Giải mục II trang 67, 68 SGK Toán 10 tập 1 - Cánh diều

Hoạt động 8

Cho $\alpha$ là góc vuông. Chứng minh ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos \alpha$

Phương pháp giải:

Dựa vào định lí Pytago cho tam giác ABC: ${a^2} = {b^2} + {c^2}$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\alpha  = {90^o} \Rightarrow \cos \alpha  = \cos {90^o} = 0$

$\Rightarrow {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos \alpha  = {b^2} + {c^2}$

Mà tam giác ABC có $\alpha  = {90^o}$ nên: ${a^2} = {b^2} + {c^2}$

Do đó ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos \alpha$ (đpcm)

Luyện tập – vận dụng 2

Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 6, BC =7. Tính cosA.

Phương pháp giải:

Bước 1: Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC: ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A$

Bước 2: Thay số, suy ra cosA.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A$$\Rightarrow \cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}$

Mà $AB = c = 5,{\rm{ }}AC = b = 6,{\rm{ }}BC = a = 7$.

$\Rightarrow \cos A = \frac{{{6^2} + {5^2} - {7^2}}}{{2.5.6}} = \frac{1}{5}$

Chú ý

Từ định lí cosin, ta suy cách tìm góc khi biết độ dài 3 cạnh

$\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}};\;\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}};\;\cos C = \frac{{{b^2} + {a^2} - {c^2}}}{{2ab}}.$