Bài 101* trang 29 SBT toán 6 tập 2

Giải bài 101* trang 29 sách bài tập toán 6. Chứng minh rằng tổng của một phân số dương với số nghịch đảo của nó thì không nhỏ hơn 2.

Quảng cáo

Đề bài

Chứng minh rằng tổng của một phân số dương với số nghịch đảo của nó thì không nhỏ hơn 2.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng: Nếu phân số \(\dfrac{a}{b}\neq 0\) thì số nghịch đảo của nó là \(\dfrac{b}{a}.\)

Lời giải chi tiết

Lấy phân số bất kì \(\displaystyle {a \over b}\) với \(a > 0, b > 0.\) Không mất tính tổng quát giả sử \(0 < a ≤ b.\)

Đặt \(b = a + m\; (m ∈ Z, m ≥ 0).\)

Số nghịch đảo của \(\displaystyle {a \over b}\) là \(\displaystyle {b \over a}.\) Ta có :

\(\displaystyle {a \over b} + {b \over a} = {a \over {a + m}} + {{a + m} \over a} \)

              \(\displaystyle = {a \over {a + m}} + {m \over a} + {a \over a} \)

              \(\displaystyle = {a \over {a + m}} + {m \over a} + 1\)            \((1)\)

Ta có: \(\displaystyle {m \over {a}} \ge {m \over {a + m}}\) (dấu bằng xảy ra khi \(m = 0\)).

Suy ra: \(\displaystyle {a \over {a + m}} + {m \over a} \ge {a \over {a + m}} + {m \over {a + m}} \)\(\displaystyle= {{a + m} \over {a + m}} = 1\)         \((2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(\displaystyle {a \over b} + {b \over a} \ge 1 + 1 = 2.\)

Dấu \("="\) xảy ra khi \(m = 0\) hay \(a = b.\)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !

Quảng cáo

Xem thêm tại đây: Bài 12. Phép chia phân số
list
close
Gửi bài Gửi bài