Bài 6.5, 6.6, 6.7, 6.8 phần bài tập bổ sung trang 16, 17 SBT toán 6 tập 2

Bài 6.5

a) Cho phân số \(\displaystyle{a \over b}\) \((a, b ∈ N, b \ne 0).\)

 Giả sử  \(\displaystyle{a \over b} > 1\) và \(m ∈ N, m \ne 0.\) Chứng tỏ rằng :

\(\displaystyle{a \over b} < {{a + m} \over {b + m}}\)  

b) Áp dụng kết quả ở câu a) để so sánh \(\displaystyle{{434} \over {561}}\) và \(\displaystyle{{441} \over {568}}.\) 

Phương pháp giải:

Sử dụng:

Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu dương rồi so sánh các tử với nhau: phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn.

Lời giải chi tiết:

a) \(\displaystyle{a \over b} = {{a(b + m)} \over {b(b + m)}} = {{ab + am} \over {{b^2} + bm}}\) (1)

\(\displaystyle{{a + m} \over {b + m}} = {{b(a + m)} \over {b(b + m)}} = {{ab + bm} \over {{b^2} + bm}}\) (2)

Vì \(\displaystyle{a \over b} < 1 \Rightarrow a < b\) \(\Rightarrow am<bm\) \(\Rightarrow ab + am < ab + bm\)  (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: \(\displaystyle {{ab + am} \over {{b^2} + bm}}<{{ab + bm} \over {{b^2} + bm}}\) hay \(\displaystyle{a \over b} < {{a + m} \over {b + m}}.\) 

b) Áp dụng: Rõ ràng \(\displaystyle{{434} \over {561}} < 1\) nên \(\displaystyle{{434} \over {561}} < {{434 + 7} \over {561 + 7}} = {{441} \over {568}}.\) 

Bài 6.6

a) Cho phân số \(\displaystyle{a \over b}\)  \((a, b ∈ N, b \ne 0).\)

Giả sử \(\displaystyle{a \over b} > 1\) và \(m ∈ N, m \ne 0.\) Chứng tỏ rằng : 

\(\displaystyle{a \over b} > {{a + m} \over {b + m}}.\)    

b) Áp dụng kết quả ở câu a) để so sánh \(\displaystyle{{237} \over {142}}\) và \(\displaystyle{{237} \over {142}}\) 

Phương pháp giải:

Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu dương rồi so sánh các tử với nhau: phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn.

Lời giải chi tiết:

a) \(\displaystyle{a \over b} = {{a(b + m)} \over {b(b + m)}} = {{ab + am} \over {{b^2} + bm}}\)  (1)

\(\displaystyle{{a + m} \over {b + m}} = {{b(a + m)} \over {b(b + m)}} = {{ab + bm} \over {{b^2} + bm}}\) (2)

Vì \(\displaystyle{a \over b} > 1 \Rightarrow a > b\)\(\Rightarrow am>bm\) \(\Rightarrow ab + am > ab + bm\)  (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: \(\displaystyle {{ab + am} \over {{b^2} + bm}}>{{ab + bm} \over {{b^2} + bm}}\) hay \(\displaystyle{a \over b} > {{a + m} \over {b + m}}.\) 

b)  \(\displaystyle{{237} \over {142}} > 1\) nên \(\displaystyle{{237} \over {142}} > {{237 + 9} \over {142 + 9}} = {{246} \over {151}}.\) 

Bài 6.7

So sánh: \(\displaystyle A = {{{{17}^{18}} + 1} \over {{{17}^{19}} + 1}}\) và \(\displaystyle B = {{{{17}^{17}} + 1} \over {{{17}^{18}} + 1}}\)

Phương pháp giải:

Áp dụng kết quả bài tập 6.5 để giải bài toán.

Lời giải chi tiết:

Theo bài 6.5: 

Nếu \(\displaystyle{a \over b} < 1\) và \(m ∈ N, m \ne 0\) thì \(\displaystyle{a \over b} < {{a + m} \over {b + m}}.\)

Sử dụng kết quả này, ta có: 

\(\displaystyle A = {{{{17}^{18}} + 1} \over {{{17}^{19}} + 1}} < 1 \) 

\(\displaystyle \Rightarrow A = {{{{17}^{18}} + 1} \over {{{17}^{19}} + 1}} \)\(\displaystyle < {{{{17}^{18}} + 1 + 16} \over {{{17}^{19}} + 1 + 16}} = {{{{17}^{18}} + 17} \over {{{17}^{19}} + 17}}\)\(=\displaystyle{{17.({{17}^{17}} + 1)} \over {17.({{17}^{18}} + 1)}} = {{{{17}^{17}} + 1} \over {{{17}^{18}} + 1}} = B;\)                 

Vậy \(A < B.\)

Bài 6.8

So sánh: \(\displaystyle C = {{{{98}^{99}} + 1} \over {{{98}^{89}} + 1}}\) và \(\displaystyle D = {{{{98}^{98}} + 1} \over {{{98}^{88}} + 1}}\) 

Phương pháp giải:

Áp dụng kết quả bài tập 6.6 để giải bài toán.

Lời giải chi tiết:

Theo bài 6.6: 

Nếu \(\displaystyle{a \over b} > 1\) và \(m ∈ N, m \ne 0\) thì \(\displaystyle{a \over b} > {{a + m} \over {b + m}}.\)

Sử dụng kết quả này, ta có: 

\(\displaystyle C = {{{{98}^{99}} + 1} \over {{{98}^{89}} + 1}} > 1 \) 

\(\displaystyle \Rightarrow C = {{{{98}^{99}} + 1} \over {{{98}^{89}} + 1}} \)\(\displaystyle > {{{{98}^{99}} + 1 + 97} \over {{{98}^{89}} + 1 + 97}} = {{{{98}^{99}} + 98} \over {{{98}^{89}} + 98}};\) 

Mà \(\displaystyle{{{{98}^{99}} + 98} \over {{{98}^{89}} + 98}}\)\(\displaystyle ={{98.({{98}^{98}} + 1)} \over {98.({{98}^{88}} + 1)}} = {{{{98}^{98}} + 1} \over {{{98}^{88}} + 1}} = D;\)

Vậy \(C>D.\)

 Loigiaihay.com