Giải bài 5 trang 63 SGK Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho đường tròn \((C)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0\).

a) Chứng tỏ rằng điểm \(M(4;6)\) thuộc đường tròn \((C)\).

b) Viết phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(M(4;6)\).

c) Viết phương trình tiếp tuyến của \((C)\) song song với đường thẳng \(4x + 3y + 2022 = 0\).

Lời giải chi tiết

a) Thay điểm \(M(4;6)\)vào phương trình đường tròn \({x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0\) ta có:

\({4^2} + {6^2} - 2.4 - 4.6 - 20 = 0\).

Suy ra, điểm M thuộc đường tròn (C).

b) Đường tròn có tâm \(I(1;2)\).

Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại \(M(4;6)\) là:

\(\left( {1 - 4} \right)\left( {x - 4} \right) + \left( {2 - 6} \right)\left( {y - 6} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow 3x + 4y -36 = 0\).

c) Tiếp tuyến của đường tròn song song với đường thẳng \(4x + 3y + 2022 = 0\) nên phương trình có dạng \(d:4x + 3y + c = 0\).

Ta có tâm và bán kính của đường tròn là: \(I(1;2)\), \(r = \sqrt {{1^2} + {2^2} + 20}  = 5\).

Khoảng cách từ tâm đến tiếp tuyến là bán kính nên:

\(d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {4.1 + 3.2 + c} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 5\)

\( \Leftrightarrow \left| {10 + c} \right| = 25 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 15}\\{c =  - 35}\end{array}} \right.\).

Vậy đường tròn (C) có hai tiếp tuyến song song với đường thẳng \(4x + 3y + 2022 = 0\) là \({d_1}:4x + 3y + 15 = 0\), \({d_2}:4x + 3y - 35 = 0\).