Giải bài 5 trang 79 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD

a) Chứng minh $2\left( {A{B^2} + B{C^2}} \right) = A{C^2} + B{D^2}$

b) Cho $AB = 4,BC = 5,BD = 7.$ Tính AC.

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng định lí cosin ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.BC.\cos ABC\\B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} - 2.AB.AD.\cos BAD\end{array} \right.$

Mà $AD = BC;\cos BAD = \cos ({180^ \circ } - ABC) =  - \cos ABC$ 

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} + 2.AB.BC.\cos BAD\\B{D^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.AD.\cos BAD\end{array} \right.\end{array}$

Cộng vế với vế ta được:

$A{C^2} + B{D^2} = 2\left( {A{B^2} + B{C^2}} \right)$

b)  Theo câu a, ta suy ra: $A{C^2} = 2\left( {A{B^2} + B{C^2}} \right) - B{D^2}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A{C^2} = 2\left( {{4^2} + {5^2}} \right) - {7^2} = 33\\ \Rightarrow AC = \sqrt {33} \end{array}$