}{{AC}} + \dfrac{{CE}}{{CA}} = \dfrac{{AC}}{{AC}} = 1$
Câu 13 :
Cho tam giác $ABC$ , đường trung tuyến $AD$ . Gọi $K$ là điểm thuộc đoạn thẳng $AD$ sao cho $\dfrac{{AK}}{{KD}} = \dfrac{1}{2}$. Gọi $E$ là giao điểm của $BK$ và $AC$ . Tính tỉ số $\dfrac{{AE}}{{EC}}$.
Đáp án : D Phương pháp giải :
Bước 1: Kẻ $DM{\rm{//}}BE$, \(M \in AC\) . Bước 2: Sử dụng định lý Ta-lét để suy ra tỉ số $\dfrac{{AE}}{{EM}}$ và $\dfrac{{EM}}{{EC}}$. Từ đó $\dfrac{{AE}}{{EC}} = \dfrac{{AE}}{{EM}}.\dfrac{{EM}}{{EC}}$. Lời giải chi tiết :
 Kẻ $DM{\rm{//}}BE \Rightarrow DM{\rm{//}}KE$, theo định lý Ta-lét trong tam giác \(ADM\) ta có $\dfrac{{AE}}{{EM}} = \dfrac{{AK}}{{KD}} = \dfrac{1}{2}$ Xét tam giác \(BEC\) có $DM{\rm{//}}BE$ nên $\dfrac{{EM}}{{EC}} = \dfrac{{BD}}{{BC}} = \dfrac{1}{2}$ (định lý Ta-lét) Do đó $\dfrac{{AE}}{{EC}} = \dfrac{{AE}}{{EM}}.\dfrac{{EM}}{{EC}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$
Câu 14 :
Cho hình thang \(ABCD\)\(\left( {AB//CD} \right)\) có diện tích \(36\,c{m^2}\),\(AB = 4\,{\rm{cm,CD = 8}}\,{\rm{cm}}\). Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo. Tính diện tích tam giác \(COD\).
Đáp án : C Phương pháp giải :
Bước 1: Từ công thức tính diện tích hình thang ta tính chiều cao của hình thang. Bước 2: Sử dụng định lý Ta-lét để tính chiều cao của tam giác \(ODC\) từ đó suy ra diện tích tam giác \(ODC\) . Lời giải chi tiết :
 Kẻ \(AH \bot DC;\,OK \bot DC\) tại \(H;K\) suy ra \(AH{\rm{//}}OK\) . Chiều cao của hình thang :\(AH = \dfrac{{2{S_{ABCD}}}}{{AB + CD}} = \dfrac{{2.36}}{{4 + 8}} = 6\left( {cm} \right)\) Vì \(AB{\rm{//}}DC\) (do \(ABCD\) là hình thang) nên theo định lý Ta-lét ta có \(\dfrac{{OC}}{{OA}} = \dfrac{{CD}}{{AB}} = \dfrac{8}{4} = 2\)\( \Rightarrow \dfrac{{OC}}{{OC + OA}} = \dfrac{2}{{2 + 1}} \Leftrightarrow \dfrac{{OC}}{{AC}} = \dfrac{2}{3}\) Vì \(AH{\rm{//}}OK\) (cmt) nên theo định lý Ta-lét cho tam giác \(AHC\) ta có \(\begin{array}{l}\dfrac{{OK}}{{AH}} = \dfrac{{OC}}{{AC}} = \dfrac{2}{3}\\ \Rightarrow OK = \dfrac{2}{3}AH \Leftrightarrow OK = \dfrac{2}{3}.6 = 4\,cm\end{array}\) Do đó \({S_{COD}} = \dfrac{1}{2}OK.DC = \dfrac{1}{2}.4.8 = 16\left( {c{m^2}} \right)\).
Câu 15 :
Cho điểm \(M\) thuộc đoạn thẳng \(AB\). Vẽ về một phía của \(AB\) các tam giác đều \(AMC\) và \(MBD\) . Gọi \(E\) là giao điểm của \(AD\) và \(MC\), \(F\) là giao điểm của \(BC\) và \(DM\) . Câu 15.1
Đặt \(MA = a,MB = b\). Tính \(ME,MF\) theo \(a\) và \(b\).
Đáp án : B Phương pháp giải :
Bước 1: Chứng minh \(MD{\rm{//}}AC\) Bước 2: Sử dụng định lý Ta-let và tính chất tỉ lệ thức. Lời giải chi tiết :
 Vì các tam giác \(AMC\) và \(BMD\) đều nên \(\widehat {BMD} = \widehat {MAC} = 60^\circ \Rightarrow MD{\rm{//}}AC\) (vì hai góc ở vị trí đồng vị) Vì \(MD{\rm{//}}AC\) nên theo hệ quả định lý Talet cho hai tam giác \(DEM\) và \(AEC\) ta có \(\dfrac{{ME}}{{EC}} = \dfrac{{MD}}{{AC}} = \dfrac{b}{a}\) Suy ra \(\begin{array}{l}\dfrac{{ME}}{{EC}} = \dfrac{b}{a} \Rightarrow \dfrac{{ME}}{{ME + EC}} = \dfrac{b}{{b + a}}\\ \Rightarrow \dfrac{{ME}}{a} = \dfrac{b}{{b + a}} \Rightarrow ME = \dfrac{{ab}}{{b + a}}\end{array}\) Tương tự \(MF = \dfrac{{ba}}{{a + b}}\) . Vậy \(ME = MF = \dfrac{{ab}}{{b + a}}\). Câu 15.2
Tam giác \(MEF\) là tam giác gì? Chọn đáp án đúng nhất.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng kết quả câu trước $ME=MF$ Chứng minh tam giác \(MEF\) là tam giác cân có một góc bằng \(60^\circ \) . Lời giải chi tiết :
 Từ câu trước ta có \(ME = MF \Rightarrow \Delta EMF \) cân tại \(M\) . Ta có \(\widehat {AMC} + \widehat {EMF} + \widehat {DMB} = 180^\circ \) mà \(\widehat {AMC} = \widehat {DMB} = 60^\circ \) (tính chất tam giác đều), nên \(\begin{array}{l}\widehat {EMF} = 180^\circ - \widehat {CMA} - \widehat {DMB}\\ = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ \end{array}\) Từ đó \(MEF\) là tam giác cân có một góc bằng \(60^\circ \) nên nó là tam giác đều.
Câu 16 :
Cho tứ giác \(ABCD\), lấy bất kỳ \(E \in BD\) . Qua \(E\) vẽ \(EF\) song song với \(AD\)( \(F\) thuộc \(AB\)), vẽ \(EG\) song song với \(DC\)(\(G\) thuộc\(BC\)). Chọn khẳng định sai.
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng định lý Ta-lét và định lý Ta-lét đảo để suy ra các hệ thức đúng. Lời giải chi tiết :
 Áp dụng định lí Ta-lét trong \(\Delta ABD\) với \(EF{\rm{//}}AD\), ta có \(\dfrac{{BE}}{{ED}} = \dfrac{{BF}}{{FA}}\). (1) Áp dụng định lí Ta-lét trong\(\Delta BDC\) với \(EG{\rm{//}}DC\), ta có \(\dfrac{{BE}}{{ED}} = \dfrac{{BG}}{{GC}}\). (2) Từ (1) và (2) suy ra\(\dfrac{{BF}}{{FA}} = \dfrac{{BG}}{{GC}}\), do đó \(FG{\rm{//}}AC\)(định lí Ta-lét đảo). Vậy A, B, C đúng, D sai.
Câu 17 :
Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến, N là điểm trên đoạn thẳng AM. Gọi D là giao điểm của CN và AB, E là giao điểm của BN và AC. Chọn khẳng định đúng nhất.
Đáp án : C Phương pháp giải :
Bước 1: Vẽ thêm đường thẳng song song để hình thành các cặp đoạn thẳng tỉ lệ. Bước 2: Áp dụng định lý Talet và tính chất bắc cầu để tìm ra tỉ lệ thức cần chứng minh Lời giải chi tiết :
 Kẻ đường thẳng đi qua $A$ song song với $BC$ lần lượt cắt $CD$ và $BE$ kéo dài tại \(B'\) và \(C'\). Vì M là trung điểm của $BC$ nên \(BM = MC\). Vì \(AB'{\rm{//}}MC\), áp dụng định lý Talet ta có: \(\dfrac{{AN}}{{NM}} = \dfrac{{AB'}}{{MC}}\) (1)\(\) Vì \(AC'{\rm{//}}\,BM\), áp dụng định lý Talet ta có: \(\dfrac{{AN}}{{NM}} = \dfrac{{AC'}}{{BM}}\) (2) Từ (1) và (2) ta có: \(\dfrac{{AB'}}{{MC}} = \dfrac{{AC'}}{{BM}}\) Ta có $M$ là trung điểm của $BC$ \( \Rightarrow \)\(BM = MC\)\( \Rightarrow \)\(AB' = AC'\) (*) Vì \(AB'{\rm{//}}\,BC\), áp dụng định lý Talet ta có: \(\dfrac{{AD}}{{DB}} = \dfrac{{AB'}}{{BC}}\) (**) Vì \(AC'{\rm{//}}\,BC\), áp dụng định lý Talet ta có: \(\dfrac{{AE}}{{EC}} = \dfrac{{AC'}}{{BC}}\) (***) Từ (*), (**) và (***) ta có: \(\dfrac{{AD}}{{DB}} = \dfrac{{AB'}}{{BC}} = \dfrac{{AE}}{{EC}} = \dfrac{{AC'}}{{BC}}\) \( \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{DB}} = \dfrac{{AE}}{{EC}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{AD}}{{BD}} = \dfrac{{AE}}{{CE}}\) hay \(DE{\rm{//}}BC\)
Câu 18 :
Cho tam giác ABC, M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh BC, biết \(\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{NC}}{{NB}} = \frac{2}{5},MN = 15\left( {cm} \right)\). Tính độ dài cạnh AC.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Dựa vào định lí Thales và định lý Thales đảo. Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{NC}}{{NB}} = \frac{2}{5} \Rightarrow MN\parallel AC\) \(\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{2}{5},MA + MB = AB\) \( \Rightarrow \frac{{MA}}{{AB}} = \frac{2}{7};\frac{{MB}}{{AB}} = \frac{5}{7}\) Áp dụng định lý Talet trong tam giác ABC với MN//AC ta có: \(\frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{MN}}{{AC}} = \frac{5}{7}\) \( \Rightarrow AC = \frac{{7MN}}{5} = \frac{{7.15}}{5} = 21\left( {cm} \right)\)
|
