Giải mục III trang 69, 70 SGK Toán 10 tập 1 - Cánh diều

Hoạt động 11

Cho $\alpha$ là góc vuông. Chứng minh $\frac{a}{{\sin \alpha }} = 2R.$

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định đường tròn ngoài tiếp tam giác, từ đó suy ra bán kính R

Bước 2: Tính $\frac{a}{{\sin \alpha }}$ rồi so sánh với 2R.

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác ABC có $\widehat A = \alpha  = {90^o}$

Gọi O là trung điểm của BC. Khi đó: $OA = OB = OC = \frac{1}{2}BC$

Do đó đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là (O) bán kính $R = \frac{{BC}}{2}$

$\Rightarrow \frac{a}{{\sin \alpha }} = \frac{{BC}}{{\sin {{90}^o}}} = BC = 2R$ (đpcm)

Luyện tập – vận dụng 3

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có bán kính R = 6 và có các góc $\widehat B = {65^o},\widehat C = {85^o}.$ Tính độ dài cạnh BC.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính góc $\widehat A$

Bước 2: Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC: $\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\widehat B = {65^o},\widehat C = {85^o}.$

$\Rightarrow \widehat A = {180^o} - \left( {{{65}^o} + {{85}^o}} \right) = {30^o}.$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:

$\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow BC = 2R.\sin A$

Mà $\widehat A = {30^o},R = 6.$

$\Rightarrow BC = 2.6.\sin {30^o} = 6.$

Vậy BC = 6.