Giải bài 7 trang 74 SGK Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:

a) Có tâm I(-2; 4) và bán kính bằng 9.

b) Có tâm I(1; 2) và đi qua điểm A(4; 5).

c) Đi qua hai điểm A(4; 1), B(6; 5) và có tâm nằm trên đường thẳng 4x + y - 16 = 0.

d) Đi qua gốc tọa độ và cắt 2 trục tọa độ tại các điểm có hoành độ a và tung độ là b.

Lời giải chi tiết

a) Phương trình đường tròn là:

\(({C_1}):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 81\)

b) \(\overrightarrow {IA}  = (3;3) \Rightarrow IA = 3\sqrt 2  = R\).

Suy ra phương trình đường tròn là:

\({C_2}:{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 18\).

c) Vì tâm đường tròn nằm trên đường thẳng 4x + y - 16 = 0 nên có tọa độ I(a; 16 - 4a).

\(IA = \sqrt {{{\left( {a - 4} \right)}^2} + {{\left( {16 - 4a - 1} \right)}^2}} \),

\(IB = \sqrt {{{\left( {a - 6} \right)}^2} + {{\left( {16 - 4a - 5} \right)}^2}} \).

A, B thuộc đường tròn nên IA = IB

\(\Rightarrow \sqrt {{{\left( {a - 4} \right)}^2} + {{\left( {16 - 4a - 1} \right)}^2}} \)

\(= \sqrt {{{\left( {a - 6} \right)}^2} + {{\left( {16 - 4a - 5} \right)}^2}} \)

\( \Rightarrow {\left( {a - 4} \right)^2} + {\left( {16 - 4a - 1} \right)^2}\)

\(= {\left( {a - 6} \right)^2} + {\left( {16 - 4a - 5} \right)^2}\)

\(\Rightarrow {\left( {a - 4} \right)^2} + {\left( {15 - 4a} \right)^2} \)

\(= {\left( {a - 6} \right)^2} + {\left( {11 - 4a} \right)^2}\)

\(\Rightarrow  - 28a =  - 84 \Rightarrow a = 3\).

Suy ra tâm đường tròn là I(3; 4), bán kính \(R = IA = \sqrt {10} \).

Phương trình đường tròn trên là:

\(({C_3}):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 10\).

d) Giả sử phương trình đường tròn có dạng \({x^2} + {y^2} - 2mx - 2ny + p = 0\) (với tâm I(m; n), \(R = \sqrt {{m^2} + {n^2} - p} \)).

Đường tròn đi qua gốc tọa độ và cắt 2 trục tọa độ tại các điểm có hoành độ a và tung độ là b nên ta có hệ phương trình:

Ta có điều kiện \(a,b \ne 0\), vì khi bằng 0 thì trùng với gốc tọa độ

\(\left\{ \begin{array}{l}{0^2} + {0^2} - 2m.0 - 2n.0 + p = 0\\{a^2} + {0^2} - 2ma - 2n.0 + p = 0\\{0^2} + {b^2} - 2m.0 - 2nb + p = 0\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}p = 0\\{a^2} - 2ma = 0\\{b^2} - 2nb = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}p = 0\\m = \frac{a}{2}\\n = \frac{b}{2}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình chính tắc của đường tròn trên là \({x^2} + {y^2} - ax - by = 0\).