Giải bài 10 trang 73 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạoCho tứ giác lồi ABCD có các đường chéo AC = x,BD = y và góc giữa AC và BD bằng alpha Gọi S là diện tích của tứ giác ABCD. Quảng cáo
Đề bài Cho tứ giác lồi ABCD có các đường chéo \(AC = x,BD = y\) và góc giữa AC và BD bằng \(\alpha .\) Gọi S là diện tích của tứ giác ABCD. a) Chứng minh \(S = \frac{1}{2}xy.\sin \alpha \) b) Nêu kết quả trong trường hợp \(AC \bot BD.\) Phương pháp giải - Xem chi tiết a) Tính diện tích 4 tam giác nhỏ theo \(\sin \alpha \). Chú ý: \(\sin ({180^o} - \alpha ) = \sin \alpha \) b) \(\alpha = {90^o}\) thì \(\sin \alpha = 1\) Lời giải chi tiết Gọi O là giao điểm của AC và BD. a) Áp dụng công thức \(S = \frac{1}{2}ac.\sin B\), ta có: \(\begin{array}{l}{S_{OAD}} = \frac{1}{2}.OA.OD.\sin \alpha ;\quad {S_{OBC}} = \frac{1}{2}.OB.OC.\sin \alpha ;\\{S_{OAB}} = \frac{1}{2}.OA.OB.\sin ({180^o} - \alpha );\quad {S_{OCD}} = \frac{1}{2}.OD.OC.\sin ({180^o} - \alpha ).\end{array}\) Mà \(\sin ({180^o} - \alpha ) = \sin \alpha \) \( \Rightarrow {S_{OAB}} = \frac{1}{2}.OA.OB.\sin \alpha ;\quad {S_{OCD}} = \frac{1}{2}.OD.OC.\sin \alpha .\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{ABCD}} = \left( {{S_{OAD}} + {S_{OAB}}} \right) + \left( {{S_{OBC}} + {S_{OCD}}} \right)\\ = \frac{1}{2}.OA.\sin \alpha .(OD + OB) + \frac{1}{2}.OC.\sin \alpha .(OB + OD)\\ = \frac{1}{2}.OA.\sin \alpha .BD + \frac{1}{2}.OC.\sin \alpha .BD\\ = \frac{1}{2}.BD.\sin \alpha .(OA + OC)\\ = \frac{1}{2}.AC.BD.\sin \alpha = \frac{1}{2}.x.y.\sin \alpha .\end{array}\) b) Nếu \(AC \bot BD\) thì \(\alpha = {90^o} \Rightarrow \sin \alpha = 1.\) \( \Rightarrow {S_{ABCD}} = \frac{1}{2}.x.y.1 = \frac{1}{2}.x.y.\)
Quảng cáo
|