Trắc nghiệm Tổng hợp bài tập dao động cơ (phần 1) - Vật Lí 12

Đề bài

Câu 1 :

Một con lắc lò xo nằm ngang gồm vật nặng tích điện \(q = 20{\rm{ }}\mu C\) và lò xo có độ cứng \(k{\rm{ }} = {\rm{ }}10{\rm{ }}N/m\). Khi vật đang nằm cân bằng, cách điện, trên mặt bàn nhẵn thì xuất hiện tức thời một điện trường đều  trong không gian bao quanh có hướng dọc theo trục lò xo. Sau đó con lắc dao động trên một đoạn thẳng dài \(4{\rm{ }}cm\). Độ lớn cường độ điện trường $E$ là:

  • A

    \({2.10^4}V/m\)

  • B

    \({2,5.10^4}V/m\)

  • C

    \({1,5.10^4}V/m\)

  • D

    \({10^4}V/m\)

Quảng cáo
decumar
Câu 2 :

Một vật nặng có khối lượng m, điện tích \(q{\rm{ }} = {\rm{ }} + {\rm{ }}5.{\rm{ }}{10^{ - 5}}\left( C \right)\) được gắn vào lò xo có độ cứng \(k{\rm{ }} = {\rm{ }}10{\rm{ }}N/m\) tạo thành con lắc lò xo nằm ngang . Điện tích trên vật nặng không thay đổi khi con lắc dao động và bỏ qua mọi ma sát. Kích thích cho con lắc dao động điều hòa với biên độ \(5cm\). Tại thời điểm vật nặng đi qua vị trí cân bằng và có vận tốc hướng ra xa điểm treo lò xo, người ta bật một điện trường đều có cường độ \(E{\rm{ }} = {\rm{ }}{10^4}V/m\), cùng hướng với vận tốc của vật. Khi đó biên độ dao động mới của con lắc lò xo là:

  • A

    \(10cm\)

  • B

    \(7,07cm\)

  • C

    \(5cm\)

  • D

    \(8,66cm\)  

Câu 3 :

Một vật có khối lượng \(m{\rm{ }} = {\rm{ }}1kg\) được treo vào lò xo có độ cứng \(100N/m\), một đầu lò xo được giữ cố định. Ban đầu vật được đặt ở vị trí lò xo không biến dạng và đặt lên một miếng ván nằm ngang. Sau đó người ta cho miếng ván chuyển động nhanh dần đều thẳng đứng xuống dưới với gia tốc \(a{\rm{ }} = {\rm{ }}2m/{s^2}\). Lấy \(g = {\rm{ }}10m/{s^2}\). Sau khi rời tấm ván vật dao động điều hòa với vận tốc cực đại là :

  • A

    \(60cm/s\)

  • B

    \(18cm/s\)       

  • C

    \(80cm/s\)      

  • D

    \(36cm/s\)

Câu 4 :

Một vật có khối lượng không đổi, thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa có phương trình dao động lần lượt là \({x_1} = {\rm{ }}10cos(2\pi t + {\rm{ }}\varphi )cm\) và \({x_2} = {\rm{ }}{A_2}cos(2\pi t - \dfrac{\pi }{2})cm\) thì dao động tổng hợp là \(x = Acos(2\pi t - \dfrac{\pi }{3})cm\) . Khi năng lượng dao động của vật cực đại thì biên độ dao động \({A_2}\) có giá trị là:

  • A

    \(\dfrac{{20}}{{\sqrt 3 }}cm\)

  • B

    \(10\sqrt 3 cm\)

  • C

    \(\dfrac{{10}}{{\sqrt 3 }}cm\)

  • D

    \(20cm\)

Câu 5 :

Một con lắc lò xo ngang có độ cứng \(k{\rm{ }} = {\rm{ }}50{\rm{ }}N/m\) nặng \(200g\). Bỏ qua ma sát giữa vật và mặt phẳng ngang. Khi vật đang ở vị trí cân bằng thì tác dụng vào vật một lực không đổi \(2N\) theo dọc trục của lò xo. Tốc độ của vật sau \(\dfrac{2}{{15}}s\)  có giá trị là bao nhiêu? Lấy ${\pi ^2} = 10$

  • A

    \(43,75{\rm{ }}cm/s\)

  • B

    \(54,77{\rm{ }}cm/s\)       

  • C

    \(63,45{\rm{ }}cm/s\)

  • D

    \(78,43{\rm{ }}cm/s\)

Câu 6 :

Con lắc lò xo gồm lò xo có độ cứng \(200N/m\) , quả cầu $m$ có khối lượng \(1kg\) đang dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với biên độ \(12,5cm\). Khi quả cầu xuống đến vị trí thấp nhất thì có một vật nhỏ khối lượng \(500g\) bay theo phương trục lò xo, từ dưới lên với tốc độ \(6m/s\) tới dính chặt vào M. Lấy \(g{\rm{ }} = {\rm{ }}10m/{s^2}\). Sau va chạm , hai vật dao động điều hòa. Biên độ dao động của hệ hai vật sau va chạm là :

  • A

    $10 cm$

  • B

    $20 cm$

  • C

    \(10\sqrt {13} cm\)  

  • D

    \(21cm\)

Câu 7 :

Hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần số, trên hai đường thẳng song song với nhau và song song với trục \(Ox\)có phương trình lần lượt là \({x_1} = {\rm{ }}{A_1}cos\left( {\omega t + {\varphi _1}} \right)\) và \({x_2} = {\rm{ }}{A_2}cos\left( {\omega t + {\varphi _2}} \right)\). Giả sử \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}{x_1} + {\rm{ }}{x_2}\) và \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x_1} - {\rm{ }}{x_2}\) . Biết rằng biên độ dao động của \(x\) gấp năm lần biên độ dao động của \(y\). Độ lệch pha cực đại giữa \({x_1}\) và \({x_2}\)  gần với giá trị nào nhất sau đây?

  • A

    \({53,14^0}\)

  • B

    \({126,87^0}\)

  • C

    \({22,62^0}\)

  • D

    \({143,14^0}\)

Câu 8 :

Hai chất điểm dao động  trên hai phương song song với nhau và cùng  vuông góc với trục \(Ox\) nằm ngang. Vị trí cân bằng của chúng nằm trên \(Ox\) và cách nhau \(15{\rm{ }}cm\), phương trình dao động của chúng lần lượt là: \({y_1} = 8cos\left( {7\pi t-\dfrac{\pi }{{12}}} \right)cm\); \({y_2} = 6cos\left( {7\pi t + \dfrac{\pi }{4}} \right)cm\). Khoảng cách lớn nhất giữa hai chất điểm gần giá trị nào nhất sau đây:

  • A

    $20 cm$

  • B

    $15 cm$

  • C

    $17 cm$

  • D

    $18 cm$

Câu 9 :

Hai con lắc lò xo đặt trên mặt nằm ngang không ma sát, hai đầu gắn hai vật nặng khối lượng \({m_1} = {\rm{ }}{m_2}\), hai đầu lò xo còn lại gắn cố định vào hai tường thẳng đứng đối diện sao cho trục chính của chúng trùng nhau. Độ cứng tương ứng của mỗi lò xo lần lượt là \({k_1} = {\rm{ }}100{\rm{ }}N/m,{\rm{ }}{k_2} = {\rm{ }}400{\rm{ }}N/m\). Vật \({m_1}\) đặt bên trái, \({m_2}\) đặt bên phải. Kéo \(m_1\) về bên trái và \({m_2}\) về bên phải rồi buông nhẹ hai vật cùng thời điểm cho chúng dao động điều hòa cùng cơ năng \(0,125{\rm{ }}J\). Khi hai vật ở vị trí cân bằng chúng cách nhau \(10{\rm{ }}cm\). Khoảng cách ngắn nhất giữa hai vật trong quá trình dao động là:

  • A

    \(3,32{\rm{ }}cm\)

  • B

    \(6,25{\rm{ }}cm\)

  • C

    \(9,8{\rm{ }}cm\)

  • D

    \(2,5{\rm{ }}cm\)

Câu 10 :

Cho cơ hệ như hình bên. Vật m khối lượng \(100{\rm{ }}g\) có thể chuyển động tịnh tiến, không ma sát trên mặt phẳng nằm ngang dọc theo trục lò xo có \(k{\rm{ }} = {\rm{ }}40{\rm{ }}N/m\). Vật M khối lượng \(300{\rm{ }}g\) có thể trượt trên m với hệ số ma sát \(\mu {\rm{ }} = {\rm{ }}0,2\). Ban đầu, giữ m đứng yên ở vị trí lò xo dãn \(4,5{\rm{ }}cm\) , dây D (mềm, nhẹ, không dãn) song song với trục lò xo. Biết M luôn ở trên m và mặt tiếp xúc giữa hai vật nằm ngang. Lấy \(g{\rm{ }} = {\rm{ }}10{\rm{ }}m/{s^2}\) . Thả nhẹ cho m chuyển động. Tính từ lúc thả đến khi lò xo trở về trạng thái có chiều dài tự nhiên lần thứ 3 thì tốc độ trung bình của m là:   

  • A

    16,7 cm/s.           

  • B

    23,9 cm/s.   

  • C

    29,1 cm/s.

  • D

    8,36 cm/s.

Câu 11 :

Hai điểm sáng dao động điều hòa với cùng biên độ trên một đường thẳng, quanh vị trí cân bằng O. Các pha của hai dao động ở thời điểm t là a1 và a2 . Hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của a1 và của a2 theo thời gian t. Tính từ \(t = 0\), thời điểm hai điểm sáng gặp nhau lần đầu là

  • A

    \(0,15 s\).

  • B

    \(0,3 s\).

  • C

    \(0,2 s\).

  • D

    \(0,25 s\).

Câu 12 :

Có hai con lắc lò xo giống nhau dao động điều hòa trên hai đường thẳng kề nhau và cùng song song với trục Ox, có vị trí cân bằng nằm trên cùng một đường thẳng vuông góc với trục Ox tại O. Biên độ của con lắc 1 là \(4cm\), của con lắc 2 là \(4\sqrt 3 cm\) , con lắc 2 dao động sớm pha hơn con lắc 1. Trong quá trình dao động, khoảng cách lớn nhất giữa hai vật là \(4cm\). Khi động năng của con lắc 1 đạt cực đại là \(W\) thì động năng của con lắc 2 là

  • A

    3W/4

  • B

    2W/3

  • C

    W

  • D

    9W/4

Câu 13 :

Hai con lắc lò xo giống hệt nhau được treo thẳng đứng, sát nhau trên cùng một giá cố định nằm ngang. Mỗi con lắc gồm lò xo nhẹ độ cứng k và một vật nhỏ có khối lượng 125 g. Kích thích cho hai vật dao động điều hòa sao cho biên độ dao động thỏa mãn \({A_1} + {A_2} = {\rm{8 (cm)}}\). Tại mọi thời điểm li độ và vận tốc của các vật liên hệ với nhau bằng biểu thức: \({v_2}{x_1} + {v_1}{x_2} = 96\pi ;\)v(cm/s); x(cm). Bỏ qua mọi ma sát, lấy \(g = 1{\rm{0 (m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{), }}{\pi ^2} = 10.\) Độ cứng k của lò xo không thể nhận giá trị nào sau đây?

  • A

    \(50 N/m\)

  • B

    \(45 N/m\)

  • C

    \(40 N/m\)

  • D

    \(60 N/m\)

Câu 14 :

Một con lắc lò xo dao động trên trục Ox, gọi \({\rm{\Delta t}}\) là khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp vật có động năng bằng thế năng. Tại thời điểm t vật đi qua vị trí có tốc độ \(15\pi \sqrt 3 \)cm/s với độ lớn gia tốc \(22,5 m/s^2\), sau đó một khoảng thời gian đúng bằng \({\rm{\Delta t}}\) vật đi qua vị trí có độ lớn vận tốc \(45\pi cm/s\). Lấy \({\pi ^2} = 10.\) Biên độ dao động của vật là

  • A

    \(8 cm\)

  • B

    \(5\sqrt 3 cm \)

  • C

    \(6\sqrt 3 cm\)

  • D

    \(5\sqrt 2 cm\) 

Câu 15 :

Hai chất điểm có khối lượng \({m_1} = 2{m_2}\)dao động điều hòa trên hai đường thẳng song song, sát nhau với biên độ bằng nhau và bằng \(8 cm\), vị trí cân bằng của chúng nằm sát nhau. Tại thời điểm \({t_0}\), chất điểm \({m_1}\) chuyển động nhanh dần qua li độ \(4\sqrt 3cm\), chất điểm \({m_2}\) chuyển động ngược chiều dương qua vị trí cân bằng. Tại thời điểm t, chúng gặp nhau lần đầu tiên trong trạng thái chuyển động ngược chiều nhau qua li độ \(x = - 4 cm\). Tỉ số động năng của chất điểm thứ nhất so với chất điểm thứ hai tại thời điểm gặp nhau lần thứ \(2019\) là

  • A

    \(0,72\).

  • B

    \(0,75\).

  • C

    \(1,4\).

  • D

    \(1,5\).

Câu 16 :

Hai con lắc lò xo \(M\) và \(N\) giống hệt nhau, đầu trên của hai lò xo được gắn ở cùng một giá đỡ cố định nằm ngang. Vật nặng của \(M\) và của \(N\) dao động điều hoà theo phương thẳng đứng với biên độ lần lượt là \(A\) và \(A\sqrt 3 \). Trong quá trình dao động, chênh lệch độ cao lớn nhất giữa hai vật là \(A\). Chọn mức thế năng tại vị trí cân bằng của mỗi vật. Khi động năng của \(M\) đạt cực đại và bằng \(0,12 J\) thì động năng của \(N\) là

  • A

    \(0,12 J\).

  • B

    \(0,09 J\).

  • C

    \(0,36 J\).

  • D

    \(0,27 J\).

Câu 17 :

Trong thí nghiệm giao thoa sóng ở mặt nước với hai nguồn cùng pha đặt tại hai điểm \(A\) và \(B\). Biết sóng truyền trên mặt nước với bước sóng là \(\lambda \), độ dài đoạn thẳng \(AB\) là \(5,8\)\(\lambda \). Ở mặt nước, gọi \((Δ)\) là đường trung trực của \(AB\); \(M, N, P, Q\) là bốn điểm không thuộc \((Δ)\) mà phần tử nước tại bốn điểm đó đều dao động với biên độ cực đại, cùng pha với nguồn và gần \((Δ)\) nhất. Trong bốn điểm \(M, N, P, Q\) khoảng cách giữa hai điểm xa nhau nhất có giá trị là

  • A

    \(3,86\lambda \)

  • B

    \(3,14\lambda \)

  • C

    \(4,05\lambda \)

  • D

    \(4,46\lambda \)

Câu 18 :

Một con lắc đơn có chiều dài \(60 cm\) dao động điều hòa tại nơi có \(g =10 m/s^2\). Tại thời điểm \(t_1\), vật có li độ góc bằng \(0,06 rad\). Tại thời điểm \(t_2= t_1 +\) \(\dfrac{{\pi \sqrt 6 }}{{20}}\)(s), tốc độ của vật có giá trị gần nhất với giá trị nào sau đây?

  • A

    \(60 cm/s\).

  • B

    \(14,9 cm/s\).

  • C

    \(21,6 cm/s\).

  • D

    \(14,6 cm/s\).

Câu 19 :

Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm vật nặng m = 100g, lò xo có độ cứng k = 40N/m. Từ vị trí cân bằng kéo vật xuống dưới 5cm rồi thả nhẹ cho nó dao động điều hòa. Lấy g = π2 = 10m/s2. Trong một chu kì, tốc độ trung bình của vật trong khoảng thời gian lò xo bị nén là

  • A
    \(\frac{{1,5}}{\pi }\left( {m/s} \right)\)
  • B
    \(\frac{{15}}{\pi }\left( {m/s} \right)\)
  • C
    \(\frac{3}{\pi }\left( {m/s} \right)\)
  • D
    \(\frac{{30}}{\pi }\left( {cm/s} \right)\)
Câu 20 :

Hai vật \(A\) và \(B\) có cùng khối lượng \(1\,\,\left( {kg} \right)\) và có kích thước nhỏ, được nối với nhau bằng một sợi dây mảnh, nhẹ, không dẫn điện dài \(20\,\,\left( {cm} \right)\), vật \(B\) tích điện tích \(q = {10^{ - 6}}\,\,\left( C \right)\). Vật A được gắn vào một đầu lò xo nhẹ có độ cứng \(k = 10\,\,\left( {N/m} \right)\), đầu kia của lò xo cố định. Hệ được đặt nằm ngang trên mặt bàn nhẵn trong một điện trường đều có cường độ điện trường \(E = {2.10^5}\,\,\left( {V/m} \right)\) hướng dọc theo trục lò xo. Ban đầu hệ nằm yên, lò xo bị dãn. Cắt dây nối hai vật, vật \(B\) rời ra chuyển động dọc theo chiều điện trường, vật \(A\) dao động điều hòa. Sau khoảng thời gian \(1,5\,\,\left( s \right)\) kể từ lúc dây bị cắt thì \(A\) và \(B\) cách nhau một khoảng gần đúng là?

  • A
    \(28,5\,\,\left( {cm} \right)\).
  • B
    \(44,5\,\,\left( {cm} \right)\).
  • C
    \(24,5\,\,\left( {cm} \right)\).
  • D
    \(22,5\,\,\left( {cm} \right)\).

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Một con lắc lò xo nằm ngang gồm vật nặng tích điện \(q = 20{\rm{ }}\mu C\) và lò xo có độ cứng \(k{\rm{ }} = {\rm{ }}10{\rm{ }}N/m\). Khi vật đang nằm cân bằng, cách điện, trên mặt bàn nhẵn thì xuất hiện tức thời một điện trường đều  trong không gian bao quanh có hướng dọc theo trục lò xo. Sau đó con lắc dao động trên một đoạn thẳng dài \(4{\rm{ }}cm\). Độ lớn cường độ điện trường $E$ là:

  • A

    \({2.10^4}V/m\)

  • B

    \({2,5.10^4}V/m\)

  • C

    \({1,5.10^4}V/m\)

  • D

    \({10^4}V/m\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Sử dụng biểu thức tính lực điện: \({F_d} = qE\)

+ Sử dụng biểu thức tính chiều dài quỹ đạo: \(L = 2A\)

+ Biểu thức tính lực đàn hồi cực đại: \({F_{d{h_{{\rm{max}}}}}} = kA\)

Lời giải chi tiết :

Cách 1:

Vì chiều dài đoạn thẳng dao động là 4cm. suy ra biên độ A = 2cm.

Khi vật m dao động hợp của lực điện trường và lực đàn hồi gây gia tốc a cho vật.

Tại vị trí biên, vật có gia tốc max.

Khi đó ta có: \({F_{dh}} - {F_d} = m{a_{max}} = m{\omega ^2}A = m\dfrac{k}{m}A = kA\)

Tại vị trí M lò xo không biến dạng, tại N lò xo dãn \(2A\) nên:

\(\begin{array}{l}k2A - qE = kA\\ \Rightarrow qE = kA\\ \Rightarrow E = \dfrac{{kA}}{q} = \dfrac{{10.0,02}}{{{{20.10}^{ - 6}}}} = {10^4}V/m\end{array}\)

Cách 2:

Vì chiều dài đoạn thẳng dao động là 4cm. suy ra biên độ A = 2cm.

Tại VTCB: \({F_{dh}} = {F_d} \Leftrightarrow k\Delta l = qE\)

\( \Rightarrow E = \dfrac{{k\Delta l}}{q}\)

Mà \(A = \Delta l\), ta suy ra: \(E = \dfrac{{kA}}{q} = \dfrac{{10.0,02}}{{{{20.10}^{ - 6}}}} = {10^4}V/m\)

Câu 2 :

Một vật nặng có khối lượng m, điện tích \(q{\rm{ }} = {\rm{ }} + {\rm{ }}5.{\rm{ }}{10^{ - 5}}\left( C \right)\) được gắn vào lò xo có độ cứng \(k{\rm{ }} = {\rm{ }}10{\rm{ }}N/m\) tạo thành con lắc lò xo nằm ngang . Điện tích trên vật nặng không thay đổi khi con lắc dao động và bỏ qua mọi ma sát. Kích thích cho con lắc dao động điều hòa với biên độ \(5cm\). Tại thời điểm vật nặng đi qua vị trí cân bằng và có vận tốc hướng ra xa điểm treo lò xo, người ta bật một điện trường đều có cường độ \(E{\rm{ }} = {\rm{ }}{10^4}V/m\), cùng hướng với vận tốc của vật. Khi đó biên độ dao động mới của con lắc lò xo là:

  • A

    \(10cm\)

  • B

    \(7,07cm\)

  • C

    \(5cm\)

  • D

    \(8,66cm\)  

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Sử dụng biểu thức tính động năng: \({{\rm{W}}_d} = \dfrac{1}{2}m{v^2}\)

+ Vận dụng biểu thức tính lực điện: \({F_d} = qE\)

+ Vận dụng biểu thức tính năng lượng của vật: \({\rm{W}} = \dfrac{1}{2}k{x^2} + \dfrac{1}{2}m{v^2}\)

Lời giải chi tiết :

Động năng của vật khi đi qua vị trí cân bằng (khi chưa có điện trường): \(\dfrac{{mv_0^2}}{2} = \dfrac{{kA_1^2}}{2}\)

Vị trí cân bằng mới (khi có thêm điện trường) lò xo biến dạng một đoạn: \(\Delta l = \dfrac{{qE}}{k} = 0,05m = 5cm\)

Ở thời điểm bắt đầu có điện trường có thể xem đưa vật đến vị trí lò xo có độ biến dạng \(\Delta l\) và truyền cho vật vận tốc ${v_0}$. Vậy năng lượng mới của hệ là:

\(\begin{array}{l}
{\rm{W}} = \dfrac{{{\rm{kA}}_2^2}}{2} = \dfrac{{k{{\left( {\Delta l} \right)}^2}}}{2} + \dfrac{{mv_0^2}}{2} = 2\dfrac{{{\rm{kA}}_1^2}}{2}\\
\to {A_2} = \sqrt 2 {A_1} = 7,07cm
\end{array}\)

Câu 3 :

Một vật có khối lượng \(m{\rm{ }} = {\rm{ }}1kg\) được treo vào lò xo có độ cứng \(100N/m\), một đầu lò xo được giữ cố định. Ban đầu vật được đặt ở vị trí lò xo không biến dạng và đặt lên một miếng ván nằm ngang. Sau đó người ta cho miếng ván chuyển động nhanh dần đều thẳng đứng xuống dưới với gia tốc \(a{\rm{ }} = {\rm{ }}2m/{s^2}\). Lấy \(g = {\rm{ }}10m/{s^2}\). Sau khi rời tấm ván vật dao động điều hòa với vận tốc cực đại là :

  • A

    \(60cm/s\)

  • B

    \(18cm/s\)       

  • C

    \(80cm/s\)      

  • D

    \(36cm/s\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Áp dụng định luật II Niuton: \(F = ma\)

+ Sử dụng lí thuyết về chuyển động thẳng nhanh dần đều

+ Sử dụng hệ thức độc lập theo thời gian của x và v để tính biên độ: \({A^2} = {x^2} + \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}}\)

+ Áp dụng công thức tính vận tốc cực đại của con lắc lò xo dao động điều hoà: \({v_{{\rm{max}}}} = \omega A\)

Lời giải chi tiết :

Viết phương trình 2 Niuton cho vật nặng ta được:  \(P{\rm{ }}-{\rm{ }}N{\rm{ }}-{\rm{ }}{F_{h}} = {\rm{ }}ma\)

Khi vật bắt đầu rời tấm ván thì $N = 0$.

Khi đó : \(P-{F_{dh}} = ma \Rightarrow mg - k\Delta l = ma \Rightarrow \Delta l = 0,08m = 8cm\)

Với chuyển động nhanh dần đều có vận tốc đầu bằng 0 ta áp dụng công thức: \(s = \Delta l = \dfrac{1}{2}a{t^2} \Rightarrow t = \sqrt {0,08} \left( s \right)\)

Vận tốc khi rời khỏi ván là: \(v = at = 2\sqrt {0,08} \left( {m/s} \right)\)

Ta có \(\omega {\rm{ }} = {\rm{ }}10{\rm{ }}rad/s\) , vị trí cân bằng của vật lò xo dãn: \(\Delta l = \dfrac{{mg}}{k} = 0,1m = 10cm\)

Tại thời điểm vật rời ván ta có: \(x =  - 0,02m;v = 2\sqrt {0,08} \left( {m/s} \right)\)

Biên độ dao động: \({A^2} = {x^2} + \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} \Rightarrow A = 0,06m = 6cm\)

Vận tốc cực đại của vât: \({v_0} = {\rm{ }}\omega A{\rm{ }} = {\rm{ }}60cm/s\)

Câu 4 :

Một vật có khối lượng không đổi, thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa có phương trình dao động lần lượt là \({x_1} = {\rm{ }}10cos(2\pi t + {\rm{ }}\varphi )cm\) và \({x_2} = {\rm{ }}{A_2}cos(2\pi t - \dfrac{\pi }{2})cm\) thì dao động tổng hợp là \(x = Acos(2\pi t - \dfrac{\pi }{3})cm\) . Khi năng lượng dao động của vật cực đại thì biên độ dao động \({A_2}\) có giá trị là:

  • A

    \(\dfrac{{20}}{{\sqrt 3 }}cm\)

  • B

    \(10\sqrt 3 cm\)

  • C

    \(\dfrac{{10}}{{\sqrt 3 }}cm\)

  • D

    \(20cm\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Sử dụng giản đồ véc – tơ

+ Sử dụng định lí hàm số sin trong tam giác: \(\dfrac{a}{{\sin a}} = \dfrac{b}{{\sin b}} = \dfrac{c}{{\sin c}}\)

Lời giải chi tiết :

- Từ dữ kiện đề bài \({A_1} = 10cm;{\varphi _{x1}} = \varphi ;{\varphi _{x2}} =  - \dfrac{\pi }{2};{\varphi _x} =  - \dfrac{\pi }{3}\) ta vẽ được giản đồ vecto :

- Xét \(\Delta O{A_2}A\) ta có:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{A_2}A = {A_1} = 10cm}\\{\widehat {{A_2}OA} = {{90}^0} - {{60}^0} = {{30}^0}}\\{\widehat {OA{A_2}} = \widehat {{A_1}OA} = {{60}^0} + \varphi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {O{A_1}//{A_2}A} \right)}\\{\widehat {O{A_2}A} = {{180}^0} - \widehat {{A_2}OA} - \widehat {OA{A_2}} = {{180}^0} - {{30}^0} - {{60}^0} - \varphi  = {{90}^0} - \varphi }\end{array}} \right.\)

- Sử dụng định lí hàm số sin trong \(\Delta O{A_2}A\) ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{{A_2}A}}{{\sin \widehat {{A_2}OA}}} = \dfrac{{O{A_2}}}{{\sin \widehat {OA{A_2}}}} = \dfrac{{OA}}{{\sin \widehat {O{A_2}A}}} \Leftrightarrow \dfrac{{10}}{{\sin 30}} = \dfrac{{{A_2}}}{{\sin \left( {60 + \varphi } \right)}} = \dfrac{A}{{\sin \left( {90 - \varphi } \right)}}}\\{ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{A = \dfrac{{10.\sin \left( {90 - \varphi } \right)}}{{\sin 30}}}\\{{A_2} = \dfrac{{10.\sin \left( {60 + \varphi } \right)}}{{\sin 30}}}\end{array}} \right.}\end{array}\)

- Năng lượng dao động cực đại khi \({A_{max}}\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {90 - \varphi } \right) = 1 \Leftrightarrow 90 - \varphi  = 90 \Rightarrow \varphi  = 0 \Rightarrow {A_2} = \dfrac{{10.\sin \left( {60 + 0} \right)}}{{\sin 30}} = 10\sqrt 3 cm\) 

Câu 5 :

Một con lắc lò xo ngang có độ cứng \(k{\rm{ }} = {\rm{ }}50{\rm{ }}N/m\) nặng \(200g\). Bỏ qua ma sát giữa vật và mặt phẳng ngang. Khi vật đang ở vị trí cân bằng thì tác dụng vào vật một lực không đổi \(2N\) theo dọc trục của lò xo. Tốc độ của vật sau \(\dfrac{2}{{15}}s\)  có giá trị là bao nhiêu? Lấy ${\pi ^2} = 10$

  • A

    \(43,75{\rm{ }}cm/s\)

  • B

    \(54,77{\rm{ }}cm/s\)       

  • C

    \(63,45{\rm{ }}cm/s\)

  • D

    \(78,43{\rm{ }}cm/s\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Áp dụng công thức tính chu kì: \(T = 2\pi \sqrt {\dfrac{k}{m}} \)

+ Áp dụng biểu thức tính lực đàn hồi: \(F = k\left| {\Delta l} \right|\)

+ Hệ thức độc lập A – x- v: \({A^2} = {x^2} + \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}}\)

Lời giải chi tiết :

Vật dao động điều hòa với chu kỳ: $T = 2\pi \sqrt {\dfrac{m}{k}} = 0,4s$

Tần số góc của dao động là: $\omega = \sqrt {\dfrac{k}{m}} = \sqrt {\dfrac{{50}}{{0,2}}} = 5\pi \left( {rad/s} \right)$

Vật đang ở vị trí cân bằng thì tác dụng lực, vậy vị trí cân bằng mới là vị trí lò xo biến dạng một đoạn $∆l$ với: \(F = k\Delta l = 2N \Rightarrow \Delta l = 4cm\)

=> Biên độ dao động mới là \(A{\rm{ }} = {\rm{ }}4cm\)

Giả sử lực tác dụng hướng sang phải, vậy thời điểm ban đầu, vật ở biên bên trái.

PT dao động:\(x{\rm{ }} = {\rm{ }}4cos\left( {5\pi t{\rm{ }} + {\rm{ }}\pi } \right)cm\) , sau \(\dfrac{2}{{15}}s\) vật có \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}2cm\)

Áp dụng công thức độc lập: \({A^2} = {x^2} + \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}}\) ta tìm được tốc độ của vật là \(54,77cm/s\)

Câu 6 :

Con lắc lò xo gồm lò xo có độ cứng \(200N/m\) , quả cầu $m$ có khối lượng \(1kg\) đang dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với biên độ \(12,5cm\). Khi quả cầu xuống đến vị trí thấp nhất thì có một vật nhỏ khối lượng \(500g\) bay theo phương trục lò xo, từ dưới lên với tốc độ \(6m/s\) tới dính chặt vào M. Lấy \(g{\rm{ }} = {\rm{ }}10m/{s^2}\). Sau va chạm , hai vật dao động điều hòa. Biên độ dao động của hệ hai vật sau va chạm là :

  • A

    $10 cm$

  • B

    $20 cm$

  • C

    \(10\sqrt {13} cm\)  

  • D

    \(21cm\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Áp dụng định luật bảo toàn động lượng: \(\overrightarrow p  = \overrightarrow {p'} \)

+ Sử dụng hệ thức độc lập với thời gian của A-x-v: \({A^2} = {x^2} + \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}}\)

Lời giải chi tiết :

- Ở vị trí cân bằng lò xo dãn một đoạn $∆l$

Ta có: $k\Delta l = mg \to \Delta l = \dfrac{{mg}}{k} = \dfrac{{1.10}}{{200}} = 0,05m = 5cm$

- Khi quả cầu đến vị trí thấp nhất thì lò xo đang dãn đoạn: \(A{\rm{ }} + {\rm{ }}\Delta l = {\rm{ }}12,5{\rm{ }} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}17,5cm\) và vận tốc của vật bằng \(0\).

+ Sau khi va chạm vận tốc hai vật là: \(mv = \left( {m + M} \right)v' \leftrightarrow 0,5.6 = 1,5.v' \to v' = 2m/s\)

Sau đó hai vật dao động điều hòa, vị trí cân bằng lò xo dãn \(\Delta l'\) với : \(k\Delta \ell ' = (m + M)g \Rightarrow \Delta \ell ' = 0,075m = 7,5cm\)

Vậy khi \(x = 10cm,{\rm{ }}v' = 2m/s\), \(\omega ' = \sqrt {\dfrac{k}{{M + m}}}  = \sqrt {\dfrac{{400}}{3}} rad/s\)

Áp dụng công thức độc lập: \({A^2} = {x^2} + \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} \Rightarrow A = 0,2m = 20cm\)

Câu 7 :

Hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần số, trên hai đường thẳng song song với nhau và song song với trục \(Ox\)có phương trình lần lượt là \({x_1} = {\rm{ }}{A_1}cos\left( {\omega t + {\varphi _1}} \right)\) và \({x_2} = {\rm{ }}{A_2}cos\left( {\omega t + {\varphi _2}} \right)\). Giả sử \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}{x_1} + {\rm{ }}{x_2}\) và \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x_1} - {\rm{ }}{x_2}\) . Biết rằng biên độ dao động của \(x\) gấp năm lần biên độ dao động của \(y\). Độ lệch pha cực đại giữa \({x_1}\) và \({x_2}\)  gần với giá trị nào nhất sau đây?

  • A

    \({53,14^0}\)

  • B

    \({126,87^0}\)

  • C

    \({22,62^0}\)

  • D

    \({143,14^0}\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính biên độ của dao động tổng hợp hai dao động cùng phương, cùng tần số: \({A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)\)

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$x = {x_1} + {x_2} = {A_1}\cos \left( {\omega t + {\varphi _1}} \right) + {A_2}\cos \left( {\omega t + {\varphi _2}} \right)$

\(\begin{array}{l}y = {x_1} - {x_2} = {A_1}\cos \left( {\omega t + {\varphi _1}} \right) - {A_2}\cos \left( {\omega t + {\varphi _2}} \right)\\ = {A_1}\cos \left( {\omega t + {\varphi _1}} \right) + {A_2}\cos \left( {\omega t + {\varphi _2} + \pi } \right)\end{array}\)

Ta suy ra:

$\begin{array}{l}A_x^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)\\A_y^2 = A_1^2 + A_2^2 - 2{A_1}{A_2}\cos \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)\\{A_x} = 5{A_y}\\ \to A_x^2 = 25A_y^2\end{array}$

\(\begin{array}{l} \leftrightarrow A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}cos\left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right) = 25\left( {A_1^2 + A_2^2 - 2{A_1}{A_2}cos\left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)} \right)\\ \leftrightarrow 52{A_1}{A_2}cos\left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right) = 24A_1^2 + 24A_2^2\\ \to cos\left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right) = \dfrac{{24A_1^2 + 24A_2^2}}{{52{A_1}{A_2}}}\end{array}\)

Ta có: \(24A_1^2 + 24A_2^2 \ge 2\sqrt {24A_1^2.24A_2^2}  = 2.24{A_1}{A_2}\)

Ta suy ra: \(cos\left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right) \ge \dfrac{{2.24{A_1}{A_2}}}{{52{A_1}{A_2}}} = \dfrac{{12}}{{13}}\)

\( \to \Delta \varphi  = \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right) \le 22,{62^0}\)

Vậy độ lệch pha cực đại của hai dao động là $22,{62^0}$

Câu 8 :

Hai chất điểm dao động  trên hai phương song song với nhau và cùng  vuông góc với trục \(Ox\) nằm ngang. Vị trí cân bằng của chúng nằm trên \(Ox\) và cách nhau \(15{\rm{ }}cm\), phương trình dao động của chúng lần lượt là: \({y_1} = 8cos\left( {7\pi t-\dfrac{\pi }{{12}}} \right)cm\); \({y_2} = 6cos\left( {7\pi t + \dfrac{\pi }{4}} \right)cm\). Khoảng cách lớn nhất giữa hai chất điểm gần giá trị nào nhất sau đây:

  • A

    $20 cm$

  • B

    $15 cm$

  • C

    $17 cm$

  • D

    $18 cm$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng lí thuyết về bài toán khoảng cách:  

$d = \left| {{x_1} - {x_2}} \right|$

Lời giải chi tiết :

+ Khoảng cách giữa hai chất điểm theo phương thẳng đứng:

\(d = \left| {{y_1} - {y_2}} \right| = \sqrt {52} \left| {\cos \left( {7\pi t + \varphi } \right)} \right|cm \Rightarrow {d_{\max }} = \sqrt {52} cm\)

+ Khoảng cách lớn nhất giữa hai chất điểm là: \(\sqrt {{O_1}{O_2}^2 + d_{\max }^2}  = \sqrt {52 + {{15}^2}}  = 16,64cm\)

Câu 9 :

Hai con lắc lò xo đặt trên mặt nằm ngang không ma sát, hai đầu gắn hai vật nặng khối lượng \({m_1} = {\rm{ }}{m_2}\), hai đầu lò xo còn lại gắn cố định vào hai tường thẳng đứng đối diện sao cho trục chính của chúng trùng nhau. Độ cứng tương ứng của mỗi lò xo lần lượt là \({k_1} = {\rm{ }}100{\rm{ }}N/m,{\rm{ }}{k_2} = {\rm{ }}400{\rm{ }}N/m\). Vật \({m_1}\) đặt bên trái, \({m_2}\) đặt bên phải. Kéo \(m_1\) về bên trái và \({m_2}\) về bên phải rồi buông nhẹ hai vật cùng thời điểm cho chúng dao động điều hòa cùng cơ năng \(0,125{\rm{ }}J\). Khi hai vật ở vị trí cân bằng chúng cách nhau \(10{\rm{ }}cm\). Khoảng cách ngắn nhất giữa hai vật trong quá trình dao động là:

  • A

    \(3,32{\rm{ }}cm\)

  • B

    \(6,25{\rm{ }}cm\)

  • C

    \(9,8{\rm{ }}cm\)

  • D

    \(2,5{\rm{ }}cm\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Vận dụng biểu thức tính năng lượng dao động của CLLX: \({\rm{W}} = \dfrac{1}{2}k{A^2}\)

+ Dùng tam thức bậc 2 để nhận xét giá trị nhỏ nhất

Lời giải chi tiết :

Biên độ dao động của các vật tính từ công thức \({\rm{W}} = \dfrac{{{k_1}A_1^2}}{2} = \dfrac{{{k_2}A_2^2}}{2}\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{A_1} = \sqrt {\dfrac{{2W}}{{{k_1}}}}  = 0,05(m) = 5(cm)\\{A_2} = \sqrt {\dfrac{{2W}}{{{k_2}}}}  = 0,025(m) = 2,5(cm)\end{array} \right.\)

Khoảng cách lúc đầu giữa hai vật: \({O_1}{O_2} = {\rm{ }}10{\rm{ }}cm\)

Chọn gốc thời gian là lúc bắt đầu dao động, chọn gốc tọa độ trùng với $O_1$ thì phương trình dao động của các vật lần lượt là: \({x_1} =  - 5\cos \omega t\,\,cm,\,{x_2} = 10 + 2,5\cos 2\omega t = 5{\cos ^2}\omega t + 7,5\,\,cm,\) với \(\omega \) là tần số góc của con lắc thứ nhất.

Khoảng cách giữa hai vật: \(y = {x_2} - {x_1} = 5{\cos ^2}\omega t + 5\cos \omega t + 7,5\,\,\left( {cm} \right).\)

Ta thấy y là tam thức bậc \(2\) đối với \(cos\omega t\) và  \({y_{min}}\) ­khi \(cos\omega t{\rm{ }} = {\rm{ }} - 0,5\)  

Thay \(cos\omega t =  - 0,5\) và biểu thức \(y\) ta tính được \({y_{min}} = {\rm{ }}6,25{\rm{ }}cm\)

Câu 10 :

Cho cơ hệ như hình bên. Vật m khối lượng \(100{\rm{ }}g\) có thể chuyển động tịnh tiến, không ma sát trên mặt phẳng nằm ngang dọc theo trục lò xo có \(k{\rm{ }} = {\rm{ }}40{\rm{ }}N/m\). Vật M khối lượng \(300{\rm{ }}g\) có thể trượt trên m với hệ số ma sát \(\mu {\rm{ }} = {\rm{ }}0,2\). Ban đầu, giữ m đứng yên ở vị trí lò xo dãn \(4,5{\rm{ }}cm\) , dây D (mềm, nhẹ, không dãn) song song với trục lò xo. Biết M luôn ở trên m và mặt tiếp xúc giữa hai vật nằm ngang. Lấy \(g{\rm{ }} = {\rm{ }}10{\rm{ }}m/{s^2}\) . Thả nhẹ cho m chuyển động. Tính từ lúc thả đến khi lò xo trở về trạng thái có chiều dài tự nhiên lần thứ 3 thì tốc độ trung bình của m là:   

  • A

    16,7 cm/s.           

  • B

    23,9 cm/s.   

  • C

    29,1 cm/s.

  • D

    8,36 cm/s.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Vận dụng biểu thức tính lực ma sát: \({F_{ms}} = \mu mg\)

+ Vận dụng biểu thức tính chu kì dao động: \(T = 2\pi \sqrt {\dfrac{m}{k}} \)

+ Sử dụng biểu thức tính tốc độ trung bình: \({v_{tb}} = \dfrac{s}{t}\)

Lời giải chi tiết :

Lực ma sát giữa M và m làm cho lò xo có độ dãn \(\Delta {\ell _0} = \dfrac{{\mu Mg}}{k} = \dfrac{{0,2.0,3.10}}{{40}} = 0,015m = 1,5cm\).

Vật m đi từ vị trí lò xo giãn 4,5cm qua vị trí lò xo có chiều dài tự nhiên lần thứ nhất đến vị trí biên đối diện rồi đổi chiều qua vị trí lò xo có chiều dài tự nhiên lần thứ 2; tiếp tục chạy đến vị trí biên rồi đồi chiều về vị trí lò xo có chiều dài tự nhiên lần thứ 3.

+ Giai đoạn 1:\(\left\{ \begin{array}{l}{A_1} = 4,5 - 1,5 = 3cm\\{t_1} = \dfrac{{{T_1}}}{2} = \dfrac{1}{2}2\pi \sqrt {\dfrac{m}{k}}  = \dfrac{\pi }{{20}}s\\{S_1} = 2{A_1} = 2.3 = 6cm\end{array} \right.\). ( dây căng, vật M không dao động )

+ Giai đoạn 2: \(\left\{ \begin{array}{l}{A_2} = 3 - 1,5 = 1,5cm\\{t_2} = \dfrac{{{T_2}}}{4} = \dfrac{1}{4}2\pi \sqrt {\dfrac{{m + M}}{k}}  = \dfrac{\pi }{{20}}s\\{S_2} = {A_2} = 1,5cm\end{array} \right.\). (dây trùng, vật M dao động cùng với m)

+ Giai đoạn 3: \(\left\{ \begin{array}{l}{S_3} = 2.1,5 = 3cm\\{t_3} = \dfrac{1}{2}2\pi \sqrt {\dfrac{{m + M}}{k}}  = \dfrac{\pi }{{10}}s\end{array} \right.\) (dây trùng, vật M dao động cùng với m)

 \({v_{TB}} = \dfrac{{{S_1} + {S_2} + {S_3}}}{{{t_1} + {t_2} + {t_3}}} = \dfrac{{6 + 1.5 + 3}}{{\dfrac{\pi }{{20}} + \dfrac{\pi }{{20}} + \dfrac{\pi }{{10}}}} = 16.71126902\;(cm/s)\)

Câu 11 :

Hai điểm sáng dao động điều hòa với cùng biên độ trên một đường thẳng, quanh vị trí cân bằng O. Các pha của hai dao động ở thời điểm t là a1 và a2 . Hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của a1 và của a2 theo thời gian t. Tính từ \(t = 0\), thời điểm hai điểm sáng gặp nhau lần đầu là

  • A

    \(0,15 s\).

  • B

    \(0,3 s\).

  • C

    \(0,2 s\).

  • D

    \(0,25 s\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Đồ thị hàm bậc nhất theo thời gian có dạng đường thẳng.

- Hai vật gặp nhau khi chúng có li độ bằng nhau

Lời giải chi tiết :

Vì đồ thị của α1, α2 theo t có dạng hai đường thẳng nên chúng có dạng.

+ α1 = ω1t + φ1

Tại thời điểm t = 0, α1 = φ1 = 2π/3

Tại thời điểm t = 0,9s; α1 = ω1.0,9+ φ1 = 4π/3 Vậy ω1 = 20π/27 rad/s

+ α2 = ω2t + φ2

Tại thời điểm  t = 0,3s: α2 = 0,3.ω2 + φ2= -2π/3

Tại thời điểm t = 1,2s : α2 = 1,2.ω2 + φ2= 0

Giải hai phương trình bậc nhất ta được ω2 = 20π/27 rad/s và φ2 = 8π/9

+ Vậy hai dao động có pha là \((\dfrac{{20\pi }}{{27}}t + \dfrac{{2\pi }}{3})\)  và \((\dfrac{{20\pi }}{{27}}t + \dfrac{{8\pi }}{9})\)

Để hai điểm sáng gặp nhau thì Acos\((\dfrac{{20\pi }}{{27}}t + \dfrac{{2\pi }}{3})\) = Acos \((\dfrac{{20\pi }}{{27}}t + \dfrac{{8\pi }}{9})\)

Ta có :

\((\dfrac{{20\pi }}{{27}}t + \dfrac{{2\pi }}{3}) = \; \pm (\dfrac{{20\pi }}{{27}}t + \dfrac{{8\pi }}{9}) + {\rm{ }}2k\pi  \Rightarrow (\dfrac{{20\pi }}{{27}}t + \dfrac{{2\pi }}{3}) = \; - (\dfrac{{20\pi }}{{27}}t + \dfrac{{8\pi }}{9}) + {\rm{ }}2k\pi  \Rightarrow \dfrac{{40\pi }}{{27}}t =  - \dfrac{{8\pi }}{9} - \dfrac{{2\pi }}{3} + 2k\pi \)

Hai điểm sáng gặp nhau ứng với giá trị k nhỏ nhất để t dương

Vậy tmin = 0,15s

Câu 12 :

Có hai con lắc lò xo giống nhau dao động điều hòa trên hai đường thẳng kề nhau và cùng song song với trục Ox, có vị trí cân bằng nằm trên cùng một đường thẳng vuông góc với trục Ox tại O. Biên độ của con lắc 1 là \(4cm\), của con lắc 2 là \(4\sqrt 3 cm\) , con lắc 2 dao động sớm pha hơn con lắc 1. Trong quá trình dao động, khoảng cách lớn nhất giữa hai vật là \(4cm\). Khi động năng của con lắc 1 đạt cực đại là \(W\) thì động năng của con lắc 2 là

  • A

    3W/4

  • B

    2W/3

  • C

    W

  • D

    9W/4

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Khoảng cách giữa hai vật có phương trình dao động x1 và x2 là x = |x1 – x2|

+ Biên độ dao động tổng hợp \(A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}{\rm{cos}}\Delta \varphi } \)

+ Cơ năng = Động năng + Thế năng

+ Cơ năng W = 0,5kA2

+ Thế năng Wt = 0,5kx2

Lời giải chi tiết :

Gọi Δφ là độ lệch pha giữa hai dao động

Ta có : x1 = 4cos(ωt) ; x2 = \(4\sqrt 3 \) cos(ωt + Δφ)

Nên x = x1 – x2 = 4cos(ωt) -\(4\sqrt 3 \) cos(ωt + Δφ)  = 4cos(ωt) -\(4\sqrt 3 \) cos(ωt + Δφ + π) 

Khoảng cách lớn nhất giữa hai dao động chính là biên độ dao động của x. Ta có :

\({4^2} = {4^2} + {(4\sqrt 3 )^2} + 2.4.4\sqrt 3 .c{\rm{os(}}\Delta \varphi  + \pi ) \Rightarrow \Delta \varphi  =  - \dfrac{\pi }{6}\)

Khi động năng con lắc (1) cực đại thì con lắc (1) đi qua vị trí cân bằng, vậy khi đó con lắc (2) đi qua vị trí có độ lớn li độ là A/2

Động năng của con lắc (2) là \({W_d} = {\rm{W'}} - {{\rm{W}}_t} = \dfrac{1}{2}k{A'^2} - \dfrac{1}{2}k{x^2} = \dfrac{1}{2}k{A'^2} - \dfrac{1}{2}k\dfrac{{{A'^2}}}{4} = \dfrac{3}{8}k{A'^2} = \dfrac{3}{4}{\rm{W'}}\)

Lại có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{\rm{W}} = \dfrac{1}{2}k{A^2}\\{\rm{W}}' = \dfrac{1}{2}kA{'^2}\end{array} \right.\\ \Rightarrow \dfrac{{\rm{W}}}{{{\rm{W}}'}} = \dfrac{{{A^2}}}{{A{'^2}}} = \dfrac{{{4^2}}}{{{{\left( {4\sqrt 3 } \right)}^2}}} = \dfrac{1}{3} \\\Rightarrow {\rm{W}}' = 3W\end{array}\)

Ta suy ra động năng của con lắc 2 khi đó: \({{\rm{W}}_d} = \dfrac{3}{4}{\rm{W}}' = \dfrac{3}{4}.3W = \dfrac{9}{4}{\rm{W}}\)

Câu 13 :

Hai con lắc lò xo giống hệt nhau được treo thẳng đứng, sát nhau trên cùng một giá cố định nằm ngang. Mỗi con lắc gồm lò xo nhẹ độ cứng k và một vật nhỏ có khối lượng 125 g. Kích thích cho hai vật dao động điều hòa sao cho biên độ dao động thỏa mãn \({A_1} + {A_2} = {\rm{8 (cm)}}\). Tại mọi thời điểm li độ và vận tốc của các vật liên hệ với nhau bằng biểu thức: \({v_2}{x_1} + {v_1}{x_2} = 96\pi ;\)v(cm/s); x(cm). Bỏ qua mọi ma sát, lấy \(g = 1{\rm{0 (m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{), }}{\pi ^2} = 10.\) Độ cứng k của lò xo không thể nhận giá trị nào sau đây?

  • A

    \(50 N/m\)

  • B

    \(45 N/m\)

  • C

    \(40 N/m\)

  • D

    \(60 N/m\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp đạo hàm hai vế.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \({v_2}{x_1} + {v_1}{x_2} = 96\pi \)

Đạo hàm hai vế \( \Rightarrow {v_2}{v_1} + {a_2}{x_1} + {v_1}{v_2} + {a_1}{x_2} = 0 \Leftrightarrow {v_2}{v_1} - {\omega ^2}{x_2}{x_1} + {v_1}{v_2} - {\omega ^2}{x_1}{x_2} = 0 \Leftrightarrow {v_1}{v_2} = {\omega ^2}{x_1}{x_2}\)

\( \Rightarrow {A_1}{A_2}{\omega ^2}\sin (\omega t + {\varphi _1})\sin (\omega t + {\varphi _2}) = {\omega ^2}{A_1}{A_2}\cos (\omega t + {\varphi _1})\cos (\omega t + {\varphi _2}) \Rightarrow \tan (\omega t + {\varphi _1})\tan (\omega t + {\varphi _2}) = 1\)

\( \Rightarrow \left( {\omega t + {\varphi _1}} \right) + \left( {\omega t + {\varphi _2}} \right) = \dfrac{\pi }{2}\)

\( \Rightarrow {v_2}{x_1} + {v_1}{x_2} = 96\pi  \Leftrightarrow \omega {A_1}{A_2}{\left[ {\cos \left( {\omega t + {\varphi _1}} \right)} \right]^2} + \omega {A_1}{A_2}{\left[ {\sin \left( {\omega t + {\varphi _1}} \right)} \right]^2} = 96\pi \)

\(\omega {A_1}{A_2} = 96\pi  \Rightarrow \omega  = \dfrac{{96\pi }}{{{A_1}{A_2}}} \ge \dfrac{{96\pi .4}}{{{{\left( {{A_1} + {A_2}} \right)}^2}}}\)

Dấu ‘=’ xảy ra \( \Leftrightarrow {A_1} = {A_2}\)

\(\sqrt {\dfrac{k}{m}}  \ge \dfrac{{96\pi .4}}{{{{\left( {{A_1} + {A_2}} \right)}^2}}} = 6\pi  \Rightarrow k \ge 4{\rm{5 (N/m)}}\)

Câu 14 :

Một con lắc lò xo dao động trên trục Ox, gọi \({\rm{\Delta t}}\) là khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp vật có động năng bằng thế năng. Tại thời điểm t vật đi qua vị trí có tốc độ \(15\pi \sqrt 3 \)cm/s với độ lớn gia tốc \(22,5 m/s^2\), sau đó một khoảng thời gian đúng bằng \({\rm{\Delta t}}\) vật đi qua vị trí có độ lớn vận tốc \(45\pi cm/s\). Lấy \({\pi ^2} = 10.\) Biên độ dao động của vật là

  • A

    \(8 cm\)

  • B

    \(5\sqrt 3 cm \)

  • C

    \(6\sqrt 3 cm\)

  • D

    \(5\sqrt 2 cm\) 

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp vật có động năng bằng thế năng là \(\Delta t = \dfrac{T}{4}\)

Lời giải chi tiết :

Ta có: Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp vật có động năng bằng thế năng là \(\Delta t = \dfrac{T}{4}\)

Theo đề bài: \(\dfrac{{v_1^2}}{{v_{\max }^2}} + \dfrac{{v_2^2}}{{v_{\max }^2}} = 1 \Rightarrow {v_{\max }} = 30\pi \sqrt 3 \) (cm/s) \( \Rightarrow \omega A = 30\pi \sqrt {\rm{3}} {\rm{ (cm/s)}} = 0,3{\rm{\pi }}\sqrt {\rm{3}} {\rm{ (m/s)}}\)

Tại thời điểm t, vật có \(\left| v \right| = \dfrac{{{v_{\max }}}}{2} \Rightarrow \left| a \right| = \dfrac{{{a_{\max }}\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow {a_{\max }} = 15\sqrt 3 {\rm{ (m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{)  =  }}{\omega ^2}A\)

\( \Rightarrow A = 6\sqrt 3 (cm)\)

Câu 15 :

Hai chất điểm có khối lượng \({m_1} = 2{m_2}\)dao động điều hòa trên hai đường thẳng song song, sát nhau với biên độ bằng nhau và bằng \(8 cm\), vị trí cân bằng của chúng nằm sát nhau. Tại thời điểm \({t_0}\), chất điểm \({m_1}\) chuyển động nhanh dần qua li độ \(4\sqrt 3cm\), chất điểm \({m_2}\) chuyển động ngược chiều dương qua vị trí cân bằng. Tại thời điểm t, chúng gặp nhau lần đầu tiên trong trạng thái chuyển động ngược chiều nhau qua li độ \(x = - 4 cm\). Tỉ số động năng của chất điểm thứ nhất so với chất điểm thứ hai tại thời điểm gặp nhau lần thứ \(2019\) là

  • A

    \(0,72\).

  • B

    \(0,75\).

  • C

    \(1,4\).

  • D

    \(1,5\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng vòng tròn lượng giác

Động năng của con lắc: \({{\rm{W}}_d} = \dfrac{1}{2}m{v^2} = \dfrac{1}{2}m.{\omega ^2}({A^2} - {x^2})\)

Lời giải chi tiết :

Biểu diễn dao động của hai chất điểm trên vòng tròn lượng giác:

Khi hai chất điểm gặp nhau:

\(\left\{ \begin{array}{l}{\omega _1}\Delta t = \dfrac{\pi }{2}\\{\omega _2}\Delta t = \dfrac{{5\pi }}{6}\end{array} \right. \to \dfrac{{{\omega _1}}}{{{\omega _2}}} = \dfrac{3}{5}\)

+ Tỉ số động năng của chất điểm thứ nhất so với chất điểm thứ hai tại thời điểm gặp nhau lần thứ n = 2019 (hoặc lần gặp nhau thứ n bất kỳ) là : \(\dfrac{{{{\rm{W}}_{d1}}}}{{{{\rm{W}}_{d2}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}{m_1}v_1^2}}{{\dfrac{1}{2}{m_2}v_2^2}} = \dfrac{{2{m_2}.\omega _1^2({A^2} - \overbrace {x_1^2}^{{x_1} = {x_2}})}}{{{m_2}.\omega _2^2({A^2} - x_2^2)}} = 2.{\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^2} = 0,72\)

Câu 16 :

Hai con lắc lò xo \(M\) và \(N\) giống hệt nhau, đầu trên của hai lò xo được gắn ở cùng một giá đỡ cố định nằm ngang. Vật nặng của \(M\) và của \(N\) dao động điều hoà theo phương thẳng đứng với biên độ lần lượt là \(A\) và \(A\sqrt 3 \). Trong quá trình dao động, chênh lệch độ cao lớn nhất giữa hai vật là \(A\). Chọn mức thế năng tại vị trí cân bằng của mỗi vật. Khi động năng của \(M\) đạt cực đại và bằng \(0,12 J\) thì động năng của \(N\) là

  • A

    \(0,12 J\).

  • B

    \(0,09 J\).

  • C

    \(0,36 J\).

  • D

    \(0,27 J\).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Sử dụng các định lí hàm số sin, hàm số cos: \({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.cos\varphi \)

+ Áp dụng công thức tính động năng, thế năng của con lắc lò xo: \({{\rm{W}}_d} = {\rm{W}} - {{\rm{W}}_t};{{\rm{W}}_t} = k\dfrac{{{x^2}}}{2}\)

Lời giải chi tiết :

+  \(\underbrace {d_{max}^2}_{{A^2}} = {A^2} + {(A\sqrt 3 )^2} - 2A.A\sqrt 3 {\rm{cos}}\Delta \varphi  \to {\rm{cos}}\Delta \varphi  = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \to \left| {\Delta \varphi } \right| = \dfrac{\pi }{6}.\)

+  \(\dfrac{{\overbrace {{{\rm{W}}_M}}^{{{\rm{W}}_{d\max }} = 0,12J}}}{{{{\rm{W}}_N}}} = \dfrac{{{A^2}}}{{{{(A\sqrt 3 )}^2}}} = \dfrac{1}{3} \to {{\rm{W}}_N} = 0,36(J).\) 

+ Khi \({{\rm{(}}{{\rm{W}}_{dM}})_{{\rm{max}}}}\) thì xN = AN/2 = \(\dfrac{{A\sqrt 3 }}{2}\)

=> \({{\rm{W}}_{tN}} = \dfrac{1}{2}k{\left( {\dfrac{{A\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = \dfrac{1}{2}k{A^2}(\dfrac{3}{4}) = {{\rm{W}}_M}.\dfrac{3}{4} = 0,09(J)\)

=> WđN = WN – WtN = 0,27 (J)

Câu 17 :

Trong thí nghiệm giao thoa sóng ở mặt nước với hai nguồn cùng pha đặt tại hai điểm \(A\) và \(B\). Biết sóng truyền trên mặt nước với bước sóng là \(\lambda \), độ dài đoạn thẳng \(AB\) là \(5,8\)\(\lambda \). Ở mặt nước, gọi \((Δ)\) là đường trung trực của \(AB\); \(M, N, P, Q\) là bốn điểm không thuộc \((Δ)\) mà phần tử nước tại bốn điểm đó đều dao động với biên độ cực đại, cùng pha với nguồn và gần \((Δ)\) nhất. Trong bốn điểm \(M, N, P, Q\) khoảng cách giữa hai điểm xa nhau nhất có giá trị là

  • A

    \(3,86\lambda \)

  • B

    \(3,14\lambda \)

  • C

    \(4,05\lambda \)

  • D

    \(4,46\lambda \)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+4 điểm không thuộc đường trung trựcΔ của đoạn thẳng nối hai nguồn dao động với biên độ cực đại, cùng pha với nguồn và gần Δ nhất tạo với nhau một hình chữ nhật

+ Xét điểm M dao động với biên độ cực đại:  \({d_2} - {d_1} = k\lambda \)

+ M dao động cùng pha với nguồn: \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{d_2} - {d_1} = {k_{le}}\lambda \\{d_2} + {d_1} = {n_{le}}\lambda \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{d_2} - {d_1} = {k_{chan}}\lambda \\{d_2} + {d_1} = {n_{chan}}\lambda \end{array} \right.\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết :

+  M, N, P, Q thuộc hình chữ nhật , khoảng cách gần nhất bằng độ dài đoạn MN. Ta chỉ xét điểm M.

+ M dao động với biên độ cực đại:  \({d_2} - {d_1} = k\lambda \)

+ M dao động cùng pha với nguồn: \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{d_2} - {d_1} = {k_{le}}\lambda \\{d_2} + {d_1} = {n_{le}}\lambda  > 5,8\lambda \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{d_2} - {d_1} = {k_{chan}}\lambda \\{d_2} + {d_1} = {n_{chan}}\lambda  > 5,8\lambda \end{array} \right.\end{array} \right.\)

+ M gần Δ nhất thì \(\left[ \begin{array}{l}{d_2} - {d_1} = 1.\lambda ,{d_2} + {d_1} = 7\lambda  \to \left\{ \begin{array}{l}{d_2} = 4\lambda \\{d_1} = 3\lambda \end{array} \right.\\{d_2} - {d_1} = 2.\lambda ,{d_2} + {d_1} = 6\lambda  \to \left\{ \begin{array}{l}{d_2} = 4\lambda \\{d_1} = 2\lambda \end{array} \right.(loại)\end{array} \right.\)

+ Chọn \(\lambda \) = 1

=> \(\sqrt {{3^2} - {{(MH)}^2}}  + \sqrt {{4^2} - {{(MH)}^2}}  = 5,8 \\\to MH \approx 1,93 \\\to MQ \approx 3,86;MN \approx 1,21\\ \to MP \approx 4,05\)

Câu 18 :

Một con lắc đơn có chiều dài \(60 cm\) dao động điều hòa tại nơi có \(g =10 m/s^2\). Tại thời điểm \(t_1\), vật có li độ góc bằng \(0,06 rad\). Tại thời điểm \(t_2= t_1 +\) \(\dfrac{{\pi \sqrt 6 }}{{20}}\)(s), tốc độ của vật có giá trị gần nhất với giá trị nào sau đây?

  • A

    \(60 cm/s\).

  • B

    \(14,9 cm/s\).

  • C

    \(21,6 cm/s\).

  • D

    \(14,6 cm/s\).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Xét vật tại li độ s1, sau thời gian \(\dfrac{T}{4}\)vật có li độ s2 thì \(s_1^2 + s_2^2 = S_O^2\)

Vận tốc vật khi vật có li độ s: \({v^2} = {\omega ^2}(S_0^2 - s_2^2)\)

Lời giải chi tiết :

+  \(T = 2\pi \sqrt {\dfrac{\ell }{g}}  = 0,2\pi \sqrt 6 (s);\Delta t = \dfrac{{\pi \sqrt 6 }}{{20}}(s) = \dfrac{T}{4} \to S_0^2 - s_2^2 = s_1^2\)

Tại thời điểm \(t_2 = t_1 + \dfrac{{\pi \sqrt 6 }}{{20}} (s)\), tốc độ của vật: \(\left| {{v_2}} \right| = \omega \sqrt {S_0^2 - s_2^2}  = \sqrt {\dfrac{g}{\ell }} .\left| {{s_1}} \right| = \sqrt {\dfrac{g}{\ell }} .\ell {\alpha _1} = \sqrt {g\ell } .{\alpha _1} \approx 14,6 cm/s \).

Câu 19 :

Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm vật nặng m = 100g, lò xo có độ cứng k = 40N/m. Từ vị trí cân bằng kéo vật xuống dưới 5cm rồi thả nhẹ cho nó dao động điều hòa. Lấy g = π2 = 10m/s2. Trong một chu kì, tốc độ trung bình của vật trong khoảng thời gian lò xo bị nén là

  • A
    \(\frac{{1,5}}{\pi }\left( {m/s} \right)\)
  • B
    \(\frac{{15}}{\pi }\left( {m/s} \right)\)
  • C
    \(\frac{3}{\pi }\left( {m/s} \right)\)
  • D
    \(\frac{{30}}{\pi }\left( {cm/s} \right)\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Khi vật ở vị trí cân bằng thì độ dãn của lò xo là  \(\Delta {l_0} = \frac{{mg}}{k}\)

Xác định biên độ dao động A = 5 cm, vị trí mà lò xo bị nén x0.

Xác định thời gian lò xo bị nén trong một chu kì :  

\(t = 2.\frac{{\arccos \frac{{{x_0}}}{A}}}{\omega }\) và quãng đường vật đi được trong thời gian lò xo nén.

Áp dụng công thức xác định vận tốc trung bình :  

\(v = \frac{S}{t}\)

Lời giải chi tiết :

Khi vật ở vị trí cân bằng thì độ dãn của lò xo là :

\(\Delta {l_0} = \frac{{mg}}{k} = \frac{{0,1.10}}{{40}} = 0,{025_{}}m = 2,{5_{}}cm\)

Vì kéo vật xuống khỏi vị trí cân bằng 5 cm rồi thả nhẹ nên biên độ : A = 5cm.

Trong quá trình dao động, chọn chiều dương hướng xuống, gốc O ở vị trí cân bằng.

Vậy lò xo bị nén khi chuyển động từ vị trí – 2,5cm đến – 5cm.

Vậy trong một chu kì, thời gian lò xo bị nén là:

\(t = 2.\frac{\alpha }{\omega } = 2.\frac{{\arccos \frac{{2,5}}{5}}}{{\sqrt {\frac{k}{m}} }} = 2.\frac{{\frac{\pi }{3}}}{{\sqrt {\frac{{40}}{{0,1}}} }} = \frac{\pi }{{30}}s\)

Quãng đường vật đi được là: S = 5cm.

Vận tốc trung bình trong thời gian lò xo bị nén là:

\(v = \frac{S}{t} = \frac{5}{{\frac{\pi }{{30}}}} = \frac{{150}}{\pi }\left( {cm/s} \right) = \frac{{1,5}}{\pi }\left( {m/s} \right)\)

 

Câu 20 :

Hai vật \(A\) và \(B\) có cùng khối lượng \(1\,\,\left( {kg} \right)\) và có kích thước nhỏ, được nối với nhau bằng một sợi dây mảnh, nhẹ, không dẫn điện dài \(20\,\,\left( {cm} \right)\), vật \(B\) tích điện tích \(q = {10^{ - 6}}\,\,\left( C \right)\). Vật A được gắn vào một đầu lò xo nhẹ có độ cứng \(k = 10\,\,\left( {N/m} \right)\), đầu kia của lò xo cố định. Hệ được đặt nằm ngang trên mặt bàn nhẵn trong một điện trường đều có cường độ điện trường \(E = {2.10^5}\,\,\left( {V/m} \right)\) hướng dọc theo trục lò xo. Ban đầu hệ nằm yên, lò xo bị dãn. Cắt dây nối hai vật, vật \(B\) rời ra chuyển động dọc theo chiều điện trường, vật \(A\) dao động điều hòa. Sau khoảng thời gian \(1,5\,\,\left( s \right)\) kể từ lúc dây bị cắt thì \(A\) và \(B\) cách nhau một khoảng gần đúng là?

  • A
    \(28,5\,\,\left( {cm} \right)\).
  • B
    \(44,5\,\,\left( {cm} \right)\).
  • C
    \(24,5\,\,\left( {cm} \right)\).
  • D
    \(22,5\,\,\left( {cm} \right)\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Tần số góc của con lắc lò xo: \(\omega  = \sqrt {\dfrac{k}{m}} \)

Độ lớn lực điện: \({F_d} = E.q\)

Độ lớn lực đàn hồi của lò xo: \({F_{dh}} = k\Delta {\rm{l}}\)

Định luật II Niu – tơn: \(F = ma\)

Quãng đường chuyển động thẳng nhanh dần đều: \(s = {v_0}t + \dfrac{{a{t^2}}}{2}\)

Lời giải chi tiết :

Ban đầu nối hai vật bằng dây dẫn, lực điện tác dụng lên vật \(B\) có độ lớn bằng độ lớn lực đàn hồi tác dụng lên vật \(A\):

\({F_d} = {F_{dh}} \Rightarrow \left| {qE} \right| = k\Delta {\rm{l}} \Rightarrow \Delta {\rm{l}} = \dfrac{{\left| {qE} \right|}}{k} = 0,02\,\,\left( m \right) = 2\,\,\left( {cm} \right)\)

Cắt dây nối hai vật, hai vật chuyển động không vận tốc đầu, vật \(A\) ở biên dương

Biên độ dao động của vật \(A\) là: \(A = \Delta {\rm{l}} = 2\,\,\left( {cm} \right)\)

Tần số góc dao động của con lắc lò xo là:

\(\omega  = \sqrt {\dfrac{k}{m}}  = \sqrt {\dfrac{{10}}{1}}  = \sqrt {10}  = \pi \,\,\left( {rad/s} \right)\)

Chọn gốc tọa độ tại VTCB của vật \(A\)

Phương trình dao động của vật \(A\) là:

\({x_A} = 2\cos \left( {\pi t} \right)\,\,\left( {cm} \right)\)

Tại thời điểm \(1,5\,\,s\), li độ của vật \(A\) là: \({x_A} = 0\)

Vật \(B\) chuyển động với gia tốc:

\(a = \dfrac{{{F_d}}}{m} = \dfrac{{\left| {qE} \right|}}{m} = 0,2\,\,\left( {m/{s^2}} \right) = 20\,\,\left( {cm/{s^2}} \right)\)

Phương trình chuyển động của vật \(B\) là:

\({x_B} = \left( {A + \Delta x} \right) + {v_0}t + \dfrac{{a{t^2}}}{2} = 22 + 10{t^2}\)

Tọa độ của vật \(B\) ở thời điểm \(1,5\,\,s\) là:

\({x_B} = 22 + 10.1,{5^2} = 44,5\,\,\left( {cm} \right)\)

Khoảng cách giữa hai vật là:

\(d = \left| {{x_B} - {x_A}} \right| = 44,5\,\,\left( {cm} \right)\)

close