Giải bài 3 trang 71 SGK Toán 10 tập 1 – Cánh diều

Đề bài

Cho tam giác ABC có \(AB = 6,AC = 7,BC = 8\). Tính \(\cos A,\sin A\) và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lời giải chi tiết

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

\(B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2.AC.AB.\cos A\)

\( \Rightarrow \cos A = \frac{{A{C^2} + A{B^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}} = \frac{{{7^2} + {6^2} - {8^2}}}{{2.7.6}} = \frac{1}{4}\).

Lại có: \({\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1 \Rightarrow \sin A = \sqrt {1 - {{\cos }^2}A} \)

(do \({0^o} < A \le {90^o}\))

\( \Rightarrow \sin A = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {15} }}{4}\).

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R\)

\( \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2.\sin A}} = \frac{8}{{2.\frac{{\sqrt {15} }}{4}}} = \frac{{16\sqrt {15} }}{{15}}\).

Vậy \(\cos A = \frac{1}{4}\); \(\sin A = \frac{{\sqrt {15} }}{4}\); \(R = \frac{{16\sqrt {15} }}{{15}}\).