Giải mục 2 trang 99, 100 SGK Toán 10 tập 1 - Chân trời sáng tạo

HĐ Khám phá 2

Một người dùng một lực $\overrightarrow F$ có cường độ là 10 N kéo một chiếc xe đi quãng đường dài 100 m. Tính công sinh bởi lực $\overrightarrow F$, biết rằng góc giữa vectơ $\overrightarrow F$ và hướng di chuyển là $45^\circ$. (Công A (đơn vị: J) bằng tích của ba đại lượng: cường độ của lực $\overrightarrow F$, độ dài quãng đường và côsin các góc giữa vectơ $\overrightarrow F$ và độ dịch chuyển $\overrightarrow d$).

Lời giải chi tiết:

Theo giả thiết ta có: $A = \left| {\overrightarrow F } \right|.\left| {\overrightarrow d } \right|.\cos \left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow d } \right)$

$\Rightarrow A = 10.100.\cos 45^\circ  = 500\sqrt 2 \left( J \right)$

Vậy công sinh bởi lực $\overrightarrow F$ là $500\sqrt 2$ (J)

Thực hành 2

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có cạnh huyền bằng $\sqrt 2$.

Tính các tích vô hướng: $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Vận dụng công thức $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)$

Bước 2: Xác định độ dài cạnh AB, AC và góc giữa hai vecto $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC}$

Lời giải chi tiết:

+) Ta có: $AB \bot AC \Rightarrow \overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {AC}  \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0$

+) $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC}  = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overline {BC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BC} } \right)$

Ta có: $BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt 2  \Leftrightarrow \sqrt {2A{C^2}}  = \sqrt 2$$\Rightarrow AC = 1$

$\Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC}  = 1.\sqrt 2 .\cos \left( {45^\circ } \right) = 1$

+) $\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = \left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 1.\sqrt 2 .\cos \left( {45^\circ } \right) = 1$

Thực hành 3

Hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ có độ dài lần lượt là 3 và 8 có tích vô hướng là $12\sqrt 2$.Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức $\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$

$\Leftrightarrow 12\sqrt 2  = 3.8.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

$\Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 45^\circ$

Vậy góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ là $45^\circ$

Vận dụng 1

Một người dùng một lực $\overrightarrow F$ có độ lớn là 20 N kéo một vật dịch chuyển một đoạn 50 m cùng hướng với $\overrightarrow F$. Tính công sinh bởi lực $\overrightarrow F$.

Phương pháp giải:

Công thức tính công: $A = \overrightarrow F .\overrightarrow d$

Tích vô hướng: $\overrightarrow F .\overrightarrow d  = \left| {\overrightarrow F } \right|.\left| {\overrightarrow d } \right|.\cos \left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow d } \right)$

Lời giải chi tiết:

Gọi vectơ dịch chuyển của vật là $\overrightarrow d$, ta có $|\overrightarrow d |\; = 50$.

Theo giả thiết $\overrightarrow F$ và $\overrightarrow d$ cùng hướng nên $\left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow d } \right) = 0^\circ$

Công sinh ra bởi lực $\overrightarrow F$được tính bằng:

$A = \overrightarrow F .\overrightarrow d  = \left| {\overrightarrow F } \right|.\left| {\overrightarrow d } \right|.\cos \left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow d } \right) = 20.50.\cos 0^\circ  = 1000$ (J)