Giải bài 4 (7.44) trang 53, 54 vở thực hành Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho đa thức \(A = {x^4} + {x^3} - 2x - 2\).

a) Tìm đa thức B sao cho \(A + B = {x^3} + 3x + 1\).

b) Tìm đa thức C sao cho \(A - C = {x^5}\).

c) Tìm đa thức D sao cho \(D = \left( {2{x^2} - 3} \right).A\).

d) Tìm đa thức P sao cho \(A = \left( {x + 1} \right).P\).

e) Có hay không một đa thức Q sao cho \(A = \left( {{x^2} + 1} \right).Q\)?

Lời giải chi tiết

a) Muốn \(A + B = {x^3} + 3x + 1\) thì ta cần có

\(B = \left( {{x^3} + 3x + 1} \right) - A\)

\( = \left( {{x^3} + 3x + 1} \right) - \left( {{x^4} + {x^3} - 2x - 2} \right)\)

\( = {x^3} + 3x + 1 - {x^4} - {x^3} + 2x + 2\)

Rút gọn ta được \(B =  - {x^4} + 5x + 3\).

b) Muốn \(A - C = {x^5}\) thì ta cần có

\(C = A - {x^5} = \left( {{x^4} + {x^3} - 2x - 2} \right) - {x^5}\)

Rút gọn C ta có: \(C =  - {x^5} + {x^4} + {x^3} - 2x - 2\).

c) Ta có: \(D = \left( {2{x^2} - 3} \right)\left( {{x^4} + {x^3} - 2x - 2} \right)\)

\( = 2{x^2}\left( {{x^4} + {x^3} - 2x - 2} \right) - 3\left( {{x^4} + {x^3} - 2x - 2} \right)\)

\( = \left( {2{x^6} + 2{x^5} - 4{x^3} - 4{x^2}} \right) - \left( {3{x^4} + 3{x^3} - 6x - 6} \right)\)

\( = 2{x^6} + 2{x^5} - 3{x^4} - 7{x^3} - 4{x^2} + 6x + 6\)

d) Để có \(A = \left( {x + 1} \right).P\), phép chia A:P phải là phép chia hết và P là thương trong phép chia đó. Ta hãy tìm P bằng cách đặt tính chia A cho \(x + 1\) như sau:

Vậy \(P = {x^3} - 2\).

e) Để có \(A = \left( {{x^2} + 1} \right).Q\), phép chia \(A:\left( {{x^2} + 1} \right)\) phải là phép chia hết và Q là thương trong phép chia đó. Ta hãy tìm Q bằng cách đặt tính chia A cho \({x^2} + 1\) như sau:

Ta được đa thức dư là \( - 3x - 1\). Vậy A không chia hết cho \({x^2} + 1\).

Điều đó chứng tỏ không tồn tại một đa thức Q sao cho \(A = \left( {{x^2} + 1} \right).Q\).