Giải mục 2 trang 8, 9 SGK Toán 10 tập 2 - Chân trời sáng tạoQuan sát đồ thị của các hàm số bậc hai trong các hình thức dưới đây. Trong mỗi trường hợp, hãy cho biết: Xét dấu của các tam thức bậc hai sau: trong bài toán khởi động và cho biết ở khoảng cách nào tính từ đầu cầu O thì vòm cầu: cao hơn mặt cầu, thấp hơn mặt cầu Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
HĐ Khám phá 2 Quan sát đồ thị của các hàm số bậc hai trong các hình thức dưới đây. Trong mỗi trường hợp, hãy cho biết: +) Các nghiệm (nếu có) và dấu của biệt thức \(\Delta \) +) Các khoảng giá trị của \(x\)mà trên đó \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số của \({x^2}\) Phương pháp giải: Bước 1: Xác định nghiệm của hàm số là giao của đồ thị và trục hoành Bước 2: Xác định biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac\) và xác định dấu của nó Bước 3: Dựa vào đồ thị xác định dấu của \(f\left( x \right)\) +) Phần đồ thị nằm trên trục hoành là \(f\left( x \right) > 0\) +) Phần đồ thị nằm dưới trục hoành là \(f\left( x \right) < 0\) Lời giải chi tiết: a) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đã cho vô nghiệm Biệt thức \(\Delta = {2^2} - 4.\left( { - 1} \right).\left( { - 2} \right) = - 4 < 0\) Ta thấy hệ số của \({x^2}\) là \( - 1 < 0\) Đồ thị nằm dưới trục hoành với mọi x Nên \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số của \({x^2}\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\) b) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đã cho có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = 1\) Biệt thức \(\Delta = {2^2} - 4.\left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) = 0\) Ta thấy hệ số của \({x^2}\) là \( - 1 < 0\) Đồ thị nằm dưới trục hoành với mọi x Nên \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số của \({x^2}\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\) c) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = - 1;{x_2} = 3\) Biệt thức \(\Delta = {2^2} - 4.\left( { - 1} \right).3 = 16 > 0\) Ta thấy hệ số của \({x^2}\) là \( - 1 < 0\) Đồ thị nằm dưới trục hoành khi \(x \in \left( { - \infty , - 1} \right) \cup \left( {3, + \infty } \right)\) Đồ thị nằm trên trục hoành với mọi \(x \in \left( { - 1,3} \right)\) Nên \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số của \({x^2}\) khi \(x \in \left( { - \infty , - 1} \right) \cup \left( {3, + \infty } \right)\) d) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số bậc hai đã cho vô nghiệm Biệt thức \(\Delta = {6^2} - 4.1.10 = - 4 < 0\) Ta thấy hệ số của \({x^2}\) là \(1 > 0\) Đồ thị nằm trên trục hoành với mọi \(x\) Nên \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số của \({x^2}\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) e) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đã cho có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = - 3\) Biệt thức \(\Delta = {6^2} - 4.1.9 = 0\) Ta thấy hệ số của \({x^2}\) là \(1 > 0\) Đồ thị nằm trên trục hoành với mọi x Nên \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số của \({x^2}\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) g) ) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = - 4;{x_2} = - 2\) Biệt thức \(\Delta = {6^2} - 4.1.8 = 4 > 0\) Ta thấy hệ số của \({x^2}\) là \(1 > 0\) Đồ thị nằm trên trục hoành khi \(x \in \left( { - \infty , - 4} \right) \cup \left( { - 2, + \infty } \right)\) Đồ thị nằm dưới trục hoành với mọi \(x \in \left( { - 4, - 2} \right)\) Nên \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số của \({x^2}\) khi \(x \in \left( { - \infty , - 4} \right) \cup \left( { - 2, + \infty } \right)\) Thực hành 3 Xét dấu của các tam thức bậc hai sau: a) \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x - 2\) b) \(g\left( x \right) = - {x^2} + 2x - 3\) Phương pháp giải: Bước 1: Tính và xác định dấu của biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac\) Bước 2: Xác định nghiệm của \(f\left( x \right)\) (nếu có) \(x = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\) Bước 3: Xác định dấu của hệ số \(a\) Bước 4: Xác định dấu của \(f\left( x \right)\) Lời giải chi tiết: a) \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x - 2\) có \(\Delta = 25 > 0\), hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = - \frac{1}{2};{x_2} = 2\) và \(a = 2 > 0\) Ta có bảng xét dấu như sau:
Vậy \(f\left( x \right)\) âm trong khoảng \(\left( { - \frac{1}{2},2} \right)\) và dương trong hai khoảng \(\left( { - \infty , - \frac{1}{2}} \right)\) và \(\left( {2, + \infty } \right)\) b) \(g\left( x \right) = - {x^2} + 2x - 3\) có \(\Delta = {2^2} - 4.\left( { - 1} \right).\left( { - 3} \right) = - 8 < 0\) và \(a = - 1 < 0\) Vậy \(g\left( x \right)\)âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\) Vận dụng Xét dấu tam thức bậc hai \(h\left( x \right) = - 0,006{x^2} + 1,2x - 30\) trong bài toán khởi động và cho biết ở khoảng cách nào tính từ đầu cầu O thì vòm cầu: cao hơn mặt cầu, thấp hơn mặt cầu Phương pháp giải: Bước 1: Tính và xác định dấu của biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac\) Bước 2: Xác định nghiệm của \(h\left( x \right)\) (nếu có) \(x = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\) Bước 3: Xác định dấu của hệ số \(a\) Bước 4: Xác định dấu của \(h\left( x \right)\) Lời giải chi tiết: \(h\left( x \right) = - 0,006{x^2} + 1,2x - 30\) có \(\Delta = 1,{2^2} - 4.\left( { - 0,006} \right).\left( { - 30} \right) = \frac{{18}}{{25}} > 0\), hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = 100 - 50\sqrt 2 ;{x_2} = 100 + 50\sqrt 2 \) và \(a = - 0,006 < 0\) Ta có bảng xét dấu \(h\left( x \right)\) như sau:
Vậy vòm cầu cao hơn mặt cầu là khoảng cách từ \(100 - 50\sqrt 2 \)(m) đến \(100 + 50\sqrt 2 \) (m) (cách từ O), vòm vòm cầu thấp hơn mặt cầu là khoảng cách từ O đến\(100 - 50\sqrt 2 \)(m) và từ \(100 + 50\sqrt 2 \) (m) đến 200 (m) (cách từ O)
Quảng cáo
|