Giải mục 2 trang 114, 115, 116, 117 SGK Toán 10 tập 1 - Chân trời sáng tạo

HĐ Khám phá 2

Bảng sau thống kê số sách mỗi bạn học sinh Tổ 1 và Tổ 2 đã đọc ở thư viện trường trong một tháng:

a) Trung bình mỗi bạn Tổ 1 và mỗi bạn Tổ 2 đọc bao nhiêu quyển sách ở thư viện trường trong tháng đó?

b) Em hãy thảo luận với các bạn trong nhóm xem tổ nào chăm đọc sách ở thư viện hơn.

Lời giải chi tiết:

a) Trung bình mỗi bạn Tổ 1 đọc:

$\frac{{3 + 1 + 2 + 1 + 2 + 2 + 3 + 25 + 1}}{9} \approx 4,44$ (quyển sách)

Trung bình mỗi bạn Tổ 2 đọc:

$\frac{{4 + 5 + 4 + 3 + 3 + 4 + 5 + 4}}{8} = 4$ (quyển sách)

b) Sắp xếp số sách mối bạn Tổ 1 đã đọc theo thứ tự không giảm, ta được dãy:

1; 1; 1; 2; 2; 2; 3; 3; 25

Vì cỡ mẫu bằng 9 nên trung vị của Tổ 1 là số liệu thứ 5 của dãy trên, tức là ${M_e} = 2.$

Sắp xếp số sách mối bạn Tổ 2 đã đọc theo thứ tự không giảm, ta được dãy:

3; 3; 4; 4; 4; 4; 5; 5.

Vì cỡ mẫu bằng 8 nên trung vị của Tổ 2 là trung bình cộng của số liệu thứ 4 và thứ 5 của dãy trên, tức là ${M_e} = \frac{1}{2}(4 + 4) = 4.$

Vậy nếu so sánh theo trung vị thì các bạn Tổ 2 đọc nhiều sách ở thư viện hơn các bạn Tổ 1.

Thực hành 1

Hãy tìm trung vị của các số liệu ở Vận dụng 1 và Vận dụng 2.

Phương pháp giải:

Bước 1: Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm.

Bước 2: Tìm cỡ mẫu n.

+ Nếu $n = 2k - 1$ thì trung vị là số liệu thứ k

+ Nếu $n = 2k$ thì trung vị $= \frac{1}{2}($số liệu thứ k + số liệu thứ (k+1))

Lời giải chi tiết:

Vận dụng 1:

Sắp xếp thời gian chạy của nhóm A theo thứ tự không giảm ta được dãy:

$12,2;\;\,12,5;\;\,12,7;\;\,12,8;\;\,12,9;\;\,13,1;\;\,13,2;\;\,13,5$

Vì cỡ mẫu bằng 8 nên trung vị của nhóm A là trung bình cộng của số liệu thứ 4 và thứ 5 của dãy trên, tức là ${M_e} = \frac{1}{2}(12,8 + 12,9) = 12,85.$

Sắp xếp thời gian chạy của nhóm B theo thứ tự không giảm ta được dãy:

$12,1;\;\,\,12,9;\;\,13,2;\;\,13,4;\;\,13,7$

Vì cỡ mẫu bằng 5 nên trung vị của nhóm B là số liệu thứ 3 của dãy trên, tức là ${M_e} = 13,2.$

Vận dụng 2:

Sắp xếp số bàn thắng của đội theo thứ tự không giảm ta được dãy:

$0;\;\,0;\;\,0;\;\,0;\;\,0;\;\underbrace {\,1;\;...;\;\,1}_{10\;so\;1};\;\,2;\,\;2;\,\;2;\,\;2;\,\;2;\,\;3;\;3;\;3;\;4;\;4;\;6.$

Vì cỡ mẫu bằng $5 + 10 + 5 + 3 + 2 + 1 = 26$ nên trung vị của đội là trung bình cộng của số liệu thứ 13 và thứ 14 của dãy trên, tức là ${M_e} = \frac{1}{2}(1 + 1) = 1.$

HĐ Khám phá 3

Cân nặng của 20 vận động viên môn vật của một câu lạc bộ được ghi lại ở bảng sau:

Để thuận tiện cho việc luyện tập, ban huấn luyện muốn xếp 20 vận động viên trên thành 4 nhóm, mỗi nhóm gồm 25% số vận động viên có cân nặng gần nhau. Bạn hãy giúp ban huấn luyện xác định các ngưỡng cân nặng để phân nhóm mỗi vận động viên.

Phương pháp giải:

Bước 1: Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm.

Bước 2: Tính cỡ mẫu n, tìm tứ phân vị thứ hai ${Q_2}$(chính là trung vị của mẫu).

Bước 3: Tìm tứ phân vị thứ nhất: là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái ${Q_2}$ (không bao gồm ${Q_2}$ nếu n lẻ)

Bước 4: Tìm tứ phân vị thứ ba: là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải ${Q_2}$ (không bao gồm ${Q_2}$ nếu n lẻ)

Lời giải chi tiết:

Sắp xếp các cân nặng theo thứ tự không giảm, ta được dãy:

50; 52; 52; 54; 54; 56; 56; 57; 58; 58; 59; 61; 61; 62; 64; 65; 66; 67; 68; 69.

+) Vì cỡ mẫu $n = 20$, là số chẵn, nên giá trị tứ phân vị thứ hai là ${Q_2} = \frac{1}{2}\left( {58 + 59} \right) = 58,5$

+) Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 50; 52; 52; 54; 54; 56; 56; 57; 58; 58.

Do đó ${Q_1} = \frac{1}{2}(54 + 56) = 55$

+) Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 59; 61; 61; 62; 64; 65; 66; 67; 68; 69.

Do đó ${Q_3} = \frac{1}{2}(64 + 65) = 64,5$

Vậy 3 ngưỡng cân nặng để phân nhóm là: 55kg; 58,5 kg; 64,5 kg.

Thực hành 2

Hãy tìm tứ phân vị của các mẫu số liệu sau:

a) 10; 13; 15; 2; 10; 19; 2; 5; 7

b) 15; 19; 10; 5; 9; 10; 1; 2; 5; 15

Phương pháp giải:

Bước 1: Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm.

Bước 2: Tính cỡ mẫu n, tìm tứ phân vị thứ hai ${Q_2}$(chính là trung vị của mẫu).

Bước 3: Tìm tứ phân vị thứ nhất: là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái ${Q_2}$ (không bao gồm ${Q_2}$ nếu n lẻ)

Bước 4: Tìm tứ phân vị thứ ba: là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải ${Q_2}$ (không bao gồm ${Q_2}$ nếu n lẻ)

Lời giải chi tiết:

a) Sắp xếp lại mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

2; 2; 5; 7; 10; 10; 13; 15; 19

+) Vì cỡ mẫu là $n = 9$, là số lẻ, nên giá trị tứ phân vị thứ hai là ${Q_2} = 10$

+) Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 2; 2; 5; 7.

Do đó ${Q_1} = \frac{1}{2}(2 + 5) = 3,5$

+) Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 10; 13; 15; 19.

Do đó ${Q_3} = \frac{1}{2}(13 + 15) = 14$

b) Sắp xếp lại mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

1; 2; 5; 5; 9; 10; 10; 15; 15; 19

+) Vì cỡ mẫu là $n = 10$, là số chẵn, nên giá trị tứ phân vị thứ hai là ${Q_2} = \frac{1}{2}(9 + 10) = 9,5$

+) Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 1; 2; 5; 5; 9.

Do đó ${Q_1} = 5$

+) Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 10; 10; 15; 15; 19.

Do đó ${Q_3} = 15$