Giải mục I trang 63, 64, 65, 66 SGK Toán 10 tập 1 - Cánh diều

Hoạt động 1

Cho tam giác ABC vuông tại $A$ có $\widehat{ABC} = \alpha$ (Hình 2).

a) Nhắc lại định nghĩa $\sin\alpha$, $\cos\alpha$, $\tan\alpha$, $\cot\alpha$.

b) Biểu diễn tỉ số lượng giác của góc $90^o - \alpha$ theo tỉ số lượng giác của góc $\alpha$.

Lời giải chi tiết:

$\sin\alpha = \frac{AC}{BC}$, $\cos\alpha = \frac{AB}{BC}$, $\tan\alpha = \frac{AC}{AB}$, $\cot\alpha = \frac{AB}{AC}$.

$\sin(90^o - \alpha) = \cos\alpha$, $ \cos(90^o - \alpha) = \sin\alpha$,

$\tan(90^o - \alpha) = \cot\alpha$, $ \cot(90^o - \alpha) = \tan\alpha$.

Hoạt động 2

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, nửa đường tròn tâm O nằm phía trên trục hoành bán kính $R = 1$ được gọi là nửa đường tròn đơn vị (Hình 3). Với mỗi góc nhọn $\alpha$ ta có thể xác định một điểm M duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM} = \alpha$. Giả sử điểm M có toạ độ $(x_0; y_0)$. Hãy tính sin $\alpha$, cos $\alpha$, tan $\alpha$, cot $\alpha$ theo $x_0$, $y_0$.

Lời giải chi tiết:

Để tính sin $\alpha$, cos $\alpha$, tan $\alpha$, cot $\alpha$ theo $x_0$, $y_0$, ta làm như sau: 

Xét tam giác vuông $OMH$, ta có: 

$\sin\alpha = \frac{MH}{OM} = \frac{y_0}{1} = y_0$, $ \cos\alpha = \frac{OH}{OM} = \frac{x_0}{1} = x_0,$ 

$\tan\alpha = \frac{MH}{OH} = \frac{y_0}{x_0}$, $ \cot\alpha = \frac{OH}{MH} = \frac{x_0}{y_0}$.

Hoạt động 3

Trên nửa đường tròn đơn vị ta có dây cung MN song song với trục Ox và \(\widehat {xOM} = \alpha \) (Hình 6).

a) Chứng minh \(\widehat {xON} = {180^o} - \alpha \).

b) Biểu diễn giá trị lượng giác của góc \({180^o} - \alpha \) theo giá trị lượng giác của góc \(\alpha \).

Phương pháp giải:

a) Quan sát hình 6, dựa vào các góc đồng vị và tam giác cân để suy ra \(\widehat {xON} = {180^o} - \alpha \).

b) Trên hình vẽ, xác định các GTLG của \(\widehat {xON}\),so sánh với GTLG của góc \(\alpha \).

Lời giải chi tiết:

a) Do MN song song với Ox nên \(\alpha  = \widehat {OMN} = \widehat {ONM} = \widehat {NOx'}\).

Mà \(\widehat {xON} = {180^o} - \widehat {NOx'} = {180^o} - \alpha \).

\( \Rightarrow \widehat {xON} = {180^o} - \alpha \).

b) Dễ thấy: Điểm N đối xứng với M qua trục Oy.

\( \Rightarrow N( - {x_0};{y_0})\).

Lại có: Điểm N biểu diễn góc \({180^o} - \alpha \).

 \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin ({180^o} - \alpha ) = {y_N} = {y_0}\\\cos ({180^o} - \alpha ) = {x_N} =  - {x_0}\end{array} \right.\)

Mà: \(\sin \alpha  = {y_0};\;\cos \alpha  = {x_0}\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin ({180^o} - \alpha ) = \sin \alpha \;\\\cos ({180^o} - \alpha ) =  - \cos \alpha \end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\tan ({180^o} - \alpha ) =  - \tan \alpha \;\\\cot ({180^o} - \alpha ) =  - \cot \alpha \end{array} \right.\)

Hoạt động 4

Ta có thể tìm giá trị lượng giác (đúng hoặc gần đúng) của một góc (từ \(0^o\) đến \(180^o\)) bằng cách sử dụng các phím: sin, cos, tan trên máy tính cầm tay.

Tính \(\sin 75^o\), \(\cos 175^o\), \(\tan 64^o\) (làm tròn đến hàng phần chục nghìn).

Lời giải chi tiết:

Để tính các giá trị lượng giác trên, sau khi đưa máy tính về chế độ "độ", ta làm như sau:

Hoạt động 5

Ta có thể tìm số đo (đúng hoặc gần đúng) của một góc từ \(0^o\) đến \(180^o\) khi biết giá trị lượng giác của góc đó bằng cách sử dụng các phím: SHIFT cùng với sin; cos; tan trên máy tính cầm tay.

Tìm số đo góc \(\alpha\) (từ \(0^o\) đến \(180^o\)) và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ, biết:

a) \(\cos \alpha = -0,97\);

b) \(\tan \alpha = 0,68\);

c) \(\sin \alpha = 0,45\).

Lời giải chi tiết:

Để tính gần đúng số đo góc \(\alpha\) trong mỗi trường hợp trên, sau khi đưa máy tính về chế độ "độ", ta làm như sau:

Luyện tập – vận dụng 1

Hãy tính chiều cao h của đỉnh Lũng Cú so với chân núi trong bài toán ở phần mở đầu.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính \(\widehat {ACH},\widehat {BCH}\).

Bước 2: Tính \(\tan \widehat {ACH},\tan \widehat {BCH}\) theo h.

Bước 3: Giải phương trình ẩn h và kết luận.

Lời giải chi tiết:

\(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {ACH} = {45^o}\\\widehat {BCH} = {50^o}\end{array} \right.\) (hai góc đồng vị).

Mà \(\tan \widehat {ACH} = \frac{{AH}}{{CH}} \Rightarrow \tan {45^o} = \frac{h}{{CH}} \Leftrightarrow CH = h\).

Lại có: \(\tan \widehat {BCH} = \frac{{BH}}{{CH}} \Rightarrow \tan {50^o} = \frac{{h + 20,25}}{h}\)

\( \Leftrightarrow h.\tan {50^o} = h + 20,25\)

\(\Leftrightarrow h = \frac{{20,25}}{{\tan {{50}^o} - 1}} \approx 105,6\).

Vậy chiều cao của đỉnh Lũng cú so với chân núi là khoảng 105,6m.