Giải bài 2 (9.8) trang 69, 70 vở thực hành Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho tam giác cân ABC, \(AB = AC\). Lấy điểm M tùy ý nằm giữa B và C (H.9.7).

a) Khi M thay đổi thì độ dài AM thay đổi. Xác định vị trí của điểm M để độ dài AM nhỏ nhất.

b) Chứng minh rằng với mọi điểm M thì \(AM < AB\).

Lời giải chi tiết

a) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC, ta có AH là đường vuông góc hạ từ điểm A xuống BC. Gọi M là điểm tùy ý nằm giữa B và C. Nếu M khác H thì AM là đường xiên kẻ từ A đến BC. Do đó theo định lí, \(AH < AM\). Vậy AM nhỏ nhất bằng AH khi M trùng H.

b) M là một điểm nằm giữa B và C. Ta cần chứng minh \(AM < AB\). Muốn vậy, ta xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Nếu \(\widehat {AMB} = {90^o}\), thì AM là đường vuông góc, còn AB là đường xiên kẻ từ A xuống BC theo định lí về đường vuông góc và đường xiên, ta có \(AM < AB\).

Trường hợp 2: Nếu \(\widehat {AMB}\) là góc tù thì trong tam giác AMB, góc AMB lớn nhất nên \(AM < AB\).

Trường hợp 3: Nếu \(\widehat {AMB}\) là góc nhọn thì góc AMC kề bù với nó là góc tù. Trong tam giác AMC, góc AMC là góc lớn nhất. Do đó, \(AM < AC = AB\).