Giải mục 3 trang 70, 71, 72 SGK Toán 10 tập 1 - Chân trời sáng tạoTính diện tích một cánh buồm hình tam giác. Biết cách buồm đó có chiều dài một cạnh là 3,2 m và hai góc kề cách đó có số đo là 48 và 105) (Hình 12). Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
HĐ Khám phá 3 Cho tam giác ABC như Hình 10. a) Viết công thức tính diện tích S của tam giác ABC theo a và \({h_a}\) b) Tính \({h_a}\) theo b và sinC. c) Dùng hai kết quả trên để chứng minh công thức \(S = \frac{1}{2}ab\sin C\) d) Dùng định lí sin và kết quả ở câu c) để chứng minh công thức \(S = \frac{{abc}}{{4R}}\) Lời giải chi tiết: a) Diện tích S của tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}a.{h_a}\) b) Xét tam giác vuông AHC ta có: \(\sin C = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{{h_a}}}{b}\) \( \Rightarrow {h_a} = b.\sin C\) c) Thay \({h_a} = b.\sin C\) vào công thức diện tích, ta được: \(S = \frac{1}{2}ab\sin C\) d) Theo định lí sin ta có: \(\frac{c}{{\sin C}} = 2R \Rightarrow \sin C = \frac{c}{{2R}}\) Thay vào công thức ở c) ta được: \(S = \frac{1}{2}ab\frac{c}{{2R}} = \frac{{abc}}{{4R}}.\) HĐ Khám phá 4 Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c và (I;r) là đường tròn nội tiếp tam giác (Hình 11). a) Tính diện tích các tam giác IBC, IAC, IAB theo r và a, b, c. b) Dùng kết quả trên để chứng minh công thức tính diện tích tam giác ABC: \(S = \frac{{r(a + b + c)}}{2}\) Lời giải chi tiết: a) Diện tích \({S_1}\) của tam giác IAB là: \({S_1} = \frac{1}{2}r.AB = \frac{1}{2}r.c\) Diện tích \({S_2}\) của tam giác IAC là: \({S_2} = \frac{1}{2}r.AC = \frac{1}{2}r.b\) Diện tích \({S_3}\) của tam giác IBC là: \({S_3} = \frac{1}{2}r.BC = \frac{1}{2}r.a\) b) Diện tích S của tam giác ABC là: \(\begin{array}{l}S = {S_1} + {S_2} + {S_3} = \frac{1}{2}r.c + \frac{1}{2}r.b + \frac{1}{2}r.a = \frac{1}{2}r.(c + b + a)\\ \Leftrightarrow S = \frac{{r(a + b + c)}}{2}\end{array}\) Thực hành 3 Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trong các trường hợp sau: a) Các cạnh \(b = 14,c = 35\) và \(\widehat A = {60^o}\) b) Các cạnh \(a = 4,b = 5,c = 3\) Phương pháp giải: a) Áp dụng công thức: \(S = \frac{1}{2}bc\sin A\) b) Áp dụng công thức Heron \(S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \) Lời giải chi tiết: a) Áp dụng công thức: \(S = \frac{1}{2}bc\sin A\), ta có: \(S = \frac{1}{2}.14.35.\sin {60^o} = \frac{1}{2}.14.35.\frac{{\sqrt 3 }}{2} \approx 212,2\) Áp dụng đl cosin, ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A\) \(\begin{array}{l} \( \Rightarrow R = \frac{a}{{2\sin A}} = \frac{{30,5}}{{2\sin {{60}^o}}} \approx 17,6\) b) Ta có: \(p = \frac{1}{2}.(4 + 5 + 3) = 6\) Áp dụng công thức Heron, ta có: \(S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt {6(6 - 4)(6 - 5)(6 - 3)} = 6.\) Lại có: \(S = \frac{{abc}}{{4R}} \Rightarrow R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{4.5.3}}{{4.6}} = 2,5.\) Vận dụng 3 Tính diện tích một cánh buồm hình tam giác. Biết cách buồm đó có chiều dài một cạnh là 3,2 m và hai góc kề cách đó có số đo là \({48^o}\) và \({105^o}\) (Hình 12). Phương pháp giải: Bước 1: Áp dụng định lí sin tính AC. Bước 2: Tính diện tích tam giác ABC bằng công thức \(S = \frac{1}{2}ab\sin C\) Lời giải chi tiết: Kí hiệu các điểm A, B, C như hình dưới
Đặt \(AB = c,AC = b,BC = a.\) Ta có: \(BC = 3,2;\widehat A = {180^o} - ({48^o} + {105^o}) = {27^o}\) Áp dụng định lí sin, ta có: \(\frac{b}{{\sin B}} = \frac{a}{{\sin A}} \Rightarrow AC = b = \frac{{a.\sin B}}{{\sin A}} = \frac{{3,2.\sin {{48}^o}}}{{\sin {{27}^o}}} \approx 5,24(m)\) Áp dụng công thức \(S = \frac{1}{2}ab\sin C\) ta có: \(S = \frac{1}{2}.3,2.5,24\sin {105^o} \approx 8,1({m^2})\)
Quảng cáo
|